龙泉中学、荆州中学、宜昌一中三校5月联考-数学(理)
１ ３ ������ 已知 f( x) ＝
) 二㊁ 填空题 ( 本小题共 ４ 题 , 每小题 ５ 分 , 共２ ０分．
{
xɤ０ ì ï ï 则z＝３ １ ４ ������ 若实数 x, x＋ x＋ y 满足不等式组 í yȡ０ , y 的最小值为 ㊀㊀㊀㊀㊀ ． ï ï x－ î y＋１ȡ０ ң ң , ң ������ ң 的最 ( , ) , , 已知 是单位圆上与 且满足 １ ５ ������ A ０１ B C A 不重合的两点 , | A B | ＝ | A C | 则A B A C
求k 的取值范围 ．
( ) ) , 设P 且二面角 E ２ A＝ k A B( k＞０ Ｇ B D Ｇ C 的平面角大于 ６ ０ ʎ,
本小题满分 １ １ ９ ������( ２ 分)
２ ２ y x ６ ( ) , ) , 的左顶点为( 且椭圆C 与直线y＝ x＋ ㊀㊀ 设椭圆C:２ ＋ ２ ＝ １ a＞ b＞ ０ － ２ ０ ３相切． ２ a b ( ) 求椭圆的标准方程 ; １
k ２ i ２ １ ０ ０ ０ ０－ i 附: ①P ( k) ＝ðCi １－ ) １ ０ ０ ０ ０ ˑ ( )ˑ ( i＝０ π π
的估计值与实际值误差小于 ０． ０ １ 的概率 ．
k
１ １ ② 参考数值 : ʈ０． ３ １ ９ ３, ʈ０． ３ １ ７ ３． π－０． ０ １ π＋０． ０ １
( ㊁ 二) 选考题: 共１ 请考生在第２ 如果多做, 则按所做的第一题计分． ０分． ２ ２ ３题中任选一题作答,
{
x＝１＋ r c o s α, ( r＞０, α 为参数 ) ． r s i n α, y＝２＋
( 选修 ４－５: 不等式选讲 ] 本小题满分 １ ２ ３ ������[ ０ 分) ㊀㊀ 已知函数 f( x) ＝| x－３ |－| x＋２ |．
ʌ三 校 联 考 ������ 理 数 试 题 ㊀ 第 １ 页 (共 ６ 页 ) ɔ
x２ y２ ５ ( ) , 的离心率e＝ , 且其右焦点 F２ ( 则双曲线 ４ ������ 已知双曲线 C : ２ － ２ ＝１ a＞０, b＞０) ５, ０ ４ a b 的 C 方程为 x２ y２ A ������ － ＝１ ４ ３ x２ y２ B ������ － ＝１ １ ６ ９ x２ y２ C ������ － ＝１ ９ １ ６ x２ y２ D ������ － ＝１ ３ ４
７ π ５ π ３ π π A ������ B ������ C ������ D ������ ８ ８ ８ ８ 则 该 三 棱 锥 的 四 个 面 中, 面积最大的面的 ７ ������ 某三棱锥的三视图如图 , 面积是 B ������ ３２ D ������ ７ A ������ ４
C ������ ２３
许多人研究过圆锥的截口曲 线 ． 如 图, 在 圆 锥 中, 母线与旋转轴夹角为３ 现有 １ ６ ������ 历史上 , ０ ʎ, 一截面与圆锥的一条母线垂直 , 与旋转轴的交点 O 距离圆锥顶点 M 长度为 １, 对于所得 截口曲线给出如下命题 : ① 曲线形状为椭圆 ; ② 点 O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点 ; ③ 该曲线上任意两点最长距离其为 ④ 该曲线的离心率为 ３ ． ３ 小值为 ㊀㊀㊀㊀㊀ ．
３＋ i 若 x＋ 互为共轭复数 , 则 x＋ １ ������ 已知 x, i 是虚数单位 ． i与 yɪR , y y＝ １＋ i
A ������ ０㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ������ １㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀C ������ ２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀D ������ ３ ２ { } , { } , 已知集合 则 中的元素个数为 ２ ������ Ax | ２ x －５ x－３ɤ０ B ＝ xɪZ | xɤ２ A ɘB
机密
启用前
龙泉中学 ㊁ 荆州中学 ㊁ 宜昌一中三校
２ ０ １ ９届 高 三５月 联 考 数学 ( 理科 ) 试题
命题学校 : 宜昌一中 ㊀ 命题人 : 李智伟 ㊁ 刘昌洪 ㊀ 审题人 : 宜昌一中高三数学组 考生注意 : 满分为 １ １ ������ 考试时量为 １ ２ ０ 分钟 , ５ ０分. 答题卡上面注意事项 . 考生务必将 自 己 的 学 校 ㊁ 姓 名㊁ 班 级㊁ 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上. 同 时 阅 读 ２ ������ 答题前 , ３ ������ 所有题目答案均写在答题卡上 . ( 一㊁ 选择题 ． 本大题共 １ 每小题 ５ 分 , 共６ 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项 ２ 小题 , ０分, ) 是符合题目要求的 ． 把正确的答案填在答题卡相应的位置上 ．
a ì ï ï ０, ] yɪ [ a ２ , 容易发现随机情况下满足 í 且针与线相交时需 yɤ s x, i n x． ２ ï [ , ] î xɪ ０ π ( ) , Ⅰ 记实验次数为 n 其中有利次数为 m ,
( ) 结合图 ② , 利用几何概率模型计算一次实验结果有利 １ 的概率值 ;
( ) 求出该实验中 π 的估计值 ; ２ ( , 若实验进行了 １ 以 X 表示有 利 次 数 , 试求 X 的期望( 用π 表 示) 并 求 当π Ⅱ) ０ ０ ０ ０次,
２ ０ １ ９ ２ ０ １ ９ ２ ０ １ ９ ２ ０ １ ９ ２ －１ ２ ＋１ －２ ＋１ ２ ＋１ A ������ B ������ C ������ D ������－ ３ ３ ３ ３ 能且只能向函数 f( 的 １ ２ ������ 已知过第二象限内的点 P ( a, b) x) ＝x３ － t x( t 为给定的正常 数 ) ２ ２ ) 的最小值为 图象作两条切线 , 则z＝ a ＋( b－１
１ １ ４ 的第 ８ 项是二项式 ( 则 a９ － a１ ８ ������ 已知等差数列 { a x＋ ＋ n} １＝ y) 展开式的常数项 , x ３ A ������
２ B ������ ２ C ������ ４ D ������ ６ ３ ) 的焦点为 F , 准 线 为l, 点 P( 在 抛 物 线 上, ９ ������ 已知抛物线 x２ ＝２ ４, K 为l 与y p y( p＞０ y０ ) ３ D ������ ２ ２ 乙㊁ 丙 ３ 人进行擂台赛 , 每局 ２ 人进行单打比赛 , 另 １ 人当裁判 , 每一局的输方当下一 １ ０ ������ 甲 ㊁ 局的裁判 , 由原来裁判向胜者挑战 , 比赛结 束 后 , 经 统 计, 甲 共 打 了 ５ 局, 乙 共 打 了 ６ 局, A ������ ４ B ������ ２ C ������ A ������ １ ３局 B ������ １ １局 C ������ ９局 D ������ ８局 n－１ ∗ , 中, 若数列{ 单调递 １ １ ������ 数列 { a a１ ＝－１, | a a |＝２ ( nɪN , nȡ２) a２ ＞０, a２ n} n－ n－１ n－１ } } , 减, 数列 { 单调递增 则 a２ a２ n ０ １ ９＝
( ) ) 过点 P ( 的动直线与椭圆 C 交于 A , 设 O 为坐标原点 , 是否存在常数λ, ２ ０, １ B 两点 , ң ң ң ң 使得O A ������O B＋ λP A ������P B ＝－７? 请说明理由 ．
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ʌ三 校 联 考 ������ 理 数 试 题 ㊀ 第 ５ 页 (共 ６ 页 ) ɔ
( 选修 ４－４: 极坐标与参数方程 ] 本小题满分 １ ２ ２ ������[ ０ 分) 以 极 点 为 原 点, 极轴为x 轴的正半轴建立平面 ㊀㊀ 已知曲线 C１ 的极坐标方程是ρ＝１, 直角坐标系 , 曲线 C２ 的参数方程为 ( ) 写出 C１ 的直角坐标方程和 C２ 的普通方程 ; １ ( ) 求 C１ 与 C２ 有两个交点时r 的取值范围 ． ２
l n x, x＞０ , ) 则 f( －２ ０ １ ９ ＝㊀㊀㊀㊀㊀ ． ) , x＋２ xɤ０ f(
３ ２ , 最短距离为 ３; ２ ３
三㊁ 解答题 ( 共７ 解答应写出文字说明 ㊁ 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 第１ 每 ０分． ７~２ １ 题 为 必 考 题, 本小题满分 １ １ ７ ������( ２ 分) ( 一) 必考题 : 共６ ０分． ) 个试题考生必须作答 , 第２ 考生根据要求作答 ． ２㊁ ２ ３ 题为选考题 ,
本小题满分 １ ２ ０ ������( ２ 分)
要数１ ㊀㊀ 计算 π 的最为稀奇的方法之一 , ８ 世 纪 法 国 的 博 物 学 家 C ������ 蒲 丰 和 他 的 投 针 实验 : 在一个平面上 , 用尺画一组相距为 a 的 平 行 线 , 一 根 长 度 为a 的 针, 扔到画了平行 线的平面上 , 如果针与线相交 , 则该次扔出被认为是有利的 , 否则是不利的 ． 记针的中点为 M , 设 M 到平行线的最短距离为y, 针与平行 线 所 成 角 度 为 ㊀㊀ 如图 ① ,
其中正确命题的序号为 ㊀㊀㊀㊀㊀ ．
已知 a ㊀㊀әA B C 的内角 A ㊁ B㊁ C 的对边分别为a㊁ b㊁ c, c o s C＋ ( c－２ b) c o s A ＝０． ( ) 求 A; １ ( ) 若c＝２ 在 әA 求t ２ b, B C 内有点 P 满足 A P ʅP C, øB P C ＝１ ２ ０ ʎ, a n øP C B．
１ 为 f( 的导函数 , 则f 的图象是 ５ ������ 已知 f( x) ＝ x２ ＋ c o s x, ᶄ( x) x) ᶄ( x) f ４
π ( ) 向右平移 φ( 个单位后 , 得到 y＝ 则 φ 的最 ６ ������ 函数 f( x) ＝ s i n ２ x＋ ) c o s ２ x 的图象 , φ＞０ ４ 小值为
轴的交点 , 且| 则 y０ 的取值为 PK|＝ ２ | P F |,
而丙共当了 ２ 局裁判 , 那么整个比赛共进行了
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题文
湖北省荆州中学、宜昌⼀中、龙泉中学三校2020届⾼三数学联考试题⽂届⾼三数学联考试题宜昌⼀中、龙泉中学三校2020湖北省荆州中学、⽂分钟。
150分，考试⽤时120本试卷共 2 页，共 22 题。
满分⼀、选择题：（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）z2a的虚部为 1．已知为纯虚数，则复数为实数，若复数3)i9)?(az?(a??i?3D．66 C．A．3B．22?3y?}x{3?0},B?x|A?{x|x?2x?A?B? 2．已知，则[?3,?3][3,3][2,[1,2]3]．． D． C B．A ln x y?e的定义域和值域相同的是3．下列函数中，其定义域和值域与函数1x?yy?10xy?x?ln y D． B．A． C．x0.20.4,log40.5,3的⼤⼩顺序是 4．三个数0.40.20.40.20.434?log0.5?0.53<4log?A．． B0.40.40.40.20.40.23DC．．0.40.4*a10a??S N?na?a??aa则5．数列,且,满⾜815nn??11n?2nn A．95 B．190 C．380 D．150x f(x)?e?ln|x|的⼤致图象为 6．函数A B C Dlog x,x?1?2?f(x)?fxxf）≤2的解集为 =，则不等式（．已知函数7（）?1,x?1?1?x?- 1 -1141,4??,1,??,．A ． B．C??22,4,01． Da225?64?a?aa??a}{a?)tan(?．已知数列8为等⽐数列，且，则7243n333?33??． B C A．．． D 312?xx cos f(x)?sin x?3sin，则下列结论正确的是．函数92,?)xff(x)(上单调递增 BA．的最⼤值为1．在??6377??,0)xy)?f(fy?(x?x的图象关于点C．．的图象关于直线对称 D??1212??对称．下列判断正确的是10?1sin”的充分不必要条件A．“”是“62x?0,则xy?0”的逆否命题为真B．命题“若xx R??x R??x?020?2”，”的否定是“，C．命题“00p??q”为真命题 p为真命题，命题q为假命题，则命题“D．若命题a2(1,2)1a ln x?f(x)?x? 11．已知函数在的取值范围是内不是单调函数，则实数2,8??,28,2,8?2,8??．．． BDA． C2ca0??B)42?2a(sin B?cos a bCBA ABC?、、，．，12在满⾜中，⾓、、的对边长分别b?2?ABC 的⾯积为，则22232 C A． B．．3 D．分，共54⼆、填空题（本⼤题共⼩题，每⼩题分）20- 2 -ba ebe,,e3a3e2e⽅向上的投影为，则为单位向量且夹⾓为13．已知，设在221124 __ ___．1tan??),sincos?(0,．已知14，则．5n1log(S?2)?n?}}{a{aS 的通项公式项和，且．已知的前为数列，则数列15n2nnn 为．x?e?a,x?1?f(x)?a的取值范围为有最⼩值，则实数． 16．若函数?23?x?3x,x?1 ??三、解答题：（本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤）17．（本⼩题满分12分）a,a}a{2a?a32a?a?的等差中项．已知等⽐数列是，且满⾜342231n{a}（Ⅰ）求数列的通项公式；n1{b}S log b?a?．（Ⅱ）若，求的前n项和为n n2nn a n分）．（本⼩题满分12182b?3c cos C ca?CbABC?BA. ，，且的对边分别为，在，中，⾓，cos A3a A的值；（Ⅰ）求⾓πAM? 7?ABC BC?B的⾯积，求，. 边上的中线（Ⅱ）若⾓6- 3 -19．（本⼩题满分12分）ABCDBCBCDCBC EADABBD边的⊥//是，⊥, ，1如图，在直⾓梯形点中，BCDAC DEAEABDBDABD, 沿,折起，使平⾯,⊥平⾯得到，连接中点, 将△如图2所⽰的⼏何体．ADC AB；（Ⅰ）求证：⊥平⾯1?AD BADE的距离．到平⾯，求点,（Ⅱ）若2AB?AD DCBEECB图12图分）．（本⼩题满分122022yx??1(m?1)ABBlx=-M,于点,过点作直线交椭交直线2椭圆的左、右顶点分别为,m?2m P．圆于另⼀点（Ⅰ）求该椭圆的离⼼率的取值范围；- 4 -OM?OP是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说，判断（Ⅱ）若该椭圆的长轴长为4明理由．21．（本⼩题满分12分）12x?m cos x1,g(x)??(fx)?x?2sin x．已知函数20,)xf(上的单调区间；在（Ⅰ）求0,)g(x m上存在最⼩值．（Ⅱ）当1＞时，证明：在（⼆）选考题：共10分．请考⽣在第22,23题中任选⼀题作答．如果多做，按所做的第⼀题记分．22．（本⼩题满分10分）选修4—4：极坐标与参数⽅程cosxxOyP(x,y):C经过上任意⼀点(在平⾯直⾓坐标系中，将曲线为参数) ?1?sin?y?- 5 -?x3x'??C O x轴的⾮负半轴为极后得到曲线伸缩变换为极点，的图形．以坐标原点2y2'y8(2cos)l:sin轴，取相同的单位长度建⽴极坐标系，已知直线．C l的普通⽅程；（Ⅰ）求曲线和直线2C lPPP的距离的最⼤值及取得最⼤值时点到直线（Ⅱ）点上的任意⼀点，为曲线求点2的坐标．：不等式选讲4—5)．(本⼩题满分10分选修234x??g(x)k?3x1|?|3x?|?f(x)|已知函数．,4?)f(x3k??求不等式的解集；时（Ⅰ）当,1k??,?x?)(x)f(x?gk1?k??求且当（Ⅱ）设,的取值范围．,时，都有?33??- 6 -宜昌⼀中、荆州中学、龙泉中学三校联盟⾼三11⽉联考⽂科数学参考答案⼀、选择题1-5 DBABD 6-10 BBCBD 11-12 AB⼆填空题324n2?2?a a?e?n不给分,若只写2 15 16． 13 14．．（．）n23三．解答题17．解：设公⽐为q…………………………………………………………………………1分222a?a?3a2a?aq?3aq2?q?3q，解得得q=1或2………由 3，∴213111分a?2a?2a,a a?a是（⼜=）的等差中项即2334242aa，⽅程⽆解，舍去； (4)分 +2）=2若q=1，则2（11aaaa=2+8+2）=2若q=2，则2（4，解得1111n-1n a?aq?2∴………………………………………………………………6分n11n2-n log a? b?（2）∵=2nn a nn?1n(n?1)2-2n(n?1)n?1-S?-2-?2n1-222∴………………………………12分）因为1， 18.解析：（Ca cos A3c)cos?3(2b?由正弦定理得，CA cos A?3sin C(2sin B?3sin)cos??CA?3sin?． (4)A2sin B3sin A cos CC cos?cos A?3sin??Csin?AsinB??C－A－B＝，因为，所以所以．B3sin2sin B cos A??)，(0B?sinB?0，，所以因为?3AA0．……………6，所以所以，因为分?cos A62?π2C?A?B?BCAC?）知2（ .8，所以，．……………分）由（136- 7 -1xMC?x?AC，⼜，则设7.AM?2AMC中，由余弦定理在222得,?ACAM?MC2?AC?MC cos Cxx22o2,7)?x?()?2x??cos120(2即解得2?x22?2123.x?sin?S ...................................................... 1 2故分ABC?32BCDBCD BD?ABDABD，平⾯平⾯Ⅰ19． () 因为平⾯，⊥平⾯DCDC ABDBD分⊥平⾯⼜……………………⊥1，所以DC ABAB?ABD因为⊥分平⾯………………………2，所以DC DADAB?AD⊥⼜∩ADC AB 6所以分⊥平⾯．…………………………………………1?AD3BD?? (Ⅱ)．，2?ABBDC ABD～△，依题意△A CDAB CD2??6?CD?所以，即．分…………7BDAD13D3BC?故……………………………6分．CBE BCADCAC EABAB, , 由于⊥平⾯为，的中点⊥3BCBC32DEAE?S得，所以，同理ADE2222231DC ABD?CD?V? S．，所以⊥平⾯因为ABDBCDA?33dADEB, 的距离为到平⾯设点311??V??dS?VV, 则BCD??ADEBDEB?ADEAA6236?d所以…………………… 11分，26ADEB分12即点到平⾯的距离为．……………………2- 8 -=∵=e==．, (2)分)解:20 (Ⅰ=∴,1,⼜0．∴e...................................................................... 5(0,)分∈=∴m=∵2, .......................................... 椭圆的长轴长为62分4, (2)证明:A-BM-yPxy), 设),(易知((2,2,0),,(2,0),Ⅰ0Ⅰ=-xyy=),,((2,则),0ⅠⅠx+yy=-BMx-y=-, 即直线(的⽅程为2),022=+yx4,代⼊椭圆⽅程22=x-+x-=x+ 4......................................... 得(10,由韦达定理得)28分Ⅰ=∴∴xy=, .............................................................. 9,分ⅠⅠ==+=-x+yy．=-∴ ........................................ 212分4·ⅠⅠ0xfx，π），得0，即，21．（1）令′（）=0∈（xfxfx）变化如下：），当变化时，（′（xxf0 ） - +′（xf最⼩值减）增（fx）的单调递减区间为所以函数分）…………………（，单调递增区间为5 （- 9 -。
[优质]湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学2019届高三5月联考文科数学试题
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题计分.
２２������[选 修 ４—４:坐 标 系 与 参 数 方 程 ](１０ 分 )
ìïïx＝ － ３ ５t＋２
在 平 面 直 角 坐 标 系 中,直 线 的 参 数 方 程 为 í
(为 参 数),以 原 点 O 为 极
ï４
îïy＝ ５t
点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为ρ＝asinθ(a≠０)． (１)求圆 C 的直角坐标系方程与直线l 的普通方程;
A������c＞a＞b
B������a＞b＞c
C������c＞b＞a
D������a＞c＞b
１０������ 已知函数f(x)＝sin(２x－π６),则下列四个命题:①f(x)的最小正周期是π;②f(x)＝
１ ２
是 x＝π２
的充
分不
必
要条
件 ;③
函数
f(x)在
区
间
(π ３
,５ ６π)内
单
调
递
增
;④
１４������ 在普通高中新课改中,湖北省实施“３＋１＋２”选 课 方 案,该 方 案 中 “２”指 的 是 从 政 治、地
理、化学、生物４门学科中任选２门,假设李华同 学 对 这 ４ 门 学 科 没 有 任 何 偏 好,那 么 李
华从化学和生物中至多选一门的概率是 ．
１５������ 在△ABC 中,AB������sinC＝４AC������sinB,BC＝４,BC 边上的中线长为１,则AC＝ ．
千人,南 乡 五 千 四 百 人,凡 三 乡,发 役 五 百,意 思 是 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 这 三 乡 中 共 抽 出
５００ 人 服 役 ,则 西 乡 比 南 乡 多 抽 出 的 人 数 为
湖北省龙泉中学、宜昌一中、荆州中学等四校2022届高三下学期一模数学试题(含答案解析)
湖北省龙泉中学、宜昌一中、荆州中学等四校2022届高三下学期一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}|12A x x =-≤≤，{}|0B x x =>，则A B =（ ） A ．{}1|x x ≥- B ．{}|0x x > C ．{}|10x x -≤<D ．{}2|0x x <≤2．在复平面内，复数z 对应的点为()1,2-，则()1i z +=（ ） A ．13i -+ B ．13i --C ．3i +D ．33i +3．若3x π=是函数()cos f x x ω=()0ω≠图象的对称轴，则() f x 的最小正周期的最大值是（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 4．已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ）A ．()02f =B ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()1f x <的解集为()1,1-D ．若()3f x =，则x 的值是15．过抛物线2y px =，()0p >的焦点F 作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若3FA FB =，则直线l 的倾斜角等于（ ）A ．30°或150°B ．45°或135°C ．60°或120°D ．与p 值有关6．已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）A ．2310x y -+=B ．2310x y --=C ．3210x y -+=D ．3210x y --=7．有一个非常有趣的数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n 很大时，1111ln 23n nγ+++⋯⋯+≈+，其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈……，至今为止都还不确定γ是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n 较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知ln 20.693≈，ln3 1.099≈．用上式估算出的ln 6与实际的ln 6的误差绝对值近似为（ ） A ．0.073 B ．0.081C ．0.122D ．0.6578．设3103a =，ln1.03b =，0.03e 1=-c ，则下列关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>二、多选题9．疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（ ）A ．注射疫苗发病的动物数为10B ．某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为23C ．能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效D ．该疫苗的有效率约为80%10．ABC 中，4BC =，BC 边上的中线4=AD ，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC ⋅为定值 B ．2220AC AB +=C cos 1A <<D ．BAD ∠的最大值为30°11．已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①120PF PF ⋅=；①1260F F P ∠=︒；①PO 平分12F PF ∠；①点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，能使双曲线Ｃ的离心率为1+组合可以是（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①12．已知正四面体ABCD 的棱长为O ．点E 满足()01AE AB λλ=<<，CF CD μ=()01μ<<，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则（ ） A ．四边形EMGH 的周长为定值B ．当14λ=时，平面α截球O C ．四棱锥A EMGH -的体积的最大值为6481D ．当12λμ==时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90°后与原四面体的公共部分体积为43三、填空题13．在()()5611x x +++展开式中，含3x 的项的系数是_______． 14．已知1cos 23α=，则tan α=_______． 15．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8 cm ，上口宽6cm ，若以320cm /s 的匀速往杯中注水，当水深为4 cm 时，酒杯中水升高的瞬时变化率=v _______cm /s ．四、双空题16．在数列{}n a 中，11a =，()11nn n a a n ++-=，*N n ∈，则4a =_______；{}n a 的前2022项和为_______． 五、解答题17．在ABC 中，9AB =，2cos 3B =，点D 在BC 边上，7AD =，ADB ∠为锐角．(1)求BD ；(2)若BAD DAC ∠=∠，求sin C 的值．18．已知公比不为1的等比数列{}n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和．135a a +=，且1a ，3a ，2a 构成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求使238k S >成立的最大正整数k ． 19．如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，120BCD ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===．(1)求证：EF ⊥平面BCF ；(2)点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角为3π． 20．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为23，甲与丙比赛，甲赢的概率为p ，其中1223p <<． (1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金3.6万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X 万元，求X 的数学期望()E X 的取值范围．21．已知椭圆()2222:120x y C a b a b+=>>>的焦距为4，上顶点为A ，右焦点为F ，原点O 到直线AF ． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，过点M 作x 轴垂线，垂足为E ，过点N 作x 轴垂线，垂足为Q ，QM 与NE 交于点P ，是否存在直线l 使得PMN 的面积等于l 的方程；若不存在，请说明理由． 22．已知函数()()ln e 1=+--f x x m x （m R ∈，e 2.718281≈）(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()e 20-+≤xf x x 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】 【分析】对两个集合直接求交集即可. 【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|0B x x =>，则A B ={}2|0x x <≤, 故选：D 2．A 【解析】 【分析】根据复数的概念和运算法则计算可得. 【详解】因为复数z 对应的点为()1,2-，①z=1-2i,()()1i 12i 1i =z +=++（）13i -+，故选：A. 3．D 【解析】 【分析】根据对称轴可求ω的值，从而可求最小正周期. 【详解】 因为3x π=是函数()cos f x x ω=()0ω≠图象的对称轴， 所以,,03k k Z k πωπ⨯=∈≠，故3,,0k k Z k ω=∈≠，所以min 3ω=，故() f x 的最小正周期的最大值为min223ππω=， 故选：D. 4．B 【解析】【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可； 【详解】解：因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，函数图象如下所示：由图可知()00f =，故A 错误；()f x 的值域为(),4-∞，故B 正确；由()1f x <解得()(),11,1-∞--，故C 错误；()3f x =，即2312x x ⎧=⎨-<<⎩，解得x =D 错误；故选：B 5．C 【解析】 【分析】作出,A B 到准线的垂线段，利用抛物线的定义求解． 【详解】如图l 是抛物线的准线，作AM l ⊥，BN l ⊥，,M N 为垂足，设FB m =，则3FA m =， 由抛物线定义知3AM m =，BN m =，过B 作BC AM ⊥，垂足为C ，则易得MC BN m ==，所以2AC m =，直角三角形ABC 中，21cos 42AC m CAB AB m ∠===，60CAB ∠=︒， 此时直线AB 倾斜角为60°，由对称性，直线AB 倾斜角也可为120°， 故选：C ．6．A 【解析】 【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可. 【详解】设点A 的坐标为()5,3-，圆()()22115x y -+-=的圆心坐标为(1,1)B ，设(,0)C x 是x 轴上一点，因为反射光线恰好平分圆()()22115x y -+-=的圆周， 所以反射光线经过点(1,1)B ， 由反射的性质可知：3010100512AC BC k k x x x --+=⇒+=⇒=----， 于是102131()2BC k -==--，所以反射光线所在的直线方程为：21()231032y x x y =+⇒-+=，故选：A 7．B 【解析】 【分析】根据所给数据求出ln 6的估计值，再根据对数的运算法则求出ln 6，即可得解； 【详解】解：依题意111111ln 623456γ+++++≈+所以11111ln 61 2.45 1.872568234γγ≈+++++-=-≈，又ln6ln 2ln30.693 1.099 1.792=+≈+=所以估算出的ln 6与实际的ln 6的误差绝对值近似为1.8728 1.7920.08080.081-=≈； 故选：B 8．C 【解析】 【分析】构造函数()()e 1,0xf x x x =--≥.利用导数判断单调性，证明出0.03e 10.03->.构造函数()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.利用导数判断单调性，证明出ln1.030.03<，得到c b >；构造函数()()()ln 1,01xh x x x x =+-≥+.利用导数判断单调性，证明出3ln1.03103>，即为b a >.即可得到答案. 【详解】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为()e 1xf x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->. 记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥. 因为()11011x g x x x-'=-=<++，所以()g x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以c b >. 记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+. 因为()()()2211111x h x x x x '=-=+++，所以当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11xx x+>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以b a >.综上所述：c b a >>. 故选：C 9．ABD 【解析】 【分析】完善列联表可直接判断A ，计算比例后判断BD ，计算2K 判断C ． 【详解】 完善列联表如下：由列联表知，A 正确，202303=，B 正确， 22100(30104020) 4.762(3.841,6.635)70305050K ⨯⨯-⨯=≈∈⨯⨯⨯，不能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效，C 错误； 疫苗的有效率约为4080%50=，D 正确． 故选：ABD ．10．AD 【解析】 【分析】由()()AB AC AD DB AD DC ⋅=+⋅+计算判断A ，由AB AC CB -=平方计算判断B ，由数量积定义结合基本不等式判断C ，利用A 在以D 为圆心，4为半径的圆上（除去直线BC 与圆的交点），得出26AB <<，然后由余弦定理求得cos BAD ∠，结合基本不等式，余弦函数性质判断D ． 【详解】2222()()()()4212AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-=是定值，A 正确；由AB AC CB -=得222222()22124AB AC AB AB AC AC AB AC -=-⋅+=+-⨯=，所以2240AB AC +=，B 错；cos 12AB AC AB AC A ⋅=⋅=，221224243cos 405A AB AC AB AC =≥==⋅+，AB AC ==C 错，4BC =，BC 边上的中线4=AD ，A 在以D 为圆心，4为半径的圆上（除去直线BC 与圆的交点），2BD =，所以4242AB -<<+，即26AB <<，记AB x =，即26x <<，222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=⋅22164121121()8888x x x x x x +-+===+≥⨯当12x x =，即x =cos BAD ∠BAD ∠的最大值是30，D 正确．故选：AD ． 11．AD 【解析】 【分析】对各个选项进行分析，利用双曲线的定义找到a,c 的等量关系，从而确定离心率. 【详解】①PO 平分12F PF ∠且PO 为中线，可得12PF PF =，点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①①：120PF PF ⋅=，1260F F P ∠=︒，122F F c =可得2PF c =，1PF ，2c a -=，即离心率为1c e a ==，成立； 若选①①：1260F F P ∠=︒，点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，可得四边形12FQF P 为矩形，即12PF PF ⊥，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ==，成立； 故选：AD 12．ACD 【解析】 【分析】利用线面平行得平行四边形EMGH ，由平行线性质得边长，从而可得四边形周长，判断A ，把正四面体放置在一个正方体中，正四面体的棱是正方体的面对角线，由正方体的性质可求得平面α截球O 所得截面圆的半径，从而得周长，判断B ，证明EMGH 是矩形后，由正方体的性质易得A 到平面EMGH 的距离，求出棱锥体积后，利用导数求得最大值判断C ，在正方体中旋转正四面体，易得放置后的四面体的位置，并确定两个正四面体的公共部分，从而得体积判断D ． 【详解】如图1，由//AC 平面EMGH ，AC ⊂平面ABC ，平面ABC平面EMGH EM =，得//AC EM ，同理//AC HG ，所以//EM HG ，同理//EH MG ，所以EMGH 是平行四边形，AEAB λ=，则EH ADλ=，1EM AC λ=-，正四面体ABCD 的棱长为EH =，)EM λ=-，所以EMGH 的周长为2()EH EM +=A 正确；图1如图2，把正四面体ABCD 放置在一个正方体中，正四面体的棱是正方体的面对角线，如图，正方体的外接球就是正四面体ABCD 的外接球，由正四面体棱长为长为2，正方体的对角线是外接球的直径，所以外接球半径为R =由于平面EMGH 与,AC BD 平行，因此易得平面ENGH 与正方体的上下底面平行，14λ=时，14AE AB ，平面EMGH 到正方体上底面的距离为正方体棱长的14，而外接球球心O 到正方体上底面的距离为正方体棱长的12，所以O 到平面EMGH 的距离为111()2242d =-⨯=，平面α截球O 所得截面圆半径为r ==2π2πr ==，B 错；图2如图3，取BD 中点N ，连接,AN CN ，则,AN BD CN BD ⊥⊥， 又ANCN N =，,AN CN ⊂平面ACN ，所以BD ⊥平面ACN ，而AC ⊂平面ACN ，所以BD AC ⊥，所以EM MG ⊥，所以2)8()EMGH S λλλ=⋅-=-， 由图2知A 点到平面EMGH 的距离为2λ， 所以2231168()2()33A EMGH V λλλλλ-=⨯-⨯=-，设23()f x x x =-（01x <<），则22()233()3f x x x x x '=-=--，203x <<时，()0f x '>，()f x 递增，213x <<时，()0f x '<，()f x 递减，23x =时，()f x 取得最大值24()327f =，所以A EMGH V -的最大值为1646432781⨯=，C 正确；图3如图4，还是如图2一样把正四面体ABCD 放置在一个正方体中，12λμ==时，,E F 是正方体前后两个面的中心（对角线交点），由正方体性质，正四面体ABCD 绕EF 旋转90°后得下四面体A B C D ''''，,,,A B C D ''''是正方体的另外四个顶点，这两个正四面体的公共部分正好是一个正八面体，正八面体的六个顶点是正方体六个面的中心，2EMFH S ，正八面体的体积为1422133V =⨯⨯⨯=，D 正确．图4 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正四面体的截面，考查空间几何的体积等问题，解题关键是把正四面体放置在正方体中，利用正方体的性质确定与正四面体有关的图形的性质，求解结论．对学生的空间想象能力、逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，本题属于难题． 13．30 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求3x 的项的系数 【详解】()51x +的展开式的通项公式为15C r r r T x +=，故该展开式中3x 的项的系数为35C 10=，()61x +的展开式的通项公式为16C k kk S x +=，故该展开式中3x 的项的系数为36C 20=，故在()()5611x x +++展开式中，含3x 的项的系数为30， 故答案为：30.14．【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】22222222211cos sin 11tan 11cos 2cos sin tan ,33cos sin 31tan 32αααααααααα--=⇒-=⇒=⇒=⇒=++即tan α=故答案为：15．809π【解析】 【分析】计算出当水深为4cm 时，水的体积，然后除以流速可得出时刻t 的值，设水的深度为hcm ，求出h 关于t 的函数表达式，利用导数可求得当水深为4cm 时，水升高的瞬时变化率. 【详解】设t 时刻水的深度为hcm ，水面半径为rcm ，则83h r =，则38r h =，当水深为4cm 时，酒杯中水面的半径为32cm ，此时水的体积为2134332V ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，由题意可得203t π=，可得320t s π=； 由题意可得22311332033864t r h h h h πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，1312803t h π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 12331128033h tπ-⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭，当320t π=时，()123311280380/33209h cm s πππ-⎛⎫⎛⎫'=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：809π. 16． 3 1023133 【解析】 【分析】求出数列前若干项，根据其特性，分别求和后再可解即可. 【详解】由()11nn n a a n ++-=，得()11nn n a n a +=--，又11a =，所以()21112a a =--=，()232210a a =--=，()343313a a =--=，()454411a a =--=，()565516a a =--=，()676610a a =--=，()787717a a =--=，()898811a a =--=，()91099110a a =--=，()1011101010a a =--=，()11121111111a a =--=， ()1213121211a a =--=，()13141313114a a =--=，⋯；因为202250542=⨯+， 所以，明显可见，规律如下： 159132021,,,,,a a a a a ，成各项为1的常数数列，其和为1506506⨯=， 2610142022,,,,,a a a a a ，成首项为2，公差为4的等差数列，其和为25065055062450625120722⨯⨯+⨯=⨯=， 3711152019,,,,,a a a a a ，成各项为0的成常数数列，其和为05050⨯=， 4812162020,,,,,a a a a a ，成首项为3，公差为4的等差数列，其和为505504505345105552⨯⨯+⨯=， 故202250651207205105551023133S =+++=. 故答案为：①3；①1023133. 17．(1)8BD =；【解析】 【分析】（1）在ABD △中，由余弦定理求解BD .（2）由余弦定理求得cos BAD ∠，然后由两角差的正弦公式计算sin C ． (1)在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅ 所以224981293BD BD =+-⨯⨯⨯，解得8BD =或4BD =当4BD =时，1649812cos 2477ADB +-∠==-⨯⨯，此时2ADB π∠>，不符合题意，舍去；当8BD =时，6449812cos 2877ADB +-∠==⨯⨯，此时2ADB π∠<，符合题意，故8BD =．(2)在ABD △中，22211cos 221AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅⋅所以in s BAD ∠=1）易得in s ADB ∠=， 所以sin sin()C ADB CAD =∠-∠sin()ADB BAD =∠-∠112217=-=18．(1)1142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，*N n ∈(2)3k = 【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列基本量进行运算即可；（2）238k S >表示成15264k⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，对k 分奇偶进行讨论求解即可.(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠．因为135a a +=，1a ，3a ，2a 构成等差数列，所以211211152a a q a q a a q ⎧+=⎨=+⎩，解得1412a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以111142n n n a a q--⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以数列{}n a 的通项公式为1142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，*N n ∈(2)141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，①81132k k S ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 要使238k S >成立，即81231328k ⎡⎤⎛⎫-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即15264k⎛⎫-<- ⎪⎝⎭当k 为偶数时，102k⎛⎫-> ⎪⎝⎭，不等式不成立所以k 为奇数，设21k m =-，*N m ∈，即2115264m -⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即2115264m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即2152128m⎛⎫>⎪⎝⎭，即12845m< ①整数2m ≤，①m 的最大值为2 此时3k =，①使238k S >成立的最大正整数3k =． 19．(1)证明见解析 (2)M 与E 重合 【解析】 【分析】（1）可证AC ⊥平面BCF ，从而得到需求证的线面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设FM λ=(0λ≤≤，求出平面MAB 的一个法向量和平面FCB 的一个法向量后可求二面角的余弦值，从而可求参数λ的值，故可得M 的位置. (1)证明：设1AD CD BC ===，在梯形ABCD 中，过,D C 分别作AB 的垂线，垂足分别为,S T ，①//AB CD ，120BCD ∠=︒，所以1122TB AS BC ===， ①2AB =，①2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， ①222AB AC BC =+，则BC AC ⊥．①CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，①AC CF ⊥， 而CFBC C =，CF ，BC ⊂平面BCF ，①AC ⊥平面BCF ．①//EF AC ，①EF ⊥平面BCF ． (2)以C 为坐标原点，分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设FM λ=(0λ≤≤，则()0,0,0C ，)A，()0,1,0B ，(),0,1M λ，①()AB =，(),1,1BM λ=-． 设(),,n x y z =为平面MAB 的法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，则()1,3,n λ= 易知()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量，①cos ,n m n m n m⋅==1,2λ===①0λ≤≤①当λ=即M 与E 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角为3π．20．(1)安排乙 (2)()8.5,8.6 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率的计算公式可求业余队安排乙与甲进行比赛时业余队获胜的概率及业余队安排丙与甲进行比赛业余队获胜的概率，根据p 的范围可得正确的安排方法. （2）利用独立事件的概率公式可求9X =万元或7.2X =万元对应的概率，利用期望公式结合（1）的结果可求期望的范围. (1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为： ()()()112151113339P p p p =⨯-+⨯-⨯=- 第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为： ()()2111133P p p p =-⨯+⨯⨯-()2113p =-因为1223p <<，所以()12121033P P p p ⎛⎫-=⨯--> ⎪⎝⎭，12P P > 所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛． (2)由已知9X =万元，或7.2X =万元由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛． 此时，业余队获胜的概率为：()1519P p =- 专业队获胜的概率为321283339P p p p =+⨯⨯= 所以，非平局的概率为()1351993P X P P p ==+=+ 平局的概率为()13417.2193P X P P p ==--=- X 的分布列为：X 的期望为()514197.28.20.69393E X p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由1223p <<，所以数学期望()E X 的取值范围为()8.5,8.6（单位：万元） 21．(1)2215x y +=(2)存在，直线l 的方程为20x -= 【解析】 【分析】（1）由焦距得焦点坐标，得c ，写出直线AF 方程，由点到直线距离公式求得b ，再计算出a 得椭圆方程；（2）假设存在，当直线MN 斜率为0时，不符合题意，当直线斜率不为0时，设直线MN 方程为()20x my m =+≠，代入椭圆方程，设()11,M x y ，()22,N x y ，由韦达定理得12y y +，12y y +，由直线,QM NE 方程联立求得P 点坐标，由PMN PNQ MNQ S S S =-△△△计算面积从而可求得参数m 值，得直线方程． (1)由题意知24c =，()2,0F ，设()0,A b 又直线AF 的方程12x yb+=，即220bx y b +-=，因为点O 到直线AF=1b =，()2b <，a = 所以椭圆C 的方程为2215x y +=．(2)依题意，当直线MN 斜率为0时，不符合题意；当直线斜率不为0时，设直线MN 方程为()20x my m =+≠，联立22215x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()225410m y my ++-=，易知()()22216452010m m m ∆=++=+>． 设()11,M x y ，()22,N x y ，则12245m y y m +=-+，12215y y m =-+，因为ME x ⊥轴，NQ x ⊥轴，所以()1,0E x ，()2,0Q x ， 所以直线()1212:y QM y x x x x =--①，直线()2121:yNE y x x x x =--①， 联立①①解得122112P x y x y x y y +=+()()12211222my y my y y y +++=+12122522my y y y =+=+， 因为//ME NQ ，ME 与直线52x =平行， 所以PMN PNQ MNQ S S S =-=△△△112P NQ x x ⋅-211522y x =⋅-2121122y my y =-， 因为121214my y y y =+，所以()212111224PMN S y y y =-+=△1218y y -===42150m m-=，解得m =0m =（舍），故存在直线l 的方程为20x -=，使得PMN 22．(1)当e m ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当e m <时，()f x 在10,e m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,e m ∞⎛⎫+⎪-⎝⎭上单调递减； (2)(],e 1∞-+ 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，对m 进行分类讨论，求出单调性；（2）参变分离后，转化为ln 1e e x x m x x -≤--在()0,∞+上恒成立，对()ln 1e x x h x x x=--求导，求解其最小值，最终求出m 的取值范围，过程用到了同构和隐零点的方法. (1)因为()()ln e 1=+--f x x m x ，其定义域为()0,∞+ 所以()()()1e 1e m xf x m x x+-=+-'=． 当e 0m -≥，即e m ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当e 0m -<，即e m <时，由()0f x '>得：10e x m <<-，所以()f x 在10,e m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增；()0f x '<得：1e x m >-，所以()f x 在1,e m ∞⎛⎫+⎪-⎝⎭上单调递减； 综上，当e m ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当e m <时，()f x 在10,e m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,e m ∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭上单调递减；(2)因为()()ln e 1=+--f x x m x ，()e 20-+≤xf x x ，所以()ln e 1e 0x x m x x +-+-≤，所以ln 1e e xx m x x-≤--在()0,∞+上恒成立． 令()ln 1e xx h x x x =--，则()22221ln 1e ln e x xx x x h x x x x -+'=-+=， 令()2e ln x t x x x =+，则()()212e 0xt x x x x'=++>，所以()t x 在()0,∞+上单调递增．又()1e 0t =>，12e1e 10e t -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()t x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点0x ，使()00t x =． 即0020e n 0l x x x +=，即0000ln e x x x x =-，即001ln 0000001111e ln ln ln e x x x x x x x x =-==，当()00,x x ∈时，()()0,0t x h x <<，当()0,x x ∈+∞时，()()0,0t x h x >>，所以()ln 1e xx h x x x=--在0x x =处取得极小值，也是最小值. 令()e xg x x =，()()1e x g x x +'=，当0x >时，()()1e 0x g x x '=+>恒成立，所以函数()e xg x x =在()0,∞+上单调递增，所以001lnx x =，即00ln x x =-，即01e x x =． 所以()h x 的最小值()000000000ln 111e 1x x x h x x x x x x -=--=--=， 所以e 1m -≤，即e 1m ≤+，所以实数m 的取值范围是(],e 1∞-+． 【点睛】导函数求解参数的取值范围问题，参变分离是常用思路之一，本题难点在于研究导函数的零点时，要用到隐零点的思想和同构的方法，需要对常用同构变形熟悉.。
湖北剩州中学宜昌一中龙泉中学三校2020届高三数学联考试题文201912050170
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题文本试卷共 2 页，共 22 题。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1．已知a 为实数，若复数2(9)(3)i z a a =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为 A ．3 B ．6i C ．3± D ．6 2．已知}3|{},032|{22-==≤-+=x y x B x x x A ，则=⋂B AA ．]2,1[B ．]3,3[--C ．]3,3[D ．]3,2[3．下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是A ．y=B ．ln y x =C ．y x =D ．10xy =4．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.20.40.4log 0.543<<C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.40.20.43<log 0.5<45．数列{}n a 满足()*211N n n n n a a a a n +++-=-∈,且810a =,则15S =A ．95B ．190C ．380D ．1506．函数()e ln ||xf x x =⋅的大致图象为A B C D7．已知函数f （x ）=2log ,1()1,11x x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式f （x ）≤2的解集为A ．B ．[]1,1,42⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(]1,1,42⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(][],01,4-∞8．已知数列}{n a 为等比数列，且6427432-=-=a a a a ，则=⋅)32tan(5πa A ．3- B ．3± C ．3 D ．33- 9．函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是 A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 在,63ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上单调递增 C ．()y f x =的图象关于直线712x π=对称 D ．()y f x =的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称10．下列判断正确的是A ．“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件B ．命题“若0,0x xy ≠≠则”的逆否命题为真C ．命题“x R ∀∈，20x>”的否定是“0x R ∃∈，020x >”D ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧⌝”为真命题 11．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是A ．()2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞⋃+∞D ．[)2,8D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知12,e e 为单位向量且夹角为4π，设12232,3a e e b e =+=，则a 在b 方向上的投影为__ ___．14．已知1(0,),sin cos 5απαα∈+=，则tan α= ． 15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (2)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为 ．16．若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足23132a a a =+，且23+a 是42,a a 的等差中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若nn n a a b 1log 2+=，求}{n b 的前n 项和为n S ．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos cos CA =. （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若角π6B =，BC边上的中线AM =ABC ∆的面积.19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC , 点E 是BC 边的中点, 将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE , 得到如图2所示的几何体． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ； （Ⅱ）若1AD =,AB =，求点B 到平面ADE 的距离．B A图1图220．（本小题满分12分）椭圆221(1)2x y m m m+=>+的左、右顶点分别为A ,B ,过点B 作直线l 交直线x=-2于点M ,交椭圆于另一点P ．（Ⅰ）求该椭圆的离心率的取值范围；（Ⅱ）若该椭圆的长轴长为4，判断OM OP ⋅是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数21()2sin 1,()cos 2f x x xg x x m x =-+=+． （Ⅰ）求()f x 在()0,π上的单调区间；（Ⅱ）当m ＞1时，证明：()g x 在()0,π上存在最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2cos sin )8l ρθθ-=． （Ⅰ）求曲线2C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数|3||13|)(k x x x f ++-=,4)(+=x x g ． （Ⅰ）当3-=k 时,求不等式()4f x ≥的解集； （Ⅱ）设1->k ,且当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈31,3k x 时，都有()()f x g x ≤,求k 的取值范围．宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟高三11月联考 文科数学参考答案一、选择题1-5 DBABD 6-10 BBCBD 11-12 AB 二 填空题13．22+ 14．43- 15．2n n a = （2,n 若只写不给分 ） 16．a e ≤ 三．解答题17．解：设公比为q…………………………………………………………………………1分由23132a a a =+得q a q a a 121132=+，∴q q 322=+，解得q=1或2 (3)分又23+a 是42,a a 的等差中项即2（23+a ）=42a a +若q=1，则2（1a +2）=21a ，方程无解，舍去；…………………………… 4分 若q=2，则2（41a +2）=21a +81a ，解得1a =2∴nn n q a a 21-1== ………………………………………………………………6分（2）∵nn n a a b 1log 2+==n n-2∴21)(n -2-12-21+=+n S n n 21)(n -2-21+=+n n ………………………………12分18.解析：（1）因为(2)cos cos b A C =，由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C =，即2sin cos cos cos B A A C C A =()A C =+ ． ……………4分 因为B A C π＝－－，所以()sinB sin A C =+，所以2sin cos B A B =． 因为0()B π∈，，所以0sinB ≠，所以cos A =，因为0A π<<，所以6A π=． ……………6分（2）由（1）知π6A B ==，所以AC BC =，23C π=． …………….8分设AC x =，则12MC x =，又AM = 在AMC 中，由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=即222()2cos120,22x x x x +-⋅⋅=o解得x =故212sin 23ABC S x π∆== ...................................................... 12分19． (Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD ……………………1分 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB ………………………2分 又AD ⊥AB DC ∩AD D =所以AB ⊥平面ADC ． …………………………………………6分 (Ⅱ)2AB =1AD =．BD ∴=依题意△ABD ～△BDC ，所以AB CD AD BD ==．CD ∴= …………7分 故3BC =． ……………………………6分 由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC , E 为BC 的中点, 得AE 322BC ==，同理DE 322==BC ，所以 22=ADE S 因为DC ⊥平面ABD ，所以3331=⋅=-ABD BCD A S CD V ． 设点B 到平面ADE 的距离为d , 则632131====⋅---BCD A BDE A ADE B ADE V V V S d , 所以26=d ……………………11分， 即点B 到平面ADE 的距离为26． ……………………12分 EDCA20．(Ⅰ)解:∵e====, .............................................. 2分又m>1,∴0<e<=,∴e∈(0,)．...................................................................... 5分(2)证明:∵椭圆的长轴长为2=4,∴m=2, .......................................... 6分易知A(-2,0),B(2,0),设M(-2,y0),P(xⅠ,yⅠ),则=(xⅠ,yⅠ),=(-2,y0),直线BM的方程为y=-(x-2),即y=-x+y0,代入椭圆方程x2+2y2=4,得(1+)x2-x+-4=0,由韦达定理得2xⅠ=......................................... 8分∴xⅠ=,∴yⅠ=, .............................................................. 9分∴·=-2xⅠ+y0yⅠ=-+==4． ........................................ 12分21．（1）令f′（x）=0，即，x∈（0，π），得当x变化时，f′（x），f（x）变化如下：所以函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为…………………（5分）（2）因为，所以g ′（x ）=x -m sin x令h （x ）=g ′（x ）=x -m sin x ，则h ′（x ）=1-m cos x ……………（6分） 因为m ＞Ⅰ，所以所以h ′（x ）=1-m cos x =0，即在（0，π）内有唯一解x 0当x ∈（0，x 0）时，h ′（x ）＜0，当x ∈（x 0，π）时，h ′（x ）＞0，所以h （x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，π）上单调递增．……………（8分） 所以h （x 0）＜h （0）=0，又因为h （π）=π＞0所以h （x ）=x -m sin x 在（x 0，π）⊆（0，π）内有唯一零点x Ⅰ……………（10分） 当x ∈（0，x Ⅰ）时，h （x ）＜0即g ′（x ）＜0，当x ∈（x Ⅰ，π）时，h （x ）＞0即g ′（x ）＞0，所以g （x ）在（0，x Ⅰ）上单调递减，在（x Ⅰ，π）上单调递增．所以函数g （x ）在x =x Ⅰ处取得最小值即m ＞1时，函数g （x ）在（0，π）上存在最小值……………………………………（12分） 22．（本小题满分Ⅰ0分）选修4—4：极坐标与参数方程解：（I）由已知有''2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），消去θ得22''134x y +=． 将sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的方程得82:=-y x l∴ 曲线2C 的方程为22''134x y +=，直线l 的普通方程为:280l x y --=． ………5分（II ）由（I ）可设点P 为)sin 2,cos 3(θθ，[0,2)θπ∈．则点P 到直线l 的距离为：5|8)3sin(4|5|8sin 2cos 32|+-=--=πθθθd- 11 - 故当sin()13πθ-=，即5=6πθ时d 取最大值5512． 此时点P 的坐标为)1,23(-． ……………………………………10分 23．(本小题满分Ⅰ0分)选修4—5：不等式选讲解：（I ）当3k =-时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤<+-=1 46131 231 46)(x x x x x x f ，，，， 故不等式4)(≥x f 可化为：1644x x >⎧⎨-≥⎩或11324x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩或13644x x ⎧<⎪⎨⎪-+≥⎩ 解得：403x x ≤≥或 ∴ 所求解集为：403x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或． ……………………………………5分 （II ）当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈31,3k x 时，由1k >-有：310,30x x k -<+≥ ∴ k x f +=1)(不等式)()(x g x f ≤可变形为：41+≤+x k故3k x ≤+对1,33k x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭恒成立，即33k k ≤-+，解得94k ≤ 而1k >-，故914k -<≤． ∴ k 的取值范围是：91,4⎛⎤- ⎥⎝⎦ ………………………………………………10分。
湖北剩州中学宜昌一中龙泉中学三校高三数学联考试题理
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题理本试卷共 2 页，共 23 题。
满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1．已知U R =，函数)1ln(x y -=的定义域为M ，}0|{2<-=x x x N ，则下列结论正确的是 A ．MN N = B ．()U MC N φ= C ．M N U =D ．)(N C M U ⊆2．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是A ．22i z = B ．2z z ⋅= C ．||2z = D ．0z z += 3．下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是A ．y=B ．ln y x =C ．y x =D ．10xy =4．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.20.40.4log 0.543<<C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.40.20.43<log 0.5<45．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==，则BE AF ⋅=A ．23-B ．43-C ．83- D ．2-7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．43钱 B ．73钱 C ．83钱 D ．103钱 8．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用 ②子女教育费用 ③继续教育费用 ④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元 ②子女教育费用：每个子女 每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附 加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为 A ．590元 B ．690元 C ．790元 D ．890元 9．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是A ．()2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞D ．[)2,810.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=A ．23 B ．49C11.若函数32,1()3,1xe a xf x x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围为 A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．(]0,1 D ．(]0,e 12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是 A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知1(0,),sin cos 5απαα∈+=，则tan α=_______． 14．已知命题200:,10p x R mx ∃∈+≤；命题2:,10q x R x mx ∀∈++>．若p q ∨为假命题，则 实数m 的取值范围为_________．15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_________．16．函数21y x =-和ln 1y a x =-有相同的公切线，则实数a 的取值范围为_________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-． （Ⅰ）求证：2A B =；（Ⅱ）若53b c =，a =BC 边上的高．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）证明：2221274n S S S +++<．19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//,2AB CD CD AB =．（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点M ，()0AN mAP m =>，且//MN 平面PCD ，求实数m 的值； （Ⅱ）若,60,AB AD DP BAD PB ︒==∠=，且PD AD ⊥，求二面角A PC B --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C x y =和直线:2l y x =-，过直线l 上任意一点P 作抛物线的两条切线， 切点分别为,A B ．（Ⅰ）判断直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由； （Ⅱ）求PAB ∆的面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知2()cos 1(0)f x x mx x =+-≥．（Ⅰ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：当0x ≥时，2sin cos x e x x -≥-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，方程2sin 2ρθ=的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．（Ⅰ）当玫瑰线的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；（Ⅱ）求曲线sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的点M 与玫瑰线上的点N 距离的最小值及取得最小值时的 点M 、N 的极坐标．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x a x a =-+-+，()24,g x x ax a R =++∈． （Ⅰ）当1a =时，解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式()()12f x g x >成立，求实数a 的取值范围．“宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟”高三11月联考理科数学参考答案一、选择题： 1-4 ABAB 5-8 CDCB 9-12 ACBD 二、填空题 13．43- 14．2m ≥ 15．2 16．(]0,2e 三．解答题17．解：（Ⅰ）因为2cos b c b A =-，所以sin sin 2sin cos B C B A =-，因为()C B A π=-+， 所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+-．……………………2分所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+-，即sin cos sin sin cos B B A B A =-，即sin sin()B A B =-，………………………………4分 因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<，所以B A B =-或()B A B π=--(舍去)，故2A B =．……………………………………6分 （Ⅱ）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =， 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，……………………………………………………………………………9分由1cos 3A =得，sin A =BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即610⨯=，所以h =．…………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，………………………………………………2分11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --=，……………………………………………………………4分 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1构成以1为首项，1为公差的等差数列．……………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，111(1)1n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=．………………………………7分则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭．…………………………………………9分 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭．……………………………………11分 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<．……………………………12分 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n=<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意， 19． 解：（Ⅰ）因为//AB CD ,所以11,23AM AB AM MC CD AC ===即．…………………………1分因为//MN PCD 平面，MN ⊂平面PAC ，平面PAC平面PCD PC =，所以//MN PC ． ……………………………………………………………………………………3分 所以13AN AM AP AC ==，即13m =．…………………………………………………………………5分（Ⅱ）因为,60AB AD BAD =∠=︒,可知ABD ∆为等边三角形，所以BD AD PD ==，又BP ，故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥． 由已知,PD AD ADBD D ⊥=，所以PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点，DA DP ,的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………6分设1AB =，则1,2AB AD DP CD ====，所以(1,0,0)A ,)3,0,1(),0,1,0(),23,0,21(-C P B ，则13(,1,),(1,2PB PC =-=--，(1,1,0)PA =- 设平面PBC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则有1100n PB nPC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11111120,0.x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则112,y z =1n =，…8分设平面APC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =,则有2200nPA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222200x yx y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩令22xy =，则22z =，即2(3,n =．…10分所以121212cos ,422n n n n nn <>===⋅11分设二面角A PC B --的平面角为θ，则cos θ=．………………………………………12分20．解：（Ⅰ）设点()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y ，由22x y =两边同时对x 求导，y x '=，则抛物线在点A 处的切线方程为11111()y x x x y x x y =-+=-，……………………1分又该切线方程经过点()00,P x y ，则0101y xx y =-，……………………………………………2分同理有0202y x x y =-，故()()1122,,,A x y B x y 均在直线00y x x y =-上，又002y x =-，则直线AB 的方程为0020x x y x --+=，……………………………………4分整理得()0120x x y --+=，恒过定点()1,2．…………………………………………………5分说明：第一问若设点()00,P x y ，然后直接写出切点线方程0022y y x x +=⋅，没有给出证明 即0020x x y x --+=，得出定点()1,2．给3分，扣2分．（Ⅱ）由题联立方程20022x y y x x x ⎧=⎨=-+⎩得2002240x x x x -+-=，120120224x x x x x x +=⎧⎨⋅=-⎩， (7)分12AB x =-==， ………………………………………………………………………………………………8分点()00,2P x x -到直线AB ：0020x x y x --+=的距离为d =， (9)分则PAB ∆的面积12S AB d =⨯⨯==11分当01x =时，即()1,1P -时，PAB ∆的面积最小值为12分21．解：（Ⅰ）法一：由题意()sin 2f x x mx '=-+，()cos 2f x x m ''=-+………………1分 ① 若21m ≥，即12m ≥时，()0f x ''≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增， 则()(0)0f x f ''≥=，则()f x 在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f ≥=，满足题意；……3分② 若121m -<<，即1122m -<<时，存在00x >，使得0()0f x ''=，且当()00,x x ∈时，()0f x ''<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调递减，此时()(0)0f x f <=，舍去；…………………………………………………………………4分 ③ 若21m ≤-，即12m ≤-时，()0f x ''<，则()f x '在[)0,+∞上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在[)0,+∞单调递减， ()(0)0f x f <=，舍去；故12m ≥．……………………………………………………………………………………………5分法二：由题知(0)0f =，且()sin 2f x x mx '=-+，(0)0f '=，()cos 2f x x m ''=-+……1分要使得()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，则必须满足(0)0f ''≥，即210m -≥，12m ≥．……2分 ① 若12m ≥时，()0f x ''≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增，则()(0)0f x f ''≥=， 则()f x 在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f ≥=，满足题意；……………………………3分 ② 若12m <时，存在()00,x x ∈时，()0f x ''<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调递减，此时()(0)0f x f <=，舍去；故12m ≥．……………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当12m ≥时，2()cos 10f x x mx =+-≥．取12m =， 则211cos 2x x -≥-，………………………………………………………………………………6分由（Ⅰ）()sin 0f x x x '=-+≥，则sin x x ≥，故211sin cos 2x x x x +-≥-， 要证2sin cos x e x x -≥-，只需证21212x e x x -≥+-．………………………………………8分令()2112x g x e x x =---，则()1x g x e x '=--，()1x g x e ''=-， 当0x ≥时，()0g x ''≥，则()g x '在[)0,+∞上单调递增，有()()00g x g ''≥=， 故()g x 在[)0,+∞单调递增，故()()00g x g ≥=， 故21102x e x x ---≥，即有21212x e x x -≥+-，得证． (12)分22. 解：（Ⅰ）以极点为圆心的单位圆为1ρ=与2sin 2ρθ=联立，得2sin21θ=，……2分所以1sin 22θ=，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12πθ=或512π，则极坐标为1,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭和51,12π⎛⎫⎪⎝⎭……5分（Ⅱ）曲线sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的直角坐标方程为4x+y=，……………………………………7分玫瑰线2sin 2ρθ=极径的最大值为2，且可于2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭取得， 连接O ，2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭，与4x y +=垂直且交于点4M π⎛⎫⎪⎝⎭．所以距离的最小值为2-，此时4M π⎛⎫⎪⎝⎭，2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………10分23.解：（Ⅰ）当1a =时，()11f x x x =-++，则()2 ,1,2, 11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≥…………………2分当1x <-时，由()f x ≤4得，22x --≤4，解得21x -<-≤； 当11x -<≤时，()f x ≤4恒成立；当1x ≥时，由()f x ≤4得，2x ≤4，解得12x ≤≤．所以()f x ≤4的解集为{}22x x -≤≤．……………………………………………………5分 （Ⅱ）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，得()()12f x g x >成立，所以()()min min f x g x >．……6分因为()2223120a a a -+=-+>，所以223a a >-，且()()222223232323x a x a x a x a a a a a -+-+---+=-+=-+≥， ① 当223a x a -≤≤时，①式等号成立，即()2min 23f x a a =-+．…………………………8分又因为2222444244a a a x ax x ⎛⎫++=++-- ⎪⎝⎭≥， ②当2ax =-时，②式等号成立，即()2min 44a g x =-．………………………………………9分所以222344a a a -+>-，即a 的取值范围为()2,2,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．……………………10分。
龙泉中学、荆州中学、宜昌一中三校5月联考-理科综合
㊁ A ������ b 的同分异构体只有 a c和 d 三种 ㊀㊀㊀B ������ d 的二氯代物有 ３ 种 C ������ c中所有碳原子可能共平面 D ������ ４ 种有机物均能使酸性高锰酸钾溶液褪色 １ ０ ������M㊁ N㊁ P㊁ Q 是原子序数依次递增的短周期主族元素 , N 和 P 组成的某二元化合物是生产 普通玻璃所需主要原料之一 , 和 的 氧 化 物 是 空 气 中 两 种 主 要 污 染 物. 下 列 有 关 说 M Q 法中正确的是 与任何酸均不反应 A ������ P N ２ 是酸性氧化物 , B ������ 简单离子半径 : Q＞N＞M C ������ 简单氢化物的沸点 : Q＞M D ������M 的氧化物与 Q 的氢化物在一定条件下可能发生反应 设想用碳呼吸电池为钠硫电池充电的装置如 １ １ ������ 碳呼吸电池被誉为改变 世 界 的 创 新 技 术 , 下图所示 . 下列说法不正确 的是
ʌ三 校 联 考 ������ 理 科 综 合 试 题 ㊀ 第 ３ 页 (共 １ ２页 )ɔ
A ������ 仅有太阳光照射光电管时 , c㊁ d 端输出的电压为零 , 明火照射光电管的时间要足够长 B ������ c㊁ d 端才有输出电压 照射光电管的紫外线波长应大于 ２ C ������ 要实现有效报警 , ８ ０n m 照 射 光 电 管 的 紫 外 线 波 长 越 长, 逸出的光电子最 D ������ 火 灾 报 警 时 , 大初动能越大 甲物体 １ ６ ������ 以不同初速度将两个物 体 同 时 竖 直 向 上 抛 出 并 开 始 计 时 , 所受空气阻力可忽略 , 乙物体所受空气阻力大小与物体速率成正 比, 下列用虚线和实线描述两物体运动的v－ t 图象正确的是
湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学·、宜昌一中三校2023届高三下学期5月联考数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为（ ）A ．7B ．15C ．25D ．352. 已知奇函数定义在上且为减函数。
若成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 若复数，则（ ）A ．25B ．5C．D ．24. 空间中，“直线平行于平面上的一条直线”是“直线平面”的（ ）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要5. 已知椭圆，分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中错误的是（ ）A ．点到右焦点的距离的最大值为B．焦距为C ．点到原点的距离的最大值为D．椭圆的离心率为6. 已知､两点，直线：与线段相交，则直线的斜率的取值范围（ ）A．B．C．D．7. 已知，则下列描述不正确的是（ ）A．B ．除以5所得的余数是1C．D．8. 已知函数，若在定义域内都有成立，则的取值可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D．9. 过圆的圆心作曲线的切线，切点分别为,则的最小值为____10.在正项等比数列中，，，则＝________.11. 已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，弦AB的中点为，则直线l 的方程为___________.12. 已知实数满足：，，则的最大值为_______.13. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．(1)求实数的值及的最大值；(2)证明：当时，；(3)判断关于的方程实数根的个数，并证明．湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学·、宜昌一中三校2023届高三下学期5月联考数学试题(高频考点湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学·、宜昌一中三校2023届高三下学期5月联考数学试题(高频考点14. 已知函数．(1)在图中画出函数的图象；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．15. 当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？16. （1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假设全部溶解），糖水变甜了.这一事实可以表示为不等式，证明这个不等式成立.（2）已知都是正数，求证；。
湖北省宜昌市第一中学、荆州中学2024-205学年高二上学期十月联考数学试卷
湖北省宜昌市第一中学、荆州中学2024-205学年高二上学期十月联考数学试卷一、单选题1．复数12z z ､满足1212z z z z +=，若11i z =-，则2z =（）AB ．1C D ．2．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[]50,100内，按分数分成5组：[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（）A ．成绩在[)50,60上的人数最少B ．成绩不低于80分的学生所占比例为50%C ．50名学生成绩的极差为50D ．50名学生成绩的平均分小于中位数3．已知平面向量1e 和2e 满足21122,e e e == 在2e 上的投影向量为214e -，则2e 在1e 上的投影向量为（）A ．114e - B ．113e - C ．112e - D ．1e - 4．设,a b 为实数，若直线2ax by +=与圆221x y +=相切，则点(),P a b 与圆的位置关系（）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不能确定5．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则cos 2θ的值为（）A ．35B ．35-C ．15D ．15-6．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1B M相等的向量是（）．A ．1122a b c-++B ．1122++a b cC ．1122-+ a b cD ．1122--+ a b c7．在四边形ABCD 中，2AB BC ==，3AD =，90A CBD ∠=∠=︒，将BCD △沿BD 折起，使点C 到达点C '的位置，且平面C BD '⊥平面ABD .若三棱锥C ABD '-的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．17πB ．23πC ．25πD ．29π8．有5张未刮码的卡片，其中n 张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n 至少为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．下列说法不正确的是（）A ．“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”是“1a =-”的充分不必要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆()222:(4)(4)0M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r 的取值范围是()4,6D ．设b 为实数，若直线y x b =+与曲线x =11b -<≤10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C 为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（）A ．事件A 与事件B 相互独立B ．事件A 与事件B 互斥C ．()34P A B ⋃=D ．()5C 8P =11．如图，矩形ABCD 中，AD =AD ，BC 的中点分别为E ，F ，直线BE 交AC 于点G ，直线DF 交AC 于点H .现分别将ABE ，CDF V 沿BE ，DF 折起，点,A C 在平面BFDE 同侧，则（）A ．当平面AEB ⊥平面BEDF 时，AG ⊥平面BEDF B ．当平面//AEB 平面CDF 时，//AE CDC ．当,A C 重合于点P 时，二面角P DF B --的大小等于60︒D ．当,A C 重合于点P 时，三棱锥P BEF -与三棱锥P DEF -外接球的公共圆的周长为10π三、填空题12．已知空间向量()4,1,a λ=- ，()2,1,1b = ，()1,2,1c = ，若a ，b ，c共面，则实数λ=.13．若动直线1:30l mx y m --+=，圆22:(2)(4)3-+-=C x y ，则直线1l 与圆C 相交的最短弦长为．14．已知()()(){}()()(){}2222,|21,0,|21,0S x y x y m y x y x y m y =-+-=≥⋃-++=≥，()1,|2T x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，P S T = ，则下列结论中正确的是.①当12m =时，(){},|02,2S x y y ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋂==-+ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭；②当1m =时，P 有1个元素；③若P 有2个元素，则1,11,1m ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④若P 有4个元素，则m 无整数解；四、解答题15．2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+.(1)求角C 的大小；(2)若ABC Vc 的取值范围.17．已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，(1)求点M 的轨迹方程；(2)记（1）中所求轨迹为曲线C ，过定点()1,0的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，曲线C 的中心记为点C ，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．18．在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，AB AD ⊥，BC PA ⊥，222AB AD CD ===，PA 2PC =，E 是线段PB上的点．(1)求证：PC ⊥底面ABCD ；(2)是否存在点E 使得PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23若存在，求出BE BP的值；若不存在，请说明理由．19．蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q．(1)当0b =，r =12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；(2)①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想O 和O 的大小关系，并证明．。
高三试卷数学-湖北省荆州中学、龙泉中学、宜昌一中2023届高三下学期5月三校联考数学试卷及参考答案
2023年高三下学期5月三校联考高三数学试卷命题学校：宜昌一中 命题教师：高三数学备课组 审题学校：荆州中学、龙泉中学考试时间：2023年5月18日下午15:00—17:00 试卷满分：150分★祝考试顺利★一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|2,}A x a x x =<<∈Z ，{1,0,1,2}B =−，若A B 中恰有两个元素，则实数a 的取值范围为A ．[1,0)−B ．[1,0]−C ．[0,1)D ．[0,1]2．已知复数2i +是关于x 的方程20x ax b −−=（,a b ∈R ）的一个解，则复数i z a b =+在复平面内对应 的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知平面向量a ，b ，c 满足()2,1=a ，()1,2=b ，且⊥a c．若⋅=b c ，则||=cAB．C．D． 4．由经验可知，某种质地的沙子堆放成圆锥的形状，若要使沙堆上的沙子不滑落，其母线与底面的最 大夹角为π6．现有一堆该质地的沙子堆成的沙堆，该沙堆的底面半径为3m ，高为1m ．现在为了节 省该沙堆的占地，需要用一个无盖的圆柱形容器盛放这些沙子，沙子可以超出该容器，且超出部分m ，则该容器的高至少为A ．1mB ．2m 3Cm Dm 5．若(0,)2πα∈，22πcos()2cos 4cos cos 55πααα−+=⋅，则α等于A ．2π5B ．3π10C ．π5D ．π106．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为13．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为14．已知该同学在某天下午去游了 泳，则上午打球的概率为A ．34B ．23 C ．13D ．127．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与E 交于点A ，B ．直线l 为E 在点A 处的切线，点B 关于l 的对称点为M ．由椭圆的光学性质知，1F ，A ，M 三点共线．若||AB a =，1157BF MF =，则21BF AF =A ．12B ．27C ．14D ．178．设函数3()22f x x x =−，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d 满足(,())a f a ，(,())b f b ， (,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，则a 的取值范围为A ．1(0,]2B ．1[,1]2C ．D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正四棱锥P ABCD −的所有棱长相等，M ，N 分别是棱PD ，BC 的中点，则 A ．MN PB ∥ B ．MN ∥面PAB C ．MN PA ⊥D ．MN ⊥面PAD10．某学校一同学研究温差()x C ︒与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据：A ．样本中心点为(8,25)B ．ˆ 4.2a=C ．5x =时，残差为0.2−D ．若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r 增大11．已知函数()sin(2)π(0)2f x x ϕϕ=+<<在(0,)2ϕ上有最大值，则A ．ϕ的取值范围为(π,4π)2B ．()f x 在区间(0,)ϕ上有零点C ．()f x 在区间(,)2ϕϕ上单调递减D ．存在两个ϕ，使得()1f ϕϕ−=12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()111,(0)P x y y >是圆()22:21M x y −+=上的一个动点，直线OP 与 圆M 交于另一点Q ，过点O 作直线OP 的一条垂线，与圆()22:24N x y ++=交于点()22,E x y ，则下 列说法正确的是 A ．21x >−B ．14y OP OE =⋅C ．若PQ OE =，则3NOE MPQ S S ∆∆=D ．PEQ ∠的最大正切值为21三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知31(2)n x x+的展开式的第7项为常数项，则正整数n 的值为________．14．若函数1()e x a f x x −+=−在区间(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围为________．15．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将 它减半（即2n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后， 一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的n 的所有不同值的和为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，A ，B 是其准线上的两个动点，且FA FB ⊥，线段FA ，FB 分别与抛物线C 交于P ，Q 两点．记PQF △的面积为1S ，ABF △的面积 为2S ．当1219S S =时，AB =________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 的各项均不为0，其前n 项和n S 满足141n n n a a S +=−，*n ∈N ，且11a =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列11{}n n n a S S ++的前n 项和n T ．18．（12分） 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知6()S b a c =+． （1）若2sin 3A =，求cos B ； （2）若3b =，π3B =，求ABC △的面积S ．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1B C ⊥平面ABC ，点D 为棱AC 的中点，DA =2DB =． （1）求证：1AB CC ⊥；（2）若2BC =，求直线1BB 与平面1BDC 所成角的正弦的最大值．20．（12分） 某手机APP 公司对喜欢使用该APP 的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在[15,65]周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计使用该视频APP 用户的平均年龄的第85%分位数（小数点后保留2 位）；（2）若所有用户年龄X 近似服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数的估计值，10.5σ≈，试 估计喜欢使用该APP 且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP 的比例；（3）用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP 的用户中随机抽取8名用户，用()P X k =表 示这8名用户中恰有k 名用户的年龄在区间[25,35)岁的概率，求()P X k =取最大值时对应的k 值．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()0.6827P X μσμσ−<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ−<<+≈，(33)0.9973P X μσμσ−<<+≈．21．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线:1l x =，l 与x 轴交于点H ，l 与双曲线C 的一条渐近线交于点T ，且123HF HF +=0，122TF TF =−⋅．（1）求双曲线C 的方程；（2）设过点H 与x 轴不重合的直线交双曲线C 于A ，B 两点，直线2AF ，2BF 分别交l 于点M ，N ， 求证：||||HM HN =．22．（12分）设函数()e sin x f x b x =+，(π,)x ∈−+∞．（1）若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线的斜率为2．①求实数b 的值；②求证：()f x 存在唯一极小值点0x 且()01f x >−．（2）当0b >时，若()f x 在(π,)x ∈−+∞上存在零点，求实数b 的取值范围．2023年高三下学期5月三校联考高三数学试卷参考答案一、选择题：二、选择题：三、填空题：13．8 14．(,1]−∞ 15．190 16．649四、解答题：17．【解析】（1）因为141n n n a a S +=−，所以12141n n n a a S +++=−．两式相减，得()1214n n n n a a a a +++−=． 因为10n a +≠，所以24n n a a +−=．2分所以{}21n a −是以1为首项，4为公差的等差数列，{}2n a 是以3为首项，4为公差的等差数列． 所以211(1)443n a n n −=+−⨯=−，23(1)441n a n n =+−⨯=−． 4分故21n a n =−． 5分 （2）因为1111111n n n n n n n n n a S S S S S S S S +++++−==−，6分 所以122311111111111n n n n T S S S S S S S S ++=−+−++−=−． 8分因为2(121)2n n n S n +−==，所以211(1)n T n =−+．10分18．【解析】（1）因为6()S b a c =+，所以16sin ()2bc A b a c ⨯⨯=+，1分 因为2sin 3A =，代入上式可解得233c a c ⨯=+，即a c =，3分 所以2sin sin 3C A ==，cos cos 3C A ==， 4分 所以1cos cos()9B AC =−+=−．6分（2）因为6()S b a c =+，所以16sin ()2bc A b a c ⨯⨯=+，即3sin ()bc A b a c =+，因为3b =，π3B =，所以2a c =+， 8分由余弦定理知2222cos b a c ac B =+−，所以222239()3()3a c ac a c ac ac ac =+−=+−=−，解得6ac =， 10分所以1sin 2S ac B ==12分19．【解析】（1）因为点D 为棱AC 的中点，DA DB =，所以BC AB ⊥． 1分因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥又因为1BCB C C =，1,BC B C ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ．3分 因为1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AB CC ⊥． 4分（2）设1(0)CB t t =>．以CA 为x 轴，1CB 为z 轴，过点C 与CA 垂直的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(4,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,)C A D B B t ． 5分 所以1(1,3,),(1,3,0),(1,3,0)BB t BC BD =−−=−−=−，6分设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，所以10,20.n BD x n BC x tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=−−+=⎪⎩令x =，则y t =，43z =,n t =．8分 所以111cos ,||BB BB BB ⋅<>===⋅n n n10分38316==+（当且仅当2248t t=，即t =时，等号成立）． 所以直线1BB 与平面1BDC 所成角的正弦的最大值为34． 12分20．【解析】（1）第85%分位数=0.850.65451051.670.3−+⨯=（岁）． 3分 （2）因为(200.01300.02400.035+500.03+600.005)1040x =⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=， 5分所以40μ=，所以10.9545(61)(2)0.022752P X P X μσ−>=>+==， 所以使用该APP 且年龄大于61周岁的人数占左右喜欢使用该APP 的2.275%． 7分 （3）根据题意~(8,0.2)X B ，要使()P X k =取得最大值，则()(1),()(1),P X k P X k P X k P X k ==+⎧⎨==−⎩≥≥9分所以811788811988C 0.20.8C 0.20.8,C 0.20.8C 0.20.8,k k k k k kk k k k k k−++−−−−−⎧⎪⎨⎪⎩≥≥解得4955k ≤≤， 因为k ∈N ，所以1k =． 12分21．【解析】（1）设双曲线C 的焦距为2c ，其中222c a b =+，则12(,0),(,0),(1,0)F c F c H −． 所以1(1,0)HF c =−−，2(1,0)HF c =−．1分 由123HF HF +=0，有13(1)0c c −−+−=，得2c =．所以1(2,0)F −，2(2,0)F ．2分因为双曲线C 的渐近线方程为b y x a =，有(1,)b T a， 所以1(3,)bTF a=−−，2(1,)b TF a =−．由122TF TF ⋅=−，有2232b a −+=−，即22432a a −−+=−，得22a =． 4分 所以2222b c a =−=．所以C 的方程为22122x y −=．5分（2）设AB 的方程为(1)y k x =−，11(,)A x y ，22(,)B x y ． 联立方程组22(1),1.22y k x x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩得2222(1)220k x k x k −+−−=．所以210k −≠，42244(1)(2)0k k k ∆=−−−−>，212221k x x k +=−，212221k x x k +⋅=−．7分所以2212121212121212(1)(1)23()42222(2)(2)AF BF y y k x k x x x x x k k k x x x x x x −−−+++=+=+=⨯−−−−−− 22221222[234]0(2)(2)11k k k x x k k +=⨯−⨯+=−−−−．10分所以22BF AF k k =−，即22MF H NF H ∠=∠． 因为2MN HF ⊥，所以HM HN =．12分22．【解析】（1）①因为()e sin x f x b x =+，所以()e cos x f x b x '=+． 所以切线的斜率(0)1k f b ='=+．又因为切线的斜率为2，所以12b +=．解得1b =．2分②由①得1b =，所以()e sin ,(π,)x f x x x =+∈−+∞，()e cos x f x x '=+． 因为()e sin 0x f x x ''=−>恒成立，所以()f x '单调递增．3分又π2e π()02f −'−=>，π(π)e 10f −'−=−<，所以存在0(π,)2πx ∈−−，使()0f x '=00e cos 0x x +=．所以()f x 存在唯一的极小值点0x ，()000000e sin sin cos )π4x f x x x x x =+=−=−．5分因为0(π,)2πx ∈−−，所以05π3π(,)4π44x −∈−−0)(1,1)π4x −∈−．所以()01f x >−．6分（2）()e sin ,(π,)x f x b x x =+∈−+∞．令()0f x =，即e sin 0x b x +=，所以1sin ex xb −=．令sin (),(π,)e x x g x x =∈−+∞，则)cos sin 4)π(e ex xx x x g x −−'==−．令()0g x '=，得π,1,4x k k k π=+−∈Z ．7分所以当5π(2π,2π)4π4x k k ∈++时，sin()0π4x −>，()g x 单调递减；当5π9π(2π,2π)44x k k ∈++时，sin()0π4x −<，()g x 单调递增． 所以当5π2π,1,4x k k k =+−∈Z 时，()g x 取得极小值． 即当3π5π,,44x =−时，()g x 取得极小值．9分又因为3π5π2sin()sin 442−===−，3π5π()44−<<，所以3π5π()()44g g −<<．又因为在3π(π,)4−−上()g x 单调递减，所以3π43π()()e 4g x g −=．10分当,,π2π04x k k k =+∈Z 时，()g x 取得极大值，即当9,ππ,44x =时，()g x 取得极大值．又因为9π2sin sin 442π===，9ππ44e e <<，所以9π()()44πg g >>．所以4π()()4π2g x g −=．11分当(π,)−+∞时，π4π342e ()e 22g x −．所以π3π4412e 22b −−−． 因为0b >，所以3π42eb−时，()f x 在(π,)−+∞上有零点．所以实数b 的取值范围为3π4,)−+∞． 12分。
1_三校5月联考-数学(文)DA
１８������(１２ 分 ) (１)由已知有 AF∥DE,AF⊄面 CDE,DE⊂平面 CDE,∴AF∥平面 CDE．������������������������ (２分) 同理可证 AB∥平面 CDE 又 AF 与AB 相交于A 点,AF⊂平面 ABF,AB⊂平面 ABF,∴平面 ABF∥平面 CDE． ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ (５分)
当n≥２ 时 ,Sn－１＝２－an－１
相
减
得
:an
＝an－１
－an
⇒an
＝
１ ２an－１
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【三校联考������数学 (文科 )参考答案 第１页 共３页 】
１９������(１２ 分 )
(１)b︵＝８０４３７１４－０８－×８１×５１×５１２００＝－２．９５ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ (２分) a︵＝１００＋２．９５×１５＝１４４．２５ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ (４分) y︵ ＝ －２．９５x＋１４４．２５ 当 x＝４０ 时 ,y︵ ＝２６．２５,|y︵ －y|＝０．２５ x＝４２ 时 ,y︵ ＝２０．３５,|y︵ －y|＝０．３５ |y︵－y|＜１ 故所求方程是“恰当回归方程”������������������������������������������������������������������������������������������������ (６分)