考研数学高数1极限与函数

第一讲：极限与函数

数列极限：

数列极限的严格定义不需要掌握，但需要理解如下定理：

lim {}n n n x a x a →∞

=⇔-是无穷小量

数列极限的四则运算：

设lim n n x x →∞

=，lim n n y y →∞

=，则：

lim()n n n x y x y →∞

±=±、lim()n n n x y xy →∞

=、lim(

)(0)n n n x x

y y y

→∞

=≠ 推论：若lim 0n n x →∞

=，数列{}n y 有界，则lim 0n n n x y →∞

=

例：计算下列极限

n n n n n 323)1(lim ++-∞→ )12(lim --+∞

→n n n n

数列极限的性质

唯一性：如果数列{}n x 收敛，则其期限必唯一 有界性：如果数列{}n x 收敛，则该数列必定有界

保序性：设数列{}n x 、{}n y 均收敛，且当n 足够大时，有n n x y >，则必有lim lim n n n n x y →∞

→∞

≥

保序性的推论（保号性）：设数列{}n x 收敛，且当n 足够大时，有0n x >，则必有lim 0n n x →∞

≥

注意：1、后面的不等式并不是严格的不等号；2、保序性的逆命题不一定成立

思考：求如下几个数列的极限：1111{sin }{sin }{sin }n n n n n n

、

、

数列极限的三个常用定理：

数列与其子列的关系：

如果数列{}n x 收敛，则其任意子列均收敛，且收敛于同一极限lim n n x →∞

；

如果数列{}n x 中存在两个子列收敛于不同的极限，或是一个收敛一个发散到无穷大，则{}

n x

必发散。

例：计算(1)1lim[

]n

n n n

-→∞

+

夹逼准则：

如果当n 足够大时，数列{}n x 、{}n y 、{}n z 满足不等式n n n x y z ≤≤，且{}n x 、{}n z 收敛于同一极限，则{}n y 必收敛于该极限

例：计算下列极限

1、设0>>>c b a ，n

n n n n c b a x ++=，求22211

1lim (1)(2)n

n n n →∞

⎡

⎤

+++

⎢

⎥+⎣

⎦

2、2

lim n n →∞

⎛

⎫++

+ 3、22211

1lim (1)(2)n n n n →∞⎡⎤

+++

⎢

⎥+⎣

⎦

4、（思考）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++++++∞→2222221

211

1lim n n n n n （需要用定积分来求）

单调有界数列必收敛定理：

如果数列{}n x 单调递增且有上界，或是单调递减且有下界，则{}n x 必收敛。 例：

1、已知n n a a a 12,211+==+，且已知lim n n a →∞

存在，求该极限值。

2、设求,2,,22,2121-+=+==n n x x x x lim n n x →∞

函数极限：

函数极限的性质：

唯一性、局部有界性、局部保序性与数列极限类似，不再讲解 函数极限的四则运算（略） 例： 1、1

2

13lim

1

--+→x x x

2、设均不为零m n b a ,，设：

0111)(a x a x a x a x P n n n n ++++=-- ,0111)(b x b x b x b x Q m m m m ++++=--

则：

(i) ,()()lim

0,()()

,()n

n

n a m n b P x n m Q x n m →∞⎧=⎪⎪⎪

=<⎨⎪∞>⎪⎪⎩

（ii ）若0)(0≠x Q ，则)

()

()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =

→

函数极限与数列极限的关系：

康托定理：如果lim n n x a →∞

=，且lim ()x a

f x b →=，则：lim ()n n f x b →∞

=

注：该定理常用语判断极限不存在的情况

两个常用极限：0sin 1

lim 1

lim(1)x x x x

x x

→→∞=+=e

例：x

x x 20

)sin 31(lim -→

无穷小量：

设α、β均为无穷小量，则：

1、lim

0β

α=⇒β是α的高阶无穷小，记做()o βα= 2、lim β

α=∞⇒β是α的低阶无穷小，记做()o αβ=

3、lim 0c β

α

=≠⇒β与α是同阶无穷小；

特别地，当1c =时，称β与α是等价无穷小，记为αβ

4、lim 0k

c β

α=≠⇒β是α的k 阶无穷小