2018版高中数学(人教A版)必修3同步教师用书： 第3章 3.2.1 古典概型

3.2古典概型3.2.1古典概型1．了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件．(易错易混点) 2．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．(难点)3．会用列举法求古典概型的概率．(重点)[基础·初探]教材整理1基本事件的特点阅读教材P125例1以上的部分，完成下列问题．1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】基本事件有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个．【答案】 C教材整理2古典概型阅读教材P126～P127“探究”以上的部分，完成下列问题．1．古典概型的特点如果某类概率模型具有以下两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的概率公式对于任何事件A，P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型．()(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．()(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．()(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是1n.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.16 B.12C.13 D.23【解析】基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P＝26＝13.【答案】 C3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本，3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．【解析】从中随机抽出一本书共有10种取法，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为3 10.【答案】310[小组合作型]基本事件和古典概型的判断(1)抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是()A．向上的点数是奇数B．向上的点数是3C．向上的点数是4D．向上的点数是6(2)下列是古典概型的是()A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止【精彩点拨】结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型要两个特征——有限性和等可能性．【尝试解答】(1)向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件．故选A.(2)A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D 项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．【答案】(1)A(2)C1．基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生．2．判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．[再练一题]1．下列试验是古典概型的为________.①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．【解析】①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．【答案】①②④基本事件的计数问题有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“朝下点数之和大于3”；(3)事件“朝下点数相等”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．【精彩点拨】根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可．【尝试解答】(1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)．1．在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写．2．确定基本事件是否与顺序有关．3．写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法．[再练一题]2．连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．(1)写出这个试验的所有基本事件；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？【解】(1)这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．简单的古典概型的概率计算袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3)求至少摸出1个黑球的概率．【精彩点拨】(1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．【尝试解答】(1)用树状图表示所有的结果为：所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，所以P(A)＝610＝0.6，即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，所以P(B)＝710＝0.7，即至少摸出1个黑球的概率为0.7.1．求古典概型概率的计算步骤(1)确定基本事件的总数n；(2)确定事件A包含的基本事件的个数m；(3)计算事件A的概率P(A)＝m n.2．解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．[再练一题]3．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球．【解】每个基本事件为(x，y，z)，其中x，y，z分别取红、白球，故基本事件个数n＝8个．全集I＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}．(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”．∵A中含有基本事件个数为m＝6，∴P(A)＝mn＝68＝0.75.(2)记事件B为“三次颜色全相同”．∵B中含基本事件个数为m＝2，∴P(B)＝mn＝28＝0.25.(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．∵C中含有基本事件个数为m＝4，∴P(C)＝48＝0.5.[探究共研型]基本事件的特征探究1【提示】基本事件是试验的最基本结果，这些基本结果不能用其他结果加以描述．在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生，因而基本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述．探究2基本事件的表示方法有哪些？【提示】写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏．古典概型的特征探究3古典概型有何特点？何为非古典概型？【提示】一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：(1)基本事件个数有限，但非等可能；(2)基本事件个数无限，但等可能；(3)基本事件个数无限，也不等可能．探究4举例说明古典概型的概率与模型选择无关？【提示】以“甲、乙、丙三位同学站成一排，计算甲站在中间的概率”为例，若从三个同学的站位顺序来看，则共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，其中“甲站在中间”包含“乙甲丙”、“丙甲乙”两个基本事件，因此所求事件的概率为P＝26＝13；若仅从甲的站位来看，则只有“甲站1号位”、“甲站2号位”、“甲站3号位”三种结果，其中“甲站在中间”只有“甲站2号位”这一种情况，因此所求概率为P＝13.先后抛掷两枚大小相同的骰子．(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．【精彩点拨】明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况．【尝试解答】如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4，3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝636＝16.(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝1 36.(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝1236＝13.1．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数．2．数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．[再练一题]4．抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．【解】如图，基本事件共有36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P (A )＝14.(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P (B )＝59.1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x ，y )表示结果，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的基本事件数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 事件A 包含的基本事件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)． 【答案】 D2．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n . A ．②④B ．①③④C ．①④D ．③④【解析】 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确．【答案】 B3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( ) A.12B.13C.23 D ．1【解析】 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝23.【答案】 C4．在1,3,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客等候1路或3路公共汽车，假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等，则首先到站的正好是这位乘客所要乘的公共汽车的概率是________．【解析】∵4种公共汽车先到站有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，∴P＝24＝12.【答案】1 25．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．【解】随机选取两个小球，记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)共18种．(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，共有可能结果90种．因此，事件A的概率是1890＝945＝15.(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y 有10种可能，共有可能结果100种．因此，事件A的概率是18100＝950.学业分层测评(十八)古典概型(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列试验中，属于古典概型的是()A．种下一粒种子，观察它是否发芽B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶【解析】依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．【答案】 C2．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.23 B.12C.13 D.16【解析】从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为26＝13.故选C.【答案】 C3．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()A.14 B.13C.12 D.25【解析】从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝1 4.【答案】 A4．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为()A.23B.35C.37D.25【解析】 A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,9}，A ∩B ＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是37.【答案】 C5．若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝9内的概率为( )A.536B.29C.16D.19【解析】 掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x 2＋y 2＝9内的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，故所求概率P ＝436＝19.【答案】 D二、填空题6．一只蚂蚁在如图3-2-1所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．图3-2-1【解析】 该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13.【答案】 137．在平面直角坐标系中，从五个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．【解析】 从五个点中任取三个点，构成基本事件的总数为n ＝10；而A ，C ，E 三点共线，B ，C ，D 三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8.设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A ，则A 所包含的基本事件数为m ＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P (A )＝m n ＝810＝45.【答案】 458．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________.【解析】 基本事件共有(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5，2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7，2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)10种情况．相差0.3 m 的共有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)两种情况，所以P ＝210＝15.【答案】 15三、解答题9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．【解】 设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A)＝7 16.(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．则中奖概率为P(B)＝7＋2＋116＝58.[能力提升]1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A.49 B.13C.29 D.19【解析】个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)，符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)，符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝545＝19.【答案】 D2．从含有3件正品、1件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是________．【解析】从4件产品中不放回地任取两件，共有6个基本事件，事件“取出的两件中恰有一件次品”的基本事件有3个，故概率为1 2.【答案】1 23．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲 社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．【解】 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.铁丝围栏的那一边，几头牛正享受着午后的阳光。