高中数学必背数学公式(学业水平考试)

老师寄语是花就要绽放，是树就要撑出绿荫，是水手就要搏击风浪，是雄鹰就要展翅飞翔. 很难说什么事情是难以办到的，昨天的梦想就是今天的希望和明天的辉煌. 我们要以坚定的信心托起昨天的梦想，以顽强的斗志，耕耘今天的希望，那我们一定能用我们的智慧和汗水书写明天的辉煌!高中学业水平考试复习必背数学公式必修一1.★元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作：a A ∈； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作：a A ∉. 2. ★集合的运算：{}AB x x A x B =∈∈且；{}A B x x A x B =∈∈或；{}UC A x x U x A =∈∉且.3. 子集的个数问题：若集合A 有n 个元素，则集合A 有2n 个子集，有21n -个真子集.4. ★函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数0≥；③对数真数0>5.★奇偶性（1）奇函数的定义:一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数 ()f x 叫奇函数.（2）偶函数的定义:一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数 ()f x 叫偶函数.（3）奇（偶）函数图像的特点：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y 对称. 6.★函数的单调性（1）增函数：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的 值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数， 区间D 称为函数()f x 的单调增区间.（2）减函数：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的 值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数， 区间D 称为函数()f x 的单调减区间. （3）一次函数()0y kx b k =+≠，当0k >时，y 随x 的增大而增大，当0k <时，y 随x 的增大而减小； （4）反比例函数()0ky k x=≠ ， 当0k >时，在每个区间内y 随x 的增大而增大，当0k <时，在每个区间内y 随x 的增大而减小；（5）二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大. 当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小. （6）指数函数(0,1)xy a a a =>≠当1a >时，y 随x 的增大而增大，当01a <<时，y 随x 的增大而减小. （7）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠当1a >时，y 随x 的增大而增大，当01a <<时，y 随x 的增大而减小.7. ★指数及指数函数 （1）根式与指数幂互化nm nma a =（)1,,,0*>∈>n N n m a ； pp a a 1=-（)0,0>>p a （2） 指数幂的运算性质（),,0,0R s r b a ∈>> ①rsr sa a a+⋅=；②()r srsa a =；③()(0,0,,)rr rab a b a b r s Q =>>∈（3） 函数()1,0≠>=a a a y x叫做指数函数，其中x 是自变量. （4） 指数函数的图像及其性质x a y =01a << 1a >图 象性 质定义域 R值域 ()+∞,0定点过定点()1,0函数值的变化 当0x >时，()1,0∈y ； 当0x <时，()+∞∈,1y ． 当0x >时，()+∞∈,1y ； 当0x <时，()1,0∈y ． 单调性 在R 上是减函数在R 上是增函数对称性x y a =和x y a -=关于y 轴对称8. （1）对数与指数之间的互化：N x N a a xlog =⇔=(01)a a >≠且.（2） 对数log a N (01)a a >≠且的简单性质:01log =a ；1log =a a ； （3） 以10为底的对数叫做常用对数；记作lg ；以e （71828,2≈e ）为底的对数叫做自然对数 ；记作ln ； （4）★★对数的运算性质：0,0,1,0>>≠>N M a a ①N M MN a a a log log log +=； ②N M NMa a alog log log -=；③)(log log R n M n M a n a ∈=. （5）函数()1,0log ≠>=a a x y a 叫做对数函数，其中x 是自变量.（6） 对数函数的图像及其性质x y a log =01a << 1a >图 象性 质定义域 ()+∞,0值域 R定点 过定点()0,1函数值的变化 当1x >时，()0,∞-∈y ； 当01x <<时，()+∞∈,0y ． 当1x >时，()+∞∈,0y ； 当01x <<时，()0,∞-∈y ． 单调性 在R 上是减函数在R 上是增函数对称性log a y x =和1log ay x =关于x 轴对称9．幂函数：函数αx y =叫做幂函数（只考虑21,1,3,2,1-=α的图象）. 10.★函数的零点（1） 对于函数)(x f y =，把使0)(=x f 的实数x 的值叫做函数)(x f y =的零点.（2）方程0)(=x f 的根⇔函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标⇔函数)(x f y =的零点.（3）零点存在性定理：若连续函数()f x 在区间(,)a b 上满足()()0f a f b <，则函数()f x 在(,)a b 上至少有一个 零点.必修二1.3214=,==;=433V Sh V Sh V R S R ππ柱体椎体球球；2.★★线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一．条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号语言：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭3.★★线面垂直的判定定理：一条直线与平面内的两．条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直. 符号语言：,,l a l b a b l a b P ααα⊥⊥⎫⎪⊂⊂⇒⊥⎬⎪=⎭4.★异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角.★直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角.（如右图）αb aαabP lθαPHl5.两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=6.直线方程的五种形式及适用范围（1）一般式:0Ax By C ++= (A 、B 不同时为0),对坐标平面内的任何直线都适用； （2）点斜式:()00y y k x x -=-,不能表示无斜率（垂直于x 轴）的直线； （3）斜截式:y kx b =+不能表示无斜率（垂直于x 轴）的直线； （4）两点式121y y y y --=121x x x x --不能表示平行或重合于两坐标轴的直线；（5）截距式a x +by=1不能表示平行或重合于两坐标轴的直线及过原点的直线. 6.★★两直线平行与垂直的判定7.两条直线的交点：0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解.8.★距离公式：（1）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则 ||AB（2）点到直线距离公式： ()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA CBy Ax d +++=9.★圆的方程：标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；一般方程220x y Dx Ey F ++++=，22(40)D E F +->10.★线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离 为22B A C Bb Aa d +++=，d r l C >⇔与相离； d r l C =⇔与相切； d r l C <⇔与相交.必修三1.★★分层抽样：一般地，若从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则抽样比为nNλ=，若第i 层含有的 个体数为i N 个，则第i 层抽取的入样个体数为i i i nn N N Nλ==⋅． 2.★★频率分布直方图： =频率小矩形面积（注意：不是小矩形的高度） 计算公式： =频数频率样本容量；=⨯频数样本容量频率；==⨯频率频率小矩形面积组距组距；各组频数之和=样本容量；各组频率之和=1 3.茎叶图：茎表示高位，叶表示低位. 4.★古典概型的概率公式：()A m P A n==事件包含的基本事件个数实验中基本事件的总数5.★几何概型的概率公式：()A P A =事件构成的区域的长度（面积或体积）实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）必修四1.弧度：lrα=，l 为α所对的弧长，r 为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负. 2.弧度制与角度制的互化：0180=π，01801⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad ,rad 18010π=.3. 三角函数的定义： 设角α是一个任意角，(),P x y 是终边上的任意一点，点P 与原点的距离r = 那么sin y r α=；cos x r α=；tan yxα=. 4.★同角三角函数的基本关系：平方关系：22sin cos 1αα+=；商数关系：sin tan cos ααα=. 5. 三角函数诱导公式：()2kk z απ+∈与α之间函数值的关系，主要有：公式一：sin(2)k απ+⋅=sin α； 公式二：sin()πα+=sin α-； cos(2)k απ+⋅=cos α； cos()πα+=cos α-； tan(2)k απ+⋅=tan α. tan()πα+=tan α. 公式三：sin()α-=sin α-； 公式四：sin()πα-=sin α； cos()α-=cos α； cos()πα-=cos α-； tan()α-=tan α-. tan()πα-=tan α-. 公式五：sin()2πα-=cos α； 公式六：sin()2πα+=cos α；cos()2πα-=sin α. cos()2πα+=sin α-. 其规律（口诀）是“ 奇变偶不变，符号看象限”.6.★三角和差公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.7.★三角二倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-.8.★ 三角降幂公式：22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=. 9.正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．既无最大值，也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性()sin sin x x -=-,奇函数 ()cos cos x x -=偶函数 ()tan tan x x -=-奇函数单调性()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数． (),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ 对称轴()x k k Z π=∈，既是中心对称又是轴对称图形对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形10.★★()(0;0)y Asin x A ωϕω=+>>的最大值为A ，最小值为A -，最小正周期为T ω=，由(0,0)y Asin x A ωω=>>向左平移ϕω个单位可得到()(0,0)y Asin x A ωϕω=+>>. 11.向量的模：线段AB 的长度叫向量AB 的长度，记为|AB |或|a |； （1）若 (,)a x y =，则 |a |22x y =+（2）若1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--， |AB |222121()()x x y y =-+-12.向量的线性运算： 运 算图形语言运算性质 坐标语言加法（平行四边形法则） （三角形法则）AB BC AC += a b b a+=+ )()(c b a c b a ++=++1122(,),(,)a x y b x y == 1212(,)a b x x y y +=++减法（三角形法则）“指向被减向量”AB AC CBAB CB AC-=-=)(b a b a-+=-1122(,),(,)a x y b x y == 1212(,)a b x x y y -=--数乘 向量a a)()(λμμλ=a a aμλμλ+=+)( b a b aλλλ+=+)((,)(,)a x y a x y λλλ==数量积★cos a b a b θ⋅=⋅⋅cos a b a b θ⋅=⋅⋅a b b a ⋅=⋅; ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅1122(,),(,)a x y b x y ==★1212a b x x y y ⋅=+13.★★向量的平行与垂直的判定 (1) 向量共线定理①a ∥b（a ≠0 ）⇔存在惟一的实数使得b a λ=；②若),,(),,(2211y x b y x a == 则a ∥b ⇔1221y x y x =（a可以为0 ）.（2）两个向量垂直的充要条件 ①a b ⊥⇔0a b ⋅=；②设1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b ⊥⇔12120x x y y +=.必修五1.★正弦定理：在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角,,A B C 的对边，则有:2sin sin sin a b cR A B C===．（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径） 2.★余弦定理：在ABC ∆中，有①2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-．②222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-=．3.三角形面积公式：111sin sin sin 222ABC S bc A ab C ac B ∆===． 4.★等差数列(1) 定义：d a a n n =-+1（d 为常数）； (2)通项公式：d n a a n )1(1-+=；(3)等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2b a A +=；(4)性质：若()*,,,m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+； (5)求和公式： 1()2n n n a a S += 或1(1)2n n n S na d -=+. 5.★等比数列 (1) 定义：q a a nn =+1（q 为常数）； (2)通项公式：11-=n n q a a ；(3)等比中项：若,,a G b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，且ab G ±=； (4)性质：若()*,,,m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a ⋅=⋅；(5)等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a qq a q na S n n n且. 6. ★数列{}n a 的前n 项和n S 与项n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n nn .7. y kx b <+表示直线y kx b =+下方区域；y kx b >+表示直线y kx b =+上方区域. 8.★基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥a b =时取到等号.。