因数乘因数等于积
因数的变化引起积的变化规律
因数的变化引起积的变化规律# 因数的变化引起积的变化规律大家好，我是你们的好朋友，小数点。
今天我要和大家聊聊一个很有趣的话题——因数的变化引起积的变化规律。
这个话题听起来有点枯燥，但其实是数学中一个非常有趣的现象。
我们要明确一点，什么是因数？简单来说，因数就是能够整除另一个数的数。
比如，3是5的因数，因为3乘以4等于12，而12正好是5的倍数。
所以，3能整除5，这就是3作为因数的一个实例。
那么，为什么因数的变化会引起积的变化呢？这个问题其实涉及到了数学中的一个基本原理——乘法的性质。
乘法有一个非常重要的性质，那就是当两个数相乘时，它们的因数之积等于这两个因数各自乘以对方的结果。
这个性质可以用一个简单的公式来表示：a * b = (a * a) * (b * b)。
举个例子，假设我们有两个因数，分别是2和3。
根据乘法的性质，2 * 3就等于2 * 2 * 3。
这意味着，当我们将2和3相乘时，2的平方（即4）乘以3的平方（即9），结果就是18。
这就是说，2和3相乘的结果是一个更大的数，也就是18。
如果我们将因数的顺序颠倒过来，即2 * 3变成了3 * 2，那么结果就会变成6。
这是因为3乘以2等于6，而不是18。
这就说明了，因数的顺序变化会导致乘法结果发生变化。
除了顺序之外，因数的大小变化也会影响乘法的结果。
例如，如果我们将2和3都乘以10，那么2*3*10就变成了20*30，结果是600。
这是因为20乘以30等于600，而不是18或6。
通过这些例子，我们可以看到，因数的变化确实会引起积的变化。
这个规律在日常生活中也有很多应用，比如购物打折、玩游戏等。
有时候，我们需要根据不同的条件调整策略，以达到最佳效果。
因数的变化引起积的变化规律是一个非常有趣且实用的数学原理。
它不仅帮助我们更好地理解乘法的性质，还让我们在日常生活和工作中更加灵活地应对各种情况。
希望大家通过这篇文章对因数的变化引起积的变化规律有了更深入的了解，并能在生活中灵活运用这些知识。
《乘、除法的意义和各部分间的关系(例2、例3)》(课件)-四年级下册数学(人教版)
探究新知，导学达标
通过(2)(3)与(1)的比较,你发现了什么?
… … …
（1） 3 × 4 = 12 因数 因数 积
（2） 12 ÷ 3 = 4
（3） 12 ÷ 4 = 3
发现：（2）（3）都是 已知两个数的积是12， 其中一个因数是3或4， 求另一个因数4或3。
商＝被除数÷除数 除数＝被除数÷商
（3） 12 ÷ 4 = 3 被除数÷ 除数 = 商
被除数＝商×除数
探究新知，导学达标
想一想：在有余数的除法里，被除数与商、除数 和余数之间有什么关系？
例如： 17 ÷ 5 = 3 ...... 2 17 – 2 = 3 × 5 17 = 3 × 5 + 2
被除数÷除数＝商...... 余数 被除数 – 余数＝商×除数 被除数 ＝商×除数+余数
探究新知，导学达标
你知道有关0的哪些运算？具体描述一下这些运算。
一个数加上0, 还得原数。
被减数等于减数，差是0。
0除以一个非0的数， 还得0。
一个数和0相乘， 仍得。
探究新知，导学达标
探究:0能作除数吗?
1 5 ÷ 0 = ？ ？× 0 = 5
无商
5÷0不可能得到商，因为找不到一个数同0相乘得到5。
学习任务一
（4分钟）
复习导入，前测达标
1.口算
5＋5＋5 ＝ 15
3×5＝15
12＋12＋12＋12＋12＝ 60 5×12＝60
有什么简便的方法，快速的算 出这两个加法的结果吗？
复习导入，前测达标
比一比,看谁算得又快又对。
8×4=（32） 9×7=（63） （ 6 ）× 3=18 32÷4=（8 ） 63÷7=（ 9 ） 18÷（ 3 ）=6 32÷8=（4 ） 63÷9=（ 7 ） （18）÷6＝3
乘除法的关系和运算律
知识要点一、乘除法各部分之间的关系：1乘法各部分之间的关系：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数2除法各部分之间的关系：没有余数的除法：有余数的除法：被除数=商×除数被除数=商×除数+余数除数=被除数÷商除数=被除数-余数÷商商=被除数÷除数商=被除数-余数÷除数3乘、除法之间的关系：除法是乘法的逆运算注意：0不能作除数.4整除：a÷bb≠0＝c 则a能被b整除,b能整除a.二乘法运算律1、乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变.这个规律叫做乘法交换律.用字母表示为：a·b=b·a2、乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘再乘第三个数,或先将后两个数相乘再乘第一个数,它们的积不变.这个规律叫做乘法结合律.用字母表示为：a·b·c=a·b·c3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘,可以把这两个加数分别与这个数相乘,再把积相加.这个规律叫做乘法分配律.用字母表示为：a+b·c=a·c+b·c a·c+b·c=a+b·c乘法分配律的拓展：两个数的差与一个数相乘,可以用这个数分别去乘相减的两个数,再把积相减.用字母表示为： a-b·c=a·c-b·c a·c-b·c=a-b·c三减法简便运算：1、一个数连续减去两个数,可以用这个数减去这两个数的和.用字母表示：a－b－c＝a－b＋c2、一个数连续减去两个数,可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数.用字母表示：a－b－c＝a—c－b四除法简便运算：1、一个数连续除以两个数,可以用这个数除以这两个数的积.用字母表示：a÷b÷c＝a÷b×c2、一个数连续除以两个数,可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数.用字母表示：a÷b÷c＝a÷c÷b五积的变化规律①一个因数缩小扩大几倍,另一个因数扩大缩小相同的倍数,积不变.②一个因数缩小或扩大几倍,另一个因数不变,积也随着缩小或扩大几倍.③一个因数扩大m倍,另一个因数扩大n,积扩大m×n倍；一个因数缩小m倍,另一个因数缩小n,积缩小m×n倍；一个因数扩大缩小m倍,另一个因数缩小扩大n倍,积扩大或缩小m÷n倍.六解决问题：1、相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间2、工程问题工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率3、最多、最少问题人数最少多买贵的,人数最少多买便宜的.4、购物、旅游合算问题先计算后比较.例题精选一、常见乘法计算：25×4＝100125×8＝1000二、加法交换律简算例子：三、加法结合律简算例子：50+98+50488+40+60＝50+50+98＝488+40+60＝100+98＝488+100＝198＝588四、乘法交换律简算例子：五、乘法结合律简算例子：25×56×4 99×125×8＝25×4×56＝99×125×8＝100×56＝99×1000＝5600＝99000六、含有加法交换律与结合律的简便计算：65+28+35+72＝65+35+28+72＝100+100＝200七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：25×125×4×8＝25×4×125×8＝100×1000＝100000八、乘法分配律简算例子：一、分解式二、合并式25×40+4 135×12—135×2＝25×40+25×4＝135×12—2＝1000+100＝135×10＝1100＝1350三、特殊1四、特殊299×256+256 45×102＝99×256+256×1＝45×100+2＝256×99+1 ＝45×100+45×2＝256×100 =4500+90＝25600 =4590五、特殊3六、特殊499×26 35×8+35×6—4×35＝100—1×26＝35×8+6—4＝100×26—1×26＝35×10＝2600—26＝350＝2574九、连续减法简便运算例子：528—65—35528—89—128528—150+128=528—65+35 =528—128—89=528—128—150=528—100 =400—89 =400—150=428 =311 =250十、连续除法简便运算例子：3200÷25÷4=3200÷25×4=3200÷100=32十三、其它简便运算例子：256—58+44 250÷8×4=256+44—58 =250×4÷8=300—58 =1000÷8=242 =125专项训练一、积的变化规律练习题1、先用积的变化规律填空,再用笔算或计算器验算.26×48＝124817×12＝20426×24＝ 17×24＝26×12＝ 17×36＝2、请学生完成下列计算,并在组内述说自己发现的规律.18×24＝105×45＝18÷2×24×2＝105×3×45÷3＝18×2×24÷2＝105÷5×45×5＝3、在○中填上运算符号,在□中填上数.24×75＝180036×104＝374424○6×75×6＝180036×4×104○4＝374424○3×75○□＝180036○□×104○□＝37444、一个长方形的面积是256平方厘米,如果长缩小4倍,宽扩大4倍,这个长方形就变成了正方形,这个正方形的面积是多少它的边长是多少二、乘法的运算律一在□里填上合适的数,在里填上运算定律.135＋□＝467＋□运用了29×□×8＝29 ×125×□运用了25×67×4＝25×□×67 运用了125×400＋□＝125×400＋125×8运用了72 + 57 + 43 = 72 + 57 + 43 运用了二判断,对的打“√”,错的打“×”用手势表示,并说明理由.⑴4×15＝15×4 ……………………⑵28×5×15＝28×5＋15……⑶43×27＝27+43………………⑷101×63＝100×63＋63……………⑸98×15＝100×15＋2×15…………三用简便方法计算.⑴ 35+63+27 ⑵103-3×15⑶ 25×44 ⑷ 14×32+69×14四体味生活中的数学--购物.王阿姨是开商店的,今天她准备到好多多超市批发下列清单中的商品,她带了3000元,如果要购买这些商品,钱够用吗请你帮王阿姨算一算,看谁的方法最巧妙.商品单价元数量德芙巧克力4336包洗衣粉3615箱绿盛牛肉干1736包洗发露2536瓶解决问题1师徒两人合作加工520个零件,师傅每小时加工30个,徒弟每小时加工20个,几小时以后还有70个零件没有加工2甲、乙两队合挖一条水渠,甲队从东往西挖,每天挖75米；乙队从西往东挖,每天比甲队少挖5米,两队合作8天挖好,这条水渠一共长多少米3 甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行,8小时两船还相距22千米.已知乙船每小时行42千米,甲船每小时行多少千米4一辆汽车和一辆自行车从相距千米的甲、乙两地同时出发,相向而行,3小时后两车相遇.已知汽车每小时比自行车多行千米,求汽车、自行车的速度各是多少5两地相距270千米,甲、乙两列火车同时从两地相对开出,经过4小时相遇.已知甲车的速度是乙车的倍,求甲、乙两列火车每小时各行多少千米6甲、乙两城相距680千米,从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米,2小时后,快车从乙城开往甲城,每小时行80千米,快车开出几小时后两车相遇7甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行,甲车每小时行45千米,途中因汽车故障甲车停了1小时,5小时后两车相遇.乙车每小时行多少千米8A、B两地相距3300米,甲、乙两人同时从两地相对而行,甲每分钟走82米,乙每分钟走83米,已经行了15分钟,还要行多少分钟才可以相遇9甲、乙两列汽车同时从两地出发,相向而行.已知甲车每小时行45千米,乙车每小时行32千米,相遇时甲车比乙车多行52千米.求甲乙两地相距多少千米10姐妹俩同时从家里到少年宫,路程全长770米.妹妹步行每分钟行60米,姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回,途中与妹妹相遇.这时妹妹走了几分钟2001年上海市金山区升级考试卷11小明和小华从甲、乙两地同时出发,相向而行.小明步行每分钟走60米,小华骑自行车每分钟行190米,几分钟后两人在距中点650米处相遇 2002年上海市金山区升级考试卷12A、B两地相距300千米,两辆汽车同时从两地出发,相向而行.各自达到目的地后又立即返回,经过8小时后它们第二此相遇.已知甲车每小时行45去,千米,乙车每小时行多少千米甲乙两人分别同时从A、B两地相向而行,相遇时距A地120米,相遇后,他们继续前进,到达目的地后立即返回,在距A地150米再次相遇,求A、B两地之间的距离.问题补充：甲乙都是匀速前进,请用四年级的方法来做,不要方程.四年级的方法如下：乙从第一次相遇到第二次相遇一共走了270在2个全路程内,平均每个全程走135因为是匀速运动,所以第一个全程应该也走了135,所以距离就等于135+120＝255相遇问题练习一1、甲乙两人在400米的环形跑道上跑步,两人朝相反的方向跑,第一次和第二次相隔40秒,已知甲每秒跑6米,乙每秒跑多少米2、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行,公共汽车汽车每小时行40千米,小汽车每小时行52千米.几小时后两车第一次相距69米.几小时后又相距69米3、一列客车和一列货车同时同地反向而行,货车比客车每小时快6千米,3小时后相距342千米,求两车的速度.4、某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒.问,该列车与另一列长320米时速千米的列车错车而过需要几秒5、一列火车长150米,每秒行20米,全车通过一座长450米长的大桥,需要多长时间6、甲乙两人绕周长1200米的环形广场冲走,已知甲每分走125米,乙的速度是甲的倍,现在甲在乙的后面400米,追上甲需要多长时间7、小明以每分50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明.求小强骑自行车的速度8、一架飞机从甲空港飞往乙空港,原计划每分飞行9千米,现在按每分12千米的速度飞行,结果提前半小时到达,甲乙两地相距多少千米9、甲乙两人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒,则甲4秒可追上乙.问甲乙两人的速度10、甲乙两车同时从A地开往B地,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,途中甲车因故障修车用了3小时,结果甲车比乙车迟到1小时.AB两地相距多少相遇问题练习二1、甲乙两辆汽车从相距600千米的两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米,甲车先开出2小时后,乙车才开出.乙车行几小时后与甲车相遇2、一列火车于下午4时30分从甲站开出,每小时行120千米,经过1小时后,另一列火车以同样的速度从乙站开出,晚上9时30分两车相遇.甲乙两站铁路长多少千米3、快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出,已知快车每小时行60千米,慢车每小时行52千米,经过几小时后快车经过中点32千米处与慢车相遇.甲、乙两地的路程是多少千米4、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,两车在距中点15千米处相遇.A、B两地相距多少千米5、甲乙相距640千米,两辆汽车同时从甲地开往乙地,第一辆汽车每小时行46千米,第二辆汽车每小时行34千米,第一辆汽车到达乙地后立即返回,两辆汽车从开出到相遇共与偶用了几小时6、哥哥和妹妹同时从甲到相距540米远的学校上学,哥哥每分钟走60米,妹妹每分钟走48米,哥哥到达学校后发现忘了拿铅笔,立即返回家去取,在途中遇到妹妹.从开始上学到两人再相遇共有多少分钟7、甲乙两队学生从相距2700米的两地同时出发,相向而行,一个同学骑自行车以每分钟150的速度在两队之间不停地往返联络,甲队每分钟行25米,乙队每分钟行20米,两队相遇时,骑自行车的同学共行了多少米8、AB两人同时从相距3000米的家里相向而行,A每分钟行70米,B每分钟行80米,一只大狗与他同时出发,每分钟行100米,狗与B相遇后立即掉头向A跑去,遇到A后又向B跑去,直到AB两人相遇.这只狗一共跑了多少米单元测试一、填空.16分1、÷125＝8×150＝90048×＝2402、一个因数＝÷ ,被除数＝×除数= ÷ ,除法是乘法的 .3、在一个乘法算式中积是280,一个因数缩小5倍,另一个数扩大10倍,积是 .4、根据34×12＝408写出两个除法、 .5、甲数除以乙数,商是54,余数是700,如果乙数是900,甲数是 .6、2×5×6×2×5×5×2积的末尾有个零.7、2846÷6＝441表示：能被整除,还可以表示：能整除 .8、480÷6×＝2026×÷8＝208二、根据运算定律在下面□里填上适当的数.14分15×16＝16× 25×7×4＝××760×25×＝60××8125××＝125×9×1443+25×2＝× + ×8×47+8×53＝× +17×18+＝17× +17×15三、下面哪个算式是正确的,正确打“√”,错误的打“×”.8分126×15+24＝26×15+24225×40+4＝25×40+25×4375×27+25×27＝75+25×27425×32＝25×4×8540+2×25＝40+2×256102×28＝100×28+2×28762×99＝62×100-1835×14＝35×2×7四、怎样算简便就怎样算.18分16400÷400 15×4×25×6 95×102282×5+18×5 2870÷35 420÷28五、选择.6分1、把符合要求的算式序号填在括号里.①27×9＝9×27②30+A+40＝30+40+A ③40+10+50＝40+10+50④25×11＝11×25⑤104×18＝100×18+4×18⑥94×99+94＝94×100⑦13×5×8＝13×5×8⑧242+M＝M+242A、应用加法交换律的算式有B、应用乘法交换律的算式有C、应用乘法结合律的算式有D、应用加法结合律的算式有E、应用乘法分配律的算式有2、400减去24的差,除以13与12的和,最后求出的是 .和差积商3、457×99的简便算法是 .457×99-1 457×100+457 457×100-4574、如果a×b=0,那么 .A、a一定是0B、b一定是0C、a和b都是0D、ab至少有一个是05、a+b×c=a×c+b×c,这叫做 .乘法交换律乘法结合律乘法分配律六、找朋友.把得数相等的算式连接起来4分102×98+102 102×98+98 102×98+2×98 98×100-2×98102-2×98100×98+3×98104×9899×102七、在能整除的算式后面的里,画“√”4分9÷5 24÷2 7÷2 18÷3 85÷1336÷9 120÷4 36÷6 180÷1 30÷80÷8 90÷5 43÷6 21÷4 76÷6八、列式计算.5分1、一个数乘以2,再除以90,然后加上19,最后减去10,结果是10,这个数是多少2、一个数分别与4和9相乘,所得的积的和是2782,这个数是多少九、解决问题.25分1、一共有两个书架,每个书架有4层,共放有248本书,平均每个书架每层放多少本2、某学校有5位老师带领88名学生参观科技馆,现有1200元钱,够不够信息：杨人票每张24元,儿童票每张12元.3、两人同时从相距6400米的两地相向而行.一个人骑摩托车每分钟行600米,另一个人骑自行车每分钟行200米,经过几分钟两人相遇4、码头货物场有100吨煤需要运走.已知大卡车一次装8吨,小卡车一次装4吨.问：怎样运走这些煤是最经济的5、4千克苹果和7千克香蕉的竞价相等.1千克苹果比1千克香蕉贵3元.苹果和香蕉单价各是多少。
小学数学公式及知识点总结
一、常用数量关系计算公式：1、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数2、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数3、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数4、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数5、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数6、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数7、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度8、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价9、单产量×数量＝总产量总产量÷数量=单产量总产量÷单产量=数量10、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工效＝时间工作总量÷时间＝工效二、图形计算公式和线：直线：没有端点，可以向两端无限延长。
射线：只有一个端点。
可以向一端无限延长。
线段：有两个端点。
射线和线段都是直线的一部分。
两点之间，线段最短。
垂线、垂足两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫垂足。
从直线外一点到直线所画的线段中，垂线最短。
角：锐角（小于90度的角）、直角（等于90度的角）、钝角（大于90度而小于180度的角）、平角（等于180度的角）、周角（等于360度的角）平行线：在同一平面内的两条不相交的直线，叫做平行线。
面积和地积：面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。
地积就是土地的面积。
体积和容积（容量）体积：用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。
容积：一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量。
三角形的面积＝底×高÷2公式S=a×h÷2正方形的面积＝边长×边长公式S=a×a长方形的面积＝长×宽公式S=a×b平行四边形的面积＝底×高公式S=a×h梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2公式S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和＝180度。
人教版(2023春)数学三年级下册 1-2 乘、除法的意义和各部分间的关系
探索新知 （3）有12枝花，平均插到4个花瓶里，每个花瓶里插几枝？
思考：你是如何解决的? 已知总数和总份数，求每份的数量，用除法计算。
12÷4=3（枝） 答：每个花瓶插3枝。
探索新知
观察下面的算式，你有什么发现？
（1） 3×4＝12
（2） 12÷3＝4 （3） 12÷4＝3
除法是乘法 的逆运算。
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
比一比，看谁算得又快又对。 7×5＝（35 ） 9×6＝（54） （ 8 ）× 4＝32 35÷5＝（ 7 ） 54÷6＝（ 9 ） 32÷（ 4 ）＝8 35÷7＝（ 5 ） 54÷9＝（ 6 ） （32 ）÷4＝8 观察上面三组算式，说一说你发现了什么？
回顾复习
发现：
每组有1个乘法算式和2个除法算式 每组各个算式中的3个数都相同……
探索新知
乘、除法的意义
3+3+3+3＝12 3×4＝12
乘法的意义：求几个相同加数的和 的简便运算，叫作乘法。
12÷3=4 12÷4=3
除法的意义：已知两个因数的积与 其中一个因数，求另一个因数的运 算，叫作除法。
探索新知
乘、除法各部分间的关系
乘法各部分间的关系
积＝因数×因数 因数＝积÷另一个因数
探索新知
通过(2)、(3)与(1)的比较,说说什么是除法?
(1) 3 × 4 = 12 (2) 12 ÷ 3 = 4 (3) 12 ÷ 4 = 3
被除数÷ 除数 = 商
已知两个因数的积与其中一个因数， 求另一个因数的运算，叫作除法。
… … …
探索新知
(1) 3 × 4 = 12 (2) 12 ÷ 3 = 4 (3) 12 ÷ 4 = 3
因数和与因数积
因数和与因数积在数学中，因数是指能够整除某个数的数，而因数和与因数积则是与因数相关的数学概念。
因数和是指一个数所有因数的和，而因数积则是指一个数所有因数的乘积。
这两个概念在数学中有着广泛的应用。
一、因数和1.1 定义一个数的因数和是指该数所有因数的和。
例如，数12的因数和为1+2+3+4+6+12=28。
1.2 计算方法计算一个数的因数和可以通过以下方法进行：（1）列出该数的所有因数；（2）将所有因数相加，得到因数和。
例如，计算数12的因数和，可以列出其因数1、2、3、4、6、12，然后将它们相加，得到28。
1.3 性质（1）一个数的因数和等于所有小于等于该数的正整数的因数和之和。
（2）一个数的因数和等于该数的约数个数乘以该数的因数平均值。
（3）一个数的因数和等于其所有因数的积除以该数本身再加1。
1.4 应用因数和在数论中有着广泛的应用，例如：（1）判断一个数是否为完全数。
完全数是指一个数等于它的因数和减去它本身，例如，6是一个完全数，因为6的因数和为1+2+3+6=12，减去6得到6。
（2）计算一个数的约数个数。
一个数的约数个数等于其因数和除以该数本身再加1，例如，数12的因数和为28，约数个数为6。
（3）计算一个数的因数平均值。
一个数的因数平均值等于其因数和除以其约数个数，例如，数12的因数平均值为28/6=4.67。
二、因数积2.1 定义一个数的因数积是指该数所有因数的乘积。
例如，数12的因数积为1×2×3×4×6×12=1728。
2.2 计算方法计算一个数的因数积可以通过以下方法进行：（1）列出该数的所有因数；（2）将所有因数相乘，得到因数积。
例如，计算数12的因数积，可以列出其因数1、2、3、4、6、12，然后将它们相乘，得到1728。
2.3 性质（1）一个数的因数积等于该数的因数个数的一半次方乘以该数的平方根。
（2）一个数的因数积等于其所有因数的积的平方根。
因数与积、商与被除数除数的变化规律
例1、因数与积的变化规律复习：小数乘法怎样计算3.2 5 3 2 5×0.6×61 9 5 0找规律：3.5×1.2 =4.2 3.5×1.2 = 4.2 3.5×1.2 = 4.23.5×3.6 = 7× 3.6 = 0.7×3.6 =3.5 × 6 = 14 × 6 = 14 ×0.4 =3.5×0.4 = 0.7 ×0.4 = 14 ×0.3 =小结：因数×因数 = 积因数×（因数×m）= 积因数×（因数÷m）= 积（因数×m）×（因数×n）= 积（因数÷m）×（因数÷n）= 积（因数×m）×（因数÷n）= 积思考：什么时候积不变？例2、被除数、除数与商的变化规律思考：为什么被除数和除数同时乘以（或除以）一个不为0的数，商才不变？找规律：4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.212.6÷3.5 = 4.2 ÷ 7 = 8.4÷ 7 =21 ÷3.5 = 4.2÷0.7 = 0.6÷0.5 =1.4 ÷3.5 = 4.2÷0.5 = 8.4÷0.7 =1.4÷10.5 =小结：被除数÷除数 = 商（被除数×m）÷除数 = 商（被除数÷m）÷除数 = 商被除数÷（除数×m）= 商被除数÷（除数÷m）= 商（被除数×m）÷（除数×n）= 商（被除数÷m）÷（除数÷n）= 商（被除数×m）÷（除数÷n）= 商（被除数÷m）÷（除数×n）= 商例3：一个两位小数四舍五入到十分位是5.0，那么这个小数最大是多少？最小是多少？还可能是多少？分析：比5.0小的数需要五入，可能是比5.0大的数需要四舍，可能是例4: 2.5×6= 2.5×2.2= 2.5×1.1= 2.5×0.8= 2.5×0.6=小结:一个数（0除外）乘大于1的数，例5: 4.5÷5= 4.5÷1.5= 4.5÷1= 4.5÷0.9= 4.5÷0.5= 小结:一个数（0除外）除以大于1的数，例6: 下面各题的商那些事小于1的？那些是大于1的？4.5÷1.5= 3÷2= 2.4÷2.4= 4÷5= 7.6÷8=小结：例7：一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了63.9，这个小数是多少？（分析）原数：扩大后的数：扩大后的数是原数的10倍，比原数多9倍，原数的9倍是。
97的所有因数
97的所有因数一、97的因数概述97是一个素数，因此它只有两个因数，即1和97。
下面将详细介绍这两个因数的特点和性质。
二、因数1的特点和性质1是一个特殊的因数，它是任何正整数的因数，包括97。
但是，1除了具有这个普遍的性质外，它本身没有其他特殊的性质或规律。
三、因数97的特点和性质97是一个质数，它只能被1和97本身整除。
质数是指除了1和本身外没有其他因数的数。
因此，97是一个非常特殊的数，它没有其他因数，也没有其他能整除它的数。
四、97的因数对数因为97只有两个因数，所以它的因数对数也只有两个。
这两个因数对分别是(1, 97)和(97, 1)。
这两对因数是对称的，因为97是一个质数，它自身和1的位置可以互换。
五、97的因数的和与差由于97只有两个因数，所以它们的和等于98，差等于96。
因数的和是指将所有因数相加的结果，而差是指将较大的因数减去较小的因数得到的结果。
六、97的因数的乘积97的因数的乘积等于97乘以1，即97。
这是因为97的因数只有两个，它们相乘的结果就等于97本身。
七、97的因数的平方97的因数的平方分别是1的平方和97的平方。
1的平方等于1，97的平方等于9409。
这两个平方数与97的因数相关联，它们是由因数相乘得到的。
八、97的因数的倍数关系由于97只有两个因数，所以它的倍数关系较为简单。
97的倍数包括97本身以及它的整数倍，即97、194、291、388等等。
这些倍数与97之间存在一种线性关系，每个倍数都是97的整数倍。
九、97的因数的倒数97的因数的倒数是指将因数的倒数作为分数表示。
因数1的倒数为1，因数97的倒数为1/97。
这两个倒数都是小于1的分数，它们与因数之间存在一种互补的关系。
总结：97的因数只有两个，分别是1和97。
由于97是一个质数，它没有其他因数。
这两个因数具有不同的特点和性质，包括对称性、和与差、乘积、平方、倍数关系以及倒数。
97的因数是数学中一个重要的概念，它在数论和代数等领域有着广泛的应用和研究。
因数与积的关系
因数与积的关系引言：在数学中，因数和积是常见的概念。
因数是指一个数能够整除另一个数的数，而积则是指两个或多个数相乘的结果。
因数与积之间存在着一定的关系，通过探究它们之间的关系，可以帮助我们更好地理解数学中的概念和原理。
一、因数的概念及性质1. 因数是指一个数能够整除另一个数的数，例如，数a能够整除数b，那么a就是b的因数。
2. 每个数都至少有两个因数，即1和它本身。
这两个因数被称为数的平凡因数。
3. 除了平凡因数外，每个数还可能有其他因数，这些因数被称为非平凡因数。
4. 一个数的所有因数可以用因数分解的方式表示，例如，数12的因数为1、2、3、4、6、12。
二、积的概念及性质1. 积是指两个或多个数相乘的结果，例如，数a与数b的积为a*b。
2. 积具有交换律，即a*b=b*a。
这意味着两个数相乘的结果与它们的顺序无关。
3. 积具有结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。
这意味着多个数相乘的结果与它们的分组方式无关。
三、因数与积的关系1. 因数与积之间存在着一种重要的关系，即如果一个数是另一个数的因数，那么它们的积一定能够被整除。
例如，数a是数b的因数，那么a*b一定是b的倍数，也就是说，a*b能够被b整除。
2. 进一步地，如果一个数是另一个数的因数，那么它们的积一定是另一个数的约数。
例如，数a是数b的因数，那么a*b就是数b的约数，它能够整除数b。
3. 反过来，如果一个数的积是另一个数的约数，那么这个数一定是另一个数的因数。
例如，数a*b是数b的约数，那么a就是数b的因数，它能够整除数b。
四、应用举例1. 因数与质数：一个质数只有两个因数，即1和它本身。
因此，质数的积只能是它本身。
例如，质数7的因数只有1和7，所以7的积只能是7*1=7。
2. 因数与完全数：一个完全数是指它所有的因数（除了它本身）的和等于它本身的数。
例如，数6的因数为1、2、3，而1+2+3=6，所以6是一个完全数。
3. 因数与互质数：两个数的最大公因数为1，这两个数被称为互质数。
小四数学(积和商的变化规律)
在学习“积的变化规律”时，已学过“常见的数量关系”：单价×数量=总价、速度×时间=路程、工作效率×工作时间=工作总量。在常见的数量关系式中，单价和数量、速度和时间、工作效率和工作时间是因数，总价、路程、工作总量都是积。因此，可能会遇到下面的题目。
例6填空：如果一件物品的单价扩大2倍，买的数量扩大3倍，用去的总价。
（另一种说法：在乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。）
A×B=C
一个因数A
另一个因数B
积C
不变
×n
×n
不变
÷n
÷n
×m
不变
×m
÷m
不变
÷m
×m
×n
×mn
÷m
÷n
÷m÷n或者÷（mn）
×m
÷m
不变
×m
÷n
×m÷n
例1：两数相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化？
2.正方形的边长，它的周长扩大13倍。
3.正方形的边长，它的周长缩小15倍。
例2选择：长方形的长与宽同时（ ），周长扩大4倍。
A. 缩小2倍 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍
[分析]因为“长方形周长=（长+宽）×2”，长与宽的和与2都是因数，长方形的周长是积，所以，根据“积的变化规律”，一个因数（2）不变，另一个因数（长+宽）扩大4倍，积（周长）就扩大4倍。答案是：D.扩大4倍。想一想：长与宽同时扩大4倍，为什么就是长与宽的和扩大4倍？
想：根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍，所以商是6，余数是30×10=300。
解：略。