基于小波分析的SAR影像去噪的原理与方法.

第四章 基于小波分析的SAR 影像去噪的原理与方法4.1 小波变换及其特征4.1.1 小波变换小波(wavelet)，即在时(空间)域延续度很小的“波”。

如果函数)(t ψ是平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，并且其傅立叶变换)(ωψ满足∞<ψ⎰ωωωd R |||)(|2(4-1) 我们就称)(t ψ为一基本小波或小波基函数。

而我们通常所讲的小波则是由小波基函数经过伸缩和平移而得到的函数族)(,t a τψ：)()(21,at a t a τψψτ-=-R a ∈>τ,0(4-2) 其中，a 是尺度（伸缩）因子，τ是平移因子。

由定义可知，小波基函数是一类特殊的函数：（I ）通常，它们在时(空间)域内是紧支集或近似紧支集的，并且在频域内也具有良好的局部性，可以作为“带通滤波器”或“窗口”使用；（II ）它们具有正负交替波动性，有0)0(=ψ；（III ）它们经过伸缩和平移变化得到的函数族也同样具有时(空间)域、频域局部性和正负交替波动性，并且尺度因子a 越小，时(空间)域窗口越小，而对应频域窗口的中心频率和窗口宽度越大。

对于)(2R L 中的函数)(t f ，其小波变换可定义为dt a t t f at t f a WT R a f ⎰->==<)()(1)(),(),(,τψψττ (4-3) 相应的小波逆变换为⎰⎰∞∞-∞=τψττψd t a WT a da C t f a f )(),(1)(,02(4-4) 其中，∞<ψ=⎰ωωωψd C R |||)(|2。

由公式(4-3)可知，小波变换实际上是信号)(t f 与小波函数)(,t a τψ的内积，即信号)(t f 在)(,t a τψ上的展开（投影）结果。

那么，我们可以通过小波变换提取信号)(t f 在特定尺度a 下、特定位置τ处的信号特征。

由于尺度因子a 在一定程度上决定了小波函数)(,t a τψ的频率特性，可以通过确定尺度因子a 来提取不同频率的信号特征，从这个意义上讲，小波变换具有一定的频率自适应性。

由公式(4-4)可知，信号)(t f 可由小波族)(,t a τψ，R a ∈>τ,0线性拟合而成，而各小波前的系数由相应的小波变换确定。

此即为信号小波重建的依据。

若处理离散化的信号，就对a 、τ和t 进行离散化处理，通常，取n a m m ⋅==2,2τ，其中，Z n m ∈,，并且对t 进行与τ相同的归一化处理，取1=∆=t dt 。

那么，离散化的小波函数可写为)2(2)(2,n t t m m n m -=--ψψ (4-5) 任意函数)(t f 的离散小波变换为 ∑∞-∞=⋅=t nm f t t f n m WT )()(),(,ψ(4-6)相应的离散小波逆变换为∑∑⋅=m n n m f t n m WT C t f )(),(1)(,ψψ (4-7)4.1.2 多尺度分析与正交小波变换多尺度分析又称多分辨率分析，是S . Mallat 在研究图像处理工程问题时建立的这套理论。

若将尺度理解为照相机镜头,当尺度较大时视野宽而分析频率低，可以作概貌的观察；当尺度较小时视野窄而分析频率高，可以做细节的观察。

因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及静地观察目标。

这就是多尺度的思想。

Mallat 利用正交小波基的多尺度特性，将图像展开，以得到图像不同尺度间的“信息增量”，从而达到将图像在空间-频率域分解的目的。

同时，Mallat 还提出了一种简单的正交小波基构造方法，并构造了正交小波变换的快速算法。

以下简单地介绍多尺度分析理论和正交小波变换。

定义函数)()(2R L t ∈φ为尺度函数(Scale Function)，如果其整数平移序列)(k t -φ满足标准正交性，即l k l t k t ,)(),(δφφ=--。

(4-8)空间)(2R L 中的多尺度分析，是指满足以下条件的一系列闭子空间{}Z j V j ∈,： （1）一致单调性 ......1012⊂⊂⊂⊂⊂-V V V V ； (4-9) (2）渐近完整性 }{0=∈ Zj j V ， Zj j R L V ∈=)(2； (4-10)（3）伸缩规则性 0)2()(V t f V t f j j ∈⇔∈； (4-11) （4）平移不变性 00)()(V n t f V t f ∈-⇔∈，对所有的Z n ∈； (4-12) （5）正交基存在 存在)()(2R L t ∈φ，使得}{Z n n t ∈-,)(φ是0V 的正交基，即有}{)(0n t span V n-=φ，m n Rdt m t n t ,)()(δφφ=--⎰。

(4-13)由于)(n t -φ是0V 的正交基，由以上性质知，)2(2)(2,n t t j jn j -=--φ也必是j V 的正交基。

因此，多尺度分析实际上是由尺度函数)(t φ伸缩平移系列张成的一系列尺度空间。

由多尺度分析的性质(4-9)可知，j V 是相互包含的，这样，我们可定义j W 为j V 在1-j V 中的正交补空间，即有,1j j j W V V ⊕=- j j W V ⊥ (4-14)显然，任意子空间m W 与n W 相互正交，即n m W W ⊥，当n m ≠和Z n m ∈,时。

由多尺度分析性质(4-10)可知，m j m j V W R L ⊕⊕=-∞=)(2(4-15)通常，我们称j W 为尺度j 下的小波空间，它包含信号在相邻尺度空间投影之间的细小差别，即细节信息。

称j V 为尺度j 下的尺度空间，它包含信号的概貌信息。

显然，随着尺度j 的增大，j V 包含的信息越来越少；反之，j V 包含的信息越来越多，也就越逼近于原始信号。

由公式(4-15)知，对于)()(2R L t f ∈，可有如下展开： ∑∑∑-∞=∞-∞=∞-∞=+=m j k k km k m k j kj t ct dt f )()()(,,,,φψ (4-16)其中，)(),(,,t t f d k j k j ψ=，)(),(,,t t f c k j k j φ=，前者称为j 尺度空间的小波系数，后者称为j 尺度空间的尺度系数。

在相邻的尺度空间1-j V 和j V 之间，在相邻的尺度空间1-j V 和小波空间j W 之间，它们的基函数存在着著名的二尺度方程关系：∑-=nn n t h t )2(2)(φφ (4-17)∑-=nn n t g t )2(2)(φψ (4-18)其中，n n h ,1,-=φφ，n n g ,1,-=φψ，它们不随尺度的改变而变。

则有如下关系， ∑--=mm j k m k j c h c ,12, (4-19)∑--=mm j k m k j c g d ,12, (4-20)n n n h g -⋅-=1)1(，2=∑n n h ，0=∑n n g (4-21) 由此可知，j 尺度空间的尺度系数k j c ,和小波系数k j d ,可由1-j 尺度空间的尺度系数k j c ,1-经滤波器系数n h 和n g 加权和求得。

同时，由二尺度方程还可得到 ∑∑---+=kkk m k j k m k j m j g d h c c 2,2,,1 (4-22)即小波变换系数的重建公式。

此即为Mallat 快速小波分解算法和重构算法，示意图如下：m c 1+m c 2+m c … n m c + 1+m d 2+m d … n m d +(a) M allat 小波分解快速算法n m d + 1-+n m d … 1+m d n m c + 1-+n m c … 1+m c m c(b) Mallat 小波重构快速算法图4.1 Mallat 小波变换快速算法图小波变换中，存在数据的冗余，可以对小波滤波的输出序列进行“二抽取”；信号重建时，进行“二插值”即可。

这样，就解决了一维离散信号的小波变换和重构问题。

图4.2数据抽取、插值示意图对于二维离散信号，也有类似于一维信号的多尺度分析和正交小波变换快速算法。

如采用正方块形式的二维小波基，则二维小波变换和逆变换Mallat 快速算法公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++++j y x j y x jy x j y j y x j x j y x j c G G d c G H dc H G dc H H c 1,,1,1,1 (4-23) 其中，算子x H 、y H 、x G 和y G 为：∑-=kn k m k n m x c h c H ,2,)(， ∑-=kk m n k n m y c h c H ,2,)(∑-=kn k m k n m x c g c G ,2,)(， ∑-=kk m n k n m y c g c G ,2,)(二维信号的重建公式为：j y x y x j y y x j x y x j y x j d G G d G H d H G c H H c ,,,,1+++=-)()(,,,,j y x y j x y x j y y j y x d G d H G d G c H H +++= (4-24) 式(4-23)表明二维离散小波变换具有可分离性，即二维滤波器的冲击响应是一维冲击响应的乘积。

可以对影像先进行逐行滤波，再进行逐列滤波；也可先进行逐列滤波，再进行逐行滤波，最终的结果是一样的。

同样，式(4-24)表明了二维离散小波重建也具有可分离性。

二维小波分解和二维小波重建的如图4.3： 4.1.3双正交小波变换一般来讲，构造一个具有正交性的多分辨率分析的小波基并不是很容易的事情，在这种情况下，如果某个小波母函数()x ϕ和其对偶函数()x ϕ~存在正交性，即： ()()ll x x δϕϕ=-,~ (4-25)(a)使用小波变换的分解滤波(b)使用小波变换的重建滤波图4.3 二维信号小波变换快速算法图即称它们为双正交小波基。

图4.4一对双正交小波基示意图则可以用()x ϕ实现小波变换分解滤波，用()x ϕ~实现小波变换的重建滤波，其效果与正交小波基相同。

4.2随机噪声的小波变换特性4.2.1模极大值与信号奇异度和尺度的关系小波变换的一个非常吸引人的特点是能够刻划信号的奇异性。

设x 0为信号f（x ）局部突变点（奇异点），对于x 0邻域x ，即x ∈δx 0，则在该点处f （x ）的小波变换取得模极大值。

在离散二进小波变换中有下式：j+1x,j+1 y,j+1x,y,j+1c j+1 dd d1 j)()(202x f W x f W J J ≥ （4-26） 并且还有：a J K x f W J )2()(2≤ （4-27） 这时j 为二进尺度参数，x 取离散值，取对数可得：aj K x f W j +≤222log )(log （4-28） 如果信号在x 处的奇异性大于零，那么随着尺度j 的增加，小波变换模极大值的对数也变大。