八年级数学下册期末压轴题及解析

1、以四边形ABCD 的边AB 、AD 为边分别向外侧作等边三角形ABF 和ADE ，连接EB 、FD ，交点为G ．

（1）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），EB 和FD 的数量关系是_____________； （2）当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系?请加以证明； （3）四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD 的度数．

难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。） 解 （1）EB=FD 。（2）EB=FD 。

证：∵△AFB 为等边三角形,∴AF=AB ，∠FAB=60°

∵△ADE 为等边三角形，∴AD=AE ，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD

即∠FAD=∠BAE,∴△FAD ≌△BAE,∴EB=FD

（3）解：∵△ADE 为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60° ∵△FAD ≌△BAE ，∴∠AEB=∠ADF 设∠AEB 为x °，则∠ADF 也为x °

于是有∠BED 为（60-x ）°，∠EDF 为（60+x ）° ∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF =180°-（60-x ）°-（60+x ）°=60°

2、已知：如图，在□ABCD 中，点E 是BC 的中点， 连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ．

（1）求证：△ABE ≌△FCE ；

（2）若AF =AD ，求证：四边形ABFC 是矩形．

简单题

F

A B

C D

E

证明：（1）如图1．

在△ABE 和△FCE 中，∠1=∠2， ∠3=∠4，BE =CE ，

∴△ABE ≌△FCE ． （2）∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =FC ．

∵AB ∥FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ． ∵AF =AD ，∴AF =BC ．∴四边形ABFC 是矩形．

3、已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．

（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S ，则1S =___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），

得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和．记为3S ；按照同样的方法继续操作下去……，第n 次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．n S =______________．

（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。）

本题相当于中考12题的简单题

解：（1）如图2； -------------1分

（2）14，18，12n -，11

2

n +． ----------6分

4、已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边长为4，它的顶点A 在x 轴的正半轴上运动，顶点D 在y 轴的正半轴上运动（点A ，D 都不与原点重合），顶点B ，C 都在第一象限，且对角线AC ，BD 相交于点P ，连接OP ．

（1）当OA =OD 时，点D 的坐标为______________， ∠POA =__________°；

图1

E

F

A B

C

D 图2

A

B C

图3

C

B

A

F

E

D 图4

A B

C

F

E

D 图2

C

B A

图1

4

3

21

E D C B A F

（2）当OA

（3）设点P 到y 轴的距离为d ，则在点A ，D 运动的 过程中，d 的取值范围是________________．

（第二问：如果点P 到OP “所平分的角”的两边的距离相等，即可。）（第二问的题外题：当OA ＞OD 时，求证：OP 平分∠DOA ；） 解：（1）(0,22)，45；

证明：（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ．（如图3） ∵四边形ABCD 是正方形， ∴PD =PA ，∠DPA =90°． ∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，

∴∠PMO =∠PNO =∠PND =90°．

∵∠NOM =90°，∴四边形NOMP 中，∠NPM =90°．∴∠DPA =∠NPM ． ∵∠1=∠DPA －∠NPA ，∠2=∠NPM －∠NPA ，∴∠1=∠2． 在△DPN 和△APM 中， ∠PND =∠PMA ，∠1=∠2，PD =PA ， ∴△DPN ≌△APM ． ∴PN =PM ． ∴OP 平分∠DOA ．

（3）2d <≤22． -

5、已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的 顶点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA 沿直线CA 翻折，得到△DCA ，且DA 交CB 于点E ． （1）求证：EC =EA ； （2）求点E 的坐标； （3）连接DB ，请直接写出．．．．

四边形DCAB 的周长和面积．

（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE 的长）

（第三问的证明：过D 做DM ⊥AC 于M ，过B 做BN ⊥CA 于N ，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN （具体数）还看得DB=MN （具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。） 证明：（1）如图1．∵△OCA 沿直线CA 翻折得到△DCA ， ∴△OCA ≌△DCA ． ∴∠1=∠2． ∵四边形OABC 是矩形，∴OA ∥CB ． ∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC =EA ． 解：（2）设CE = AE =x ． ∵点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3），∴OA =4，OC =3． ∵四边形OABC 是矩形，∴CB =OA =4，AB =OC =3，∠B =90°． 在Rt △EBA 中，222EA EB BA =+，

图3

1

2

M

N

y

x

O

P

D

C

B

A E

B

A

D C

y

x

O

∴222(4)3x x =-+．解得 258x =． ∴点E 的坐标为(25

,38

)． （3）

625，192

25

． 6、已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N 分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ． （1）在图1中证明MN 垂直平分ED ； （2）若∠EBD =∠DCE =45°（如图2），判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论．

第一问，连接EM ，EN ，DM ，DN ，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD ，NE=ND ，所以点M 、N 都在线段ED 的垂直平分线上。 （有△ADF ≌△BDC ，得AF=BC ，（还得∠MDA=∠NDB ，证直角时用），进而得菱形，再证一直角得正方形，）

（1）证明：连接EM ，EN ，DM ，DN ．（如图2） ∵BD ，CE 是△ABC 的高， ∴BD ⊥AC ，CE ⊥AB ．

∴∠BDA =∠BDC =∠CEB =∠CEA =90°．

∵在Rt △AEF 中，M 是AF 的中点，∴EM =1

2

AF ．

同理，DM =12AF ，EN =12BC ，DN =1

2

BC ．

∴EM =DM ， EN =DN ．

∴点M ，N 在ED 的垂直平分线上．∴MN 垂直平分ED ． （2）判断：四边形MEND 是正方形． 证明：连接EM ，EN ，DM ，DN ．（如图3） ∵∠EBD =∠DCE =45°，而∠BDA =∠CDF =90°，

∴∠BAD =∠ABD =45°，∠DFC =∠DCF =45°．∴AD =BD ，DF =DC ．

在△ADF 和△BDC 中， AD =BD ， ∠ADF =∠BDC ，（Rt ∠） DF =DC ，

∴△ADF ≌△BDC ． ∴AF =BC ，∠1=∠2．

∵由（1）知DM =12AF =AM ，DN =1

2

BC =BN ，

∴DM =DN ，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4． ∵由（1）知EM =DM ，EN =DN ，∴DM =DN =EM =EN ． ∴四边形MEND 是菱形．

∵∠3+∠MDF =∠ADF =90°，∴∠4+∠MDF =∠NDM =90°． ∴四边形MEND 是正方形．

7、（6分）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为AD 边上的一点（不与点A 、点

N M

A B

C D E

F

N

M

F E

D

C B A

图2 4

312A B

C D

E

F

M

N

图3

D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，联结BP 、BH 。

（1）求证：∠APB ＝∠BPH ； （2）求证：AP ＋HC ＝PH ； （3）当AP ＝1时，求PH 的长。

第一问，设∠EPB=∠EBP=m ，则∠BPH=90°-m ，∠PBC=90°-m ，所以∠BPH=∠PBC ，又因为∠APB=∠PBC ，所以，∠APB=∠BPH 。

第二问的题外题：将此题与北京141之东城22和平谷24 放在一起，旋转翻折共同学习；此题中用旋转把△ABP 绕点B 顺时针旋转90°不能到达目的，于是延BP 翻折，翻折后的剩余部分△BQH 与△BCH 也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得∠PBH=45°。 第三问，代数方法的勾股定理。

（1）证明：∵PE ＝BE ，∴∠EPB ＝∠EBP ， 又∵∠EPH ＝∠EBC ＝90°，

∴∠EPH －∠EPB ＝∠EBC －∠EBP 。即∠BPH ＝∠PBC 。 又∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ∥BC ， ∴∠APB ＝∠PBC 。∴∠APB ＝∠BPH 。（2分） （2）证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ， 由（1）知，∠APB ＝∠BPH ， 又∵∠A ＝∠BQP ＝90°，BP ＝BP ， ∴△ABP △QBP ，∴AP ＝QP ，BA ＝BQ 。 又∵AB ＝BC ，∴BC ＝BQ 。

又∵∠C ＝∠BQH ＝90°，BH ＝BH ，

∴△BCH △BQH ，∴CH ＝QH ，∴AP ＋HC ＝PH 。（4分）

??

（3）由（2）知，AP ＝PQ ＝1，∴PD ＝3。 设QH ＝HC ＝，则DH ＝。 在Rt △PDH 中，，

即，解得，∴PH ＝3.4（6分）

8、（6分）如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，D 点在AC 上，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC ＝60°，联结GD ，判断△AGD 的形状并证明。

（也可问∠ADG 的度数。） 判断：△AGD 是直角三角形。

证明：如图联结BD ，取BD 的中点H ，联结HF 、HE ，

∵F 是AD 的中点，，∴∠1＝∠3。 同理，HE//CD ，HE ＝，∴∠2＝∠EFC 。

∵AB ＝CD ， ∴HF ＝HE ，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠EFC 。 ∵∠EFC ＝60°，∴∠3＝∠EFC ＝∠AFG ＝60°，

x x -4222PH DH PD =+()()2

2

2

431x x -+=+4.2=

x AB HF AB HF 2

1

,//=

∴CD 2

1

∴△AGF是等边三角形。∴AF＝FG

∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，

∴∠AGD＝90°，即△AGD是（特殊）直角三角形。

（GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜边，这样证全等。）

10、阅读下列材料：

小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，点M为BC边上任意一点（不与点D重合），过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．

他的做法是：如图1，连结AM，过点D作DN//AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．

请你参考小明的做法，解决下列问题：

（1）如图2，在四边形ABCD 中，AE 平分ABCD 的面积，M 为CD 边上一点，过M 作一直线MN ，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图2中画出直线MN ，并保留作图痕迹）；

（2）如图3，求作过点A 的直线AE ，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图3中画出直线AE ，并保留作图痕迹）．

（第二问，把△ABC 的面积接到DC 的延长线上。）

11、 已知：四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在AD 边上，且AF ＝DE ．

（1）如图1，判断AE 与BF 有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明； （2）如图2，对角线AC 与BD 交于点O ． BD 、AC 分别与AE 、BF 交于点G ，点H ．

①求证：OG ＝OH ；

②连接OP ，若AP ＝4，OP

＝，求AB 的长．

【第二问①，证△AOG ≌△BHO ， 第二问②，（在OB 上截取BQ=AP ，则△APO ≌△BQO ，得OP=OQ ，AP=BQ ，也可得∠OPG=∠OQP ，又∠EPB=90°，最终得△OPQ 是等腰直角三角形，可得PQ=2，从而求得PB=6，在Rt △APB 中由勾股定理得的值。2倍根号13.）】

12、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =a ，BC =b ， DC =b a +，且a b >，点M 是AB 边的中点． （1）求证：CM ⊥DM ；

（2）求点M 到CD 边的距离．（用含a ，b 的式子表示）

2D

图1

M

B A

N

C

图3

图2 M E

D C B A D

C B A A B C

D E F P

图1

A B C D O

P E F 图2

G

H A B

C

D M

（我认为答案的思路不是最好。

本题还有这样的思路：过M 做BC 的平行线，交DC 于Q ，则可证MQ=DQ=CQ ，MD 平分∠ADC ，MC 平分∠BCD ，及∠DMC=90°，；M 到CD 的距离也就是Rt △DMC 斜边的高MN ，MN 的平方=DN 乘以NC=AD 乘以BC=ab ，） 证明：（1）延长DM ，CB 交于点E ．（如图3） ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠ADM =∠BEM ．

∵点M 是AB 边的中点， ∴AM =BM ．

在△ADM 与△BEM 中，

∠ADM =∠BEM ，

∠AMD =∠BME ， AM =BM ，

∴△ADM ≌△BEM ． ∴AD =BE =a ，DM =EM ．∴CE =CB +BE =b a +． ∵CD =a b +，∴CE =CD ． ∴CM ⊥DM ． 解：（2）分别作MN ⊥DC ，DF ⊥BC ，垂足分别为点N ，F ．（如图4）

∵CE =CD ，DM =EM ， ∴CM 平分∠ECD ． ∵∠ABC = 90°，即MB ⊥BC ， ∴MN =MB ．

∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠A =90°． ∵∠DFB =90°，∴四边形ABFD 为矩形． ∴BF = AD =a ，AB = DF ． ∴FC = BC －BF =b a -．

∵Rt △DFC 中，∠DFC =90°，

∴222DF DC FC =-=22()()a b b a +--=4ab ． ∴ DF=2ab ． ∴MN=MB =12

AB =12

DF =ab ．

即点M 到CD 边的距离为ab ．

13、已知：如图1，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点A ，C 的坐标分别为（6，

0），（0，2）．点D 是线段BC 上的一个动点（点D 与点B ，C 不重合），过点D 作直线y ＝－1

2

x

＋b 交折线O －A －B 于点E ．

（1）在点D 运动的过程中，若△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，当点E 在线段OA 上时，矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B ′分别交CB ，OA 于点D ，M ，O ′A ′分别交CB ，OA 于点N ，E ．探究四边形DMEN 各边之间的数量关系，并对你的结论加以证明；

（3）问题（2）中的四边形DMEN 中，ME 的长为____________．

y

x

O

A

B C

E D C

B A O

x

y

O'C'

B'

A'

M

N F N E C B M

D

A 图4

E A D M B

C 图3

本题难度对于初二学生相当于25题。 【好好学习第一问的解题方法，第二问由两组平行可得平行四边形，∠OED=∠O1ED （对称性质），得菱形。

第三问，E 在OA 上时，DE 的长度不变，为2倍根号5，（延x 轴平移△DME 使D 与C 重合，设DM=EM=x ，代数法用勾股定理可求得ME 的值。】 解：（1）∵矩形OABC 中，点A ，C 的坐标分别为(6,0)，(0,2)， ∴点B 的坐标为(6,2)．

若直线b x y +-=21

经过点C (0,2)，则2=b ；

若直线b x y +-=21

经过点A (6,0)，则3=b ；

若直线b x y +-=21

经过点B (6,2)，则5=b ．

①当点E 在线段OA 上时，即32≤

∵点E 在直线b x y +-=21

上，

当0=y 时，b x 2=，

∴点E 的坐标为)0,2(b ．∴S =b b 2222

1=??．

②当点E 在线段BA 上时，即53<

∵点D ，E 在直线b x y +-=21

上，

当2=y 时，42-=b x ； 当6=x 时，3-=b y ，

∴点D 的坐标为)2,42(-b ，点E 的坐标为)3,6(-b ． ∴DBE OAE COD OABC S S S S S ???---=矩形

)]3(2)][42(6[2

16)3(212)42(2126-----?--?--?=b b b b b b 52

+-=．

综上可得：2223),535).b b S b b b <≤?=?-+<

(

(

（2）DM =ME =EN =ND ．

图6

y

x

O

A

B C D

E

E D

C B A

O

x

y

图7

证明：如图8．

∵四边形OABC 和四边形O′A′B′C′是矩形， ∴CB ∥OA ， C ′B ′∥O ′A ′，即DN ∥ME ，DM ∥NE ．

∴四边形DMEN 是平行四边形，且∠NDE =∠DEM ．

∵矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为矩形O′A′B′C′， ∴∠DEM =∠DEN ．∴∠NDE =∠DEN ． ∴ND =NE ．∴四边形DMEN 是菱形． ∴DM =ME =EN =ND ． -

（3）答：问题（2）中的四边形DMEN 中，ME 的长为 2. 5 ． 14、探究

问题1 已知：如图1，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，AE ，BF 交于点M ，连接DE ，DF ．若DE =k DF ，则k 的值为_____．

拓展

问题2 已知：如图2，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 的内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ．

求证：DE =DF ． 推广

问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变．．．．．．，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论

（第三问，取BM 和AM 的中点，构造全等三角形，）122某区的模拟题与此高度相似，

问题1 k 的值为 1 ． --

问题2 证明：如图9． ∵CB =CA ， ∴∠CAB =∠CBA ． ∵∠MAC =∠MBC ，

∴∠CAB －∠MAC =∠CBA －∠MBC ， 即∠MAB =∠MBA ． ∴MA =MB ．

∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ， ∴∠AFM =∠BEM =90°．

在△AFM 与△BEM 中，

∠AFM =∠BEM ，

∠MAF =∠MBE ， MA =MB ， ∴△AFM ≌△BEM ． ∴AF =BE ．

∵点D 是AB 边的中点，∴BD = AD ．

图1

C

F M

E

B

D

A

图2

C

E

M

F A D

B

图3

C

E

M F A

D

B 图9

C

E

M F

A D

B

在△BDE 与△

ADF 中，

BD = AD ，

∠DBE =∠DAF ， BE = AF ，

∴△BDE ≌△ADF ． ∴DE =DF ． 问题3 解：DE =DF ．

证明：分别取AM ，BM 的中点G ，H ，连接DG ，FG ，DH ，EH ．（如图10） ∵点D ，G ，H 分别是AB ，AM ，BM 的中点， ∴DG ∥BM ，DH ∥AM ，且DG =12

BM ，DH =12

AM ．

∴四边形DHMG 是平行四边形．∴∠DHM =∠DGM ， ∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ， ∴∠AFM =∠BEM =90°．

∴FG =12

AM = AG ，EH =12

BM = BH ． ∴FG = DH ，DG = EH ， -

∠GAF =∠GFA ，∠HBE =∠HEB ． ∴∠FGM =2∠FAM ，∠EHM =2∠EBM ． ∵∠FAM =∠EBM ，∴∠FGM =∠EHM ．

∴∠DGM +∠FGM =∠DHM +∠EHM ，即∠DGF =∠DHE ．

在△EHD 与△DGF 中，EH = DG ，∠EHD =∠DGF ，HD = GF ， ∴△EHD ≌△DGF ． ∴DE =DF ．

16、 如图①，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE⊥AG 于点E ，BF⊥AG 于点F 。 （1）求证：DE －BF ＝EF ；

（2）若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）；

（3）若AB=2a ，点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论。

第一问，证全等即可得AE=BF ，AF=DE 。第三问，各三角形相似，两直角边的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG 。

图10

G H

B

D A F M

E C

解：（1）证明：

∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AG ，DE ⊥AG ∴DA=AB ，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90° ∴∠BAF=∠ADE ， ∴△ABF ≌△DAE ∴BF=AE ，AF=DE ；∴DE-BF=AF-AE=EF （2）如图②，DE+BF=EF （3）EF=2FG

过程：∵AB=2a ，点G 为BC 边中点，∴BG=a 由勾股定理可求a AG 5=

又∵AB ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴由等积法可求a BF 5

5

2=

由勾股定理可求a FG 55=

，a AF 5

54= a BF AE 552=

= ,a EF 5

5

2=∴，∴EF=2FG 。 17、如图，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE

（1）证明：四边形MPBG 是平行四边形；

（2）设BE=x ，四边形MNBG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）如果按题设作出的四边形MPBG 是菱形，求BE 的长。

（图中的三角形多是等腰直角三角形，） 证明：（1）∵ABCD、BEFG 是正方形

∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°，∴DB∥ME。 ∵MN⊥AB，CB⊥AB，∴MN∥CB。∴四边形MPBG 是平行四边形；

（2）∵正方形BEFG ，∴BG=BE=x。∵∠CMG=∠BEG=45°，∴CG=CM=BN=1－x 。

∴y=21（GB+MN ）·BN=21

（1+x ）（1－x ）= 21－21x 2， （0

（3）由四边形BGMP 是菱形，则有BG=MG ，

即x=2（1－x ）。解得x=2－2，∴ BE=2－2。

18、将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕， △CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：

（1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕； （2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜△ABC ，使其顶点A 在格点上，

且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；

（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件

是 ． 解：

（1）

………………………………………………2分

（说明：只需画出折痕．） （2）

（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可．）

（3）三角形的一边长与该边上的高相等

A B C A

19、考考你的推理与论证（本题6分）

如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，

过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF BD =，连结BF

． （1）求证：D 是BC 的中点；

（2）如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论． 难度一般

解（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE. ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE．

∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC. ∵AF=BD，∴BD=CD.，∴D 是BC 的中点． （2）四边形AFBD 是矩形， ∵AB=AC，D 是BC 的中点, ∴AD⊥BC ，即∠ADB=90°

∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD 是矩形．

20、拓广与探索（本题7分）

如图（1），Rt△ABC 中，∠ACB=90°，中线BE 、CD 相交于点O ，点F 、G 分别是OB 、OC 的中点. （1）求证：四边形DFGE 是平行四边形；

（2）如果把Rt△ABC 变为任意△ABC，如图（2），通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立？（不用证明）；

（3）在图（2）中，试想：如果拖动点A ，通过你的观察和探究，在什么条件下？四边形DFGE 是矩形，并给出证明；

（4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A ，是否存在四边形DFGE 是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明）．

（图1） （图2）

（第三问，AB=AC 时。第四问，AB=AC ，且底边上的高是BC 的3/2倍时是正方形。保持这种高与边的比，但是，AB ≠AC 时是菱形。） 21、如图，点A （0，4），点B (3,0)，点P 为线段AB 上的一个动点，作PM y ⊥轴于点M ，作

PN x ⊥轴于点N ，连接MN ，当点P 运动到什么位置时，MN 的值最小？最小值是多少？求出

此时PN 的长.

（MN=OP ，所以OP ⊥AB 时，MN 也就是OP 最小，OP=12/5.）

初三相似形22、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=4， 60C °∠=，AE BD ⊥于点E ，

F 是CD 的中点，连接EF ．

（1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；

（2）点G 是BC 边上的一个动点，当点G 在什么位置时，四边形DEGF 是矩形？并求出这个矩形的周长；

（3）在BC 边上能否找到另外一点G '，使四边形DE G 'F 的周长与（2）中矩形DEGF 的周长相等？请简述你的理由.

（第二问，点G 为BC 中点时，也是AE 的延长线与BC 的交点。第三问，能找到。以EF 为一边在EF 的下方做△G1EF ≌△GFE ，G1在BC 上，但是不与G 重合，）

23、 (9分)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，o 90=∠BCD ，且1AB =，2BC =，2CD AB =。对角线AC 和BD 相交于点O ，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C 上，使三角板绕点C 旋转。

（1）如图9-1，当三角板旋转到点E 落在BC 边上时，线段DE 与BF 的位置关系是 ，数量关系是 ；

（2）继续旋转三角板，旋转角为α，请你在图9-2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；

＃【】（3）如图9-3，当三角板的一边CF 与梯形对角线AC 重合时，EF 与CD 相交于点P ，

若6

5

=OF ，求PE 的长。

B

A F C

D E

图9-1 图9-2 图9-3 （第三问，证明两次相似，推导比例关系。）多看看

解：（1）垂直，相等；……………2分

（2）画图如图（答案不唯一）

D

（1）中结论仍成立。证明如下：

过A作DC

AM⊥于M，则四边形ABCM为矩形。∴AM=BC=2，MC=AB=1。

∵2

CD AB

=，∴21

2

DM==

。∴DC=BC。

CEF

?是等腰直角三角形,o

90.

ECF CE CF

∴∠==

，

o

90

=

∠

=

∠ECF

BCD

，BCF

DCE∠

=

∠

∴

DC BC

DCE BCF

CE CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

BCF

DCE?

?

?

∴，,12

DE BF

∴=∠=∠。

又34

∠=∠，590

BCD

∴∠=∠=?

DE BF

∴⊥，∴线段DE和BF相等并且互相垂直。

（3）AB

∥CD ，AOB

?

∴∽COD

?，.

AB OA OB

CD OC OD

∴

==

1,2,

AB

CD

==

，

1

.

2

OA OB

OC OD

∴==

Rt ABC AC

?==

在中,

3

5

=

∴OA。同理可求得

3

2

2

=

OB。

5OF =

，2

AC

AF OA OF ∴=+==。

2

CE CF ∴==。

o ,90,BC CD BCD =∠=o 45OBC ∴∠=。 由（2）知BCF DCE ???，21∠=∠∴。 又o 453=∠=∠OBC

，CPE ?∴

∽COB ?。 .PE CE OB BC ∴

=22=。6PE ∴=。

初三相似形 24、(9分)将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，

，(60)A ，，(03)C ，。动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23

秒时，动点P 从点A

出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设点P 的

运动时间为t （秒）。

（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；

（2）当1t =时，如图10-1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；

（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图10-2。问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC

能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由。

解：（1）6OP t =-，2

3

OQ t =+。

（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图1，……………3分

则53

DQ QO ==，43

QC =，1CD ∴=，(13)D ∴，

。

（3）①PQ 能与AC 平行。

若PQ AC ∥，如图2，则OP OA OQ

OC

=，即6623

3

t t -=+，

14

9t ∴=

，而703

t ≤≤，149t ∴=。

②PE 不能与AC 垂直。

若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图3，

则33253+

=?=t QF OC OQ AC QF

。23QF t ?∴=+??

。 EF QF QE QF OQ ∴=-=

-2233t t ???=+-+? ?

??

?

21)1)3

t =+。……7分 又Rt Rt EPF OCA △∽△，

PE OC EF OA ∴=

，6326

1)3t t -∴=??+ ?

??

， 3.45t ∴≈。 而703

t ≤≤， ∴ t 不存在。

25、锐角△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，DE ⊥AB 于E ， 延长ED 交BC 的延长线于点F . (1)当∠A =40°时，求∠F 的度数；

(2)设∠F 为x 度,∠FDC 为y 度,试确定y 与x 之间的函数关系式.

第二问，∠B+x=90°，x+y=∠B ，所以y=90°-2x 。 解（1）∵ AB =AC ，∴ B ACB ∠=∠. . ∵ ∠A =40°，∴ 70B ∠=?.

∵ DE ⊥AB ，∴ 90BEF ∠=? .∴ 20.F ∠=? （2） ∵ B C ∠=∠，∴ 1802.A B ∠=?-∠ ∴ A ADE FDC ∠-?=∠=∠90

)2180(90B ∠-?-?=.290B ∠+?-= 在△BEF 中，

∵ ?=∠90BEF ，∴ 90B F ∠=?-∠. .. ∴ 901802902.FDC F F ∠=-?+?-∠=?-∠

∴ 290y x =-+.

26、如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的 边DE 上，连接AE 、G C ．

（1）试猜想AE 与GC 有怎样的数量关系；

（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使

点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为(1)中的结 论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求证：AE ⊥GC ．

（友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等）

延长相交可证得垂直， 解：（1）猜想：AE =GC （2）答：AE=CG 成立.

证明：∵ 四边形ABCD 与DEFG 都是正方形， ∴ AD =DC ，DE =DG ，∠ADC = =∠EDG =90?. ∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90?.

∴ ∠1=∠2 .，∴ △ADE ?△CDG .，∴ AE=CG . （3）延长AE ，GC 相交于H ，由（2）可知∠5=∠4. 又∵ ∠5+∠6=90?，∠4+∠7=180?-∠DCE =90?， ∴ ∠6=∠7.

又∵ ∠6+∠AEB =90?，∴ ∠AEB =∠CEH . . ∴ ∠CEH +∠7=90?.

∴ ∠EHC =90?.，∴ AE ⊥GC . …

27、如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝90°，AB ＝12，BC ＝21，AD=16。动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。 （1）当t 为何值时，四边形PQDC 的面积是梯形ABCD 的面积的一半；

（2）四边形PQDC 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由．

（3）四边形PQDC 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由．

（第一问，t=37/6，第二问，t=5，第三问，不能，∠QPC 大于90°，不能等于∠DCP ，；本题扩展：如果延DA 、CB 方向移动，则可以出现等腰梯形。） 28、（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别

B C

D

E F

G

A 1 2

3 4

5

6

7

H