狭义相对论动力学
第5章 狭义相对论-3
=
m
2
0
c
2
+
m2v2
同乘c2
E2=P2c 2+m02c4
讨论 ☆ v<< c 的低速情况
Pc
E
Ek
m0c2[
1
1
−
(
v c
)2
− 1]
<< m0c2
E0=m0c2
(1)
(EEkk2+m2E0ckm2)022=c2P=2Pc2+c m2 02c4 (2)
粒子用m、 E、P
(1) (2)
Ek =
P2 2m0
2）v<< c 则 m =m0 ———牛顿力学
例：v =104 m/s
m − m0 m0
≈
1 2
(
v c
)2 ≈
10−10
但是：当电子 v =0.98c 时，m = 5.03m0
3）限制了虚时空的出现 v =0.99c 时，m = 7.09m0
v =0 m=m0 v= c m→∞ 则必有 m0= 0.
∫0v
d(mv dt
)
⋅
= dr
∫0v v ⋅ d(mv)
v
=∫0v
= 2 = v ⋅ v ∫0v
v⋅
(v
(vdm+ m= dv)
2dm
+
1 2
mdv
2
∫0v
)=
(v2dm+ m
∫m c2d= m m0
v⋅dv mc2
) −
1 dv 2
m0c2
2
?
dv=2 2v ⋅ dv
m=
m0 =
动力学相对论的基本概念与狭义相对论的推导
动力学相对论的基本概念与狭义相对论的推导狭义相对论是爱因斯坦于1905年提出的一种物理理论，它在之前牛顿力学的基础上引入了时间和空间之间的相互关系，带来了许多令人震惊的结论。
为了全面了解狭义相对论的推导，我们首先需要了解动力学相对论的基本概念。
动力学相对论是指在自由粒子运动过程中，在不同的参考系中观察到的物理规律保持不变。
这就意味着，无论观测者的运动状态如何，物理定律和原则都应该是相同的。
而狭义相对论正是基于这一基本概念而建立的。
根据狭义相对论，相对于静止参考系，处于匀速直线运动中的物体在空间和时间上会发生变化。
这种变化可以通过洛伦兹变换来描述，其中时空坐标的变化被称为洛伦兹收缩和时间膨胀。
洛伦兹收缩是指在相对论中，高速运动的物体在方向上会出现空间的收缩，即其长度会变短。
这一现象可以通过洛伦兹因子来计算，洛伦兹因子的大小与运动速度成正比。
时间膨胀是指在相对论中，高速运动的物体的本地时间比静止物体的本地时间慢。
洛伦兹因子也可以用于计算时间膨胀的程度，即运动物体的时间相比静止物体的时间延长。
基于以上的概念和推导，狭义相对论建立了一些重要的原理和公式，例如：1. 时间和空间的相对性：不同的参考系中，时间和空间会发生相对性的变化，具体表现为洛伦兹收缩和时间膨胀。
2. 光速不变原理：光在真空中的速度是一个恒定值，与光源或观察者的运动状态无关。
这个原理是狭义相对论的基石之一。
3. 质能关系：根据狭义相对论，质量和能量是等价的，可以通过质能关系进行转换。
著名的公式 E=mc²揭示了质量和能量之间的关系。
通过对以上概念的深入理解，我们可以开始推导狭义相对论的基本原理。
首先，考虑两个相对静止的参考系 S 和 S'，它们之间以相对速度 v 运动。
我们设想在参考系 S' 中有一束光以速度 c' 在正方向上运动，那么根据光速不变原理，在参考系S 中，这束光的速度应该是不变的，即光速度为 c。
狭义相对论下的质能关系与相对动力学
狭义相对论下的质能关系与相对动力学狭义相对论是爱因斯坦于1905年提出的一种物理学理论，它在描述高速运动物体时与牛顿力学有着明显的不同。
其中，质能关系和相对动力学是狭义相对论的两个重要概念。
一、质能关系狭义相对论的质能关系是相对论的核心之一，它表明了质量和能量之间的等价关系。
根据质能关系，质量可以转化为能量，而能量也可以转化为质量。
这个关系由著名的质能方程E=mc²来表示，其中E代表能量，m代表质量，c代表光速。
质能关系的提出颠覆了牛顿力学中质量守恒的观念，揭示了质量与能量之间的密切联系。
根据狭义相对论的观点，质量并不是一个固定不变的量，而是与物体的运动状态有关。
当物体以接近光速的速度运动时，其质量会增加，而能量也会相应增加。
这种质量与能量之间的转化关系在核能反应和粒子加速器等领域得到了广泛应用。
二、相对动力学相对动力学是狭义相对论的另一个重要内容，它描述了高速运动物体的运动规律。
在牛顿力学中，物体的运动状态可以由质量、速度和力来描述，而在相对论中，速度的概念发生了变化。
根据相对论的观点，光速是一个绝对不可超越的极限，物体在接近光速时会出现时间的膨胀和长度的收缩。
这就意味着，当物体的速度接近光速时，其运动状态会发生显著的变化。
相对动力学通过洛伦兹变换等数学工具，将高速运动物体的运动规律进行了修正。
相对动力学的引入使得高速运动物体的运动规律更加精确和准确。
它揭示了时间和空间的相对性，即不同参考系中的时间和空间测量结果会有差异。
这种相对性的存在使得狭义相对论与牛顿力学有着本质的区别，同时也为后来的广义相对论的发展奠定了基础。
三、应用与展望狭义相对论的质能关系和相对动力学不仅仅是理论上的概念，它们在实际应用中也发挥着重要的作用。
在核能领域，质能关系的应用使得人们能够更好地理解核反应的原理，从而推动了核能的发展和利用。
在高能物理学中，相对动力学的理论框架为粒子加速器的设计和实验提供了重要的依据。
狭义相对论和广义相对论的主要内容
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狭义相对论牛顿
狭义相对论牛顿
狭义相对论是阿尔伯特爱因斯坦在1905年发表的题为《论动体的电动力学》一文中提出的区别于牛顿时空观的新的平直时空理论。
“狭义”表示它只适用于惯性参考系。
这个理论的出发点是两条基本假设：狭义相对性原理和光速不变原理。
理论的核心方程式是洛伦兹变换（群）（见惯性系坐标变换）。
狭义相对论预言了牛顿经典物理学所没有的一些新效应（相对论效应），如时间膨胀、长度收缩、横向多普勒效应、质速关系、质能关系等。
狭义相对论已经成为现代物理理论的基础之一：一切微观物理理论（如基本粒子理论）和宏观引力理论（如广义相对论）都满足狭义相对论的要求。
这些相对论性的动力学理论已经被许多高精度实验所证实。
狭义相对论不仅包括如时间膨胀等一系列推论，而且还包括麦克斯韦－赫兹方程变换等。
狭义相对论需要使用引入张量的数学工具。
狭义相对论是对牛顿时空理论的拓展，要理解狭义相对论就必须理解四维时空，其数学形式为闵可夫斯基几何空间。
现在对于物理理论新的分类标准，是以其理论是否是决定论来划分经典与非经典的物理学，非量子理论都可以叫经典或古典理论。
在此意义上，狭义相对论仍然是一种经典的理论。
狭义相对论两个基本原理
狭义相对论两个基本原理第一个基本原理是相对性原理。
相对性原理包含两部分：相对性原理的运动学形式和相对性原理的动力学形式。
相对性原理的运动学形式指出，物理定律在所有等速运动的参考系中都成立，而不论这些参考系之间的相对运动如何。
也就是说，在相对于以一些速度作匀速直线运动的参考系而言，物理现象的规律也同样适用于以其他任意速度作匀速直线运动的参考系中。
这个原理的实质是：物体的运动状态有多种可能，而它们都以相对其他物体的速度来描述。
相对性原理的动力学形式表明，在不受力的惯性系中，物体的运动状态是匀速直线运动或静止。
这意味着，不受力的物体会保持它们的运动状态不变。
从更广义的角度来看，这个原理还暗示了所有非重力的力都必须等效于参考系的运动。
第二个基本原理是光速不变原理。
光速不变原理指出，光在真空中的传播速度对于所有的惯性观察者来说都是相同的，无论观察者的速度如何。
换句话说，不论观察者是静止的还是以任何速度相对于光源运动，他们都会测得光速相同。
这与我们通常对速度相加的直觉不同，但实验证据已经证明了这一点。
这两个基本原理构成了狭义相对论的基础，对于我们理解时空的结构有重要的意义。
首先，相对性原理的运动学形式告诉我们，物体的运动状态是相对性的，即与观察者的运动状态有关。
这进一步推动了我们对时空结构的重新认识，引出了后来对时空几何的研究。
其次，相对性原理的动力学形式告诉我们，仅仅通过观察物体的运动状态，我们无法区分出它们所处的参考系。
这导致了狭义相对论中的质能关系，即质量和能量之间的等效性。
质能关系的著名公式E=mc²描述了质量和能量之间的转换关系，它在核物理和粒子物理研究中具有重要的应用。
综上所述，狭义相对论建立在两个基本原理之上：相对性原理和光速不变原理。
这两个原理引导了我们对物体运动方式和时空结构的新认识，对当代物理学的发展产生了深远的影响。
狭义相对论
狭义相对论•狭义相对论的诞生在科学史上，1905年被称为：爱因斯坦奇迹年。
在这一年，爱因斯坦共发表了4篇学术论文，每一篇都是诺奖级别的理论，并且也是开创性的科学成果.其中，在1905年6月30号发表的《论动体的电动力学》，后来也被叫做：狭义相对论1.伽利略变换：伽利略曾经提出过了一个“伽利略变换”：在伽利略变换下，时间测量与空间测量均与参考系的运动状态无关，时间与空间亦不相联系.x=x +vt y=y z=z t=t伽利略变换蕴含的时空观：同时性是绝对的;时间间隔是绝对的;杆的长度是绝对的.也就是说：空间、时间与物体的运动状态无关.例：A和B相互靠近，如果选择A为参考系，我们就可以得出A是静止的，B在运动，如果选B为参考系，那B就是静止的，A在运动，如图1如果B在车上向前走，如图2，那站在地面上的人看来，B的速度为v=v1+v2在这个理论当中，速度是可以叠加的.后来，牛顿把伽利略变换纳入到的自己的力学体系当中.我们在运用牛顿定律的时候，都得先规定好一个参考系.2.麦克斯韦VS牛顿牛顿理论后来被广泛运用，甚至还能预言海王星的存在，成为了物理学坚定的基石理论.后来科学家开始研究“电”和“磁”。
尤其是到了麦克斯韦的时代，麦克斯韦提出了麦克斯韦方程，统一了“电”和“磁”，并提出了电磁波的概念，还预言光是一种电磁波.物理学家赫兹通过实验验证了麦克斯韦的观点，可麦克斯韦方程是不需要参考系的，即：电磁波速度，或者说光速是不需要相对于某个参考系而言的。
在任何惯性参考系下，光速都是3×108m/s.这就和牛顿力学是相互矛盾的.当时的科学家就认为这个光传播的速度应该是相对于它的介质的，而不是绝对的.因此，科学家认为空间中布满了一种叫做“以太”的物质.以太对于光（电磁波），就如同水对于水波这般.1851年，菲索做了流水对光速影响的实验.1887年，迈克尔逊和莫雷在美国克利夫兰用迈克尔逊干涉仪测量两垂直光的光速的差值.结果均证明“以太不存在”.•狭义相对论1.狭义相对论的基本假设(1)相对性原理（伽利略变换）对于描述一切物理过程（包括物体位置变动、电磁以及原子过程）的规律，所有的惯性系都是等价的。
相对论动力学_狭义相对论习题课
单元20 相对论动力学一. 选择、填空题1. 观测者甲以c 54的速度(c 为真空中光速)相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一长度为L 、截面积为S ，质量为m 的棒，这根棒安放在运动方向上，则1) 甲测得此棒的密度为LSm =0ρ； 2）乙测得此棒的密度为LSm 925=ρ。
2. 匀质细棒静止时质量为m 0，长度l 0，当它沿棒长方向作高速匀速直线运动时，测得长为l ，那么棒的运动速度2)(1l l c v -=；该棒具有的动能200)1(c m l l E k -=。
3. 设电子静止质量为M e ，若将一个电子从静止加速到速率0.6c ( c 为真空中光速)，需做功241c M A e =。
4. 一静止质量为m 0，带电量为q 的粒子，其初速为零，在均匀电场E 中加速，在时刻t 时它所获得的速度是2202)(cm qEt qEct +。
如果不考虑相对论效应，它的速度是qEt m 。
经过时间t 加速后粒子的速度v 、质量220/1c v m m -=根据相对论动量定理：mv qEt =，220/1cv v m qEt -=求得速度大小：2202)(cm qEt qEct v +=如果不考虑相对论效应，v m qEt 0=，0m qEt v =二. 计算题1. 已知电子的静能为0.511 Mev ，若电子动能为0.25 Mev ，则它所增加的质量∆m 与静止质量m 0的比值近似等于多少电子的相对论能量：0E E E k +=，k E E E E =-=∆0k 2E mcE ==∆∆，2k cE m =∆，200E E cm E m m k k ==∆∆m 与静止质量m 0的比值:49.00=∆m m2. 某一宇宙射线中的介子的动能207c M E k =，其中M 0是介子的静止质量，试求在实验室中观察到它的寿命是它的固有寿命的多少倍。
因为k E mcE ==2∆∆，20207)(c m cm m =-，08m m =，代入m m =得到：22/11m m cv =-，8/1122=-cv ，代入22/1cv -=ττ, 得到：08ττ=3. 设快速运动的介子的能量约为MeV E 3000=，而这种介子在静止时的能量为MeV E 1000=，若这种介子的固有寿命是s 60102-⨯=τ，求它运动的距离(真空中光速s m c /109979.28⨯=)。
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F
ma
7
三、相对论动能
牛顿力学中：平动动能:
Ek
1 2
m v2
相对论力学：仍用力对粒子做功计算粒子动能的
增E量K，并0v用FE dKr表 示0粒v d子(dm速tv)率d为rv时0v的v动 d能(m，v)
v d(mv) mv dv v vdm mvdv v
2dm
v dv 1 d(v v) 1 dv2 vdv
6
二、狭义相对论力学的基本方程
在相对论力学中仍用动量变化率定义质点受到
的作用力，即：
F
dp
d (mv)
dt dt
m
m0
1 (v / c)2
注意：质量随速度变化。
F
dp
d (mv )
v
dm
m
dv
dt dt
dt dt
力与加速度方向 可以不同。
在经典力学中，人们认为质量是始终保持不
变的恒量。
3） v > c 时，无论m0是否为0，公式中出现虚数，m无 意义。再一次真空中的光速是物体运动的极限速度。
4）当 v c 时，若 m0≠0，则 m 无意义。
所以m0≠0的物体，其速率的最大值只能是接近c， 而不能等于c。
反之，如果物体的速度等于c，则这种物体的静止
质量只能为0，比如已经发现m0=0的粒子有光子、中
16
反应质量亏损 Δm0 (mD mT ) (mHe mn )
0.03111027 (kg)
释放能量 Ek m0c2 2.799 1012 J
1 kg 核燃料释放能量
ΔE 3.35 1014 (J/kg) mD mT
14
五、能量和动量的关系
E mc2 m0c2 1 v2 c2
p mv m0v 1 v2 c2
C
dt dt
m
经典力学中物体的质量与运动无关
v0
t 0 at
o
t
说明只要时间足够长， v 可超过光速。
这说明牛顿第二定律不满足狭义相对论的假设。 1
再比如动量守恒定律
设在S 系中沿 x 方向 m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
由伽里略速度变换
v v u
得 m1(v10 u) m2 (v20 u) m1(v1 u) m2 (v2 u)
(mc2 )2 (m0c2 )2 m2v2c2
E 2 E02 p2c2
E pc
E0 m0c2
极端相对论近似 E E0 , E pc
光子 m0 0, v c p E c mc
光的波粒二象性 E h , p h 普朗克常量
15
例： 设一质子以速度 v 0.80c 运动。 求其总
13
例：在一种热核反应中，各种粒子的静质量如下：
2 1
H
31H
4 2
He
1 0
n
求：反应释放的能量。
氘核
(
2 1
H)
氚核 (31H)
氦核 (42 He)
mD 3.3437 10 27 kg mT 5.0449 10 27 kg
mHe 6.6425 10 27 kg
中子
(
1 0
n)
mn 1.6750 10 27 kg
m
m0
2
1
v2 c2
2
m 2 1
v2 c2
m02
即：m2c2 m2v2 m02c2
8
m2c2 m2v2 m02c2
将 m2c2 m2v2 m02c2两边求微分:
2mc2dm 2mv2dm 2m2vdv 0
即：c2dm v2dm mvdv
EK
v vd(mv)
0
m c2dm
6.5 狭义相对论动力学
按照狭义相对论的相对性原理，一切物理规律
都应该在洛仑兹变换下保持各自的形式不变。一个 正确的力学定律也必须在洛仑兹变换下保持不变。
经典力学的规律在伽利略变换下保持不变，而 在洛仑兹变换下不能保持不变的形式。
牛顿定律与光速极限的矛盾
物F体在dp恒力d作(m用下) 的a运 动F
v
m0 ─ 粒子静止时的质量（静止质量）
式中v为粒子相对某一参照系的速率。
当 v c 时 m m0
4
明确几点:
m
m0
1）物体质量与速度有关，
1 (v / c)2
m(v) 在不同惯性系中大小不同。
v 0, m m 0 物体相对于惯性系静止时质量最小。 2）低速物体 v c ,m m 0 , 质量不变。
m0
mc 2 m0c2
相对论的动能公式： Ek mc 2 m0c2
m为相对论质量，m0为静止质量。
m
m0
,
1 (v / c)2
EK
m0 1 (v / c)2
c2
m0c2
当 v c 时,
Ek
1 2
m0 v 2
9
相对论的动能公式： Ek mc 2 m0c2
注意：相对论中的动能与牛顿力学中的动能 在形式上完全不同！
静止质量的减少叫质量亏损。
反应前： 核反应中：
静质量
m01
反应后： 静质量 m02
总动能EK1 总动能EK2
能量守恒： m01c2 EK1 m02c2 EK 2
因此：
EK 2 EK1 (m01 m02 )c2
总动能增量
总静止质量的减 小质量亏损
Ek m0c2
核反应中释放的能量相应于 一定的质量亏损。
3
一、相对论质速关系 在牛顿力学中，我们已经定义 pr mvv 为粒子
的动量。在相对论中保留物体的动量的定义，但应 放弃质量与速度无关的观念。
相对论力学：质量与速度有关。(否则动量守恒 定律不能在洛仑兹变换下保持形式不变)。
相对论质量： m m0 1 (v / c)2
质速关系
m ─ 粒子以速率v运动时的质量（运动质量）
四、静能、总能量和质能关系
将 EK mc 2 m0c2改写为：mc 2 m0c 2 Ek
E0 m0c2 为粒子静止时所具有的能量
E mc2 为粒子以速率v运动时的总能量
EK
E E0
物体作为一个整体作机械运动而具 有的能量（平动的能量）；
宏观静止物体的静能包括：物体内部各粒子的运动 及其相互作用的能量。
E (m)c2
相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理 论基础 , 这是一个具有划时代的意义的理论公式。 11
相对论质能关系
E mc 2 m0c2 Ek
静能 m0c2 ：物体静止时所具有的能量 .
电子的静质量
m0 0.9111030 kg
电子的静能 m0c2 8.19 1014 J 0.511MeV
能量、动能和动量。
解 质子的静能 E0 m0c2 938MeV
E mc2
m0c2 1 v2
c2
938 (1 0.82 )1 2
MeV
1563MeV
Ek E m0c2 625MeV p mv m0v 6.68 1019 kg m s1
1 v2 c2
也可如此计算
cp E2 (m0c2)2 1250MeV p 1250MeV c
微子等。
5
5）实验证明质速关系是正确的。
比如，测量电子质量的试验。
10 让电子在加速器中加速， 8
测电子的荷质比e/m发现该 6
值随速度增大而减小。
4
21
6）相对论的动量：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
P
mv
m0v
1 (v / c)2
此时，动量守恒定律在洛仑兹变换 下形式保持不变。
10
相对论质能关系：
E mc 2 m0c2 Ek
质能关系说明了质量和能量是统一的，不可分割。
对于孤立系统，总能量守恒和总质量守恒是统一的。
质能关系预言：物质的质量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是能量的一种储藏 。
物体在静止时仍有数量极大的能量，能量并不
短缺，短缺的是使物体释放能量的技术。
物体的总能量
若发生变化，必将伴
随相应的质量变化，反之亦然，即：
质子的静质量
m0 1.6731027 kg
质子的静能 m0c2 1.5031010 J 938MeV
1千克的物体所包含的静能 9 1016 J
1千克汽油的燃烧值为 4.6 107 焦耳。
12
对于孤立系统，总能量和总质量是守恒的。但
是系统的动能和静能可以相互转换。静能变了，则 静止质量发生相应的变化。
故
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
可见，在S'系中动量也守恒。 如果用洛仑兹变换
vx
vx 1
u
vxu c2
m1
v10 1
x u v10 xu
c2
m2
v20 1
x u v20 xu
c2
m1
v1x 1
u
v1x u c2
m2
v2x u
1
v2 x u c2
m1v10 x m2v20 x m1v1x m2v2 x S'系中动量不再守恒?！ 2
动量守恒定律和能量守恒定律应该是自然界的 普遍规律。
这就需要寻找一种与狭义相对论一致的新的动 力学规律，这种新的动力学规律应该满足：
（１）它们的定律表达式在洛仑兹变换下应保持不 变，从而能够正确地描述高速运动的规律；
（２）当速度 v << c 时，还要能够很自然地过渡到 经典力学；
（３）相对论中仍然要保留那些质量守恒、动量守 恒及能量守恒等具有普遍意义的基本思想。