高中数学热点素材
高中数学259个知识点
高中数学259个知识点一、集合与函数概念。
1. 集合。
- 集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合。
- 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性。
- 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图法。
- 集合间的基本关系：子集（如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么A是B的子集，记作A⊆ B）、真子集（如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂neqq B）、相等（A = B当且仅当A⊆ B且B⊆ A）。
- 集合的基本运算：- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。
- 补集：设U为全集，A⊆ U，则∁_UA={xx∈ U且x∉ A}。
2. 函数及其表示。
- 函数的概念：设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。
- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
- 函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。
3. 函数的基本性质。
- 单调性：- 增函数：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1时，都有f(x_1)，那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数。
- 减函数：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1时，都有f(x_1)>f(x_2)，那么就说函数y = f(x)在区间D上是减函数。
- 奇偶性：- 奇函数：设函数y = f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈ D，都有f(-x)= - f(x)，且0∈ D时f(0)=0，则函数y = f(x)是奇函数。
- 偶函数：设函数y = f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈ D，都有f(-x)=f(x)，则函数y = f(x)是偶函数。
高考数学259个核心考点
高中数学考试必备的知识点整理温馨提示：在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎样去做，所以在考前的一天必须回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要心中有公式，中等的题目都可以解决。
必修一：一、集合的运算：交集：定义：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 并集：定义：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为A B补集：定义：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为C UA 二、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）a m •a n =a m + n ，（2）a m ÷a n =a m -n ，（3）(a m )n =a m n （4）(ab )n = a n •b nn -11a n⎛a ⎫nm-n （5） ⎪=n （6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）a =n （8）am=a（9）am=mna b ⎝b ⎭a 2、根式的性质⎧a ,a ≥0n n n n n n n n （1）(a )=a .（2）当为奇数时，a =a ；当为偶数时，a =|a |=⎨.-a ,a <0⎩n n 5.指数式与对数式的互化：log aN =b ⇔a b =N (a >0,a ≠1,N >0).6、对数的运算法则：（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N = N （6）log a (MN) = log a M + log a N（7）log a (log b N M ) = log a M -log a N（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =Nlog banlog a b (a >0,且a >1,m ,n >0,且m ≠1,n ≠1,N >0).m （10）推论：log a m b n =（11）log a N =1（12）常用对数：lg N = log 10N（13）自然对数：ln A = log e Alog Na必修4：1、特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°πππ角α的弧度数643Sinα12223290°π21180°π0270°3π2-1360°2π0321Cosα12220-101tanα03313不存在0不存在02、诱导公式：函数名不变，符号看象限（把α看成锐角）公式一：Sin（α+2kπ）=Sinα公式二：Sin（α+π）=-SinαCos（α+2kπ）=Cosα Cos（α+π）=-Cosαtan（α+2kπ）=tanα tan（α+π）=tanα公式三：Sin（-α）=-Sinα公式四：Sin（π-α）=SinαCos（-α）= Cosα Cos（π-α）=-Cosαtan（-α）=-tanα tan（π-α）=-tanα公式五：Sin（π2-α）=Cosα公式六：Sin（π2+α）=CosαCos（ππ2-α）=Sinα Cos（2+α）=-Sinα3、两角和与角差的正弦、余弦和正切公式①sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β②sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β③cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β④cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β⑤tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β⑥tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β4.二倍角的正弦、余弦和正切公式①sin 2α=2sin αcos α②cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos α2-1③tan 2α=2tan α1-tan 2α④sin 2α=1-cos 2α2⑤cos 2α=1+cos 2α2sin αcos α=12sin 2α5、向量公式：→→→→①a ∥b ⇔x 1x =y 1(x 2,y 2≠0)（a ∥b ⇔x 1y 2-x 2,y 1=0）2y2→→→→→②a +b =(a +b )2=a 2+2a →⋅b →→+b 2=→2a +2a →⋅b →⋅cos θ+b→2→→③cos θ=a ⋅b =x 1x 2+y 1y2→（求向量的夹角）a ⋅→bx21+y2x2212+y2⑥④a ⊥b ⇔a ⋅b =0⑥平面内两点间的距离公式：设a =(x ,y ),则→2→→→→→a =x +y 或a =x 2+y 2→22→⑦平面内两点间的距离公式：a =(x 1-x 2)+(y 1-y 2)2222高中数学必修5知识点归纳第一章解三角形1、正弦定理：在∆AB C 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为∆AB C 的外接圆的a b c半径，则有===2R ．sin A sin B sin C2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ；a b c②sin A =，sin B =，sin C =；③a :b :c =sin A :sin B :sin C ；2R 2R 2R a +b +c a b c④．===sin A +sin B +sin C sin A sin B sin C（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
高中数学 三角函数公式大全素材 新人教A版必修4
高中三角函数公式大全三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB-1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotAcotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a -sina-sinb=2cos 2ba +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasi n(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a acos sin万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2aa+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa +-tana=2)2(tan 12tan2a a- 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2 其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =acos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin 〔2kπ＋α〕= sinαcos 〔2kπ＋α〕= cosαtan 〔2kπ＋α〕= tanαcot 〔2kπ＋α〕= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin 〔π＋α〕= -sinαcos 〔π＋α〕= -cosαtan 〔π＋α〕= tanαcot 〔π＋α〕= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin 〔-α〕= -sinαcos 〔-α〕= cosαtan 〔-α〕= -tanαcot 〔-α〕= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin 〔π-α〕= sinαcos 〔π-α〕= -cosαtan 〔π-α〕= -tanαcot 〔π-α〕= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin 〔2π-α〕= -sinαcos 〔2π-α〕= cosαtan 〔2π-α〕= -tanαcot 〔2π-α〕= -co tα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin 〔2π+α〕= cosα cos 〔2π+α〕= -sinα tan 〔2π+α〕= -cotα cot 〔2π+α〕= -tanα sin 〔2π-α〕= cosα cos 〔2π-α〕= sinα tan 〔2π-α〕= cotα cot 〔2π-α〕= tanα sin 〔23π+α〕= -cosα cos 〔23π+α〕= sinα tan 〔23π+α〕= -cotα cot 〔23π+α〕= -tanα sin 〔23π-α〕= -cosαcos 〔23π-α〕= -sinα tan 〔23π-α〕= cotα cot 〔23π-α〕= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明〔全部〕2009-07-08 16:13公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：〔a,b〕是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
高中数学热点素材村民饱受吃水困难数十载靠雨水过活
村民饱受吃水困难数十载靠雨水过活近日，山亭区凫城镇白庄村建设小组的侯先生拨打本报热线，反映多年来组内40多户村民吃水难的问题。
接到电话后，记者于本月16日赶往现场进行走访调查。
A探访小村吃水难已数十载建设小组本是一个自然村，全村共40多户，加起来约有160多名村民，村民们多数都姓侯。
16日上午9点半，记者赶到该村后，先找到了该组的组长侯化伟。
据他介绍，这几十年以来，村民吃水一直都是相当的困难，平时雨季吃水都是靠村旁河中的雨水，到了旱季，身强力壮的还能去相邻的黄山前村带水喝，而剩下一些上了岁数的村民就只能在山下买水吃。
“东山前村中有一根自来水管，每天供水时间只有两个小时，早上去接水时都得排队，要是过了这个时间，就只能花钱买水吃了。
”侯组长说道。
据村民介绍，因村中长年缺水，大概在20年前建设村曾在村东头一处靠河边的空地上打了一口深约20米，直径约3米的圆柱形蓄水池，雨季河水就会慢慢渗到蓄水池中。
但每年雨季之后，蓄水池的水便开始慢慢消耗掉，村民们便又开始了“讨水”生活。
在几位村民的带领下，记者沿着一条羊肠小道，来到了一处水泥砌成的石台，石台上留有一大一小两个孔，石台下方的蓄水池里空空如也，看不到有半点水星。
侯组长说这一次没水的情况已经持续一个多月了。
水池旁边的河道上铺满了大小不一的石头。
一位村民告诉记者，这条无名河也只有在雨季时才有水，之后河水慢慢渗进蓄水池，村民们这才能有了水喝。
靠雨水过活安全无保障雨季刚开始时打上来的水比较浑浊，但迫于对水的急切需求，村民打上来的水只能先在家澄一澄才能饮用。
这位村民接着说道：“好在附近没有大型的化工企业，水质还算过得去，唯独碱性比较大，这么多年都过来了，村民们也都习惯了。
”侯组长告诉记者，虽然没有化工污染，但雨季来临后，上游部分村民直接在河中洗衣服、洗澡，肯定会对该村村民吃水造成不小的影响。
蓄水池除了缺水的问题外，每次打水也是相当的艰难。
侯组长说因无地下水源，当时打这口蓄水池时并没有安装水泵，村民们来此处打水还是使用最原始的绳提，上了岁数的老年人只能用较小的水桶打水。
高中数学 三个“二次”及关系素材
三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围.●案例探究［例1］已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy c bx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－ab 2,x 1x 2=ac .|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a ac c a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得a c ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .a c ∈(－2,－21)时，为减函数 ∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3). ［例2］已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) ●锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ). 若－ab2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－a b2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－ab2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r abac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0; (2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+a b 2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+ab 2|> |β+ab2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q ab p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞,2] B.[－2,2] C.(－2,2] D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( ) A.正数 B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能 二、填空题3.(★★★★★)已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式33log log aya t a a= (a >0且a ≠1) (1)令t=a x,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值.6.(★★★★)如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证： (1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案 难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为：x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －21)2+425.∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max =425.∴49≤x ≤425. (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12.综上所述,49≤x ≤12.歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C2.解析：∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0. 答案：A二、3.解析：只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23). 答案：(－3，23） 4.解析：由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0三、5.解：(1）由log a 33log aya t t =得log a t －3=log t y －3log t a由t =a x知x =log a t ，代入上式得x －3=xx y a 3log -,∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 332+-x x(x ≠0).(2)令u =x 2－3x +3=(x －23)2+43 (x ≠0),则y =a u ①若0＜a ＜1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值.②若a >1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16.∴所求a =16,x =23. 6.解：∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2）当m >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}. 7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m)＜0.(2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =mrm p -+2>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.8.解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得 y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.(2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －265)2+1612.5∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.。
高中数学课本中的作文素材汇编
高中数学课本中的作文素材汇编数学课本不仅仅是研究数学知识的工具，其中也蕴含了丰富的作文素材。
本文将为你提供一些在高中数学课本中可以使用的作文素材。
以下是一些具体的例子：1. 数学在实际生活中的应用数学不仅仅存在于课本中，它也渗透到我们日常生活的各个领域。
我们可以从各个实际生活的例子中挖掘出作文素材，例如：- 数学在金融领域中的应用，如股票交易和利息计算；- 数学在建筑设计中的应用，如物体的体积和面积计算；- 数学在旅行规划中的应用，如时间和距离的计算。
2. 数学的发展历程数学作为一门学科，经历了漫长而丰富的发展历程。
我们可以选择其中一段历史，如中国古代的九章算术或者欧洲文艺复兴时期的数学发展，来撰写作文。
可以探讨其中的重要数学家、他们的贡献以及对现代数学的影响。
3. 数学中的趣味问题数学不仅仅是一门枯燥的学科，其中也包含了许多有趣的问题和谜题。
我们可以选择其中的一个趣味问题，如数独、数学谜题或者数学游戏，来撰写作文。
可以描述该问题的背景、解题方法以及它给我们带来的启示。
4. 数学与其他学科的关联数学与其他学科之间存在着密切的联系和应用。
我们可以选择某个学科，如物理学、经济学或者计算机科学，来探讨数学在该学科中的应用。
可以描述数学如何提供工具和方法来解决相关问题，并讨论数学在该学科中的重要性。
这些是一些在高中数学课本中可以使用的作文素材。
通过挖掘课本中丰富的内容和实际应用，我们可以从不同角度来探索和理解数学的重要性和魅力。
希望这些素材能够为你的作文提供一些启发和帮助。
---注意：以上内容均为简要介绍，具体作文内容需要根据个人的理解和深入研究进行创作。
高中数学 复数 排列组合二次项定理 线性规划素材
高中数学 复数 排列组合二次项定理 线性规划素材1．虚数单位数i 满足21i =-，且规定i 可以与实数在一起按实数的运算律进行四那么运算．i 叫做虚数单位．2．形如()a bi a b +∈R 、的数叫做复数．复数全体组成的集合叫做复数集，通常用字母C 表示．实数集R 是复数集C 的真子集，即R C ．定义了复数的加法和乘法运算后的复数集叫做复数系．3．单个复数常常用字母z 表示，即()z a bi a b =+∈R 、．把复数z 表示成a bi +时，叫做复数的代数形式，并规定00i =，0bi bi +=．a 与b 分别叫做复数z a bi =+的实部与虚部．复数z 的实部记作Re z ，复数z 的虚部记作Im z ．当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；当0b ≠时，z 叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z a bi bi =+=叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 是实数0．4．复数相等：两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等．5．共轭复数：两个复数共轭，当且仅当它们的实部相等，虚部互为相反数，z 的共轭复数记为z ．6．建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．复数z a bi =+所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离叫做复数z 的模〔或绝对值〕，记作z ．z a bi =+7．复数集C 中的元素与复平面上以原点为起始点的向量是一一对应的〔实数0与零向量对应〕，可以把复数z a bi =+看作点(),Z a b 或看作向量OZ ． 8．共轭复数与复数的模的性质：〔1〕2Re z z z +=；〔2〕2Im z z i z -=；〔3〕z z z ∈⇔=R ；〔4〕z z =；〔5〕2z z z ⋅=． 9．四那么运算法那么：加减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+± 乘除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++2222a bi ac bd bc adi c di c d c d ++-=++++〔以上a b c d 、、、均为实数〕 运算律：1221z z z z +=+，()()123123z z z z z z ++=++，1221z z z z ⋅=⋅，()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，()1231213z z z z z z z +=+10．共轭复数运算性质：设1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，2zz z =，1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可推广到n 个复数：1212n n z z z z z z +++=+++，1212n n z z z z z z ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，()nnz z =11．复数模的运算性质：11121222,,z z z z z z z z ==nn z z = 12．实系数一元二次方程()20,,0ax bx c a b c a ++=∈≠R 且在复数集中恒有解．当判别式240b ac ∆=-≥时，方程有实数解1,22b x a-=；当判别式240b ac∆=-<时，方程有一对共轭虚根2b x a =-．1．四个命题：〔1〕,a b ∈R ，那么a b +i 是虚数；〔2〕b ∈R ，那么b i 是纯虚数； 〔3〕z a =不是虚数；〔4〕14z <<，那么z 不是虚数．其中正确命题的个数是〔〕(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个2．以下结论中正确的选项是〔〕〔A 〕假设0,0,21222121===+∈z z z z C z z 则且〔B 〕假设,z a =那么 z a =± 〔C 〕22z z =〔D 〕()()1112--=-z z z3．如果α、C ∈β，假设022=+βα，那么 ( )(A) 0==βα (B) βα= (C)0≠=βα (D) αβ=±i排列、组合与概率、统计 1．加法原理和乘法原理加法原理：如果完成一件事有n 类办法，第1类办法中有1m 种不同的方法，第2类办法有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法有n m 种不同的方法， 那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法．乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法， 那么完成这件事共有n m m m N 21=种不同的方法． 2．排列与组合〔1〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列．〔2〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，记作mn P ．〔3〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合．〔4〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C ． 3．主要公式排列数公式：)!(!)1()2()1(m n n m n n n n P mn -=+-⋅⋅-⋅-⋅= )(n m ≤；!321n n P n n =⨯⨯⨯⨯= ；1!0=．组合数公式：)!(!!321)1()2()1(m n m n m m n n n n C mn -=⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅-⋅-⋅=)(n m ≤．组合数性质：〔1〕m n n m n C C -=)(n m ≤；〔2〕11-++=r n r n r n C C C )1(n r ≤≤．性质一的实际模型：六人中选两人和六人中选四人的情况是一样的。
人教版高中数学课本教材作文素材
人教版高中数学课本教材作文素材前言数学是一门重要的学科，也是高中阶段学生必修的一门课程。
人教版高中数学课本是国内广泛使用的教材之一，其内容丰富全面，涵盖了数学的各个方面。
本文将为大家整理一些人教版高中数学课本的作文素材，供大家参考。
数学的应用1. 数学在日常生活中的应用：调查分析家庭在一周内的饮食支出情况，利用图表和数据分析方法分析其变化规律，并提出合理的节省方案。
2. 数学在工程设计中的应用：以桥梁设计为例，介绍桥梁结构中用到的力学原理和数学模型，以及进行桥梁设计所需要的数学知识和技巧。
3. 数学在金融投资中的应用：通过研究数学知识，了解投资计划中的基本概念和模型，分析投资回报率、风险管理等问题，帮助投资者做出明智的决策。
数学的思维方式1. 数学推理与证明：通过研究数学，培养逻辑思维和严密的推理能力，了解数学定理的证明过程，培养对逻辑和推理的敏感性，提高解决问题的能力。
2. 数学建模与解决实际问题：数学建模是将现实问题转化为数学问题并解决的过程，通过研究数学建模的方法和技巧，培养学生对实际问题的抽象思维和解决问题的能力。
数学与其他学科的关联1. 数学与物理的关系：介绍数学在物理学中的应用，如力学中的运动学和动力学公式的推导，电磁学中的电路分析等，以及物理实验中数据的统计和分析。
2. 数学与经济学的关系：讨论数学在经济学中的应用，如成本函数和收益函数的数学建模，供求关系的图像分析等。
3. 数学与计算机科学的关系：介绍数学在计算机科学中的应用，如算法设计与分析、密码学等，以及数学在计算机图形学中的应用。
数学之美1. 数学的美学：数学具有自身的美学价值，通过研究数学可以感受到其中的美妙和精妙，培养审美情趣和对美的追求。
2. 数学与艺术的结合：介绍数学在艺术领域中的应用，如黄金分割在绘画和建筑中的运用，对称性在几何图形中的体现等。
通过以上的素材，我们可以看到数学在不同领域的应用和思维方式，以及与其他学科的关联，展示了数学的重要性和美妙之处。
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混动遍地开花,电动继续发酵
在自然环境越来越严峻的市场里,发展环保、安全、节油的汽车已成为众多车企的共识,而借助车展平台发布各种节能及新能源车,也已经不再只是单纯的战略概念、技术“走秀”,更多的是从实际可操作的量产化、规模化生产转变。
其中最值得关注的是,为让未来更美好,在即将到来的2014北京车展上,展出的新能源汽车将达到79辆,涵盖有电动车、插电式混合动力车以及混合动力等。
有业内人士分析认为,在新能源汽车鼓励政策频出的背景下,新能源汽车的产业化正处于空前的高涨期。
混动成为“节能减排”最佳途径
随着“混合动力不是过渡是必由之路”的认识路线修正,我们不难发现,在即将发布的环保车型当中,混合动力遍地开花,除了混动力领域的领头羊丰田将携雷克萨斯全球首发一款全新紧凑型SUV NX混合动力车型外,包括现代索纳塔、路虎揽胜、沃尔沃S60L、荣威550等都将亮相混合动力版车型,可以说,上述车型离市场普及的距离将更近一步了。
此外,标致、斯巴鲁、莲花等品牌也将发布混动力概念车,强烈表达对环保车型的重视和关注。
面对着国家势在必得的“节能减排”政策,在这里,我们不妨引用一下清华大学汽车产业与技术战略研究院院长赵福全曾经说过的话:“混合动力最了不起的地方是,不要求对当下的电池技术做太多改变,只适当增加成本,就可以帮助企业实现5%—50%的节油效果。
”可以说,混合动力车已成为当下解决我国能源困局最现实有效的途径,而且相比起尚未普及的纯电动车,也只有在节能减排上下功夫,才能解决雾霾问题。
不再玩噱头,它们很快就能上市
当然,尽管纯电动车因充电配套设施不够完善、电池造价成本太高以及消费者安全顾虑等因素而至今无法市场化,但它依然是国家“节能减排”的大方向,在本届北京车展上,包括比亚迪戴姆勒首款纯电动汽车DENZA腾势、长安逸动纯电动版、江淮和悦iEV5电动车等都将亮相,并有望很快在国内上市销售。
也许有人会说,新能源汽车叫嚣了很多年,可每年都是雷声大雨点小,总是卖不动。
但有关数据显示,2013年中国新能源汽车产量1.75万辆,同比2012年增长了39.7%,其中纯电动14243辆,插电式混合动力3290辆;新能源汽车销售1.76万辆,同比2012年增长了37.9%,其中纯电动销售14604辆,插电式混合动力销售3038辆。
可以说,中国的新能源汽车市场已经快速启动。
而2014的北京车展,便是为未来的节能环保而来!相信未来各种在终端销售的利好政策,将让新能源车成为了真正能销售的环保车。
车型
抢先看
雷克萨斯全新SUV NX 将丰田油电混合进行到底
一句话点评:全新NX量产版是一款紧凑型SUV车型,其将与奥迪Q3和奔驰GLA等车型竞争豪华紧凑型SUV市场。
新车除了采用家族式纺锤形前进气格栅,将提供搭载完全油电混合动力系统的NX 300h,配置全新开发的2.0升涡轮增压汽油引擎的NX 200t,以及配备了自然吸气引擎的NX 200,同时引擎自动启停功能可以进一步帮助降低油耗。
DENZA腾势纯电动售价令人期待
一句话点评:比亚迪与戴姆勒合作开发的新能源车品牌“DENZA腾势”生产线现已建设完成并投入运行,首款电动汽车已开始小批量试生产。
记者近日从比亚迪戴姆勒官方获悉,第一款纯电动汽车DENZA腾势将在北京车展首发并公布售价。
比亚迪唐三擎电四驱百公里加速仅需4.9秒
一句话点评:542战略是比亚迪在双驱战略基础上,针对旗下未来新能源车核心性能指标做出的明确战略规划。
唐正是542战略下诞生的首款车型,配备三擎动力,搭载极速电四驱,百公里加速仅为4.9秒。
标致Exalt 法式混合动力概念
一句话点评:全新标致Exalt概念车的造型,采用了诸多标致Onyx概念车的设计元素。
这款四门轿跑在动力方面,将采用Hybrid4混合动力系统,由一台汽油发动机和一台电动机配合输出动力。
斯巴鲁“SUBARU VIZIV 2” 混动概念车亚洲首秀
一句话点评:今年,正值斯巴鲁汽车进入中国市场10周年。
斯巴鲁将利用北京车展,回顾发展历程,展示未来发展信心。
在本届北京车展上,斯巴鲁混合动力概念车“SUBARU VIZIV 2”将首次在亚洲展出,同时采用独立后电机驱动左右对称全时四驱系统等创新技术。
宾利慕尚混合动力车高大上的绿色座驾
一句话点评:慕尚是宾利的一流产品,引入的这套混合动力系统在动力输出方面将比普通慕尚提升25%,同时二氧化碳排放降低70%,而在纯电动模式下工作续航里程将达到50公里左右。
大众高尔夫神车也可插电玩混动
一句话点评:在车身尺寸方面,高尔夫GTE与第七代高尔夫保持一致,2637mm的轴距将保证车内的乘坐空间。
从侧面看上去,我们完全会以为它就是一款普通的高尔夫车型,但来到车辆尾部,与前方进气格栅相互呼应的“GTE”标志,则主要可以用于区分。
车辆的油耗仅为1.8L,相比普通版车型油耗大幅降低。
某电动汽车厂生产A、B两类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种，某月产量如表：
20辆．
(1)求x 的值；
(2)用分层抽样的方法在B 类轿车中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2辆，求至少有一辆舒适轿车的概率．
解：(1)由20400＝50800＋x
，解得x ＝200. (2)抽取容量为6的样本，则其中舒适型轿车为2辆，标准型轿车为4辆，可设舒适型轿车为A 1，A 2，标准型轿车为B 1，B 2，B 3，B 4，则从6辆的样本中任抽2辆的可能有A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2，B 1B 2，B 1B 3，B 1B 4，B 2B 3，B 2B 4，B 3B 4共15种，至少有一辆是舒适型轿车的可能有A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2共9种，所
以至少有一辆是舒适型轿车的概率是P ＝915＝35
.。