质点运动学典型例题

质点运动学典型例题

1． 一质点做抛体运动（忽略空气阻力），如图一所示。求：

质点在运动过程中

（1）dt dV 是否变化？ （2）dt

V d 是否变化？ （3）法向加速度是否变

化？

（4）轨道何处曲率半径最

大？其数值为多少？

解：（1）如图一，如果把dt dV 理解为切向加速度，即τa dt

dV =，则由图二（a ）所示，ατcos g a =，显然τa 先减小后增

大。

（2）g dt

V d = （3）αsin g a n =

（4）质点在任一点的曲率半径

φ

ρcos 2

2g V a V n ==，质点在运动过程中，式中的速度V,夹角φ均为变量。故质点在

起点和终点处的速度最大（0V V =）。φ最

大，φcos 最小，所以在该处的曲率半径

最大。

上抛石块的位移和路程

一石块以V=4.9m/s 的初速度向上抛出，经过2S 后，石块的位移y ∆________，路程S______.

解：如图一，设定石块上抛的初始点为原点，竖直向上为正方向。 则其运动方程为2021gt t V y -= 2S 内的位移为m y 8.928.92129.42-=⨯⨯-

⨯=，负号表明所求位移的方向为竖直向下，即物体在2S 内改变了运动方向。

先求物体到达最高点的时刻，即

00=-=gt V dt

dy ，S g V t 5.08.99.40=== 则总路程

m L L L 25.12)5.1(8.92

1)5.0(8.9212221=⨯⨯+⨯⨯=+= 求解某一位置的速度

质点沿x 轴正向运动，其加速度随位置变化的关系为2331x a +=

，如果在x=0处，其速度为s m V /50=，那么，在x=3m 处的速度为多少？

解：因为233

1x V dx dV dt dx dx dV dt dV a +====

s m V x x V x x V V dx x VdV V V /9)25333(2)2

3(23

22)331(2

32033

20230

20=++=++=+=-+=⎰⎰

宇宙速度

众所周知，人造地球卫星和人造行星是人类认识宇宙的重大发展．但怎样才能把物体抛向天空，使之成为人造卫星或人造行星呢：）这取决于抛体的初速度。有趣的是，在1687年，牛顿出版的第一部著作——《自然哲学的数学原理》中，有一幅插图。这幅图指出抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度，它明确地指出发射人造地球卫星的可能性，当然这种可能性在当时只是理论上的 270年后，人类才把理论上的人造卫星变成了现实

1．人造地球卫星 第一宇宙速度

没地球的半径为E R 、质量为E m 。在地面上有一质量为m 的抛体，以初速1V 竖直向上发射，到达距地面高度为h 时，以速度V 绕地球作匀速率圆周运动，如略去大气对抛体的阻力，抛体最小应具有多大的速度才能成为地球卫星？如把抛体与地球作为一个系统，由于没有外力作用在这个系统上，系统的机械能守恒

于是，

h

R Gmm mV R Gmm mV E E E E +-=-2212121 (1) 上式可写成

E

E E E R Gm h R Gm V V 22221++-= （2） 由牛顿第二定律和万有引力定律，有

22

)

(h R Gmm h R V m E E E +=+ （3） 上式可写成

h

R Gm V E E +=2 （4） 将（4）式代入（2），得

h

R Gm R Gm V E E E E +-=21 已知地球表面附近的重力加速度

2/E E R Gm g =，故上式为

)2(1h

R R gR V E E E +-= ．上式给出了人造卫星由地面发射的速度V 1与其所应达到的高度之间的关系．卫星发射速度越大，所能达到的高度h 就越大．

由上式可以看出，对于地球表面附近的人造地球卫星有h R E >>，故上式可简化为 E gR V =1

其中2

6/8.9,1037.6s m g m R E =⨯=，可得

s m V /109.731⨯=

这就是在地面上发射人造地球卫星所需达到的最小速度，通常叫做第一宇宙速度．在地球表面附近的卫星（R E ）h ），由式（2）有1V V ≈.故常说，人造地球卫星环绕地球的最小速度亦为s m V /109.731⨯=

把式（3）代入式（1），有 )

(2h R m Gm E E E +-= 上式表明，人造地球卫星的机械能是小于零的，即E ＜0．

2人造行星 第二宇宙速度

如果抛体的发射速度继续增大，致使抛体与地球之间的距离增加到趋于无限远时，即r=∞，这时可认为抛体已脱离地球引力的作用范围．抛体可成为太阳系的人造行星．在这种情况下，抛体在地球引力作用下的引力势能为零，即0=∞P E 、若此时抛体的动能也为零，即0=∞K E ，那么抛体在距地球无限远处的总机械能0=+=∞∞∞P k E E E ．这就是说，在抛体从地面飞行到刚脱离地球引力作用的过程中，抛体以自己的动能克服引力而作功，从而把动能转变为引力势能．由于略去阻力以及其他星体的作用力所作的功，故机械能应守恒，

02122=+=-∞∞p k E

E E E R m Gm mV 额中V 2是使抛体脱离地球引力作用范围，在地面发射时抛体所必须具有的最小发射速度．这个速度又叫第二宇宙速度．

由上式可得第二宇宙速度为

s m V gR R Gm V E E E /102.11222312⨯==== 从上述关于第二宇宙速度的讨论中可以看出，要使抛体脱离地球引力作用，只要 抛体具有不小于s m V gR R Gm V E E

E /102.11222312⨯====的发射速度就行，而这时可以不考虑发射速度的方向，就能得到所要求的数值。这是用能量观点来讨论这类问题最显著的一个优点．

应当指出，若发射速度大于第二宇宙速医，这时抛体的机械能大于零．即E ＞0。理论计算表明，这时抛体在太阳引力作用下绕太阳作椭圆轨道运动．成为人造行星。

图－绘出了在地面上水平发射的抛体，其能量与以地球为参考系的运动轨迹之间的关系．当E ＜0时，抛体的轨迹为椭圆（包括圆）；当E ＞0时．为双曲线；当E=0时，为抛物线．

3 飞出太阳系 第三宇宙速度

上面讲述了从地球表面发射的抛体达到或超过第二宇宙速度以后，它将外绕太阳成为太阳系中一颗人造行星。如果我们继续增加从地球表面发射抛体的速度，并使之能脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系，这个速度称之为第三宇宙速度，用3V 来表示。

显然，要使抛体脱离太阳系的束缚，必须先脱

离地球引力的束缚，然后再脱离太阳引力的束缚。

这就是说，抛体脱离地球引力束缚后还要具有足够

大的动能实现飞出太阳系的目的

首先讨论抛体脱离地球引力场的情形我们把地

球和抛体作为一个系统，并取地球为参考系。设从

地球表面发射一个速度为3V 的抛体，其动能为

232

1mV E k =，引力势能为E E R m Gm -，当抛体脱离地球引力的束缚后。它相村地球的速度为V '，

按机械能守恒定律，有

2

232

121V m R m Gm mV E E '=-

（1） 为求V '，取太阳为参考系，此抛体距太阳的距离为R S ,相对太阳的速度为1V '。则抛体

相对太阳的速度3V '应当等于抛体相对地球的速度V '与地球相对太阳的速度V E 之和，即

E V V V +'='3

如E V V 与'方向相同，则抛体相对太阳的速度最大，有