第3章流体力学连续性方程微分形式
流体力学三大方程的推导
微分形式的连续性方程连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。
设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。
先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。
在x 轴方向流出与流入质量之差()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x xρρρρ∂∂+-=∂∂用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入质量之差分别为()y u dxdydzdt y ρ∂∂()z u dxdydzdt z ρ∂∂这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为：()()()[]y x z u u udxdydzdt x x x ρρρ∂∂∂++∂∂∂在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量()dxdydzdt t ρ∂-∂()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z tρρρρ∂∂∂∂++=-∂∂∂∂()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
代表单位时间内，单位体积的质量变化代表单位时间内，单位体积内质量的净流出利用散度公式：得到利用矢量场基本运算公式和随体导数公式：得到 )()()()div(z y x u z u y u x u ρρρρ∂∂+∂∂+∂∂= 0)div(=+∂∂u tρρ()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂在连续方程中 div()div u u u ρρρ=+⋅∇ρρρ∇⋅+∂∂=u tDt D 0div =+u Dt D ρρdiv 0u u tρρρ∂++⋅∇=∂讨论*表明对不可压流体，体积在随体运动中保持不变。
工程流体力学3.3流体运动的连续性方程-录像
故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的
第三节 流体流动的连续性方程
【例3-5】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布 规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。
【解】 根据式（3-29）
所以
u 2x sin y v 2x sin y
x
y
u v 2x sin y (2x sin y) 0 x y
V2
V1
d1 d2
2
2 0.5 2 1
0.5(m/s)
第三节 流体流动的连续性方程
图 3-14 输水管道
u v w 0
t x y z
第三节 流体流动的连续性方程
可压缩流体非定常三维流动的连续性方程
u v w 0
t x y z
0 t
可压缩流体定常三维流动的连续性方程
u v w 0
第三节 流体流动的连续性方程
知识点（一）
直角坐标系下连续性微元 方程式
第三节 流体流动的连续性方程
流体连续地充满所占据的空间，当流体流动时在其内部不 形成空隙，这就是流体运动的连续性条件。
质量守恒定律(conservation of mass) ： 连续性方程
若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量 不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以 便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；
如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。 在管路和明渠等流体力学计算中得到极为广泛的应用。
第三节 流体流动的连续性方程
一、连续性微分方程推导
图 3-12 流场中的微元平行六面体
理解流体力学中的连续性方程
理解流体力学中的连续性方程流体力学是研究流体静力学和流体动力学的学科，涵盖了许多重要的基本方程。
其中，连续性方程是流体力学中的基础之一，用于描述流体在宏观尺度上的连续性。
理解连续性方程对于研究流体运动和分析流体现象具有重要意义。
本文将介绍连续性方程的定义、推导与应用，并探讨其中的物理意义。
一、连续性方程的定义与推导连续性方程描述了流体运动时，质量守恒的性质。
在宏观尺度上，流体的质量保持不变，由此可以得到连续性方程的数学表达式。
假设流体流动方向为坐标轴方向，流体通过某一截面的流量为Q，流动截面面积为A，则单位时间内通过截面的质量为Δm。
根据质量守恒原理，Δm应保持不变。
考虑时间间隔Δt内，流体运动导致流量Q发生变化。
根据定义，Δt时刻通过截面的质量为Δm1，Δt+Δt时刻通过截面的质量为Δm2。
根据质量守恒原理，Δm1+Δm2应等于Δm。
Δm1+Δm2 = ρ1QΔt + ρ2QΔt (1)其中，ρ1和ρ2分别为Δt时刻和Δt+Δt时刻的流体密度。
将流体密度表示为单位体积的质量，即ρ = m/V。
在Δt时间间隔内，流体的体积可以表示为：Δt时刻的体积为V1 = QΔt (2)Δt+Δt时刻的体积为V2 = QΔt + AΔx (3)其中，Δx为流体运动方向上的位移。
将公式（2）和（3）代入公式（1），得到：ρ1QΔt + ρ2QΔt = ρ1V1 + ρ2V2 (4)根据密度的定义，可以将公式（4）进一步推导为：ρ1Q + ρ2Q = ρ1Q + ρ2(Q + AΔx) (5)化简后可简化为：d(ρQ)/dt + A(ρv) = 0 (6)其中，v为流体的流速。
以上就是连续性方程的定义与推导过程。
连续性方程的表达形式可以用偏微分方程来表示，常被称为连续性方程的微分形式。
二、连续性方程的物理意义连续性方程描述了流体在运动过程中的连续性。
通过分析连续性方程，我们可以进一步理解其中的物理意义。
在连续性方程中，d(ρQ)/dt表示单位时间内流体质量的变化率，A(ρv)表示单位时间内流体通过截面边界的质量变化率。
流体力学中的三大基本方程
a 流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成：
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
d y
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
dx
dt
dxdydz
p x
dxdydz
fxdxdydz
单位体积流体的运动微分方程：
2 ：单位重量流体所具有的动能；
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度，位移和压强、密度四者 之间的微分关系。
3.1 伯努利方程积分形式
1.沿流线的积分方程：
gdz 1 dp d 0
2
2
gz
dP
C
设： const
2 gz p C
2
Or
z p 2 C
r 2g
——理想流体微元流束的伯努利方程。
①适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定 流动、质量力只有重力，且沿某一根流线； ②任选一根流线上的两点：
流体力学-第三讲,流体力学基本方程组
--------式(5) 为积分形式的动量方程
dui d
pn
dt
n
fid n j jids
(6)
s
ji为应力张量,是对称张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
2021/7/22
13
d ui dt
d
f i d
s
n j
jids
(6)
pn n
为应力张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
s
pn
则：作用在τ和s上的总质量力和面积力为:
F
fd
(1)
pnds
(2)
s
体积τ内流体的动量为：
ud
(3)
2021/7/22
12
于是动量定理可以写成：
d dt
ud
f d
s
pnds
（4）
把雷诺第二输运方程
d dt
F d
dFd
dt
应用于式(4)
du d
dt
f d
s
pnds
(5)
也可表达为
第三章 流体力学基本方程组
➢ 雷诺输运方程 ➢ 连续性方程 ➢ 运动方程(动量方程) ➢ 能量方程
2021/7/22
1
第一节 雷诺输运方程
一、 随体导数
dF dt
F t
ui
F xi
F t
u
F
以欧拉空间坐标所表示的流体质 点的运动属性对时间的全导数.
二、 雅可比行列式的时间导数 :
dJ ui J uJ
ui
0
(3b)
7
d ivu
u
u
工程流体力学第三章
物理量
比起流体质点本身， 比起流体质点本身，工程上我们更关心某一 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 速度、压强、温度、电流等。 速度、压强、温度、电流等。 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 流体具有的特征参量 流动参数。 也成为流动参数 量，也成为流动参数。 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 同空间位置上随时间的变化规律。 同空间位置上随时间的变化规律。
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
L M’ M
V (M , t ) V ( M ' , t + ∆t )
3.1.3随体导数 随体导数
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt 对速度的简单导数
L M’ M
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M 点运动至M 点时,
'
时间过去了∆t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M 点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
3.1.3随体导数 随体导数
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
流体力学3-3连续性方程
dxdydz
M x
同理可得：
( ux ) x ( u y ) y ( uz ) z
dxdydz dxdydz dxdydz
M y M z
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总
和应 等于六面体内因密度变化而减少的质量
M x M y M z [
t
( ux ) x
( u y ) y
( uz ) z
]dxdydz dxdydz
t
流体的连续性微分方程的一般形式：
( u x ) x
( u y ) y
( u z ) z
0
物理意义：作为水力学三大方程之一，体现了运动与空 间的关系 适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流； 可压缩流体或不可压 缩流体。
第三节 连续性方程
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体如图，边长为dx,dy,dz，中心点O’流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' 以x轴方向为例： 左表面流速 右表面流速
ux
1 u x 2 x
1 u x 2 x
u x dx x 2
A' M A o
dz o’ uy D dx
uz ux
B'
ux
N C
u x dx x 2
uM Байду номын сангаас x
dx
uN ux
dx
y
dy B
x
∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差：
( ux ) x
( ux ) 1 ( ux ) M x M 右 M 左 [ u x 1 dx ] dydz [ u x 2 x 2 x dx]dydz
2-流体力学-第三章-流体动力学(1)-三大方程-黄国钦
d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等。
11 12
2
例题 例题:
r r r r V = x 2 yi − 3 yj + 2 z 2 k
3.2 几个概念 3.2.1 流动的分类——定常流和非定常流
试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量 解:
•
欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速 度矢量场为：
选定某一空 选定某一空 间固定点 间固定点
记录流动空间 某固定位置 处，流体运动 要素（速度、 加速度）随时 间变化规律
r r u =u (x,y,z,t)
综合流场中 许多空间点 随时间的变 化情况
(( x ,, y ,, zz )) 是 x y 是空 空间 间点 点（ （场 场 r u 点）。流速 是在 点）。流速 是在 tt 时 时 刻占据 (( x ,, y ,, zz )) 的那个流 刻占据 x y 的那个流
工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
制造工程系：黄国钦
1
2
3.1.2 描述流体运动的两种方法及质点导数概念
3.1.2 描述流体运动的两种方法 3.1.2.1 拉格朗日法
基本思想：以研究个别流体质点的运动为基础，跟踪每个流体质点的运动全 基本思想： 过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。即通过描述每一质 点的运动了解流体运动。(随体法或跟踪法)
迹线
M(-1,-1)
o
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
19
dx dy dz = = vx v y vz
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X方向
( ux ) dxdydz x
同理可得：
在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
3
y方向：
z方向：
( u y ) y dxdydz ( u z ) dxdydz z
dxdydz ( ) dxdydz t t dxdydz
0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时
u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
2
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz
第三节 流体动力学基本方程式
2.质量力 单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,Z，∴质量力为Xdxdydz x方向（牛顿第二运动定律
9
F ma ）：
du x p dx p dx (p )dydz ( p )dydz Xdxdydz dxdydz x 2 x 2 dt
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
缩流体。（不可压 缩流体
0 ） t
第三节 流体动力学基本方程式
4 （1）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程 当为恒定流时
( ux ) ( u y ) ( uz ) 0 x y z
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx PM pM A ( p )dydz 2 x 右表面 P p A ( p dx p )dydz N N 2 x
10
适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。 du x du y duz 若加速度 等于0，则上式就可转化为 , , dt dt dt
欧拉平衡微分方程
1 p 0 X x 1 p 0 Y y 1 p 0 Z z
u x u x u x p du x u x 1 X ux uy uz x dt t x y z
•
理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
du x u x u x u x p 1 X ux uy u z u x z x dt t x y du y u y u y u y u y p 1 Y ux uy uz y dt t x y z du z u z u z u z u z p 1 Z ux uy uz z dt t x y z
第三节 流体动力学基本方程式
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
6
p x p y pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
第三节 流体动力学基本方程式
三、粘性流体的运动微分方程
1、粘性流体的特点
11
（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。 该切应力由广义牛顿内摩擦定律确定： u y u x xy ( ) yx y x u y u z yz ( ) zy z y u x u z zx ( ) xz x z （2）实际的流动流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各向大小不
质量力 x向受力
'zy xy xz
dz
p'zzx
’z
12
左右向压力
前后面切力 上下向切力
pxx
等，即pxx pyy pzz。任一点动压强为：
p xx p 2
p 1 (p xx p yy p zz ) 3 u
x u y y u z z
x
p yy p 2 p zz p 2
第三节 流体动力学基本方程式
z
2、实际流体的运动微分方程式 同样取一微元六面体作为控制体。
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应
等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：
[
•
( u x ) x
( u y ) ( u z ) y ]dxdydz dxdydz z t
流体的连续性微分方程的一般形式：
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压