《信号检测与估计》第二章习题解答
信号检测与估计试题——答案(不完整版)
一、概念：1. 匹配滤波器。
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。
在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。
我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。
信号检测与估计第二章作业
信号检测与估计 第二章作业姓名： 学号：1. 设输入信号为三角波，即1001()201012t t s t tt ≤≤⎧=⎨-<≤⎩试确定相应的白噪声背景下的匹配滤波器(因果系统)的冲激响应、频域传递函数、输出最大信噪比，以及输出信号，并分别画出各自相应的波形图。
解：假设白噪声均值为0，平均功率为N 0/2，根据已知条件匹配滤波器为因果系统，取t 0为2，则0h(t)s*(t t)s*(2t)s(t)=-=-=波形图如下2-j t-j t2-10(1-e)H()s(t)edt ωωωω∞∞-==⎰在t 0时刻取得最大信噪比2220200E |s(t)|dt |s(t)|dt 3∞-∞===⎰⎰最大信噪比为00=2E /N 400/3N η=输出信号及波形图如下33232350t 0t 13200-50t 200t 200t 1t 23y s(t)*h(t)200-50(4t)+200(4t)-200(4t)+2t 3350(4t)3t 43⎧≤<⎪⎪⎪+-+≤<⎪==⎨⎪---≤<⎪⎪⎪-≤≤⎩2. 针对下列四种信号： (1) 1()()T s t AR t = (2) 20()()sin T s t AR t t ω= (3) 230()()sin(/2)T s t AR t t kt ω=+(4) 1400()()sin(),0N k k s t Ac R t k t t T ττω-==-≤≤∑其中{1,1}k c ∈-为伪随机序列（比如M 序列）；τ=T/N ，A 为常数，1,0()0,T t TR t ≤≤⎧=⎨⎩其它 要求：分别给出上述四种信号相应的物理可实现的匹配滤波器的 (1) 冲激响应(),k h t k=1,2,3,4 (2) 输出信号分量()ko s t 的波形， k=1,2,3,4(3) 改变信号的参数（0,,,,T k N ωτ）值，观察()ko s t ，k=1,2,3,4 的变化，并说明你的发现或有何启示。
信号检测与估计理论(复习题解)-精选文档
a ba 0 图 2. 1 (b)
ab y
2 b y x
2 2 y 4 x
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2 . 3 设连续随机信号 x ( t ) a cos( t ), 其振幅 a 和频率 已知 相位 在 [ , ) 范围内均匀分布。分析 该信号的广义平稳 并求其自 差函数 。 解 ： 分析该信号是否满足广 义平稳的条件。 信号的均值 ( t ) E a cos( t ) a cos( t ) p ( ) d x
2 1 ( y b ) / 2 1 x p ( y ) exp 2 2 2 2 2 x x 1 2
2 1 y ( 2 b ) x exp 2 2 8 8 x x 1 2
二. 离散随机信号矢量
1. 概率密度函数描述 。 2. 统计平均量：均值矢量 , 协方差, 协方差矩阵。 3. 各分量之间的互不相关 性和相互统计独立性及 关系。 4. 高斯离散随机信号矢量 的概率密度函数及特 点： x ~ N ( μ , C ), 互不相关等价于相互统 计独立 , 独立同分布 x x
E ( x b ) b
y
2 y
2 2 22 E ( y b ) E ( x b b ) E ( x 0 ) a / 6
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
当 a b 2 a 时, p ( y ) 的函数曲线如图 2 . 1 (b)所示 。 p ( x) p( y ) 1/ a 1/ a
第 1章
信号检测与估计概论
信号检测估计理论与识别技术习题参考答案
2-1 1[()]2E x t =，1212(,)3X t t R t t = 2-2 略。
2-3111[()]sin cos 333E x t t t=++12112212121111111(,)sin cos sin cos sin()cos()9999999X R t t t t t t t t t t =+++++++-2-4 [()]0E X t =，20(,)cos R t t w τστ+=2-5 [()]0E X t =，20(,)cos 2a R t t w ττ+= 2-6 略。
2-7 [()]0E X t =，10(,)200R t t τττ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩2-8 1210()()()2cos(10)(21)X X X R R R eτττττ-=+=++，2[()](0)5X E X t R ==，2(0)2X X R σ==2-9 11()()cos 22jw jw X X o G w R e d w e d τττττ∞∞---∞-∞==⎰⎰00()()()22X P w w w w w ππδδ=-++2-10 00()(()())2Y X X aG w G w w G w w =-++2-11 ())()X R u ττ=+-3-1 二元信号统计检测的贝叶斯平均代价C 为110000000100100110111111()()=()()()() ()()()()ij i i j j i C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H ===+++∑∑ 利用01()1()P H P H =-1101()1()P H H P H H =- 0010()1()P H H P H H =-得平均代价C 为[][]0011010110011011110100101110111000111011000101()1()1()() ()()()1() ()() ()()()()()()C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c c c P H H P H c c c c P H H c c P H H =-⎡-⎤+-+⎣⎦+⎡-⎤⎣⎦=+-+⎡-+---⎤⎣⎦3-2 1）由于各假设j H 的先验概率()(0,1,2)j P H j =相等，所以采用最大似然准则。
信号检测与估计理论
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
信号检测与估计知识点总结(3)
第二章 检测理论1．二元检测：① 感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信号的有无。
② 感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。
2．二元检测的数学模型：感兴趣的信号s ，有两种可能状态：s0、s1。
在接收信号的观测样本y 中受到噪声n 的污染，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即：y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s 0状态或无信号，H 1：对应s 1状态或有信号。
检测：根据y 及某些先验知识，判断哪个假设成立。
3. 基本概念与术语✧ 先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件（假设）发生或 成立的概率。
p(H 0),p(H 1)。
✧ 后验概率：在已掌握观测样本或测量值y 的前提下，某事件（假设）发生或成立的概率。
p(H 0/y),p(H 1/y) 。
✧ 似然函数：在某假设H 0或H 1成立的条件下，观测样本y 出现的概率。
✧ 似然比：✧ 虚警概率 ：无判定为有；✧ 漏报概率 ：有判定为无；✧ （正确）检测概率 ：有判定为有。
✧ 平均风险： 4.1 最大后验概率准则（MAP ）在二元检测的情况下，有两种可能状态：s0、s1，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s 0状态或无信号，H 1：对应s 1状态或有信号。
)|()|()(01H y p H y p y L =f P m P d P )(][)(][111110101010100000H P C P C P H P C P C P r ∙++∙+=如果 成立，判定为H 0成立；否则 成立，判定为H 1成立。
利用贝叶斯定理： 可以得到： 如果 成立，判定为H 0成立； 如果 成立，判定为H 1成立；定义似然比为： 得到判决准则： 如果 成立，判定为H 0成立； 如果 成立，判定为H 1成立；这就是最大后验准则。
信号检测与估计简答题集
3一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
信号检测与估计简答题集
一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
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E[x]
=
0
，
R(t, t
+τ
)
=
R(τ
)
=
a2 2
cos ω0τ
即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故 X (t) 为广义平稳随机过程
2.7 设有状态连续，时间离散的随机过程 X (t) = sin(2πAt)，式中， t 只能取正整数，即 t = 1,2,3,L ，
A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，试讨论 X (t)的平稳性。
cos
t2
+
1 9
sin
t2
cos t1
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
cos(t1
-
t2
)+
1 9
sin(t1
+
t2
)
2.4 随机过程 X (t)为 X (t) = A cosω0t + B sin ω0t
[ ] [ ] 式中，ω0 是常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量，而且 E[A] = E[B] = 0 ，E A2 = E B2 = σ 2 。
1 ↔ e−aτ u(τ )
jω + a
所以
RX (τ ) = ⎜⎜⎝⎛
1 e− 3
3τ −
1e 3
3τ + 1 e− 22
2τ − 1 e 22
2τ ⎟⎟⎠⎞u(τ )
平均功率
+∞
+∞
∫ ∫ W =
( ) +∞
−∞ GX ω dω =
+∞⎜⎛ −∞ ⎝
ω
2 2+
3
−
ω
1 2+
2
⎟⎞dω ⎠
=
2 3
6
求 X (t)的相关函数 RX (τ ) 及平均功率W 。
1
1
1
1
( )( ) 解： GX
(ω )
=
ω4
ω2 +1 + 5ω 2 +
6
=
ω2 +1 ω2 +3 ω2 +2
=2−1 = ω2 +3 ω2 +2
3 jω +
−3 3 jω −
+ 3
22 − 22 jω + 2 jω − 2
由傅里叶逆变换的性质可知
( ) RX (τ ) = RX1 (τ ) + RX 2 (τ ) = 2 cos(10τ ) + 2e−10τ +1
由 RX1 (τ ) = 2 cos(10τ ) 可得对应的随机过程为
X1(t) = 2 cos(10t + φ)
所以
m2 X1
=0
m2 X2
= RX（2 ∞）= 3
m2 X1
=
m2 X1
解：
E[X
(t
)]
=
E[sin(2πAt
)]
=
∫+∞ sin
(2πωt
−∞
)f
(ω
)dω
=
∫1sin(2πωt 0
)f
(ω
)dω
=
0
-2-
《信号检测与估计》习题解答
RX (t,t −τ ) = E[X (t)X (t −τ )] = E[sin(2πAt)]
⎧1
∫ ∫ =
+∞
sin
(2πωt
)sin(2πω(t
−∞
+ e− j(ω +ω0 )τ dτ
=
πδ 2
ω −ω0
+
π 2
δ
ω
+ ω0
2.10 若平稳随机过程 X (t)的功率谱密度为 GX (ω) ，又有 Y (t) = aX (t)cosω0t
式中， a 为常数，求功率谱密度 GY (ω) 。
解： Y (t) = aX (t)cosω0t = aX (t) e jω0t
求 X (t)的均值和自相关函数。 解：解：由于 ω0 为常数，且 E[A] = E[B] = 0 ，得到
E[X (t)] = E[Acosω0t + B sin ω0t] = E[A]cosω0t + E[B]sin ω0t = 0
[ ] [ ] 由于 A 和 B 相互独立，且 E A2 = E B2 = σ 2 ，得到
+∞
Af
(
A)dA
=
t
1
AdA =[ ] ∫ ∫ [ ] RX (t1,t2 ) = E X (t1 )⋅ X (t2 )
= E A2t1t2
= t1t2
( ) +∞ A2 f
-∞
A dA = t1t2
1 A2dA = t1t2
0
3
2.2 已知随机过程 X (t)为 X (t) = X cosω0t ， ω 0 是常数， X 是归一化高斯随机变量，求 X (t)的一维
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第二章习题解答
2.1 若随机过程 X (t)为 X (t) = At − ∞ < t < ∞
式中， A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，求 E[X (t)]及 RX (t1, t2 )。
∫ ∫ 解： E[X (t)] = E[At] = E[A]t = t
概率密度函数。
[ ] 解：因为 X 是归一化高斯随机变量，所以 E[X ] = 0 ， E X 2 = 0 。
E[X (t)] = E[X cosω0t] = cosω0tE[X ] = 0
[ ] [ ] [ ] E X 2 (t) = E X 2 cos2 ω0t = cos2 ω0tE X 2 = cos2 ω0t
∫ ∫ =
a 2π
cos ω0t
2π
cosφdφ
0
−
a 2π
sin ω0t
2π
sinφdφ
0
=0
R(t1, t2 ) = E[a cos(ω0t1 + φ )a cos(ω0t2 + φ )]
令 t1 = t ， t2 = t + τ ，得
R(t,t +τ ) = E[a cos(ω0t + φ )a cos(ω0t + ω0τ + φ )]
arctan⎜⎜⎝⎛
ω 3
⎟⎟⎠⎞ −∞
−
1 2
arctan⎜⎜⎝⎛
ω 2
⎟⎟⎠⎞
−∞
=
2π 3
−
π 2
-4-
= σ 2 (cos ω0t cos ω0 (t +τ )+ sin ω0t sin ω0 (t +τ ))
( ) = σ 2 cos 2 ω0t cos ω0τ − cos ω0t sin ω0t sin ω0τ + sin 2 ω0t cos ω0τ + sin ω0t cos ω0t sin ω0τ
[ ] = E a2 cos(ω0t + φ )(cos(ω0t + φ )cosω0τ − sin(ω0t + φ )sin ω0τ ) [ ] = a2E cos2 (ω0t + φ )cosω0τ − cos(ω0t + φ )sin(ω0t + φ )sin ω0τ
=
a2 2
cosω0τE[1 +
-1-
《信号检测与估计》习题解答
R(t, t +τ ) = E[X (t)X (t +τ )] = E[(A cos ω0t + B sin ω0t)(A cos ω0 (t +τ )+ B sin ω0 (t +τ ))]
[= E A2 cos ω0t cos ω0 (t +τ )+ AB cos ω0t sin ω0 (t +τ ) ] + AB sin ω0t cos ω0 (t +τ )+ B 2 sin ω0t sin ω0 (t +τ ) [ ] = E A2 cos ω0t cos ω0 (t +τ )+ E[AB]cos ω0t sin ω0 (t +τ ) [ ] + E[AB]sin ω0t cos ω0 (t +τ )+ E B 2 sin ω0t sin ω0 (t +τ )
X (t)是线性叠加过程，因而也是一个高斯过程，所以 X (t)的一维概率密度函数为
f X (t) =
2π
1 cos ω0t
exp⎜⎜⎝⎛ −
X 2 (t)
2 cos2 ω0t
⎟⎟⎠⎞
2.3 随机过程由三条样本函数曲线组成： x1(t) = 1 ， x1(t) = sin t ， x1(t) = cos t 并以等概率出现，求 E[X (t)]和 RX (t1, t2 )。
解： E[X (t)] = 1 + 1 sin t + 1 cos t
33
3
RX (t1,t2 ) = E[X (t1 )⋅ X (t2 )]
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+