江苏省苏北三市2017届高三第三次调研考试数学试题含答案

连云港市2017届高三年级模拟考试数学Ⅰ第Ⅰ卷（共70分）一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)1.已知集合}211{，，-=A ,}7,210{，，=B ,则集合B A 中元素的个数为 ．2.设a ,Rb ∈，bi a ii+=-+11(i 为虚数单位)，则b 的值为 ． 3.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线13422=-y x 的离心率是 ． 4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ．5.如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ．6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ．7.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤,2,3,1y x x x y 则x y 的取值范围是 ．8.若函数)2sin(2)(ϕ+=x x f )20(πϕ<<的图象过点)3,0(，则函数)(x f 在],0[π上的单调减区间是 ．9.在公比为q 且各项均为正数的等比数列}{n a 中，n S 为}{n a 的前n 项和.若211qa =，且225+=S S ，则q 的值为 ．10.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，已知31==AA AB ，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1ABA P -的体积为 ．11.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数x y a log 31=，x y a log 22=和)1(log 3>=a x y a 的图象上，则实数a 的值为 ．12.已知对于任意的),5()1,(+∞-∞∈ x ，都有0)2(22>+--a x a x ，则实数a 的取值范围是 ．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：3)()2(22=-++m y x .若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且GO AB 2=，则实数m 的取值范围是 ．14.已知ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且3π=C ，2=c ，当AB AC •取得最大值时，ab的值为 ． 第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，DB AD 3=，54cos =A ，135cos =∠ACB ，13=BC .（1）求B cos 的值； （2）求CD 的长.16.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上（异于点P ，C ），平面ABE 与棱PD 交于点F .（1）求证：EF AB //；（2）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求证：EF AE ⊥.17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：13422=+y x 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）.（1）若FP QF 2=，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F ，G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m ，且21≥AD AB ，设θ=∠EOF ，透光区域的面积为S .（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边AB 的长度.19. 已知两个无穷数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11=a ，42=S ，对任意的*∈N n ，都有n n n n a S S S ++=++2123.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若}{n b 为等差数列，对任意的*∈N n ，都有n n T S >.证明：n n b a >； （3）若}{n b 为等比数列，11a b =，22a b =，求满足)(22*∈=++N k a S b T a k nn nn 的n 值.20. 已知函数)0(ln )(>+=m x x xmx f ，2ln )(-=x x g . （1）当1=m 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）设函数2)()()(--=x xg x f x h ，0>x .若函数))((x h h y =的最小值是223，求m 的值；（3）若函数)(x f ，)(x g 的定义域都是],1[e ，对于函数)(x f 的图象上的任意一点A ，在函数)(x g 的图象上都存在一点B ，使得OB OA ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点，求m 的取值范围.21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上，若ADB ACN ∠=∠3，求ADB ∠的度数.B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d a A 23，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4821A ，求矩阵A 的特征值. C.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点)2,2(πA ，点B 在直线l ：)20(0sin cos πθθρθρ≤≤=+上，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标. D.选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，c 为正实数，且222333c b a c b a =++，求证：333≥++c b a .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，点)0,1(F ，直线1-=x 与动直线n y =的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线n y =的交点为P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AMB ∠的大小为定值. 23.选修4-5：不等式选讲已知集合},...,2,1{n U =)2,(≥∈*n N n ，对于集合U 的两个非空子集A ，B ，若∅=B A ，则称),(B A 为集合U 的一组“互斥子集”.记集合U 的所有“互斥子集”的组数为)(n f （视),(B A 与),(A B 为同一组“互斥子集”）. （1）写出)2(f ，)3(f ，)4(f 的值； （2）求)(n f .三师2017届高三第三次质量检测参考答案与评分标准试一、填空题1.52. 13.27 4. 61 5.6 6. 526 (或5.2) 7. ]32,31[-(或3231≤≤-x y ) 8. )127,12(ππ(或]127,12[ππ) 9.215- 10. 34911. 2 12. ]5,1((或51≤<a )13. ]2,2[-(或22≤≤-m ) 14. 32+二、解答题15.解:(1)在ABC ∆中, 54cos =A , ),0(π∈A ， 所以=-=A A 2cos 1sin 53)54(12=-. 同理可得, 1312sin =∠ACB . 所以=∠+-=)](cos[cos ACB A B π)cos(ACB A ∠+-ACB A ACB A ∠-∠=cos cos sin sin6416135********=⨯-⨯=. (2)在ABC ∆中,由正弦定理得, BBC AB sin =2013125313sin =⨯=∠ACB .又DB AD 3=,所以541==AB BD . 在BCD ∆中,由余弦定理得, B BC BD BC BD CD cos 222•-+=6416135213522⨯⨯⨯-+= 29=.16. 解:(1) 因为ABCD 是矩形，所以CD AB //．又因为⊄AB 平面PDC ，⊂CD 平面PDC ， 所以//AB 平面PDC ．又因为⊂AB 平面ABEF ，平面 ABEF 平面EF PDC =， 所以EF AB //．（2）因为ABCD 是矩形，所以AD AB ⊥．又因为平面⊥PAD 平面ABCD ，平面 PAD 平面AD ABCD =，⊂AB 平面ABCD ，所以⊥AB 平面PAD ．又⊂AF 平面PAD ，所以AF AB ⊥． 又由（1）知EF AB //，所以EF AF ⊥．17. 解:(1) 因为42=a ，32=b ，所以122=-=b a c ，所以F 的坐标为（1,0）， 设),(11y x P ，),(22y x Q ，直线l 的方程为1+=my x ， 代入椭圆方程，得096)34(22=-++my y m ，则22134163m m m y +++-=，22234163m m m y ++--=．若PF QF 2=，则0341632341632222=+++-⨯+++--mm m m m m ， 解得552=m ，故直线l 的方程为0525=--y x ． （2）由（1）知，221346m m y y +-=+，221349m y y +-=， 所以)(2334921221y y m m y my +=+-=，所以22112122y x x y k k --+=)3()1(1221+-=my y my y 313)(23)(23221121=++-+=y y y y y y ，故存在常数31=λ，使得2131k k =． 18. 解:(1) 过点O 作FG OH ⊥于点H ，则θ=∠=∠EOF OFH ， 所以θθsin sin ==OF OH ，θθcos cos ==OF FH ．所以OEF OFH S S S 扇形44+=∆)21(4cossin 2θθθ⨯+=θθ22sin +=，因为21≥AD AB ，所以21sin ≥θ，所以定义域为)2,6[ππ．（2）矩形窗面的面积为θθsin 4sin 22=⨯=•=AB AD S 矩形． 则透光区域与矩形窗面的面积比值为θθθθθθθsin 22cos sin 42cos sin 2+=+． 设θθθθsin 22cos )(+=f ，26πθπ<≤． 则θθθθθθ2sin 2cos sin sin 21)(-+='f θθθθθ23sin 2sin cos sin --=θθθθθ22sin 2cos cos sin -=θθθθ2sin 2)2sin 21(cos -=， 因为26πθπ<≤，所以212sin 21≤θ，所以02sin 21<-θθ，故0)(<'θf ， 所以函数)(θf 在)2,6[ππ上单调减． 所以当6πθ=时，)(θf 有最大值436+π，此时)(1sin 2m AB ==θ 答：（1）S 关于θ的函数关系式为θθ22sin +=S ，定义域为)2,6[ππ；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB 的长度为1m ． 19. 解:(1) 由n n n n a S S S ++=++2123，得n n n n n a S S S S +-=-+++121)(2，即n n n a a a +=++212，所以n n n n a a a a -=-+++112． 由11=a ，41=S ，可知32=a ．所以数列}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列． 故}{n a 的通项公式为12-=n a n ．（2）证法一：设数列}{n b 的公差为d ，则d n n nb T n 2)1(1-+=， 由（1）知，2n S n =．因为n n T S >，所以d n n nb n 2)1(12-+>，即02)2(1>-+-b d n d 恒成立， 所以⎩⎨⎧>-≥-,02,021b d d 即⎩⎨⎧<≤,2,21d b d 又由11T S >，得11<b ， 所以d n b n b a n n )1(121----=-11)2(b d n d --+-=11)2(b d d --+-≥011>-=b ．所以n n b a >，得证．证法二：设}{n b 的公差为d ，假设存在自然数20≥n ，使得00n n b a >， 则≤⨯-+2)1(01n a d n b )1(01-+，即)2)(1(011--≤-d n b a ， 因为11b a >，所以2>d ． 所以212)1(n d n n nb S T n n --+=-n db n d )2()12(12-+-=， 因为012>-d，所以存在*∈N N n 0，当0n N n >时，0>-n n S T 恒成立． 这与“对任意的*∈N n ，都有T S n >”矛盾！ 所以n n b a >，得证．（3）由（1）知，2n S n =．因为}{n b 为等比数列，且11=b ，32=b ，所以}{n b 是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以13-=n n b ，213-=n n T ．则2123131222nn S b T a n n n n n n +-+-=++-2123223n n n n +-+=-212232263n n n n ++--=-，因为*∈N n ，所以02262>+-n n ，所以322<++nn n n S b T a ． 而12-=k a k ，所以122=++nn n n S b T a ，即01321=-+--n n n （*）． 当2,1=n 时，（*）式成立；当2≥n 时，设13)(21-+-=-n n n f n ， 则n n n f n f n ++-=-+2)1(3)()1(0)3(2)13(121>-=-+----n n n n n ， 所以...)(...)3()2(0<<<<=n f f f ．故满足条件的n 的值为1和2．20. 解:(1) 当1=m 时，x x x x f ln 1)(+=，1ln 1)(2++='x xx f ． 因为)(x f '在),0(+∞上单调增，且0)1(='f ，所以当1>x 时，0)(>'x f ；当10<<x 时，0)(<'x f ．所以函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞．（2）22)(-+=x xm x h ，则22222)(x m x x m x h -=-='，令0)(='x h 得2m x =， 当20m x <<时，0)(<'x h ，函数)(x h 在)2,0(m 上单调减； 当2m x >时，0)(>'x h ，函数)(x h 在),2(+∞m 上单调增． 所以222)2()]([min -==m m h x h ． ①当2)12(2m m ≥-，即94≥m 时， 函数))((x h h y =的最小值)12(2[2)222(-=-m m m h 223]1)12(2=--+m ， 即092617=+-m m ，解得1=m 或179=m （舍），所以1=m ； ②当2)12(20m m <-<，即9441<<m 时，函数))((x h h y =的最小值223)12(2)2(=-=m m h ，解得54=m （舍）． 综上所述，m 的值为1． （3）由题意知，x x m k OA ln 2+=，xx k OB 2ln -=． 考虑函数x x y 2ln -=，因为2ln 3x x y -='在],1[e 上恒成立， 所以函数x x y 2ln -=在],1[e 上单调增，故]1,2[ek OB --∈． 所以],21[e k OA ∈，即e x x m ≤+≤ln 212在],1[e 上恒成立， 即)ln (ln 2222x e x m x x x -≤≤-在],1[e 上恒成立． 设x x x x p ln 2)(22-=，则0ln 2)(≤-='x x p 在],1[e 上恒成立， 所以)(x p 在],1[e 上单调减，所以21)1(=≥p m ． 设)ln ()(2x e x x q -=，则≥--=')ln 212()(x e x x q 0ln 212(>--e e x 在],1[e 上恒成立，所以)(x q 在],1[e 上单调增，所以e q m =≤)1(．综上所述，m 的取值范围为],21[e ．21.解：A ．连结AN ，DN ．因为A 为弧MN 的中点，所以ADN ANM ∠=∠．而NDB NAB ∠=∠，所以NDB ADN NAB ANM ∠+∠=∠+∠，即ADB BCN ∠=∠．又因为ADB ACN ∠=∠3，所以︒=∠+∠=∠+∠1803ADB ADB BCN ACN ，故︒=∠45ADB ．B ．因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212321d a A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=48226d a ， 所以⎩⎨⎧=+=+42286d a 解得⎩⎨⎧==14d a 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232A ． 所以矩阵A 的特征多项式为1232)(---=λλλf 436)1)(2(2--=---=λλλλ，令0)(=λf ，解得矩阵A 的特征值为11-=λ，42=λ．C ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点)2,2(πA 的直角坐标为)2,0(，直线l 的直角坐标方程为0=+y x ．AB 最短时，点B 为直线02=+-y x 与直线l 的交点，解⎩⎨⎧=+=+-002y x y x 得⎩⎨⎧=-=11y x 所以点B 的直角坐标为（-1,1）． 所以点B 的极坐标为)43,2(π．D ．因为33332223333c b a c b a c b a ≥=++，所以3≥abc ，所以33333≥≥++abc c b a ，当且仅当33===c b a 时，取“”．22. 解:(1) 因为直线n y =与1-=x 垂直，所以MP 为点P 到直线1-=x 的距离． 连结PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线n y =的交点，所以PF MP =． 所以点P 的轨迹是抛物线．焦点为)0,0(P ，准线为1-=x ．所以曲线E 的方程为x y 42=．（2）由题意，过点),1(n M -的切线斜率存在，设切线方程为)1(+=-x k n y ， 联立⎩⎨⎧=++=,4,2x y n k kx y 得04442=++-n k y ky ， 所以0)44(4161=+-=∆n k k ，即012=-+kn k （*），因为0422>+=∆n ，所以方程（*）存在两个不等实根，设为1k ，2k ，因为121-=•k k ，所以︒=∠90AMB ，为定值．23. 解:(1) 1)2(=f ，6)3(=f ，25)4(=f ．（2）解法一：设集合A 中有k 个元素，1,...,3,2,1-=n k ． 则与集合A 互斥的非空子集有12--k n 个． 于是)12(21)(11-=--=∑k n n k k n C n f ]2[211111∑∑-=--=-=n k k n k n n k k n C C ． 因为=--=∑k n n k k n C 211∑-=---1000222n k n n n n k n k n C C C 12312)12(--=--+=n n n n ， n n n n k k n n k kn C C C C--=∑∑-=-=0101122-=n ， 所以---=)123[(21)(n n n f )123(21)]22(1+-=-+n n n ． 解法二：任意一个元素只能在集合A ，B ，)(B A C C U =之一中， 则这n 个元素在集合A ，B ，C 中，共有n 3种； 其中A 为空集的种数为n 2，B 为空集的种数为n 2， 所以A ，B 均为非空子集的种数为1223+⨯-n n ， 又),(B A 与),(A B 为同一组“互斥子集”， 所以)123(21)(1+-=+n n n f ．。