指数与指数函数
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指数与指数函数
1.1指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是
奇数时，a 的n 当n 是偶数时，正数a 的正的n
表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：n
a =；当n 为奇数时，
a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分
数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
例题精讲
【例1】求下列各式的值：
（1
（*1,n n N >∈且）； （2
. 解：（1）当n
3π-； 当n
|3|3ππ-=-. （2
||x y -.
当x y ≥
x y =-；当x y <
y x =-.
【例2
】已知21n
a =+，求33n n
n n
a a a a --++的值.
解
：332222()(1)1111n n n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-=++. 【例3】化简：（1）2
115113366
22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2
a ＞0，
b ＞0）； （3
）
.
解：（1）原式=211
1150326
236
[2(6)(3)]44a b
ab a +-+-⨯-÷-==.
（2）原式=1312322
12
3
[()](/)
a b ab ab b a ⋅⋅=
1136
3
2273
3
a b a b a b
⋅=
1046
3
273
3
a b a b
=
a b
.
）
原
式
2211
114
4336
4
4
4
(33)(3)(3)33=⨯=⨯=⨯=.
点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂
. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.
【例4】化简与求值：
（1
（2
）
+
+⋅⋅⋅解：
（1）原式
=22（
2）原式
=
+⋅⋅⋅+
=1
12
-⋅⋅⋅=11)2.
练习：
1.2指数函数及其性质（4）指数函数
¤例题精讲：
题型一：求函数的定义域
【例1】求下列函数的定义域： （1）132
x
y -=； （2）51
()
3
x
y -=； （3）10100
10100
x x y +=-.
解：（1）要使132x
y -=有意义，其中自变量x 需满足30x -≠，即3x ≠. ∴ 其定义域为
{|3}x x ≠.
（2）要使51
()
3
x
y -=有意义，其中自变量x 需满足50x -≥，即5x ≤. ∴ 其定义域为
{|5}x x ≤.
（3）要使10100
10100
x x y +=-有意义，其中自变量x 需满足101000x -≠，即2x ≠. ∴其定义域
为{|2}x x ≠.
题型二：求函数的值域
【例2】求下列函数的值域：
（1）231
1()3
x y -=； （2）421x x y =++
解：（1）观察易知2
031
x ≠-， 则有203111()
()133x y -=≠=. ∴ 原函数的值域为{|0,1}y y y >≠且.
（2）2421(2)21x x x x y =++=++. 令2x t =，易知0t >. 则2213
1()24
y t t t =++=++.
结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到213
()24
y t =++在0t >上为增函数，
所以221313
()(0)12424
y t =++>++=. ∴ 原函数的值域为{|1}y y >.
【例3】函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．1,0a b >< B ．1,0a b >> C ．01,0a b <<> D ．01,0a b <<<