5-4第4节 圆周运动

第4节 圆周运动
课标定位 ①知道什么是圆周运动和匀速圆周运动．②理解线速度、角速度和周期的概念，知道它们是描述匀 速圆周运动快慢的物理量．③理解线速度、角速度、周期间的关系．
填一填 · 知识清单 ———————————————— 一、圆周运动 物体沿 1 ____所做的运动． 二、描述圆周运动的物理量 1． 线速度 (1)物体通过的 2 ____与所用时间的比值，公式 v＝ 3 ______，单位 为 m/s. (2) 当所取时间间隔 Δt 很小时， v 即为 4 __________.线速度是 5 ____，它的方向为该点圆的 6 ________.
图 5－ 4－ 8
解：两个小球的角速度都与杆转动的角速度相同，根据公式 v＝ v1 r1 rω，角速度相等的情况下，半径与线速度成正比， ＝ ，由于 r1＋ r2 v2 r2 lv2 ＝ l， r2＝ . v1＋ v2
答案：B
题型三 圆周运动的综合应用 【例3】 如图5－4－9所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方 向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为圆盘边缘上的B，则小球的初速度v＝ __________，圆盘转动的角速度ω ＝__________.
2．如图5－4－1所示的皮带传动装置，主动轮A，从动轮B，E是A轮上的一点，则E、C两点具有 相同的__________(填“角速度”或“线速度”)，C、D两点具有相同大小的__________(填“角 速度”或“线速度”)． 答案：角速度 线速度
图 5－ 4－ 1
3．做匀速圆周运动的物体，20 s内沿半径是10m的圆周运动了100 m，则其线速度大小是 __________m/s，周期是__________s，角速度是__________rad/s.
图 5－ 4－ 9
1 解析：小球做平抛运动，在竖直方向上 h＝ gt2， 2 则运动时间 t＝ 2h . g g . 2h
R 又因为其水平位移为 R，所以小球的初速度 v＝ ＝ R t 在时间 t内设圆盘转过了 n周，则转过的角度 θ＝ n·2π. 又因为 θ＝ ωt， 故圆盘转动的角速度 ω＝ n ·2π ＝ 2nπ t g (n＝ 1,2,3… )． 2h
图 5－ 4－ 7
解析：首先寻找同一轮上不同点的相同物理量 ω以及不同轮缘上不 同点的相同物理量 v，然后借助公式来比较求解． 因同一轮子 (或固结在一起的两轮 )上各点的角速度都相等，皮带传 动 (皮带不打滑 )中与皮带接触的轮缘上各点在相等时间内转过的圆弧长 度相等，其线速度都相等．故本题中 B、 C两点的角速度相等，即 ωB＝ ωC① A、 B两点的线速度相等，即 vA＝ vB② 因 A、 B两点分别在半径为 r1和 r3的轮缘上， r3＝ 2r1， v 故由 ω＝ 及 ②式 r
答案：(1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s 反思：正确理解线速度、角速度、周期等概念是解决此类问题的前提．
【变式1】 地球半径R＝6 400 km，站在赤们的线速度多大？
解：如图 5－ 4－ 6所示作出地球自转示意图，设赤道上的人站在 A 点，北纬 60° 上的人站在 B点，地球自转角速度固定不变， A、 B两点的 角速度相同，有 2π ωA＝ ωB＝ T 2× 3.14 － ＝ rad/s＝ 7.2× 10 5 rad/s. 24×3 600
9 不变
11 单位时间
14 处处相等
做一做·预习自测———————————————— 1．一个物体做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A．物体在相等时间内转过的角度相等，即角速度不变 B．物体在相等时间内经过的弧长相等，即速度不变 C．物体在相等时间内经过的位移相等，即速度不变 D．物体在相等时间内经过的弧长相等，即速率不变 解析：做匀速圆周运动的物体角速度不变，线速度大小不变，方向时刻变化． 答案：AD
并且转动方向相同．
图 5－ 4－ 4
3． 齿轮传动． A点和 B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合．如图 5－ 4－ 5所示，齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定 量关系： TA r1 n1 ωA r2 n2 vA＝ vB， ＝ ＝ ， ＝ ＝ . TB r2 n2 ωB r1 n1 式中 n1、 n2分别表示两齿轮的齿数．两点转动方向相反．
特别提示：线速度、角速度、周期、频率、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不 同．线速度v描述质点运动的快慢，而角速度ω、周期T、频率f、转速n描述质点转动的快慢．对于 不同的圆周运动，线速度大的，角速度不一定大，反之亦然．
二、描述圆周运动的各物理量之间的关系 1．线速度和角速度间的关系． 如果物体沿半径为 r的圆周做匀速圆周运动，在时间 Δt内通过的弧 长是 Δl，半径转过的角度是 Δθ，由数学知识知 Δl＝ rΔθ，于是有 v＝ ＝ rΔθ ＝ rω，即 v＝ rω. Δt 上式表明： r一定时， v与 ω成正比； ω一定时， v与 r成正比； v一 定时， ω与 r成反比． 的． Δl Δt
答案：R
g 2h
2nπ
g (n＝1,2,3…) 2h
反思：对于有关圆周运动和平抛运动相结合的问题，架起这两种不同运动问题的桥梁的物理量往往 是时间．因为对于匀速圆周运动而言，它具有周期性，所以该类题中也常出现多解的情况，我们应 引起重视．
三、常见传动装置及其特点 1． 共轴传动． A点和 B点在同轴的一个圆盘上，如图 5－ 4－ 3所示，圆盘转动 时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系： vA r ωA＝ ωB， ＝ ， TA＝ TB. vB R 并且转动方向相同．
图 5－ 4－ 3
2．皮带传动． A点和 B点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连起来，并 且皮带不打滑．如图 5－ 4－ 4所示，轮子转动时，它们的线速度、角速 度、周期存在以下定量关系： vA＝ vB， ωA r T A R ＝ ， ＝ . ωB R T B r
图 5－ 4－ 5
题型探究————————————————————— 题型一 描述圆周运动的物理量 【例1】 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运 动时： (1)线速度的大小； (2)角速度的大小； (3)周期的大小．
s 解析： (1)依据线速度的定义式 v＝ ， t s 100 得 v＝ ＝ m/s＝ 10 m/s. 10 t v 10 (2)依据 v＝ ωr，得 ω＝ ＝ rad/s＝ 0.5 rad/s. r 20 2π 2π 2π (3)由 ω＝ ，可知 T＝ ＝ s＝ 4π s. T ω 0.5
【变式 2】 两个小球固定在一根长为 l的硬杆两端，绕杆的 O点做 圆周运动，如图 5－ 4－8所示，当小球 1的速度为 v1时，小球 2的速度为 v2，则转轴 O到小球 2的距离是 ( lv1 A. v1＋ v2 l v1＋ v2 C. v2 ) lv2 B. v1＋ v2 l v1＋ v2 D. v1
2．线速度与周期的关系． 由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通过的弧长为 2πr，所 以有 v＝ 2πr . T
上式表明，当半径相同时，周期小的线速度大，当半径不同时， 周期小的线速度不一定大，所以，周期与线速度描述的快慢是不一样 的． 3．角速度与周期的关系． 由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为 2π 2π，则有 ω＝ . T
2π 由T＝ 及④式可得 A、 B、 C三点的周期之比为 ω TA∶TB∶TC＝ 1∶2∶2.⑦
答案：4∶4∶3 2∶1∶1 1∶2∶2 反思：此类问题为描述圆周运动的各物理量间的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握公式，抓住 相同量．皮带传动不打滑时，两轮边缘各质点具有相同的线速度、同一转轴的轮上的所有点具有相 同的角速度．与此类似的还有摩擦传动、齿轮传动等。
可得角速度 ωA＝ 2ωB.③ 由 ①③式可得 A、 B、 C三点角速度之比为 ωA∶ ωB∶ ωC＝ 2∶ 1∶ 1.④ 因 B、 C分别在半径为 r3、 r2的轮缘上， 3 3 r2＝ r1＝ r3， 2 4 故由 v＝ rω及 ①式 4 可得线速度 vB＝ vC.⑤ 3 由 ②⑤式可得 A、 B、 C三点线速度之比为 vA∶ vB∶ vC＝ 4∶ 4∶ 3.⑥
的就是瞬时线速度．
图 5－ 4－ 2
2．角速度：描述物体绕圆心转动的快慢，大小等于连接运动物体 和圆心的半径转过的角度 Δθ和所用时间 Δt的比值，即ω＝ 弧度每秒 (rad/s)． 3．周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，周期用 T 表示，单位为秒 (s)．周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点 ——周 期性．其具体含义是，描述匀速圆周运动的一些变化的物理量，每经 过一个周期时，大小和方向与初始时刻完全相同．如线速度、向心加 速度等． 4．频率：做圆周运动的物体在1 s内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做 频率，用 f表示，单位为赫兹 (Hz)． Δθ ，单位是 Δt
图 5－ 4－ 6
依题意可知 A、 B两处站立的人随地球自转做匀速圆周运动的半径 分别为 RA＝ R， RB＝ Rcos60° ，则由 v＝ ω· r可知， A、 B两点的线速度分 别为：
答案：两人的角速度均为7.2×10－5rad/s；线速度分别为460.8 m/s和230.4 m/s
题型二 传动装置中各物理量的关系 【例2】 如图5－4－7所示的皮带传动装置(传动皮带是绷紧的且运动中不打滑)中，主动轮O1的半 径为r1，从动轮O2有大小两轮固定在一个轴心O2上，半径分别为r3、r2，已知r3＝2r1，r2＝1.5r1，A、 B、C分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时，A、B、C三点的线速度之比为 __________；角速度之比为__________；周期之比为__________．
解析： (1)由线速度的定义，得 v＝
Δl πR ＝ . Δt t
x 2R (2)质点在时间 t 内的平均速度由 v ＝ ，得 v ＝ . t t πR 2R 答案：(1) (2) t t