山东省莱州一中2020-2021学年高二上学期数学周末检测三含答案

莱州一中高二数学周末检测三一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.＝（2，2m﹣3，1），＝（﹣4，2，3n﹣2）．若∥．则实数mn的值是（）A．﹣2 B．C．2 D．02.已知平面α，β的法向量分别为（其中λ，μ∈R），若α∥β，则λ+μ的值为（）A．B．﹣5 C．D．53. 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（）A．B．C．D．4. 设，，为空间的三个不同向量，如果λ1λ2λ30成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若（2，1，﹣3），（1，0，2），（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（）A．9 B．7 C．5 D．35. 如图，已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且MG＝2GN，若记，则（）A ．B ．C ．D ．6.已知0,||2,||3,a b a b ⋅===且(32)()0a b a b λ+⋅-=，则λ等于（ ）A ．32B ．32-C ．32±D ．17.若O 为坐标原点，(1,12),(3,2,8),(0,1,0)OA OB OC =-==，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ）A 165B ．14C 53D 53 8.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点(1,3,0)A -在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 A ．10B ．3C ．83D ．1039.如图，已知三棱锥ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，M 是A 1B 1的中点，MB ⊥AC ，则二面角A 1﹣BB 1﹣C 的余弦值为（ ）A．B．C．D．10.如图，已知点P在正方体ABCD﹣A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDC＝60°．设λ，则λ的值为（）A．B．C．D．11.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝2，空间中存在一动点P满足||＝1，记I1，I2，I3，则（）A．存在点P，使得I1＝I2B．存在点P，使得I1＝I3C．对任意的点P，有I1＞I2D．对任意的点P，有I2＞I3二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

）12.已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（）A ．B ．C ．向量与向量的夹角是60°D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为13. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,4,1AB =--，()4,2,0AD =，()1,2,1AP =--，下列结论正确的有（ ）A ．AP AB ⊥B ．⊥AP ADC ．AP 是平面ABCD 的一个法向量D ．//AP BD14.在正四面体P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面结论中正确的是（ ） A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面P AE C ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面P AE ⊥平面ABC15.正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为11,,,CC BC CD BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ． 平面AEF平面111AA D D AD =C ． 1A H ∥平面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π16.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1AB ，则（ ）A ．AC 1与底面ABC 的成角的正弦值为B ．AC 1与底面ABC 的成角的正弦值为C ．AC 1与侧面AA 1B 1B 的成角的正弦值为D ．AC 1与侧面AA 1B 1B 的成角的正弦值为三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）17.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P （3，2，1），Q （﹣1，0，1），则|PQ |＝ ．18. 在空间直角坐标系中，已知点)2,0,1(A ，)1,3,1(-B ，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是 。

19.已知,a b 是直线，,αβ是平面，,a b αβ⊥⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，11(1,1,1),(3,4,0)a b ==-，则,αβ所成的锐角二面角的余弦值为_______.20. 如图，在四棱锥S －ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且AB ＝4，SA ＝3，E 、F 分别为线段BC 、SB 上的一点(端点除外)，满足SF CEBF BE=＝λ，则当实数λ的值为________时，∠AFE 为直角．21.给出下列命题：①直线l 的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m 的方向向量＝（2，1，﹣），则l 与m 垂直；②直线l 的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l ⊥α； ③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A （1，0，﹣1），B （0，1，0），C （﹣1，2，0），向量＝（1，u ，t ）是平面α的法向量，则u +t ＝1．其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）四、解答题：（本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）22.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．23.在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③P A＝PC三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底ABCD为菱形，若_____，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°，求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．24.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）求对角线AC1的长；（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小．25.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点（ 1 ）求异面直线SA与FC所成角的大小；（2）在棱SB上是否存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由．参考答案：DDDAC ADDBCC 12.AB 13.ABC 14.ABD 15.BC 16.BC17. 218.)0,1,0( 19. 315 20.91621.①④22.解：（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），＝（﹣1，0，2），＝（﹣2，﹣1，1），设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），＝（0，2λ，2﹣2λ），＝（2，2，0），设平面APC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），平面ADF的法向量＝（1，0，0），∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，解得，12λ=,(0,1,3)P∴PF的长度|PF|＝223.解：若选②，由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AB，又PC⊥AB，∴AB⊥面P AC，∴AB⊥AC，∴∠BAC＞90°，BC＞BA，这与底面是菱形矛盾，∴②必不选，故选①③．下面证明：PO⊥平面ABCD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PC⊥BD，PC∩AC＝C，∴BD⊥平面APC，∵PO⊂平面APC，∴BD⊥PO，∵P A＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD，∵PO⊥平面ABCD，以O为原点，OB，OC，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵AB∥CD，∴∠PBA为异面直线PB与CD所成角，∴∠PBA＝60°，在菱形ABCD中，设AB＝2，∵∠ABC＝60°，∴OA＝1，OB，设PO＝a，则P A，PB，在△PBA中，由余弦定理得：P A2＝BA2+BP2﹣2BA•BP•cos∠PBA，∴，解得a，∴A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），设平面ABP的法向量（x，y，z），（，1，0），（0，1，），则，取z＝1，得（，1），设（a，b，c）是平面CBP的法向量，（，﹣1，0），（0，﹣1，），由，令c＝1，得（，1），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，∴cosθ，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．24. 解：（1）证明：（1）∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∴AD1＝AB1＝2，连结A1C1，B1D1，交于点O，连结AO，∵∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．∴AO⊥B1D1，∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1，∴B1D1⊥平面A1ACC1，∵A1C⊂平面A1ACC1，∴B1D1⊥A1C．（2）解：在△AB 1D1中，AO＝，，AA1＝2，∴，∴AO⊥A1O，∵AO⊥B1D1，∴AO⊥平面A1B1C1D1，∴AO⊥OC1，∴AC1＝＝2．（3）解：由（2）知AO⊥平面A1B1C1D1，以点O为原点，OA1为x轴，OB1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，），B1（0，，0），C1（﹣，0，0），＝（0，，﹣），＝（﹣，0，﹣），设平面AB1C1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），平面AB1D1的法向量＝（1，0，0），设二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值为．25.解：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），S（0，1，），C（1，2，0），B（2，0，0），F（1，），（0，﹣1，），（0，，），设异面直线SA与FC所成角为θ（0°＜θ≤90°），则cosθ0，∴θ＝90°．∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°；（2）假设在棱SB上存在点Q（a，b，c），λ，（0≤λ≤1），使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，则，即（a，b﹣1，c）＝λ（2，﹣1，），解得a＝2λ，b＝1﹣λ，c，∴Q（2λ，1﹣λ，），（2λ，1﹣λ，），（1，2，0），（0，1，），设平面ACQ的法向量（x，y，z），则，取x＝2，得（2，﹣1，），设平面ASC的法向量（p，q，r），则，取q＝2，得（2，﹣1，），∵平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，∴cos，整理得5λ2﹣10λ+4＝0，解得λ或（舍去）．故在棱SB上存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，此时1．。