高数第6章 常微分方程

S(t) 2t2 5t
二、微分方程的定义
含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程. 如果微分方程中未知函数只含有一个自变量，则此微分方 程称为常微分方程；如果未知函数中含有两个或两个以上 自变量，则此微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微 分方程，简称微分方程.
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为 微 分 方 程 的 阶 . 例 如 ， ysin x xy 是 一 阶 微 分 方 程 ； xy cos x ey 是二阶微分方程； ysin x yex 1 是三阶微分 方程.
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立 的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称为微 分方程的通解.在通解中，若使任意常数取某一定值， 或由附加条件求出任意常数的值后得到的微分方程的 解称为特解.用来确定通解中任意常数的附加条件，称 为初始条件.
例如，引例 1 中，y x2 C 是y 2x 的通解，过点 （1，3）是初始条件， y x 2 是特解；引例 2 中， S (t) 2t2 C1t C2 是 S(t) 4 的通解，S (0) 0, S(0) 5 是初
两边积分，得 ln y ln x C1
化简得 y eC1 x ， 即 y eC1 x 令 C eC1 ， 则 y Cx
另外，可以看出 y 0也是方程的解，因此，原方程的通 解为
y Cx 。
说明：凡遇到积分后有对数的情形，都应做类似于上 述的讨论，因其比较烦琐，而且一般情况下，最后得到的 函数形式确是微分方程的通解。为方便起见，今后遇到这 种情形可做如下简化处理.以例 2 为例，示范如下：

(1
x)dx
即
arctan y 1 (1 x)2 C 2
所以，微分方程的通解为
arctan
y

1 2
(1
x)2

C
.
例
4
求微分方程
dy dx

x(1 y2 ) (1 x2 ) y
满足初始条件
y 1 x0
的特解 .
解 将方程分离变量然后两边积分，得

y 1 y2
dy


x 1 x2
dx
，
即
1 ln(1 y2 ) 1 ln(1 x2 ) 1 ln C
2
2
2
化简，得通解 1 y2 C(1 x2 )
将 y 1代入，得 C 2 ， 故所求特解为 x0 y2 2x2 1
第三节 一阶线性微分方程
重点与难点： 一阶线性微分方程的概念； 用公式或常数变易法解方程。
三、微分方程的解
研究微分方程的主要问题是求出其中的未知函数.如 果把一个函数代入微分方程中，能使其变为恒等式，这个 函数就称为微分方程的解.求微分方程的解的过程，叫做解 微分方程.
例如，y ex 是方程 y y 的解；y sin x 是方程y y 0 的解；y C1 cos x C2 sin x （C1,C2 是任意常数）也是 y y 0 的 解.
始条件， S(t) 2t2 5t 是特解.
第二节 可分离变量的微分方程
重点与难点： 用分离变量法求微分方程的解。
定义：
形如
dy f (x)g( y) dx
(1)
的微分方程叫做可分离变量的微分方程.其中 f (x), g( y)
在某个范围内为连续函数，且 g(y) 0
可分离变量的微分方程的求解步骤如下：
（1） 分离变量
dy f (x)dx g( y)
（2） 两边积分

dy g( y)


f
(x)dx
即得通解： G( y) F (x) C .
其中
G
(
y
),
பைடு நூலகம்
F
(
x)
分别是
1 g( y)
,
f
(x)
的原函数，C
为任意常数.
（3） 若需要求特解 ，则由初始条件确定出任意常数C .
这种通过分离变量来求解的方法，叫做分离变量法.
解 由导数的物理意义知：
S ( t ) 4 ,
(1)
同时 S(t) 还应满足条件：
S (0) 0, S(0) 5
(2)
将（1）式两边积分，得
S(t) 4t C1
(3)
再将（3）式两边积分，得 S (t) 2t2 C1t C2 .
将条件（2）分别代入（3）、（4）， 得 C1 5, C2 0 ， 于是，物体的运动方程为
y 2xdx x2 C
(3)
其中，C 是任意常数. 将（2）代入（3）式，得 3 1 C , 即 C 2
故所求曲线的方程： y x 2 .
例 2 一物体以等加速度 4 作直线运动，已知 v(0) 5, S (0) 0 ，求物体的运动方程 S S (t)
例 1 一条曲线过点 (1,3) ，且在这曲线上任一 点 P(x, y) 处的切线的斜率等于这点横坐标的二倍，求 这曲线的方程.
解 有
设所求的方程为 y=f(x),根据导数的几何意义，
dy dx

2x
，或
dy

2 xdx
（1）
由于曲线过点 (1,3) ，因此有
y(1) 3
(2)
将（1）式两边积分，得
例1
求微分方程
dy y2 sin x 0 dx
的通解.
解
分离变量，得

1 y2
dy

sin
xdx
1
两边积分 y2 dy sin xdx
得通解 即
1 y


cos
x

C
，
y

C

1 cos
x
.
例 2 求微分方程 dy y 的通解.
dx x
解 分离变量，得
dy 1 dx yx
解 分离变量，得
dy 1 dx yx
两边积分，得 ln y ln x ln C
化简，得
y Cx
即为原方程的通解.
例 3 求微分方程 dy (1 x y2 xy2)dx 的通解 .
解 原方程即 dy (1 x)(1 y2 )dx ，
分离变量然后两边积分，得
dy
1 y2
第六章 微分方程
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
基本概念 可分离变量的微分方程 一阶线性微分方程 二阶常系数线性齐次微分方程 二阶常系数线性非齐次微分方程
第一节 微分方程的基本概念
主要内容：
一、引例 二、微分方程的定义 三、微分方程的解
重点与难点：
微分方程的概念； 微分方程解的概念。
一、引例