人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题(含答案)

人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题

1、如图，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作

DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=CF．

2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α

＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；

（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α．

3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结

DE．

（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；

（2）求∠DEB的度数．

4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，

BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．

5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概

念应用

（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．

求证：CD为△ABC的等角分割线．

（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．

6、如图,∠ABC=∠BAD=90°，点E，F分别是AC，BC的中点。

(1)求证：∠EAF=∠EBF；

(2)试判断直线EF与AB的位置关系，并说明理由。

7、【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是___.

A. SSS

B.SAS

C.AAS

D.HL

(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是___.

解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。

【初步运用】

如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.若EF=3，EC=2，求线段BF的长。

【灵活运用】

如图3,在△ABC中,∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论。

8、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右．侧．作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90o，则∠BCE=o．

（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．

①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．

图1 图2

9、如图，已知长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，

请说明理由，并直接写出

．．．．此时线段PE和线段PQ的位置关系；

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为S cm2，请用t的代数式表示S；

(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？

10、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，

OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM=ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

11、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，

延长AE交BC的延长线于点F．求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

12、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），

BE⊥CD于E，交直线AC于F．

（1）点D在边AB上时，证明：AB=FA+BD；

（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论．

13、在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；

（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；

（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．

（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

14、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC上的一动点,AP=AQ,∠P AQ=90°,连

接CQ.

(1)求证:CQ⊥BC.

(2)△ACQ能否是直角三角形?若能,请直接写出此时点P的位置;若不能,请说明理由.

(3)当点P在BC上什么位置时,△ACQ是等腰三角形?请说明理由.

15、如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP.

(1)在图①中，请你通过观察、测量、猜想，写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

(2)将△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

(3)将△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系与位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

参考答案

1、如图，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作

DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=CF．

【解答】证明：连结BD，CD．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．

∵DG垂直平分BC，

∴DB=DC．

在Rt△DEB和Rt△DFC中，

，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），

∴BE=CF；

2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α

＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．

（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；

（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α．

解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF；

证明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°

∴∠A1CF=∠BCD

∵A1C=BC

∴∠A1=∠CBD=45°

∴△CBD≌△CA1F；

∴CF=CD，

∵CA=CB1，

∴AF=B1D，

∵∠A=∠EB1D，∠AEF=∠B1ED，

∴△AEF≌△B1ED，

∵AC=B1C，∠ACD=∠B1CF，∠A=∠CB1F，

∴△ACD≌△≌△B1CF．

（2）在△CBB1中

∵CB=CB1

∴∠CBB1=∠CB1B=（180°﹣α）

又△ABC是等腰直角三角形

∴∠ABC=45°

①若B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD

∵∠B1DB=45°+α

∠B 1BD=∠CBB1﹣45°=（180°﹣α）﹣45°=45°﹣，

∴45°+α=45°﹣，

∴α=0°（舍去）；

②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D；

③若BB1=BD，则∠BDB1=∠BB1D，即45°+α=（180°﹣α），α=30°

由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°；

3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结

DE．

（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；

（2）求∠DEB的度数．

【解答】（1）证明：

过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°，

∴∠BAD=∠CAD=60°，

∵∠CAH=180°﹣120°=60°，

∴AE平分∠HAD，

∴EH=EG，

∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，

∴EH=EF，

∴EF=EG，

∴点E到DA、DC的距离相等；

（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，

∴∠EDC=∠DEB+∠DBE，

∴=∠DEB+∠ABC，

∴∠DEB=（∠CDA﹣∠ABC）=∠BAD=30°．

4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，

BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．

【解答】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；

（3）解：DE=BE﹣AD．

5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用

（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．

求证：CD为△ABC的等角分割线．

（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．

【解答】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°

∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°

∵CD为角平分线，

∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，

∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，

∴CD＝DA，

∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，

∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，

∴∠BDC＝∠ACB，

∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，

∠B＝∠B，

∴CD为△ABC的等角分割线；

（3）当△ACD是等腰三角形，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，

∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，

当△ACD是等腰三角形，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，

∠BCD＝∠A＝42°，

∴∠ACB＝69°+42°＝111°，

当△BCD是等腰三角形，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，∴∠ACB＝92°，

当△BCD是等腰三角形，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，

设∠BDC＝∠BCD＝x，

则∠B＝180°﹣2x，

则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，

由题意得，180°﹣2x+42°＝x，

解得，x＝74°，

∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°，

∴∠ACB＝106°，

∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．

6、如图,∠ABC=∠BAD=90°，点E，F分别是AC，BC的中点。

(1)求证：∠EAF=∠EBF；

(2)试判断直线EF与AB的位置关系，并说明理由。

(1)证明：如图，取AB的中点M，连接EM、FM；

∵点E，F分别是AC，BC的中点，

∴EM∥BC,FM∥AD；

∵∠ABC=∠BAD=90°，

∴EM⊥AB，FM⊥AB，

∴EM、FM重合，即E. F. M三点共线；

∵EM⊥AB，且平分AB，

∴EA=EB，FA=FB，

∴∠EAB=∠EBA，∠FAB=∠FBA，

∴∠EAF=∠EBF.

(2)证明：∵E、F. M三点共线，且FM⊥AB，

∴EF⊥AB.

7、【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是___.

A. SSS

B.SAS

C.AAS

D.HL

(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是___.

解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。

【初步运用】

如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.若EF=3，EC=2，求线段BF的长。

【灵活运用】

如图3,在△ABC中,∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论。

解：(1)在△ADC和△EDB中,

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

故选：B；

(2)AB?BE

∴2

故答案为：2

【初步运用】延长AD到M，使AD=DM，连接BM，

∵AE=EF.EF=3，

∴AC=5，

∵AD是△ABC中线，

∴CD=BD，

∵在△ADC和△MDB中,

∴BM=AC，∠CAD=∠M，

∵AE=EF，

∴∠CAD=∠AFE，

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠BFD=∠CAD=∠M，

∴BF=BM=AC，

即BF=5；

【灵活运用】线段BE、CF、EF之间的等量关系为：

证明：如图3，延长ED到点G，使DG=ED，连结GF，GC，∵ED⊥DF，

∴EF=GF，

∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

在△BDE和△CDG中，

∴△DBE≌△DCG(SAS)，

∴BE=CG，

∵∠A=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∵△DBE≌△DCG，EF=GF，

∴BE=CG，∠B=∠GCD，

∴∠GCD+∠ACB=90°,即∠GCF=90°，

8、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右．侧．作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90o，则∠BCE=o．

（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．

①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．

图1 图2

解答：（1）90°．（2）①α+β=180°，

理由：

∵∠BAC=∠DAE，