常微分方程--第六章 (6.4节)
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6-4 二阶常系数非齐次线性微分方程
代入原方程 , 得 Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( 2 p q ) Q ( x ) Pm ( x ) (1) 若 不是特征方程的根, 即 2 p q 0, 则取 y p y q y f ( x ) Q (x )x 为 m 次待定系数多项式 Qm ( x 2 ), 从而得到特解 e [ Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( p q ) Q ( x ) ] x x 形式为 y * e Q e P (x ) ( x) ,
2 二阶常系数非齐次微分方程
定义
f ( x ) e x Pm ( x )
小结 作业
第六章 常微分方程
1
二阶常系数非齐次微分方程
d y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx 二阶线性微分方程
2
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时， 二阶线性非齐次微分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f ( x ) ( p, q 为常数) 对应齐次方程 y py qy 0,
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y
①
y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 ,给出特解 y *的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
(3) 若 是特征方程的重根 ,即
Q( x ) Q( x )
2 p q 0, 2 p 0 ,
则 Q( x ) 是 m 次多项式,故特解形式为 y* x 2Qm ( x )e x
《高等数学》课件第6章 常微分方程
将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx
第六章常微分方程
第六章 常微分方程一 基本概念定义1 微分方程： 含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程． 定义2 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程． 一般形式：()(,,,,)0n F x y y y '= ；标准形式：()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 定义3 方程的阶： 微分方程中的导数或微分的最高阶称为方程的阶。
定义4 方程的解 函数()y f x =满足微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= ，则称()y f x =是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 的解．方程解分为显示解和隐示解．定义5 通解： 含有任意常数，任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为方程的通解． 定义6 特解：满足某个初始条件的解称为方程的特解．二 基本方法1．变量可分离的方程 （1）d ()()d y p x q y x=，分离变量；则有d ()d ()y p x x q y =，两边积分d ()d ()y p x x q y =⎰⎰．（2）1212()()d ()()d 0M x M y x N x N y y +=， 分离变量；则有 2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-，两边积分2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-⎰⎰2．齐次方程d d y y x x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 基本解法：令y u x =，则y ux =，两边对变量x 求导，d d d d y ux u x x=+，于是有 d ()d uu x u xϕ=+，从而化为变量分离方程为d d ()ux u uxϕ=-．3．一阶线性非齐次方程 ()()y p x y q x '+=公式解：()d ()d e [()e d ]p x x p x xy q x x C -⎰⎰=+⎰4．伯努利方程 ()()ny p x y q x y '+=， 基本解法：令1nz y-=，则有(1)()(1)()z n p x z n q x '+-=-，从而方程化为一阶线性非齐次方程，所以该方程解为(1)()d (1)()d 1e [(1)()e d ]n p x x n p x xnyn q x x C ----⎰⎰=-+⎰5．全微分方程若方程(,)d (,)d 0M x y x N x y y +=满足M N yx∂∂=∂∂，则称该方程为全微分方程．解法1 特殊路径积分解法0(,)d (,)d x y x y M x y x N x y y C +=⎰⎰其中点00(,)x y 一般可以任意选取，只要有利于积分，通常情况下，选取00(,)x y 为(0,0)．解法2 凑微分（分组凑微分）(,)d (,)d d (,)M x y x N x y y u x y +=则方程的通解是(,)u x y C =．注1 凑微分方法对某些全微分方程是非常好用的，但对一些方程是不适用的。
《常微分方程》第六章 非线性微分方程
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
(6.2)
表示 V (x) 沿系统(6.2)的轨线
的全导数
dV (1) 若 dt (6.2)
dV (2) 若 dt (6.2)
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的; 在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的;
例如, 微分方程 dx ax
dt
满足初值条件 x(t0 ) x0 ,
(a)
(b)
又知,对任意常数,函数x cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
的解为
x x0ea(tt0 ) .
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x x H Rn,V C(1) (D).
常微分方程数值解法_OK
y(xi )
O(h3)][yi
hf
(xi ,
yi )]
h2 2
y(xi ) O(h3 )
O(h2 )
欧拉法具有 1 阶精度。4
2. 隐式 Euler法
用向后差商公式代替导数项
y(xi1 ) h
y(xi )
y' (xi1 )
h 2
y' ' ( i
)
y(xi1 ) h
y(xi )
f (xi1, y(xi1 ))
i1 y(xi1 ) yi1 O(h3f)x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K2 f (xi ph, yi phK1)
f (xi , yi ) phfx (xi , yi ) phK1 f y (xi , yi ) O(h2 ) y(xi ) phy(xi ) O(h 2 )
f
(
xi
1
,
y(
xi
1
))]
h3 12
f
''( )
所以，有格式为：
yi1
yi
h[ f 2
(xi , yi )
f
(xi1, yi1 )]
上式称为梯形格式。
类似，可以算出梯形格式的误差估计式：
i1 O(h3 )
2阶的方法
梯形法是二阶、隐式单步的方法，要用迭代法求解。怎么求？
8
改进欧拉格式 /* modified Euler’s Formula */
xi1, yi h f ( xi , yi )
(i 0, ..., n 1)
哈尔滨工程大学工程算法课件06常微分方程的数值求解
欧拉法得： yn 1 yn hf xn , yn 因此，局部截断误差是 o h 2 。
19
2 改进Euler法
2.1方法构造
dy f x, y ，对其从 xk 到 xk 1 进 在微分方程初值问题 dx 行定积分得：
y xk 1 y xk
yk 1 是未知,待求的,未知量在 f x, y 中这是
一个方程,如f是非线性或超越函数,此方程是无法直接解出来(要 依靠迭代法才能解出)。这类格式称为隐式格式。
21
2.3 算例
y y x 例：用改进欧拉公式求解 , h 0.2 y 0 2 解： f x, y y x h yk 1 yk f xk , yk f xk 1 , yk 1 2 h h 1 2 y 2 x x y k 1 k 1 h k h k 1 1 2 2 可以从隐式格式中解出 yk 1 问题的精确解是 y x e x x 1
16
精确解为： y x 2 x
2
可以看出误差随着计算在积累。
17
1.4 Euler法的特点和误差
迭代格式 特点
1 单步方法：
yn 1 yn hf xn , yn n 0,1, 2,, N 1
2 显示格式： 3 局部截断误差为O h2
18
第六章 常微分方程数值解
§6.0 引言
§6.1 欧拉方法 §6.2 龙格-库塔方法
§6.3 单步法的收敛性和稳定性
§6.4 线性多步法
1
§6.0 引言
1 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题 的求解：
dy f x, y dx y x0 y0
第六章常微分方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ③ 2 + 2 + 2 =0 ∂x ∂y ∂z
中 ①、② 是常微分方程， 是常微分方程， ③ 是偏微分方程。 是偏微分方程。
本章主要研究常微分方程。 本章主要研究常微分方程。 微分方程中所含未知函数的导数(或微分 或微分)的最高阶数 定义 微分方程中所含未知函数的导数 或微分 的最高阶数 称为微分方程的阶 称为微分方程的阶。 例如 d 2 y dy ① 2 + − 2 y = tan x 是 2 阶微分方程； 阶微分方程； dx dx ②( dx 2 dx ) + t + x = 0 是 1 阶微分方程。 阶微分方程。 dt dt
第六章 微分方程
本章要点 微分方程的定义 ， 阶数，解 微分方程求解 可分离变量的微分方程、一阶线性非齐次、 二阶常系数线性齐次与非齐次
基本知识 §6.1 微分方程的基本概念 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微 定义 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数 或微 的函数方程称为微分方程 分)的函数方程称为微分方程。 的函数方程称为微分方程。 常微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程； 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程 偏微分方程。 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程。 例如： 例如：下列微分方程 d 2 y dy dx 2 dx ① 2 + − 2 y = tan x ②( ) + t + x = 0 dx dx dt dt
n阶常微分方程的一般形式为： 阶常微分方程的一般形式为： 阶常微分方程的一般形式为
பைடு நூலகம்
dy dn y F(x, y, ,L, n ) = 0 dx dx
常微分方程-习题作业-第六章第四节作业及详细解答
dv dt
=
√ − 2u − v,
由此不难画出变换后的系统在 uv 平面上的相图. 由此可画出原系统在 xy 平面上的相图. (4) 容易求得平衡点为 (−1, −1). 引进平移变换 u = x + 1, v = y + 1 可将系统化为
du dt
=
5u + 3v,
dv dt
=
−3u − 5v.
其系数矩阵的特征值为λ1 = 4, λ2 = −4, 是一对相异实根, 符号相反, 因此平衡点 (−1, −1) 为原系统的鞍点, 不稳定. 它有两个特殊方向, 容易求得对应于 λ1 的特征向量 ξ1 = (3, −1)T , 对应于 λ2 的特征向量 ξ2 = (1, −3)T , 相应于 ξ1 的直线上面的轨道都是继续沿着 它背离平衡点, 相应于 ξ2 的直线上面的轨道都是继续沿着它趋向平衡点, 由此可画出原系 统在 xy 平面上的相图.
5. 引入极坐标并画出下面系统的相图：
dx dt
=
x(x2
+
y2
−
1),
dy dt
=
y(x2
+ y2 − 1).
解: 令 x = r cos θ, y = r sin θ, 原系统化成:
dr dt=r来自r2− 1),dθ dt
=
0.
易知它有特解 (r(t), θ(t)) ≡ (0, t0) 及 (r(t), θ(t)) ≡ (1, t0), 其中 t0 为任意常数. 它们都对应 着原系统的奇点. 因此原系统有奇点 (0, 0) 及奇线 x2 + y2 = 1. 容易由极坐标方程看出除奇 点及奇线外该方程组的轨线族为相平面上的一族射线 θ(t) = t0, 在奇线 x2 + y2 = 1 内部, 它趋于奇点, 在奇线 x2 + y2 = 1 外部, 它远离奇线 x2 + y2 = 1. 故原点是稳定的星形结点.
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存在唯一性条件。 为了研究系统（6.4.1）的轨线的定性性态，
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必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如
上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，
不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系 统的某一解 x x(t ) ，y y (t ) 满足：
lim x(t ) x0 , lim y (t ) y0 ,
容易求出其通解为
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(6.4.12)
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x(t ) c1e , y(t ) c2e .
其中
t
t
（6.4.13）
c1 , c2是任意常数， c1 c2 0 对应于零解，
c1 0, c2 0 对应的 Y 轴正负半轴都是轨线； c1 0, c2 0 对应的 X 轴正负半轴是轨线；
当
c1 , c2 0 时候，再分两种情况讨论：
, 同号且均为负数 ( p 0) （1），
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这时消去
t得
y cx
（6.4.14）
所以轨线均为以 (0, 0) 顶点的抛物线，且 当
t 时由
dy c 2 ( )t e dx c1
t t
则点 ( x0 , y0 ) 一定是系统的奇点。
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一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较 复杂的。又因为对于系统的任何奇点 P 0 ( x0 , y0 ) 均 可用变换
x x x0 y y y0
把（6.4.1）变为：
x
(6.4.2)
2
则特征方程为 2 p q 0 ，特征根为
p 2
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(6.4.11)
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由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:
1. 特征根为不相等的同号实根 ( 0, q 0)
此时对应的标准型为
dx x dt dy y dt
A
的特征根的不同情况而具有以下几种形式：
0 0
0 1
因而对系统（6.4.5）作变换 X TY 即
Y T X ，其中
1
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x X y
Y
考虑到一般的平面线性系统
dx ax by dt dy cx dy dt
（6.4.5）
a b 其中系数矩阵 A 为常数矩阵 。 c d
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如果 det A ad bc 0 ，则 O (0, 0) 是系统
因此，我们可假设 O (0, 0) 是(6.4.1)的奇点，且
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只须讨论(6.4.1)的奇点 O (0, 0) 及其邻域的轨线 性态即可。所以设(6.4.1)中的右端函数满足：
f (0,0) g (0,0) 0
如果 f ( x, y), g ( x, y ) 均是
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dx f ( x x0 , y y0 ) P ( x, y ) dt dy g ( x x , y y ) Q( x, y ) 0 0 dt
(6.4.3)
且(6.4.3)的奇点 O (0, 0) 即对应于(6.4.1)的 奇点 P 0 ( x0 , y0 ) 。又因为变换(6.4.2)只是一个平 移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。
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初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。
例6.4.1 用Maple描出系统
dx x dt dy 2 y dt 在奇点附近轨线的相图。
解 用Maple解得相图6.4。
(6.4.6)
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6.4.2 平面线性系统的初等奇点
数。我们称之为线性系统，即 dx ax by dt dy cx dy dt
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(6.4.4)
x, y
的线形函
(6.4.5)
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6.4.1 几个线性系统的计算机相图
一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻
域轨线的性态有很大的帮助。Maple可以方便地 画出其图形，给我们一个直观的形象。 Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软 件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定
§6.4平面线性系统的奇点及相图
6.4.1 几个线性系统的计算机相图
6.4.2 平面线性系统的初始奇点
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本节我们仍考虑被称为平面系统的二维自治系统
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
(6.4.1)
2 g ( x , y ) f ( x , y ) 其中 ， 在上 R 连续且满足解的
的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点. 而 det A 0
则称O(0,0)非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线，
这时的奇点称为系统的高阶奇点。 下边讨论系统（6.4.5）的初等奇点。 根据线性代数的理论，必定存在非奇异 实矩阵 T ，使得 T 1 AT 成为
A
的若当
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（Jorda21 t22
是上边所说的实可逆矩阵，则系统 (6.4.5)变为:
dY T 1 ATY dt
从
1
(6.4.10)
T AT 而变换的几种形式就能容易的得出
( , ) 平面系统（6.4.10）的轨线结构，至于
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原方程组(6.4.5)的奇点及附近的轨线结构只须
用变换 X TY 返回到就行了。
由于变换 X TY 不改变奇点的位置与类
型 ，因此我们只对线性系统的标准方程组给出 讨论。
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设
A
的特征方程为：
ab 2 (a d ) ad bc 0 c d
记 p (a d ), q ad bc, p 4q