强度理论.
强度理论
1. 建立强度条件的复杂性 复杂应力状态的形式是无穷无尽的, 建立复杂应力状态下的强度条件, 建立复杂应力状态下的强度条件,采用 模拟的方法几乎是不可能的,即逐一用 模拟的方法几乎是不可能的, 试验的方法建立强度条件是行不通的, 试验的方法建立强度条件是行不通的, 需要从理论上找出路. 需要从理论上找出路.
§10-2 四个常用强度理论 10- 及其相当应力
脆性断裂 破坏形式分类 塑性屈服
(一)脆性断裂理论
1. 最大拉应力理论 第一强度理论) (第一强度理论)
无论材料处于什么应力状态, 无论材料处于什么应力状态,只要 最大拉应力达到极限值, 最大拉应力达到极限值,材料就会发生 脆性断裂. 脆性断裂.
< [τ]
例题2 例题
P
A
○
P=200kN
D 420
○ ○
120 14 B 280 8.5 z
C 420
2500
200 Q
○
K y 14
(kN) )
84 M
200
○
○
(kNm) )
120 14 280 8.5 z
例题2 例题
y 4.主应力校核 4.主应力校核 K点: σ = 149.5 ΜPa, 点 Μ
一,两个概念: 两个概念:
1,极限应力圆: 极限应力圆:
τα
τs
极限应力圆
σ s3
O
σα
σ s2
σ s1
2,尔强度理论: 莫尔强度理论:
任意一点的应力圆若与极限曲线相接触, 任意一点的应力圆若与极限曲线相接触,则材料即 将屈服或剪断. 将屈服或剪断. 下面推导莫尔强度理论的破坏条件
σ x +σ y
强度理论
M max ya 80103 N m 135103 m 122.7 MPa 6 4 Iz 8810 m
第9章 强度理论
9-1 强度理论概述
强度条件： max
[ ]
适用于单向应力状态，σmax为拉（压）杆横截面上 的正应力或梁横截面上的最大弯曲正应力。
max [ ]
适用于纯剪切应力状态，τmax为圆轴扭转时横截 面上的最大切应力或梁在横力弯曲时横截面上的 最大弯曲切应力。
[σ]或[τ]是由拉伸（或压缩）试验或纯剪切试验所
且相应的材料多为塑性材料；为避免在校核强度时
需先求主应力值等的麻烦，可直接利用图示应力状
Ⅱ.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。
铸铁拉伸时沿试件的横截面断裂
铸铁圆轴扭转时沿与轴线约成 450的螺旋面断裂。 断裂与最大拉应力或最大拉应变有关，是拉应力 或拉应变过大所致。
低碳钢拉伸至屈服时，会出现与轴线约成450 的滑移线。
低碳钢圆轴扭转时沿纵横方向出现滑移线。
屈服或显著塑性变形是切应力过大所致。
2
2 0
3 2 27.7 MP a 2 2
2
由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第 四强度理论校核a点的强度。
r3 1 3 150.4 MPa 27.7 MPa 178.1 MPa
r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
四大强度理论
四大强度理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax 达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
τmax=τ0。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
所以按第四强度理论的强度条件为：sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]。
13-3四个强度理论-材料力学
强度计算。
例1 图示几种单元体，分别按第三和第四强度理论 求相当应力（单位MPa)
60
100
（1）
40 100
40
（2）
10
60
30 （3）
例2 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构
件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。
7.7
0
0
所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。
第三强度理论（第三相当应力） xd3 1 3
第四强度理论（第四相当应力）
xd 4
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1
2
三、强度计算的步骤：
1、外力分析：确定所需的外力。 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。 3、应力分析：画危险截面应力分布图，确定危险点并画出单元
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
第一、第二强度理论适合于脆性材料； 第三、第四强度理论适合于塑性材料。 1、伽利略1638年提出了第一强度理论； 2、马里奥特1682年提出了第二强度理论；
3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；也有一说是库 伦1773年提出，特雷斯卡1868完善的。
到单向拉伸的强度极限时，构件就发生断裂。
1、破坏判据： 1 b ;( 1 0)
2、强度准则： 1 ; ( 1 0)
3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。
材料力学强度理论
x=24MPa
x
x=28MPa
解： 首先计算危险点处的主应力。 已知 x =28MPa、 y=0、 x= – 24MPa
由主应力计算式得
1 3
28 2
另一主应力
28 2
2
242
2 0
41.8
MPa
13.8
按莫尔强度条件，得
rM
1
t c
3
41.8
50 150
13.8
讨论
1、双剪应力强度理论与大多数金属材料的实验结果符 合得较好,对于铝合金在复杂应力状态下的实验结果，
较第四强度理论更为接近。 2、该理论也适用于岩石及土壤等材料，并与实验结果有
良好的符合。注意，其失效状态不再是屈服，而是 剪断或滑移。 3、该理论可看作是宏观固体力学中引用微观晶体滑移 理论而提出的一种进似，
A
B
C
0
从理论上讲，确定了 ABC 包络线，就可以确定各种应力状态 下的极限应力圆。
不同材料，包络线不同；
同一材料，包络线唯一。
3、莫尔强度理论的简化
以单向拉、压试验数据得两个极限应力圆，该两圆 的公切线代 替包络线，再除以安全系数。
强度条件：
压
拉
1
t c
3
t
0
相当应力：
3 c
1 t
rM
120 MPa r4
1 2
1
2 2
2
3 2
3
1
2
(a)
1 2
0
1202
120
1202
120
02
120MPa
（2）对于图 b 所示的单元体， 已知 1=14 0MPa，2=110MPa , 3=0
工程力学中四种强度理论
为了探讨导致材料破坏的规律，对材料破坏或失效进行了假设即为强度理论，简述工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用第一理论的应用和局限1、应用材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
2、局限没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
材料力学四大强度理论
材料力学四大强度理论材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，其中强度理论是材料力学中的重要内容之一。
材料的强度是指材料在外力作用下抵抗破坏的能力，而强度理论则是用来描述和预测材料在不同应力状态下的破坏规律和强度值的理论体系。
在材料力学中，有四大经典的强度理论，分别是极限强度理论、绝对最大剪应力理论、莫尔-库伊特理论和最大应变能理论。
首先，极限强度理论是最早被提出的强度理论之一，它是根据材料的屈服条件来描述材料的破坏规律。
极限强度理论认为材料在受到外力作用时，只要应力达到了材料的屈服强度，材料就会发生破坏。
这种理论简单直观，易于应用，但在实际工程中往往存在一定的局限性，因为它忽略了材料在屈服之前的变形过程。
其次，绝对最大剪应力理论是基于材料的最大剪应力来描述材料的破坏规律。
这种理论认为，材料在受到外力作用时，只要材料中的最大剪应力达到了材料的抗剪强度，材料就会发生破坏。
这种理论在一些特定情况下具有较好的适用性，但在一些复杂应力状态下往往难以准确描述材料的破坏规律。
接下来，莫尔-库伊特理论是基于材料的主应力来描述材料的破坏规律。
这种理论认为，材料在受到外力作用时，只要材料中的任意一个主应力达到了材料的抗拉强度或抗压强度，材料就会发生破坏。
莫尔-库伊特理论相对于前两种理论来说，更加全面和准确，因为它考虑了材料在不同应力状态下的破坏规律。
最后，最大应变能理论是基于材料的应变能来描述材料的破坏规律。
这种理论认为，材料在受到外力作用时，只要材料中的应变能达到了材料的抗拉强度或抗压强度，材料就会发生破坏。
最大应变能理论在描述材料的破坏规律时考虑了材料的变形能量，因此在一些复杂应力状态下具有较好的适用性。
综上所述，材料力学中的强度理论是描述和预测材料在外力作用下的破坏规律和强度值的重要理论体系。
四大强度理论分别是极限强度理论、绝对最大剪应力理论、莫尔-库伊特理论和最大应变能理论，它们各自具有一定的适用范围和局限性，工程应用中需要根据具体情况进行选择和应用。
强度理论
第一强度理论（最大拉应力准则）（maximum tensile stree criterion）:无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元内的最大拉应力δmax达到了某个共同的极限值。
根据这一理论，“无论什么应力状态”，当然包括单向应力状态。
脆性材料单向拉伸试验结果表明，当横截面上的正应力δ=δb时发生脆性断裂；对于单向拉伸，横截面上的正应力，就是微元所有方向面中的最大正应力，即δmax=δ;所以δb就是所有应力状态发生脆性断裂的极限值，同时，无论什么应力状态，只要存在大于零的正应力，δ1（第一主应力）就是最大拉应力，因此应力状态发生脆性断裂的失效判据为δ1=δb。
相应的强度条件δ1≤[δ]=δb/nb第二强度理论（最大拉应变准则）（maximum tensile strain criterion）:无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元内的最大拉应变ε1达到了某个共同的极限值。
根据这一理论以及胡克定律，单向应力状态的最大拉应变εmax=δmax/E=δ/E,δ为横截面上的正应力；脆性材料单向拉伸实验结果表明，当δ=δb时发生脆性断裂，这时的最大应变值为εmax0=δmax/E=δb/E；所以δb/E就是所有应力状态发生脆性断裂的极限值。
同时，对于主应力为δ1、δ2、δ3的任意应力状态，根据广义胡克定律，最大拉应变为εmax=δ1/E-νδ2/E-νδ3/E=(δ1-νδ2-νδ3)/E,因此所有应力状态发生脆性断裂的失效判据为δ1-ν(δ2+δ3)=δb(这一理论只与少数脆性材料的实验结果吻合)相应的强度条件δ1-ν(δ2+δ3)≤[δ]=δb/nb第三强度理论（最大剪应力准则）（maximum shearing stress criterion）:无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服（或剪断），其共同原因都是由于微元内的最大剪应力τmax达到了某个共同的极限值。
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第九章 强度理论
9.1 直径d =100mm 的圆截面钢杆受轴向拉力F = 2kN 和矩M e =10Nm 的力偶作用。
[σ] =1 60MPa ，试用第三强度理论校核该杆的强度。
(σ3r = 105 MPa)
解：拉伸扭转组合变形，危险点是圆周上各点， 应力状态见图
安全。
],[MPa MPa
)(MPa
(στσσπτπσ≤=+==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅==1054150101010155251010242233
32
3r p e .W M .)A F
9.2 炮筒横截面如图所示。
在危险点处 ，t σ= 550 MPa 。
τσ= -350 MPa ，第三个主应力垂直于图面是拉应力，且其大小为420MPa 。
试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。
解：危险点是三向越应力状态
])()(
)[(MPa MPa
MPa
MPa 2222
1
9003505503504205553332214313321=-+-+-=
=+=-=-=====σσσσσσσσσσσσσσστr r t
τ
9.3图示圆截面铸铁杆， 承受轴向载荷F 1，横向载荷F 2和矩为M 1的扭力偶作用，试用第一强度理论校核杆的强度。
已知载荷F 1 = 30 kN ， F 2 = 1．2 kN ， M 1 = 700 Nm ，杆径d = 80 mm ，杆长l = 800 mm ，许用应力[σ] = 35 MPa 。
解：拉弯扭组合变形。
A 截面上边缘为危险点
1. 应力分析：MPa
MPa 696801070016161258080010213280103043243
3313
323
3
221.d M W T
..d l F d F W M A F p Z A N =⋅⋅⋅=⋅⋅===⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=+=
ππτππππσ
2. 强度校核安全。
，〈核杆的强度一采用第一强度理论校∴∴>==⋅+-==⋅++=][
-.8MPa,-]6.69425.1[25.126.8MPa,
]6.69425.1[25.12222σσσσσσσ1312310
12
1
2
1 ,, 9.4图示皮带轮传动轴，传递功率P = 7kW ，转速n =200r/min 。
皮带轮重量W = 1.8kN 。
左端齿轮上啮合力F n 与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为200。
轴的材料为Q255钢，其许用应力[σ] = 80 MPa 。
试分别在忽略和考虑皮带轮重量的两种情况下，按第三强度理
9.5 图示水平圆截面直角曲拐ABC ，受铅直力F 作用，杆的直径 d =70mm ，P =10kN ，[σ] = 160MPa 。
试用第三强度理论校核杆的强度。
（σr 3= 107 MPa ） 解：弯扭组合变形。
A 截面上边缘为危险点 强度够。
∴<=⋅⋅+⋅⋅⋅=
=
+=
+===
][MPa )()(r3σπτσστσ1107200101030010107032
1
423233
2222.T M W W T
,W M z
p
Z A
9.6某精密磨床砂轮轴如图所示，电动机的功率P = 3kW ，转子转速n = 1400 r/min ，转子重量W 1 = 101N ；砂轮直径D =250mm ，砂轮重量W 2=275N ；磨削力F z :F y =3:1，砂轮轴直径d = 50mm ，〔σ〕=60MPa 。
（1）试用单元体表示出危险点的应力状态，并求出主应力和最大剪应力；（2）试用第三强度理论校核砂轮轴的强度。
[(1) σ1 = 3.11 MPa , σ2 =0， σ3 = -0.22MPa , ,τmax = 1.67 Mpa; （2）σr 3= 3.33 MPa, σr 3= 107 MPa]
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa MPa max 2233230036212
230283047322732032830473227328301005
0462016732100505
33323133
12
232
2163
63...............W T ...W M r p z =+=-==-=
=-=⋅+-==
⋅++==⨯⋅⋅===⨯⋅⋅==
--σσσσστσσσπτπσ
B
1 z
9.7 图示铁路圆信号板，装在外径D = 60mm 的空心柱上。
若信号板上所受的最大风载为p = 2000N/m 2，许用应力为[σ] = 60MPa ，试用第三强度理论选择空心柱的壁厚。
(t = 0.265cm)
解：弯扭组合变形。
固端截面前后边缘为危险点
mm
)(60][][)t (-1][)-(1Nm Nm,N
44438262
9120912
030801308060806010739232323213216080739245020004
223
3
2
23
2232
232232
.D .D t ..D
D-2t ....T M D F
T M D F D T M D F T M W .F T .F M ..A p F z r =⋅-==-===+⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅=+⋅⋅=-==+⋅=+=⋅=⋅==⋅⋅=⋅=απσπσπασαπσπ
9.8 图为操纵装置水平杆，截面为空心圆形，内径d = 24 mm ，外径D = 30 mm 。
材料为。