[理学]半导体器件物理3章平衡半导体

第三章：平衡半导体到现在为止，我们已经讨论了一般晶体，确定了单晶晶格中电子的一些特性。

这一章，我们将运用这些概念来研究半导体材料，尤其是用导带和价带中量子态密度以及费米－狄拉克分布函数来确定导带和价带中电子和空穴的浓度。

此外，我们还会利用这些概念给出半导体材料的费米能级。

这一章我们将涉及平衡半导体：所谓平衡半导体或处于热平衡状态的半导体，是指无外界（如电压、电场、磁场或温度梯度等）作用影响的半导体。

在这种情况下，材料的所有特性均与时间无关。

平衡状态是研究半导体物理特性的起点，之后我们才会研究偏离平衡状态时出现的特性，例如给半导体材料施加电压时的情况。

这一章我们将要讨论的内容有：1.确定本征半导体热平衡时的电子和空穴浓度2.确定非本征即掺杂半导体热平衡时的电子和空穴浓度3.研究电子和空穴浓度随能量和温度变化的统计规律4.确定本征半导体费米能级的位置，讨论本征费米能级随掺杂浓度和温度的变化。

3.1本征半导体中的载流子浓度半导体器件的特性很大程度依赖于半导体材料的电导率，通过控制加入到半导体材料中的特定杂质的数量，就可以改变半导体的电学性能。

掺杂原子的类型决定了半导体材料中起作用的载流子是电子还是空穴。

掺杂原子的引入可以改变电子在有效能量状态上的分布，费米能级的位置成了杂质原子类型和浓度的函数。

电流实际上表征了电荷的流动速度。

半导体中的两种载流子电子和空穴均对电流有贡献。

因为半导体中的电流大小取决于导带中的电子数目和价带中的空穴数目，所以半导体中的载流子浓度是一个重要参数。

电子和空穴浓度与状态密度函数及费米－狄拉克分布函数有关。

3.1.1本征半导体平衡时的电子和空穴浓度分布导带中电子（关于能量）的分布为导带中的有效量子态密度与某个量子态被电子占据的概率的乘积。

()()()()3.1c F n E g E f E =其中，()F f E 是费米－狄拉克分布函数，()c g E 导带中有效量子态密度，在整个导带能量范围对上式积分便可得到导带中单位体积的总电子浓度。

同理，价带中空穴（关于能量）的分布为价带中的有效量子态密度与某个量子态被空穴占据的概率的乘积。

()()()()1 3.2v F p E g E f E ⎡⎤⎣⎦=-其中， ()v g E 价带中有效量子态密度，在整个价带能量范围对上式积分便可得到价带中单位体积的总空穴浓度。

为了求出热平衡电子和空穴浓度，就需要知道费米能级F E 相对于导带底c E 和价带顶v E 的位置。

由于理想的本征半导体是不含杂质和无晶格缺陷的纯净半导体。

在之前的讨论中我们知道，0T K =时本征半导体中价带的所有量子态都被电子填满，导带中的所有量子态都是空的。

因此，费米能级一定是处于禁带中c E 和v E 之间的某个位置（费米能级不一定是对应一个允许的能量状态）。

当温度从0T K =开始上升，价带中的电子获得热能（能量），其中少数电子获得足够的能量后跃迁到导带。

当一个电子从价带跃迁到导带的同时，就会在价带中产生一个空的量子态，称谓空穴。

因此，在本征半导体中，热能会使电子和空穴成对的产生，导带中的电子数量等于价带中的空穴数量。

图4.1a 分别示出了导带的状态密度函数()c g E 曲线和价带的状态密度函数()v g E 曲线，以及0T K ≥时F E 附近位于c E 和v E 之间二分之一处的费米－狄拉克分布函数。

此时，如果假设电子和空穴的有效质量相等， 则导带状态密度函数()c g E 曲线和价带的状态密度函数()v g E 曲线关于禁带能量『()c g E 和()v g E 之间二分之一处的能量』对称。

也就意味着E dE +时的()Ff E 分布函数和E dE -时的()1F f E -分布函数相等。

单位能量单位体积电子浓度()()()c F n E g E f E =曲线和空穴浓度()()()1c F p E g E f E ⎡⎤⎣⎦=-曲线与()1F f E =轴包围的面积分别代表了热平衡时的电子浓度0n 和空穴浓度0p 。

如果()cg E 和()v g E 是对称的，那么热平衡时的电子浓度0n和空穴浓度0p 严格相等，如果电子和空穴的有效质量不精确相等，()cg E 和()vg E 就不会关于禁带中央对称，导致费米能级偏离禁带中央，以保证电子和空穴浓度相等。

3.1.2平衡时的电子浓度0n 和空穴浓度0p 方程上面的讨论已经证明了本征半导体的费米能级位于禁带中央附近，在推导热平衡电子和空穴浓度时，我们将做适当的假设。

以后将会看到，在某种条件下，费米能级会偏离禁带中央。

但我们仍首先假设费米能级始终处于禁带中。

对式（3.1）在导带的整个能量范围内积分，可得热平衡时的电子浓度()()()()()0 3.3topccE c cF F EE n g E f E dE g E f E dE∞==⎰⎰式中的cE 为积分下限，topE 为积分上限，它是导带的最大能量。

由于费米－狄拉克分布函数随能量的增加迅速趋于零，因此可将积分的上限由无穷大取代。

由于我们假设费米能级位于禁带中，并已知导带中的电子能量cE E >，假设cF EE kT->>，则有FE EkT ->>。

所以费米－狄拉克概率分布函数就可以简化为玻尔兹曼近似将玻尔兹曼近似和导带的状态密度函数()cg E 带入（3.3）式可得导带电子的热平衡浓度)()3*0 3.5cF EE E n dE kT ∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-⎰令()3.6cE EkTη-=上式变为：()()()3*21/20342exp exp 3.7ncF m kT E E nd h kT πηηη∞-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰上式中的伽玛函数，其值为()()1/2exp 3.8d ηηη∞-=⎰方程（3.7）变为我们定义：()3/2*222 3.10nc m kT N h π⎛⎫= ⎪⎝⎭导带底能量（cE E =）时的概率分布函数。

因此，热平衡时导带中的电子浓度0n 等于导带中有效状态密度cN乘以能量等于cE 时的玻尔兹曼近似条件下的概率函数。

如果假设*0nmm =，那么在300T K =时的有效状态密度1932.510c N cm -=⨯，这是大多数半导体的c N 值。

如果电子的有效质量大于或小于0m ，则有效状态密度cN 会随着有所改变，但其数量级不变。

我们可以用同样的方法对（3.2）式积分得到热平衡时价带中空穴浓度。

)()3*0exp 3.12vE F E E p dE kT ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-⎰其中价带中空穴占据量子态的概率用玻尔兹曼近似是经变量'v E E kTη-=替换后积分得()()()()3*21/2'''0342exp exp 3.14pF v m kT E E p d h kT πηηη∞--⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰将()()01/2'''exp d ηηη∞-=⎰参数()3/2*222 3.16p v m kT N h π⎛⎫=⎪⎪⎝⎭定义为价带的有效状态密度。

最终价带空穴的热平衡浓度为300T K =时，对于大多数半导体，v N 的数量级也是19310cm -。

()193403003000.2 2.8101exp 1exp 0.20.0259exp 1.63100.0259exp c F c c c F F c c F c E E kT T K T K E E eV N cm E kT E f E kT E kT E kT kT n N --=+===⨯+-⎛⎫+=≈- ⎪+-⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭+⎛⎫=-=⨯ ⎪⎝⎭=计算：在半导体硅导带中处，被电子占据量子态的概率？并计算时热平衡的电子浓度。

假设时，硅的费米能级在价带底能级以下处，。

解：191631930.22.810exp 1.24100.02593500.25300 1.0410c F v v E E cm kT E E kT T K eV T K N cm ---⎡⎤⎡⎤-=⨯⨯-=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-===⨯尽管某个能级被电子占据的概率很小，但因有大量的能级存在，电子的浓度值是合理的。

习题1：计算价带中处不被电子占据的概率，并计算硅在价带中的热平衡空穴浓度。

这里假定硅的费米能级在价带能量以上。

时，（答9.34515301530; 3.3310)23000.24.6110)p cm K eV p cm ---⨯=⨯=⨯10习题：时，费米能级在价带能量之上处硅中的热平衡空穴浓度。

（答对给定半导体材料，在固定温度下，有效状态密度函数CN 和v N 是常数。

表3.1列出了硅、砷化镓和锗三种半导体材料的有效状态密度及有效质量。

砷化镓的cN 小是因为它的有效质量小。

()()33**001919171819183.1//2.810 1.0410 1.080.564.7107.0100.0670.481.0410 6.0100.550.37c v n p Table Effective density of states function and effective mass valuesN cm N cm m m m m Si GaAs Ge--⨯⨯⨯⨯⨯⨯3.1.3本征载流子浓度i n 和本征费米能级的位置本征半导体的电中性要求导带中的电子浓度等于价带中的空穴浓度。

如果我们定义本征半导体的费米能级为FiE ，本征载流子浓度为in ，平衡时的电子浓度和空穴浓度分别为0n 和0p 。

则有：0()exp (3.18)c Fi i c E E n n N kT --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦和0()exp (3.19)Fi v i v E E p n N kT --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦其中：3*2222()n C m kT N hπ=称为导带有效状态密度。

*32222()p v m kT N h π= 称为价带有效状态密度。

C E 为导带低的能量；v E 为价带顶的能量。

*nm 和*p m 分别是电子和空穴的有效质量。

231.3810/k J K -=⨯ 是玻尔兹曼常数。

34156.62510 4.13510h J s eV s --=⨯-=⨯-是普朗克常数。

341.054102hJ s π-==⨯-是修正的普朗克常数。

T是绝对温度。

本征半导体的费米能级位于禁带中央附近。

这个结论我们用下述方法推到：令式（3.18）和（3.19）相等，则有()()exp exp (3.20)c Fi Fi v c v E E E E N N kT kT ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对上式两边求对数并解出FiE 有11()ln()(3.21)22v Fi c v cN E E E kT N =++将3*2222()n c m kT N h π=和*32222()p v m kT N hπ=带入上式有**13()ln()(3.22)24pFi c v nm E E E kT m =++式（3.22）的第一项是精确的禁带中央，如果电子和空穴的有效质量相等，则费米能级位于禁带中央。