高中数学热点素材
高中数学259个知识点
高中数学259个知识点一、集合与函数概念。
1. 集合。
- 集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合。
- 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性。
- 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图法。
- 集合间的基本关系：子集（如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么A是B的子集，记作A⊆ B）、真子集（如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂neqq B）、相等（A = B当且仅当A⊆ B且B⊆ A）。
- 集合的基本运算：- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。
- 补集：设U为全集，A⊆ U，则∁_UA={xx∈ U且x∉ A}。
2. 函数及其表示。
- 函数的概念：设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。
- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
- 函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。
3. 函数的基本性质。
- 单调性：- 增函数：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1时，都有f(x_1)，那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数。
- 减函数：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1时，都有f(x_1)>f(x_2)，那么就说函数y = f(x)在区间D上是减函数。
- 奇偶性：- 奇函数：设函数y = f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈ D，都有f(-x)= - f(x)，且0∈ D时f(0)=0，则函数y = f(x)是奇函数。
- 偶函数：设函数y = f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈ D，都有f(-x)=f(x)，则函数y = f(x)是偶函数。
高考数学259个核心考点
高中数学考试必备的知识点整理温馨提示：在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎样去做，所以在考前的一天必须回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要心中有公式，中等的题目都可以解决。
必修一：一、集合的运算：交集：定义：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 并集：定义：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为A B补集：定义：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为C UA 二、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）a m •a n =a m + n ，（2）a m ÷a n =a m -n ，（3）(a m )n =a m n （4）(ab )n = a n •b nn -11a n⎛a ⎫nm-n （5） ⎪=n （6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）a =n （8）am=a（9）am=mna b ⎝b ⎭a 2、根式的性质⎧a ,a ≥0n n n n n n n n （1）(a )=a .（2）当为奇数时，a =a ；当为偶数时，a =|a |=⎨.-a ,a <0⎩n n 5.指数式与对数式的互化：log aN =b ⇔a b =N (a >0,a ≠1,N >0).6、对数的运算法则：（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N = N （6）log a (MN) = log a M + log a N（7）log a (log b N M ) = log a M -log a N（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =Nlog banlog a b (a >0,且a >1,m ,n >0,且m ≠1,n ≠1,N >0).m （10）推论：log a m b n =（11）log a N =1（12）常用对数：lg N = log 10N（13）自然对数：ln A = log e Alog Na必修4：1、特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°πππ角α的弧度数643Sinα12223290°π21180°π0270°3π2-1360°2π0321Cosα12220-101tanα03313不存在0不存在02、诱导公式：函数名不变，符号看象限（把α看成锐角）公式一：Sin（α+2kπ）=Sinα公式二：Sin（α+π）=-SinαCos（α+2kπ）=Cosα Cos（α+π）=-Cosαtan（α+2kπ）=tanα tan（α+π）=tanα公式三：Sin（-α）=-Sinα公式四：Sin（π-α）=SinαCos（-α）= Cosα Cos（π-α）=-Cosαtan（-α）=-tanα tan（π-α）=-tanα公式五：Sin（π2-α）=Cosα公式六：Sin（π2+α）=CosαCos（ππ2-α）=Sinα Cos（2+α）=-Sinα3、两角和与角差的正弦、余弦和正切公式①sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β②sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β③cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β④cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β⑤tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β⑥tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β4.二倍角的正弦、余弦和正切公式①sin 2α=2sin αcos α②cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos α2-1③tan 2α=2tan α1-tan 2α④sin 2α=1-cos 2α2⑤cos 2α=1+cos 2α2sin αcos α=12sin 2α5、向量公式：→→→→①a ∥b ⇔x 1x =y 1(x 2,y 2≠0)（a ∥b ⇔x 1y 2-x 2,y 1=0）2y2→→→→→②a +b =(a +b )2=a 2+2a →⋅b →→+b 2=→2a +2a →⋅b →⋅cos θ+b→2→→③cos θ=a ⋅b =x 1x 2+y 1y2→（求向量的夹角）a ⋅→bx21+y2x2212+y2⑥④a ⊥b ⇔a ⋅b =0⑥平面内两点间的距离公式：设a =(x ,y ),则→2→→→→→a =x +y 或a =x 2+y 2→22→⑦平面内两点间的距离公式：a =(x 1-x 2)+(y 1-y 2)2222高中数学必修5知识点归纳第一章解三角形1、正弦定理：在∆AB C 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为∆AB C 的外接圆的a b c半径，则有===2R ．sin A sin B sin C2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ；a b c②sin A =，sin B =，sin C =；③a :b :c =sin A :sin B :sin C ；2R 2R 2R a +b +c a b c④．===sin A +sin B +sin C sin A sin B sin C（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
高中数学 三角函数公式大全素材 新人教A版必修4
高中三角函数公式大全三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB-1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotAcotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a -sina-sinb=2cos 2ba +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasi n(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a acos sin万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2aa+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa +-tana=2)2(tan 12tan2a a- 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2 其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =acos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin 〔2kπ＋α〕= sinαcos 〔2kπ＋α〕= cosαtan 〔2kπ＋α〕= tanαcot 〔2kπ＋α〕= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin 〔π＋α〕= -sinαcos 〔π＋α〕= -cosαtan 〔π＋α〕= tanαcot 〔π＋α〕= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin 〔-α〕= -sinαcos 〔-α〕= cosαtan 〔-α〕= -tanαcot 〔-α〕= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin 〔π-α〕= sinαcos 〔π-α〕= -cosαtan 〔π-α〕= -tanαcot 〔π-α〕= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin 〔2π-α〕= -sinαcos 〔2π-α〕= cosαtan 〔2π-α〕= -tanαcot 〔2π-α〕= -co tα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin 〔2π+α〕= cosα cos 〔2π+α〕= -sinα tan 〔2π+α〕= -cotα cot 〔2π+α〕= -tanα sin 〔2π-α〕= cosα cos 〔2π-α〕= sinα tan 〔2π-α〕= cotα cot 〔2π-α〕= tanα sin 〔23π+α〕= -cosα cos 〔23π+α〕= sinα tan 〔23π+α〕= -cotα cot 〔23π+α〕= -tanα sin 〔23π-α〕= -cosαcos 〔23π-α〕= -sinα tan 〔23π-α〕= cotα cot 〔23π-α〕= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明〔全部〕2009-07-08 16:13公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：〔a,b〕是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
高中数学热点素材村民饱受吃水困难数十载靠雨水过活
村民饱受吃水困难数十载靠雨水过活近日，山亭区凫城镇白庄村建设小组的侯先生拨打本报热线，反映多年来组内40多户村民吃水难的问题。
接到电话后，记者于本月16日赶往现场进行走访调查。
A探访小村吃水难已数十载建设小组本是一个自然村，全村共40多户，加起来约有160多名村民，村民们多数都姓侯。
16日上午9点半，记者赶到该村后，先找到了该组的组长侯化伟。
据他介绍，这几十年以来，村民吃水一直都是相当的困难，平时雨季吃水都是靠村旁河中的雨水，到了旱季，身强力壮的还能去相邻的黄山前村带水喝，而剩下一些上了岁数的村民就只能在山下买水吃。
“东山前村中有一根自来水管，每天供水时间只有两个小时，早上去接水时都得排队，要是过了这个时间，就只能花钱买水吃了。
”侯组长说道。
据村民介绍，因村中长年缺水，大概在20年前建设村曾在村东头一处靠河边的空地上打了一口深约20米，直径约3米的圆柱形蓄水池，雨季河水就会慢慢渗到蓄水池中。
但每年雨季之后，蓄水池的水便开始慢慢消耗掉，村民们便又开始了“讨水”生活。
在几位村民的带领下，记者沿着一条羊肠小道，来到了一处水泥砌成的石台，石台上留有一大一小两个孔，石台下方的蓄水池里空空如也，看不到有半点水星。
侯组长说这一次没水的情况已经持续一个多月了。
水池旁边的河道上铺满了大小不一的石头。
一位村民告诉记者，这条无名河也只有在雨季时才有水，之后河水慢慢渗进蓄水池，村民们这才能有了水喝。
靠雨水过活安全无保障雨季刚开始时打上来的水比较浑浊，但迫于对水的急切需求，村民打上来的水只能先在家澄一澄才能饮用。
这位村民接着说道：“好在附近没有大型的化工企业，水质还算过得去，唯独碱性比较大，这么多年都过来了，村民们也都习惯了。
”侯组长告诉记者，虽然没有化工污染，但雨季来临后，上游部分村民直接在河中洗衣服、洗澡，肯定会对该村村民吃水造成不小的影响。
蓄水池除了缺水的问题外，每次打水也是相当的艰难。
侯组长说因无地下水源，当时打这口蓄水池时并没有安装水泵，村民们来此处打水还是使用最原始的绳提，上了岁数的老年人只能用较小的水桶打水。
高中数学 三个“二次”及关系素材
三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围.●案例探究［例1］已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy c bx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－ab 2,x 1x 2=ac .|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a ac c a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得a c ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .a c ∈(－2,－21)时，为减函数 ∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3). ［例2］已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) ●锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ). 若－ab2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－a b2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－ab2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r abac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0; (2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+a b 2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+ab 2|> |β+ab2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q ab p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞,2] B.[－2,2] C.(－2,2] D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( ) A.正数 B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能 二、填空题3.(★★★★★)已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式33log log aya t a a= (a >0且a ≠1) (1)令t=a x,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值.6.(★★★★)如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证： (1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案 难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为：x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －21)2+425.∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max =425.∴49≤x ≤425. (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12.综上所述,49≤x ≤12.歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C2.解析：∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0. 答案：A二、3.解析：只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23). 答案：(－3，23） 4.解析：由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0三、5.解：(1）由log a 33log aya t t =得log a t －3=log t y －3log t a由t =a x知x =log a t ，代入上式得x －3=xx y a 3log -,∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 332+-x x(x ≠0).(2)令u =x 2－3x +3=(x －23)2+43 (x ≠0),则y =a u ①若0＜a ＜1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值.②若a >1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16.∴所求a =16,x =23. 6.解：∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2）当m >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}. 7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m)＜0.(2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =mrm p -+2>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.8.解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得 y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.(2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －265)2+1612.5∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.。
高中数学课本中的作文素材汇编
高中数学课本中的作文素材汇编数学课本不仅仅是研究数学知识的工具，其中也蕴含了丰富的作文素材。
本文将为你提供一些在高中数学课本中可以使用的作文素材。
以下是一些具体的例子：1. 数学在实际生活中的应用数学不仅仅存在于课本中，它也渗透到我们日常生活的各个领域。
我们可以从各个实际生活的例子中挖掘出作文素材，例如：- 数学在金融领域中的应用，如股票交易和利息计算；- 数学在建筑设计中的应用，如物体的体积和面积计算；- 数学在旅行规划中的应用，如时间和距离的计算。
2. 数学的发展历程数学作为一门学科，经历了漫长而丰富的发展历程。
我们可以选择其中一段历史，如中国古代的九章算术或者欧洲文艺复兴时期的数学发展，来撰写作文。
可以探讨其中的重要数学家、他们的贡献以及对现代数学的影响。
3. 数学中的趣味问题数学不仅仅是一门枯燥的学科，其中也包含了许多有趣的问题和谜题。
我们可以选择其中的一个趣味问题，如数独、数学谜题或者数学游戏，来撰写作文。
可以描述该问题的背景、解题方法以及它给我们带来的启示。
4. 数学与其他学科的关联数学与其他学科之间存在着密切的联系和应用。
我们可以选择某个学科，如物理学、经济学或者计算机科学，来探讨数学在该学科中的应用。
可以描述数学如何提供工具和方法来解决相关问题，并讨论数学在该学科中的重要性。
这些是一些在高中数学课本中可以使用的作文素材。
通过挖掘课本中丰富的内容和实际应用，我们可以从不同角度来探索和理解数学的重要性和魅力。
希望这些素材能够为你的作文提供一些启发和帮助。
---注意：以上内容均为简要介绍，具体作文内容需要根据个人的理解和深入研究进行创作。
高中数学新区轨道骨架2020年形成：3条轨道聚两大高铁站趣味素材人教新课标版
高中数学趣味素材：新区轨道骨架2020年形成：3条轨道聚两大高铁站天津北方网讯：3月4日获悉，滨海新区规划2015-2020年建设B1、Z2、Z4三条线路，其中B1线与Z2线在滨海高铁站处交叉，B1线与Z4线在于家堡高铁站处交叉，Z2线连通滨海高铁站与滨海机场。
高铁和城市轨道交通“零距离”换乘，居民出行将会更加方便快捷。
2020年滨海新区轨道骨架形成轨道交通规划方案包括三条通过核心区的市域线、以及津滨轻轨在内的城区轨道线路八条，核心区范围内轨道线路总规模230公里，线网密度0.85 千米每平方公里。
三线以上换乘枢纽4座，两线换乘枢纽43座，其中在于家堡地区有4条轨道交通线路通过，构成以于家堡城际站为核心的三角形综合枢纽，有效地支撑于家堡商务中心区的开发建设。
另外，在滨海新区汉沽城区、大港城区、开发区西区、高新区、生态城等片区，分别规划各自内部的接驳线路，线路具体方案可以结合片区内部的实际情况灵活设置，具体制式可以为中小运量的公共交通模式，如轻轨、有轨电车等。
在滨海新区范围内将启动2-3条轨道交通线路建设，争取在2020年形成滨海新区轨道交通基本骨架。
B1、Z4、Z2三条轨道线先期启建滨海新区规划2015-2020年建设B1(欣家园-临港)、Z2(滨海机场-北塘)、Z4(汉沽-中部新城)三条线路，其中B1线与Z2线在滨海高铁站处交叉，B1线与Z4线在于家堡高铁站处交叉，Z2线连通滨海高铁站与滨海机场。
建成通车后，居民出行将会更加方便快捷。
Z2线沿京津塘发展主轴布设，滨海新区内经过机场、航空城、高新区、开发区西区、海洋高新区、北塘、滨海旅游区、中心渔港、汉沽新城等重点发展 区域，远期将连通天津西站，并延至武清。
Z4线为沿海发展带布设的南北向线路，建成后将促进南北两翼与滨海核心区之间的协调发展。
沿线主要经过北塘、开发 区、于家堡、南部盐田新城、大港新城及南港区等重要地区，全长65公里，预计将在市民广场与9号线实现换乘。
高中数学热点素材日本邮政上调邮资平信涨至日元
日本邮政上调邮资平信涨至82日元
日本邮政2日发布了2014年4月1日消费税上调后采用的新邮资标准。
25克以内的平信邮费上限从80日元涨至82日元，一般明信片邮费则从50日元涨至52日元。
这是自1994年1月以来，日本时隔约20年再次上调邮资。
1997年消费税率从3％上调至5％时,邮资未涨。
此外，在日本邮政银行或其它银行的自动柜员机(ATM)上的各种手续费也将涨价。
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日本邮政2日发布了2014年4月1日消费税上调后采用的新邮资标准。
25克以内的平信邮费上限从80日元涨至82日元,一般明信片邮费则从50日元涨至52日元。
这是自1994年1月以来，日本时隔约20年再次上调邮资.1997年消费税率从3%上调至5%时，邮资未涨。
此外，在日本邮政银行或其它银行的自动柜员机（ATM)上的各种手续费也将涨价。
往外埠投寄平信,每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g 而不超过40 g,付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元（信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费（)
A．3.20元B．2。
90元
C．2。
80元D．2。
40元
解析：选A 由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元）．故选A.。
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近期汽车保养遇高峰车主可预约以免等候
信阳消息(见习记者买祥发)“五一”假期高速公路免费，不少“有车一族”选择自驾外出旅游。
如今假期结束，经过长途跋涉、雨打风吹、复杂的路况等影响，大批“跑累”、“跑残”的车辆近一段时间停满了4S店的车库等待维修保养。
记者从部分4S店获悉，从节后到现在他们一直在忙碌，有需要维修保养的车主们最好能通过电话预约，以免长时间等候。
5月14日，记者走访我市几家4S店看到，等待维修、保养的车辆停满了车库，维修技师们都忙得不可开交。
“现在是维修高峰期，一天要接收好几十辆，比平时多一倍。
”维修技师告诉记者，虽然维修的车辆大多只是做一下喷漆、钣金和保养，但由于维修、保养车辆太多，有时仍需排队等待。
“车辆按时定程的日常维护保养十分关键，就如同我们身体一样，不要小病不看，到了大病伤筋动骨。
”一家4S店售后服务经理米伟才告诉记者，车辆日常的保养很重要，所谓三分维修七分养，如果想要不花大钱，就得注重日常保养。
不按时保养，机件超负荷运作容易出问题，造成的隐患就是一颗定时炸弹。
没有按规定保养，一些本来是厂家保修范围内的项目也可能得不到厂家的保修。
记者了解到，五一假期天气情况良好，因此事故车没有往年多，但由于市民假日出游情绪高昂，长途归来后前往4S店保养的车辆增多。
在我市城区几家汽车保养店，记者发现，店内情况比较有序，车主只比平时多等半个小时左右就可以拿车。
但是事故车维修的周期却比平时要延长不少。
汽车维修服务人员提醒，汽车做保养检修的车主建议提前打电话预约，避开高峰期，以免出现工时拥堵和耽搁车主用车时间。
为了保养汽车,维护汽车性能,汽车保养一般都在购车的4S店进行,某地大众汽车4S店售后服务部设有一个服务窗口专门接待保养预约.假设车主预约保养登记所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往车主预约登记所需的时间统计结果如下:
登记所需时
1 2 3 4 5
间(分)
频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
从第—个车主开始预约登记时计时(用频率估计概率), (l)估计第三个车主恰好等待4分钟开始登记的概率:
(2)X 表示至第2分钟末已登记完的车主人数,求X 的分布列及数学期望.
【答案】解:设Y 表示车主登记所需的时间,用频率估计概率,Y 的分布如下: Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
(1)A 表示事件“第三个车主恰好等待4分钟开始登记”,则事件A 对应三种情形:
(1)第一个车主登记所需时间为1分钟,且第二个车主登记所需的时间为3分钟;
(2)第一个车主登记所需的时间为3分钟,且第二个车主登记所需的时间为1分钟;
(3)第一个和第二个车主登记所需的时间均为2分钟.
所以)2()2()1()3()3()1()(==+==+===Y P Y P Y P Y P Y P Y P A P 22.04.04.01.03.03.01.0=⨯+⨯+⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分
(2)X 所有可能的取值为:0,1,2.X=0对应第一个车主登记所需的时间超过2分钟,所 以5.0)2()0(=>==Y P X P ;X=1对应第一个车主登记所需的时间为1分钟且 第二个车主登记所需时间超过1分钟,或第一个车主登记所需的时间为2分钟, 所以)2()1()1()1(=+>===Y P Y P Y P X P 49.04.09.01.0=+⨯;X=2对应两个 车主登记所需的时间均为1分钟,所以01.01.01.0)1()1()2(=⨯=====Y P Y P X P ; ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分
所以X 的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
51.001.0249.015.00=⨯+⨯+⨯=EX .⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分。