第6章 常微分方程.ppt
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《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
第6章常微分方程初值问题的解法
yk 1ykh 2 k[f(xk,yk)f(xk 1,yk 1)]
ykh 2 k[ (ykx k 1 ) ( yk 1x k 1 1 )]
yk11 29 1yk1k05110
预估－校正Euler方法：
y k 1 0 .90 y k 5 0 .00 k 9 0 .1 5
20
Euler方法
xk
yk
yk y(xk)
0.0 1.000000
0.0
梯形方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0
续
预估－校正方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0
0.1 1.000000 0.2 1.010000
4.8×10－3 8.7×10－3
1.004762 1.018594
y(0) 1
其解析解为： y1xe-t2dt x[0,1] 0 很难得到其解析解
4
例如：
y=x+y , x[0,1]
y(0) 1
其解析解为 yx12ex
只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式 表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。
因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如：
y=x+y , x[0,1]
y(0) 1
其解析解为：yx12ex
3
但是, 只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析 表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解 析解。
因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如：
y =e-x2 ,
x[0,1]
7.5×10－5 1.4×10－4
ykh 2 k[ (ykx k 1 ) ( yk 1x k 1 1 )]
yk11 29 1yk1k05110
预估－校正Euler方法：
y k 1 0 .90 y k 5 0 .00 k 9 0 .1 5
20
Euler方法
xk
yk
yk y(xk)
0.0 1.000000
0.0
梯形方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0
续
预估－校正方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0
0.1 1.000000 0.2 1.010000
4.8×10－3 8.7×10－3
1.004762 1.018594
y(0) 1
其解析解为： y1xe-t2dt x[0,1] 0 很难得到其解析解
4
例如：
y=x+y , x[0,1]
y(0) 1
其解析解为 yx12ex
只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式 表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。
因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如：
y=x+y , x[0,1]
y(0) 1
其解析解为：yx12ex
3
但是, 只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析 表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解 析解。
因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如：
y =e-x2 ,
x[0,1]
7.5×10－5 1.4×10－4
第6章常微分方程
Y 2 XY 2 X C2 ，（C2 C1 ） x X 3 再将 代回得所求解为： y Y 2 2x 2 2xy y 2 8x 2 y C (C C2 10)
2 2
2
4、一阶线性微分方程
定义 型如 y Pxy Q(x)
…… （2）
……（3）
由（1）可得： y x 2 C
所以 y x 2 1
……（4）
引例 2 火车以 20 米/秒行驶时，若以 04m / s2 . 的加速度刹车，则到停止时位移为多少？
解 设刹车后位移与时间关系为 s st ，
d 2s 则有 2 0.4 dt ds 且 20, s t 0 0 dt t 0
故 ln y x 2 C
y e
x 2 C
e e
C1e
C x2
x2
x2
即方程的通解为 y Ce
例3 求微分方程 x xy2 dx x 2 y ydy 0 满足
初始条件 y
x0
1 的特解．
x y 解 原方程变形为： 2 dx dy 2 x 1 1 y 1 x2 1 1 1 C1 lnx 2 1 ln y 2 1 C1 ln 2 2 y 1 2 2 2 即： x 1 C y2 1 1 y| x 0 1 C 2 x2 1 1 故所求特解为： 2 y 1 2
例6 解方程 2x y 4dx x y 1dy 0
dy 2x y 4 解 由原方程得： …（*） dx x y 1 x X h dx dX 令 ，则 ，代入方程（*）得： y Y k dy dY 2 h k 4 0 dY 2 X Y 2h k 4 ，又由 得： dX X Y h k 1 h k 1 0 x X 3 h 3 ，将 代入方程（*）得： y Y 2 k 2 dY 2X Y 2 Y 1 Y dX X Y x X
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
第六章 常微分方程解法
yn1 yn h ( xn , yn , h)
§6.1 概述
常微分方程数值解法所考虑的主要问 题有：
(1) 方法推导。即用什么样的途径来导出 递推格式； (2) 收敛性。即差分方程的解能否充分逼 近微分方程初值问题的解； (3) 误差传播。在递推过程中，每一步 都会产生截断误差和舍入误差，这个误 差是否对后续各步产生严重影响。
第六章 常微分方程的数值解法
§6.4 改进欧拉方法
(modified Euler’s method)
§6.4 改进欧拉方法
梯形方法比欧拉方法更精确，但是一 种隐式方法，求解方程计算量大。 实际计算中，迭代初始值yn+1可取欧拉 方程结果，迭代一次即可，这样的计算 公式叫改进欧拉法。
§6.4 改进欧拉方法
§6.1 概述 理论做了系统阐述。在代数数论领域，他引进了相 应的符号表示法及其计算法则，建立起被称为“李 普希兹代数”的超复数系。在微分几何方面，他自 1869年起对黎曼关于n维流形的度量结构的工作做 出进一步阐述和推广，开创了微分不变量理论的研 究，因此被认为是协变微分的奠基人之一。他的工 作后来被里奇有效地用于张量分析。
§6.1 概述
本章我们将学习一阶常微分方程的初 值问题的数值解：
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0 (1) (2)
一般情况下，方程(1)有无穷多个解， 式(2)是确定解的初始条件。
§6.1 概述
定义： 如果一元函数y(x)对一切 a x b 满足 (1) ( x, y( x)) 平面区域D
计算方法 (力学系本科生)
第六章 常微分方程 的数值解法 (Integration of ordinary differential equations)
§6.1 概述
常微分方程数值解法所考虑的主要问 题有：
(1) 方法推导。即用什么样的途径来导出 递推格式； (2) 收敛性。即差分方程的解能否充分逼 近微分方程初值问题的解； (3) 误差传播。在递推过程中，每一步 都会产生截断误差和舍入误差，这个误 差是否对后续各步产生严重影响。
第六章 常微分方程的数值解法
§6.4 改进欧拉方法
(modified Euler’s method)
§6.4 改进欧拉方法
梯形方法比欧拉方法更精确，但是一 种隐式方法，求解方程计算量大。 实际计算中，迭代初始值yn+1可取欧拉 方程结果，迭代一次即可，这样的计算 公式叫改进欧拉法。
§6.4 改进欧拉方法
§6.1 概述 理论做了系统阐述。在代数数论领域，他引进了相 应的符号表示法及其计算法则，建立起被称为“李 普希兹代数”的超复数系。在微分几何方面，他自 1869年起对黎曼关于n维流形的度量结构的工作做 出进一步阐述和推广，开创了微分不变量理论的研 究，因此被认为是协变微分的奠基人之一。他的工 作后来被里奇有效地用于张量分析。
§6.1 概述
本章我们将学习一阶常微分方程的初 值问题的数值解：
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0 (1) (2)
一般情况下，方程(1)有无穷多个解， 式(2)是确定解的初始条件。
§6.1 概述
定义： 如果一元函数y(x)对一切 a x b 满足 (1) ( x, y( x)) 平面区域D
计算方法 (力学系本科生)
第六章 常微分方程 的数值解法 (Integration of ordinary differential equations)
第6章常微分方程
敬业
博爱Leabharlann 求是创新通解： 解中含有相互独立的任意常数且其个 数与方程阶数相等.
y
例： y=x2+C是方程y'=2x 的通解.
x2 y C1 x C 2 是 2
y=x2+C
方程y"=1的通解.
0
x
独立：
C1 C2 x C3 x 2
不独立： C1 x C2 x (C1 C2 ) x Cx
敬业
博爱
求是
创新
1 dx 1 d u x u
两端积分得： u ln u C1 ln x
y 将 u 代回有： x
y x
y ln y C1 x
C1 C e 即： y Ce ，其中 .
敬业
博爱
求是
创新
x 0
例6.
xy 求方程 y 2 满足 y 2 x y
敬业
博爱
求是
创新
初始条件： 用来确定通解中任意常数的条件.
例如：y(0)=0, y'(0)=1
特解： 通解中确定了任意常数的解.
例如：
y'=2x y(0)=0
初值问题
敬业
博爱
求是
创新
例 1. 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分
d2x 方程 2 k 2 x 0 的解. 并求满足初始条件 dt dx x t 0 A, 0的特解. dt t 0 dx 解: kC1 sin kt kC2 cos kt , dt 2 d x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
第六章 常微分方程
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6.1 可分离变量的微分方程 6.2 一阶线性微分方程 6.3 二阶常系数齐次线性微 分方程
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sin u
x
两边积分
cos u sin u
du
dx x
得
ln sin u ln x ln C sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x y x arcsin Cx x
( 当C0时, y0也是方程的解)
08:34
12
例6.2.5 解微分方程 dy x y
dy u x du du dx
dx
dx (u) u x
08:34
11
例6.2.4 解微分方程 dy y tan y dx x x
解: 令 u y , 则y u x u, 代入原方程得 x u x u u tan u
分离变量
cos u du dx
解：在t到t+t这段时间内种群总数改变量为 y(t t) y(t) ny(t)t my(t)t
dy lim y(t t) y(t) (n m) y(t)
dt t0
t
采用可分离变量后,积分得
y Cert r ky
08:34
7
由y(0)y0确定常数C,可得生物总群自然增长规律
y x tan( x C)
08:34
15
6.2.2 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
定义3 如果方程中未知函数的导数(微分)的最高 阶数是一阶的,且所含未知函数及导数(微分)都是 一次幂的,则称这种方程为一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
V e a
ln V0 V
C ln
V0
k
V ea
k eat 0
V Ve a
,
C
k a
V
k (1eat )
V V0e a
此为贡柏茨方程
08:34
10
二、可化为分离变量的某些方程*
1. 齐次方程 形如 dy ( y )
dx x 则称原方程为齐次微分方程。
令 : u y , 则 y xu ,两端对x求导数 , 得 : x
dV dt
aV ln V V
,
V (0) V0,
a 0,
V
k
V0e a
确定肿瘤生长规律。08:349源自解：V(ln
dV V
ln
V
)
adt
V
(ln
dV V
ln
V
)
adt
ln(ln
V
ln V )
at C1
ln
V V
Ceat
V (0) V0,
k eat
第六章 常微分方程
已知 y f (x) , 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
08:34
1
6.1 微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
08:34
2
一. 两个例子
例6.1.1 已知一曲线过点A(1,3),且该曲线上任 意点P(x,y)处的切线斜率为2x,求此曲 线的方程。
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
改写为 dy Q(x) dx P(x)dx
yy
两边积分
ln
y
Q(x) y
dx
P(x)dx
令 Q(x) dx u(x) y eu(x)eP(x)dx y
6.2.1 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
形如 :
dy f (x) g( y)为可分离变量的微分方程 dx
dy g( y)
f
(x)dx
08:34
5
例6.2.1 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中,细
胞的繁殖率与细菌的数目成正比,若t0时细菌
的数目为x0,求系统的细菌繁殖规律。 解： 设x(t)表示在t时刻细菌数目,依题意有
解:
dy dx
1 1
y
x y
dx x y 令u y , 则y u xu
x
代入原方程得
x u
xu
1
u
x
du
1
2u
u2
1 u dx 1 u
(1 u)du
1 2u u2
dx x
1 ln 1 2u u2 2
ln
x
C1
ln (1 2u u2 )x2 C2 (1 2u u2 )x2 C
若Q(x) 0,称为齐次方程 ; 若Q(x) 0,称为非齐次方程。
08:34
16
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 故通解为
ln y P(x)dx C1
y Ce P(x)dx
P(x)dx 仅表示P(x)的一个原函数
08:34
17
y
k
r Cert
r y
k r ky0 ert
y0
此式称为Logistic方 程,其曲线参考图为
y r t
k
08:34
8
例6.2.3 (肿瘤生长模型)设V(t)是肿瘤体积。免疫 系统非常脆弱时,V呈指数式增长,但V长大到一定 程度后,因获取的营养不足使其增长受限制。描 述V的一种数学模型是：
dx kx (k 0) dt
两边积分
dx x
kdt
C 0或C eC1
ln x kt C1 即 x Cekt (C为任意常数) 又因x(0) x0为已知,故特解为 x x0ekt
08:34
6
例6.2.2 (自然生长模型) yy(t)表示一种生物在时 间t时种群总数,开始时种群总数y(0)y0, n,m分别表 示该总群的出生率和死亡率,实践证明nmrky,其 中r>0, k>0,试求该总群自然生长规律。
例6.1.2 质量为m的物体从空中自由落下,若略 去空气的阻力，求物体下落的距离s 与时间t的函数关系s s(t)。
08:34
3
二. 微分方程的几个概念
1. 微分方程 2. 微分方程的阶 3. 微分方程的解 4. 微分方程的通解 5. 微分方程的特解 6. 初始条件
08:34
4
6.2 一阶微分方程
x2 2xy y2 C
08:34
13
2. dy f (ax by c)型方程 dx
作变换
08:34
14
例6.2.6 解微分方程 dy (x y)2 dx
解: 令z x y dz 1 dy dx dx
dz dx
1
z2
dz 1 z2
dx
arctan z x C z tan( x C)