2014年九年级(上册)人教版22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶 点 坐 标 为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3
当x
1 3
时，y最小值＝-
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
x顶
2
2 1
1
22 y顶 4 1 1
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
4a
1．用配方法求二次函数 y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
(50分）
2．用两种方法求二次函数 y＝3x2＋2x的顶点坐标．(50分）
（五）、学习回顾：
填写表格：
抛物线
开口方向 对称轴
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0) y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0)
y= ax2 +bx+c(a>0)
公式法
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－
1 2
x2+4x-9
③y=(x-3)(x+2)
请画出草图:
3
－9
－6
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（C）
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)
2
∴开口向上; 对称轴:直线x=6; 顶点坐标:(6,3).
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
x
…3 4 5 6 7 8 9…
y 1 x 62 3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
2
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
2
描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3 图像.
先平沿移x;当轴整体 <2b左a0时(右,向)平左移平| 移),再|2b个a 沿单对位称(当轴整体>2b上a0时(下,向)平右
移| 4ac4a|个b2 单位 (当 向下平移)得到的.
4ac >b02 时向上平移;当 4ac <b02 时,
y=a(x-h）2+k的形式?
用配方法。
y 1 x2 6x 21 2
你知道是怎样配 方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 2
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
直接画函数
y 1 x2 6x 21 2
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标 对称轴 位置
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
（B ）
B.直线y = - x上
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的
值是 • A4
B. -1
C. 3
（A ）
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立
的是 （ B
A.b2-4ac>0
﹙2﹚对称轴是直线 x= b 顶点坐标是 ( 2a
b
4ac b2
,
)
2a 4a
这个结果 通常称
顶点坐 标公式.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
开口方向
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
增减性 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
你还有哪些困惑？ 最值
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
5.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四
象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是
(C )y
y
y
y
ox
ox
ox
ox
A -3
B -3
C -3
D -3
6.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
方法归纳
1
配方法
2
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4ac 4a
b2
和
(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 直线x b 和y轴.
(4)最值不同:分别是 4ac b2 和02.a 4a
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象
象(C限)，y则二次函数 yy=ax2+bx-3 的y 大致图象是y
ox
ox
ox
ox
A -3
B -3
C -3
D -3
7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与
一次函数y=ax+c的大致图象可能是
y
y
y
（ C）
y
ox
A
ox
B
ox
C
ox
D
二次本函数节y课=a我x2+们bx学+c习(a了≠0哪)的些图知象识和？性质
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
5
顶点坐标为4, 5
对称轴x 4
当 x 4时 ， y最小值＝ -5
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
(3)“画”：列表、描点、连线。
公式为：y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
.
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
y ax2 bx c
a x2 b x c
提取二次项系数
a c
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
配方:加上再 减数去绝一对次值项一系半
的顶点都在
（ B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a
的值是
（ A）
A. 4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
的图象
解： y 1 x2 6x 21
2
提取二次项系数 1 x2 12x 42 2 配方 1 x2 12x 36 36 42 2 整理 1 x 62 6 2
化简:去掉中括号 1 x 62 3.
2
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
2
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a= 1 >0,
一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ C ）
y
y
y
y
ox
A
ox
B
ox
C
ox
D
衷心感谢 亲爱的老师和同学们！ 祝福您们开心每一天！
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人教版数学九年级上册22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-课件
即b≤1，故选择D .
练一练 填表：
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6)
3
对称轴
x=1 y轴 直线x= 1
3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结
配方可得
y 1 x2 6x21 2
1(x2 12x42) 2
1(x212x626242) 2
1[(x212x62)6242] 2
1[(x6)2 6] 2
想一想：配方的方法及
1 (x 6)2 3. 2
步骤是什么？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/152021/8/152021/8/158/15/2021 1:19:21 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/152021/8/152021/8/15Aug-2115-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/152021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
练一练 填表：
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6)
3
对称轴
x=1 y轴 直线x= 1
3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结
配方可得
y 1 x2 6x21 2
1(x2 12x42) 2
1(x212x626242) 2
1[(x212x62)6242] 2
1[(x6)2 6] 2
想一想：配方的方法及
1 (x 6)2 3. 2
步骤是什么？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/152021/8/152021/8/158/15/2021 1:19:21 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/152021/8/152021/8/15Aug-2115-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/152021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
22.1.4二次函数Y=ax2+bx+C(1)
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
九年级数学上册22、1二次函数的图象和性质4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时习题课件
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上， 并写出平移后抛物线的解析式.
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线 的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为 (0，0)，落在直线y＝－x上．
考查角度二 已知面积求抛物线上点的坐标 16.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0). (1)求此抛物线的解析式；
考查角度一 抛物线的平移 15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过 点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线过点C(0，－3)，∴－3＝a×(－1)×(－3)， 解得a＝－1，∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为 (2，1)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)和(1，－2)，则这个函
数的解析式为( ) B
A.y＝x2－x＋2
3
6.如图所示的抛物线的解析式为__y_＝__2_x_2_－__4_x_＋__2____.
7.已知二次函数当x＝－1时，有最小值－4，且当x＝0时，y＝－3，则二次 函数的解析式为________________.
y＝(x＋1)2－4
知识点三 利用“交点式”求二次函数的解析式
二次函数y=ax+bx+c的图象和性质
x
··· 3
y 1 x2 6x 21 ··· 7.5
2
y
10
5
4
5
5 3.5
6
7
3 3.5
8
9 ···
5 7.5 ···
y 1 x2 6x 21 2
O
5
10 x
你能把 y = ax 2 + bx + c 改写成 y = a(x - h)2 + k 吗？
用配方法 你知道吗?
y=ax2+bx+c
y 1 x2 4x 3 2
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶点坐标为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3当xFra bibliotek1 3
时，y最小值＝-
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
x= - b 2a
y最大值=
4ac-b2 4a
定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 y 1 x2 6x 21
2
也能化成这样的形式吗？
配方可得
y 1 x2 6x 21 2
1 x 62 3
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 2
的顶点是（6，3），对称轴是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2 +k(a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴
人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
初中数学九年级上册22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象》PPT课件
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什 么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
直线x b 2a
y
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0 C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0 D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
O x
3．（攀枝花中考）如图，二次函数ｙ＝ａx2－ｂｘ
＋２的大致图象如图所示，则函数ｙ＝－ａx＋ｂ的图象
不经过（ ） A
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
Y
2 X
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
配方化成顶点式
y 3x2 6x 5
3(x2 2x) 5
提取二次项系数
3(x2 2x1 1) 5
3 x 12 3 5 3x 12 2.
2.不同点:
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
(1)位置不同(2)顶点不同直:分线别x 是 _b_________和(0,0).
2a
(3)对称轴不同:分别是4_a_c4_a b_2_______和y轴.
人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》ppt课件
老师提示:
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
22-1-4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第3课时课件人教版数学九年级上册
求抛物线的解析式。
解：设抛物线的解析式 y=a(x-2)2-1, 则 a(1-2)2-1=3 , 解得 a=4
∴函数的解析式为：y=4(x-2)2-1
2.直接观察上面表格，你能猜想出当x=-6 时，该二
次函数对应的函数值是 -15 。
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由
于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
解这个方程9组a+，3b得+1=1a0，32 ,
b 3. 2
∴所求的二次函数的表达式是
y 3 x2 3 x 1. 22
2．将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长 度后，得到的抛物线的解析式是( )
解：由(1)得函数解析式为 y＝x2－4x＋1， 把 x＝5 代入 y＝x2－4x＋1 得，y1＝6， ∴y2＝12－y1＝6.∴y1＝y2. 又∵抛物线的对称轴为直线 x＝2，∴5＋2 m＝2.解得 m＝－1.
4.根据二次函数图像上的点，求出函数解析式．
（1）（-1,3），（1,3），（2,9） y=2x2+1 （2）（-1，-3），（0，-2），（2,-6）y=-x2-2 （3）（1,2），（3,0），（-2,20）． y=x2-5x+6
1
∴所求的二次函数的解析式是
-4
y= - (x+3)(x+1) , 即 y= -x2-4x-3.
-3 -2
-1-O1 -2
12
x
小结：若抛物线与x轴的交点坐标为
解：设抛物线的解析式 y=a(x-2)2-1, 则 a(1-2)2-1=3 , 解得 a=4
∴函数的解析式为：y=4(x-2)2-1
2.直接观察上面表格，你能猜想出当x=-6 时，该二
次函数对应的函数值是 -15 。
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由
于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
解这个方程9组a+，3b得+1=1a0，32 ,
b 3. 2
∴所求的二次函数的表达式是
y 3 x2 3 x 1. 22
2．将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长 度后，得到的抛物线的解析式是( )
解：由(1)得函数解析式为 y＝x2－4x＋1， 把 x＝5 代入 y＝x2－4x＋1 得，y1＝6， ∴y2＝12－y1＝6.∴y1＝y2. 又∵抛物线的对称轴为直线 x＝2，∴5＋2 m＝2.解得 m＝－1.
4.根据二次函数图像上的点，求出函数解析式．
（1）（-1,3），（1,3），（2,9） y=2x2+1 （2）（-1，-3），（0，-2），（2,-6）y=-x2-2 （3）（1,2），（3,0），（-2,20）． y=x2-5x+6
1
∴所求的二次函数的解析式是
-4
y= - (x+3)(x+1) , 即 y= -x2-4x-3.
-3 -2
-1-O1 -2
12
x
小结：若抛物线与x轴的交点坐标为