高一数学必修2平面解析几何初步(直线与圆)单元测试题及答案
平面解析几何初步（直线与圆）单元测试题
一．选择题
1.已知直线l 的方程为x-y+1=0，则该直线l 的倾斜角为（ ） A.30 B.45 C.60 D.135
2.点（1，-2，3）关于xoy 平面的对称点坐标为（ ）
A ．（1，-2，-3）
B ．（-1，2，3）
C ．（-1， 2，-3）
D ．（1，-2，3）
3.无论m 为何值，直线210mx y m ---=总过一个定点，其中m R ∈，该定点坐标为（ ） A.（1，2-） B.（1-，2） C.（2-，1-） D.（2，1-）
4.以A （1，3），B （－5，1）为端点的线段的垂直平分线的方程是（ ） A.083=+-y x B.043=++y x C.083=++y x D.062=--y x
5.圆(x +2)2+y 2=5关于 (-1,1)对称的圆的方程为（ ）
A.(x -2)2+y 2=5
B.x 2+(y -2)2=5
C. (x +2)2+(y +2)2=5
D.x 2+(y +2)2=5
6.圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）
A.2
1)2()3(22=-++y x B.2
1)2()3(22=++-y x C.2)2()3(22=-++y x
D.2)2()3(22=++-y x
7.若直线y x m =+和曲线y x =-92
有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）
A. -<<3232m
B.032<<m
C. 332<≤m
D. 332≤<m
二．填空题
8.若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11
a b
+的值等于_________.
9.圆22(1)1x y -+=
与直线y x =的位置关系是______________.
10.已知2222
12:1:349O x y O x y +=+= 与（－）（＋），则12O O 与的位置关系
为 ．
11.一条光线经过点P （–2，3）射到x 轴上，反射后经过点Q （1，1），则入射光线所在的直线的方程是 ______ ，反射光线所在的直线的方程是 ______ ,光线从P 点到Q 点的距离为____________.
14.圆x 2+y 2-2x-2y +1=0上的动点Q 到直线3x +4y +8=0距离的最小值为_________.
13.40 _____________.P x y O OP +-=点在直线上,是坐标原点,则的最小值是12:512150,:51220_______________.l x y l x y -+=-+=12.两条平行直线之间的距离为
三．解答题
15.求经过直线l 1：0543=-+y x 与直线l 2：0832=+-y x 的交点M 且满足下列条件的直线方程.（1）与直线052=++y x 平行；（2）与直线052=++y x 垂直.
16.求过点)2,5(A ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程.
17.已知圆的半径为10,圆心在直线y =2x 上,圆被直线x-y =0截得的弦长为42,求圆的方程.
18. 已知圆C ：()()x y -+-=122522
，直线l ：()()21174m x m y m +++--＝0（m R ∈）
（1）证明：无论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； （2）求直线l 被圆C 截得的弦-长最小时的方程.
19.已知 O ：221x y +=和定点A (2,1)，由 O 外一点(,)P a b 向 O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =．
(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系； (2) 求线段PQ 长的最小值；
(3) 若以P 为圆心所作的 P 与 O 有公共点，试求半径取最小
值时 P 的方程．
20. 已知圆)0(:222>=+r r y x C 经过点)3,1(． （1）求圆C 的方程；
（2）是否存在经过点)1,1(-的直线l ，它与圆C 相交于A 、B 两个不同点，且满足关系
0=∙OB OA O (为坐标原点)，如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
图
平面解析几何初步（直线与圆）单元测试题答案
1.B
2.A
3.D
4.B
5.B
6.C
7.D
8.1
2 9.相交 10.相离 11.4x+3y-1=0 4x-3y-1=0 5
12.1 13.15.解由L 1与L 2的方程联立方程组 0543=-+y x x =-1 0832=+-y x 解得： y =2 ∴点M 的坐标为（-1， 2）
(1) 所求直线与直线052=++y x 平行，所求直线斜率为－2， 又经过点M （-1， 2）
则直线方程为y-2=－2（x+1） 即 2x+y=0
（2）所求直线与直线052=++y x 垂直，所求直线斜率为2
1， 又经过M （-1， 2）
则直线方程为y-2 =2
1（x+1） 即 x －2y+5=0 16．（１）截距不为０时设l 的方程为
1=-+a
y
a x l 过()0,3A ， ∴ 125=-+a
a ∴ 3=a
∴l 的方程为：03=--y x
（２）截距为0时，l 的方程为：052=-y x
综上（１）、（２）可得：直线l 的方程是03=--y x 或052=-y x ． 17.(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10
18．（1）直线l 的方程化为：()()x y m x y +-++-=4270。
因此，直线l 过两条直线x y +-=40和270x y +-=的交点，联立这两条直线的方程中解得交点为A （3，1），即直线l 恒过定点A （3，1）。
又因
||()()AC 222
3112525=-+-=<， 故点A （3，1）在圆C 的内部，直线l 与圆C 恒交于两点； （2）圆心为C （1，2），当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，
有l ⊥AC ，由
k AC =-
1
2可得k 12=，因此直线l 的方程为y x x y -=---=123250()，即。
19. 解：（1）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有222
PQ OP OQ =-. 又由已知PQ PA =，故22PQ PA =. 即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.
化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. …………..4分
（2）由230a b +-=，得23b a =-+.
PQ ==
故当65a =
时，min PQ =
即线段PQ
解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1－3 |2 2 + 1 2 = 25
5 . ………………..8分
（3）设 P 的半径为R ，
P 与 O 有公共点， O 的半径为1，
1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R
OP ≤+.
而OP =
故当
65a =时，min OP =此时, 3
235b
a =-+=，min 1R =.
得半径取最小值时 P 的方程为22263()()1)55x y -+-=． …12分
解法2： P 与 O 有公共点， P 半径最小时为与 O 外切
（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.
r =
32 2 + 1 2
－1 = 35
5 －1.
又 l ’：x －2y = 0,
解方程组20,230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得6,53
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.即P 0( 65 ,35
).
∴
所求圆方程为22263()()1)5
5
x y -+-=.
20.（1）由圆222:r y x C =+，再由点)3,1(在圆C 上，得4)3(1222=+=r ， 所以圆C 的方程为422=+y x .（3分）
（2）假设直线l 存在，设),(11y x A ，),(22y x B ，
①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(1+=-x k y ，
联立⎩⎨⎧=++=-4
)
1(12
2y x x k y ，消去y 得032)1(2)1(222=-+++++k k x k k x k ， 由韦达定理得222112221)1(2k k k k k x x +-+-=++-=+，2
222114
21132k
k k k k x x +-+=+-+=， 所以314
2)1())(1(2
22121221-++=+++++=k k k x x k k x x k y y ，（6分） 因为0=∙OB OA ， 所以02121=+y y x x ， 所以0314
214212
2=-++++-+
k
k k k ，解得1=k ， 所以直线l 的方程为11+=-x y ，即02=+-y x .（8分） ②若直线l 的斜率不存在， 因为直线l 经过点)1,1(-， 所以直线l 的方程为1-=x ， 此时)3,1(-A ，)3,1(--B ， 而2)3,1()3,1(-=--∙-=∙， 不满足0=∙OB OA .
综上可知，存在直线:l 02=+-y x 满足条件.（12分）。
高中数学第2章平面解析几何初步 直线与圆的位置关系同步练习湘教版选择性必修第一册
2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1 直线与圆的位置关系A级必备知识基础练1.(2022江苏盐城伍佑中学高二月考)点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，|PA|=1，则点P的轨迹方程是()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.x2+y2=2xD.x2+y2=-2x2.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是()A.k≤-2或k≥2B.k≤-2C.k≥2D.k≤-2或k>23.(2022山东高二学情联考)过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，则切线长为()A. B.2C.2D.4.(多选题)(2022重庆育才中学高二月考)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0，则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(4，3)B.圆M的半径为5C.圆M被x轴截得的弦长为6D.圆M被y轴截得的弦长为65.圆x2+y2-2x-8y+13=0截直线ax+y-1=0所得的弦长为2，则a=()A.-B.-C. D.26.已知圆C与直线x-y=0及x-y=4都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为.7.若点P(2，-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为.8.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0，直线l过点A(1，0).(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程;(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|.B级关键能力提升练9.(2020全国Ⅰ，文6)已知圆x2+y2-6x=0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.410.已知直线l:x-y+m=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，O为坐标原点，且=0，则实数m为()A.2B.2C.±2D.±211.(多选题)(2022云南罗平县高二检测)过点(2，2)，斜率为k的直线与圆x2+y2-4x=0的位置关系可能是()A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且经过圆心12.(多选题)(2022辽宁葫芦岛协作校高二联考)已知直线l:3x+4y=0，圆C:x2-4x+y2=m-5，则()A.m的取值范围为(0，+∞)B.当直线l与圆C相切时，m=C.当1<m<2时，l与圆C相离D.当直线l与圆C相交时，m的取值范围是13.已知k∈R，若直线l:y=kx+1被圆x2-2x+y2-3=0所截，则截得的弦长最短为，此时直线l的方程为.14.如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=2时，求直线l的方程.C级学科素养创新练15.(2022黑龙江大庆中学高二月考)若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为()A.2B.1C.D.16.若直线l:y=ax-3与圆C:x2+y2=4相交，求a的取值范围.参考答案2.6直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系1.B∵PA是圆的切线，|PA|=1且圆的半径为r=1，∴点P到圆心的距离恒为.又圆心(1，0)，设P(x，y)，由两点间的距离公式得(x-1)2+y2=2，即点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.故选B.2.A若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx-y-3=0的距离d=≤1，即≥3，∴k2+1≥9，即k2≥8，解得k≤-2或k≥2.∴圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是k≤-2或k≥2.故选A.3.D由圆C:(x+2)2+(y-1)2=5，可得圆心C(-2，1)，半径r=，过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，两条切线长相等，只取其中一条切线，设切点为M，则CM⊥PM，由题得|PC|==3，|CM|=r=，所以切线|PM|=.故选D.4.BD将x2+y2-8x+6y=0化为圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25，所以圆M的圆心坐标为(4，-3)，半径为5，故A错误，B正确;圆心(4，-3)到x轴的距离为3，所以圆M被x轴截得的弦长为2=8，故C错误;对选项D，圆心(4，-3)到y轴的距离为4，所以圆M被y轴截得的弦长为2=6，故D正确.故选BD.5.A将x2+y2-2x-8y+13=0化为(x-1)2+(y-4)2=4，则该圆圆心为(1，4)，半径为2.又弦长为2，则圆心到直线距离为=1.根据点到直线距离公式可知d==1，化简可得(a+3)2=a2+1.解得a=-，故选A.6.(x-1)2+(y+1)2=2设圆心为点C(a，-a)，由点到直线的距离公式得，解得a=1，所以圆心为(1，-1)，且半径为，故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.7.x-y-3=0圆心坐标为点C(1，0)，由题可得，k PC==-1.又|CP|⊥|AB|，因此k AB=1.因为直线AB过点P，可知直线AB的方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.8.解将圆C的方程化成标准式方程得(x-3)2+(y-4)2=22.(1)圆C的圆心坐标是(3，4)，半径为2.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1，满足题意;当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是y=k(x-1)，即kx-y-k=0.由圆心(3，4)到直线l的距离等于圆C的半径，可得=2，解得k=，故直线l的方程是3x-4y-3=0.综上所述，直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0.(3)由(2)可得直线l的方程是3x-4y-3=0.圆C的圆心是点C(3，4)，则|AC|==2，所以|AB|==4.9.B圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为=2<3，所以点(1，2)在圆内.如图所示，设圆心O1(3，0)，A(1，2)，当弦BC与O1A垂直时弦最短，因为|O1A|==2，|O1B|=3，所以|AB|==1，所以|BC|=2|AB|=2.10.C由=0可知∠AOB=90°.由于圆半径为r=2，则圆心(0，0)到直线l的距离d=，解得|m|=2，即m=±2，故选C.11.BC由题得，圆的标准方程为(x-2)2+y2=4，则圆心为(2，0)，半径为2.设过点(2，2)，斜率为k的直线为y=k(x-2)+2，即kx-y-2k+2=0，∴圆心到kx-y-2k+2=0的距离d=≤2，∴当d=2时，直线与圆相切;当d<2时，直线与圆相交但直线不过圆心.故B，C正确，A，D错误.故选BC.12.BC圆C的标准方程为(x-2)2+y2=m-1，则圆C的圆心为C(2，0)，半径r=，由r=>0，得m>1，故A错误;因为C(2，0)到直线l的距离为，所以当直线l与圆C相切时，r=，解得m=，故B正确; 当1<m<2时，0<r<1<，所以直线l与圆C相离，故C正确;当直线l与圆C相交时，，解得m>，故D错误.故选BC.13.2y=x+1圆x2-2x+y2-3=0的标准方程为(x-1)2+y2=22，所以圆心为O(1，0)，半径为r=2.直线l:y=kx+1过定点P(0，1).故|OP|=.当l⊥OP时，截得的弦长最短，则最短弦长为2=2.由题得，k OP=-1，所以k l=1，故直线l的方程为y=x+1.14.解(1)设圆A的半径为r.∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，∴r==2.故圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=-2，易得|MN|=2，符合题意;②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0.取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|=2，∴|AQ|==1.∴=1，解得k=.∴直线l的方程为3x-4y+6=0.综上，直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.15.C将方程x2+y2-2x-6y+1=0化为(x-1)2+(y-3)2=9，则圆心(1，3)，半径为3.∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，∴圆心(1，3)到直线y=kx的距离为1，即=1，解得k=.故选C.16.解(方法1)圆C:x2+y2=4的圆心C(0，0)，r2=4.直线l:y=ax-3可化为ax-y-3=0.圆心C(0，0)到直线l:ax-y-3=0的距离d=.由直线l与圆C相交可得r>d，则r2>d2，即4>，解得a>或a<-.因此a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.(方法2)将y=ax-3代入x2+y2=4得到x2+(ax-3)2=4，整理可得(1+a2)x2-6ax+5=0.因为直线与圆相交，则Δ=(-6a)2-4×(1+a2)×5=36a2-20-20a2=16a2-20>0，即a2>，解得a>或a<-，故a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.11。
数学人教B必修2单元检测：第二章 平面解析几何初步(附答案) Word版含解析
数学人教B必修2第二章平面解析几何初步单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是()．A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝42．已知点A(1,2)，B(－2,3)，C(4，t)在同一直线上，则t的值为()．A．12B．32C．1 D．－13．直线ax＋2y－1＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于()．A．32B．2 C．－1 D．2或－14．在空间直角坐标系Oxyz中，点M的坐标是(1,3,5)，则其关于x轴的对称点的坐标是()．A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)5．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()．A．(－∞，－2) B．2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C．(－2,0) D．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭6．到直线2x＋y＋1＝0()．A．直线2x＋y－2＝0B．直线2x＋y＝0C．直线2x＋y＝0或直线2x＋y＋2＝0D．直线2x＋y＝0或直线2x＋2y＋1＝07．过点P(5,4)作圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A，B，四边形P ACB 的面积是()．A．5 B．10 C．15 D．208．圆22142x y⎛⎫++=⎪⎝⎭与圆(x－1)2＋(y－3)2＝m2的公切线的条数为4，则m的取值范围是()．A ．3737,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．以上均不对9．若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )．A ．(x 2＋y 2＝5B ．(x 2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝510．已知集合A ＝{(x ，y )|y =}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠，则m 的取值范围是( )．A ．－7≤m ≤B ．-m ≤C ．－7≤m ≤7D ．0≤m ≤二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．P (－1,3)在直线l 上的射影为Q (1,－1)，则直线l 的方程是____________．12．圆x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0与圆x 2＋y 2－6x －10y ＋30＝0的公共弦所在的直线方程是______________．13．直线3ax －y －1＝0与直线2103a x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭垂直，则a 的值是__________． 14．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是__________．15．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是__________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)三角形ABC 的边AC ，AB 的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A (1,2)，求BC 边所在的直线方程．17．(15分)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为半径小于5.求：(1)直线PQ 与圆C 的方程；(2)求过点(0,5)且与圆C 相切的直线方程．参考答案1.答案：D2.答案：C∵点A，B，C共线，∴k AB＝k BC，即3232142t--=---(-)，解得t＝1.3.答案：D由a(a－1)－2＝0得a＝2或a＝－1.经检验a＝2或a＝－1均符合题意．4.答案：C点M关于x轴对称，则x坐标不变，y，z的新坐标与原来的坐标互为相反数．5.答案：D由a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，解得－2＜a＜2 36.答案：C设到直线2x＋y＋1＝0的距离为5的点的坐标为(x，y)，则点(x，y)为直线2x＋y＋m＝0上的点．5=，∴|m－1|＝1，解得m＝2或m＝0，∴所求点的集合为直线2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.7.答案：B8.答案：C9.答案：D设圆O的方程为(x－a)2＋y2＝5(a＜0)，则O到直线x＋2y＝0的距离d===∴a＝－5.∴圆O的方程是(x＋5)2＋y2＝5.10.答案：A∵A∩B≠，∴半圆弧y与直线y＝x＋m有公共点．如图所示，当直线与半圆相切时m=，当直线过点(7,0)时，m＝－7，∴m∈[－7,．11.答案：x－2y－3＝0设直线l的斜率为k，由于PQ⊥l，所以k PQ k＝－1，所以12k=，则直线l的方程是y＋1＝12(x－1)，即x－2y－3＝0.12.答案：x＋y－6＝0两圆的方程相减得4x＋4y－24＝0，即公共弦所在的直线方程为x＋y－6＝0.13.答案：13-或1由23(1)103a a⎛⎫-+-⨯=⎪⎝⎭，得13a=-或a＝1.14.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4易求得AB的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r＝|OA|＝2.15.答案：(－∞，1)圆方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.又圆关于y＝2x＋b成轴对称，∴点(－1,2)在直线y＝2x＋b上，∴b＝4，∴a－b＜1.16.答案：解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，所以k AC＝3 2 -.所以AC的方程为y－2＝32-(x－1)，即3x＋2y－7＝0，同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝0. 下面求直线BC的方程，由3270,0,x y x y +-=⎧⎨+=⎩得顶点C (7，－7)， 由10,2310,x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得顶点B (－2，－1)． 所以k BC ＝23-，直线BC ：y ＋1＝23-(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.17. 答案：解：(1)直线PQ 的方程为y －3＝3214+--×(x ＋1)，即x ＋y －2＝0，由题意圆心C 在PQ 的中垂线3241122y x --⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即y ＝x －1上，设C (n ，n －1)，则r 2＝|CQ |2＝(n ＋1)2＋(n －4)2，由题意，有222||r n =+， ∴n 2＋12＝2n 2－6n ＋17，解得n ＝1或5，∴r 2＝13或37(舍)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)当切线斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋5，=，解得32k =或23-，∴方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0，当切线斜率不存在时，不满足题意，∴切线方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0.。
最新精选2019高中数学单元测试《平面解析几何初步》完整版考核题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A ． 03=--y xB ． 032=-+y xC ． 01=-+y xD ． 052=--y x （2004天津理7）2．以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( )A ．22(2)(1)3x y -++=B ．22(2)(1)3x y ++-=C ．22(2)(1)9x y -++=D ．22(2)(1)3x y ++-=(2006重庆文)3．任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（1） 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心4．a=1是直线y=ax+1和直线y=(a-2)x-1垂直的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题 5．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m ＝ ．6．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是___________，最小值是____________________7．圆224660x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为_____________8．如果实数,x y 满足22(2)3x y -+=，那么y x的最大值是__________________ 关键字：圆；二元最值问题；比值；转化与化归；斜率；求最值；数形结合9．已知直线5120x y m ++=与圆2220x x y -+=相切，则m=10．过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．11．直线l 经过点(1,2)P -，且与直线0432=+-y x 平行，则直线l 的方程为 ．12．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是__________；13．直线经过原点和点(－1，－3)，则它的倾斜角是14．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则m 的取值范围为 ．15．过原点O 作圆x 2+y 2-－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 ．16．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过E 点作EF ⊥PB 交PB 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ；(2)PB ⊥平面EFD .17．若直线l:1ax by +=(a>0,b>0)过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积取最小值时直线l 的方程为．18．直线ax+by+c ＝0与圆O: x 2＋y 2＝1交于A,B 两点，且AB =3,则·= __ _____。
高中数学必修2直线和圆专题【答案】
直线与圆专题卷答案一. 选择题CABDA AACDB二. 填空题11.3 12. 210 13. 60° 14. k ∈R 且k ≠－1 15. {4, 5, 6, 7}三. 解答题16. 解：过B 作CA 的垂线交直线CA 于点H ，则|CD|＝|BH|设A(a ，0)，B(0，b)，则a>1，b>1．直线AC 的方程为：y ＝21(x －a) 即x －2y －a ＝0∴ |BH|＝52b a + ∵ (1, 1)在AB 上 ∴ a 1＋b 1＝1 ∴ |CD|＝52b a +＝51(a ＋2b)(a 1＋b 1)＝51(3＋a b 2＋a b ) ∴ |CD|≥51(3＋22)＝510253+ 当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab 即a ＝1＋2，b ＝222+时 |CD|有最小值510253+,此时直线l 的方程为：22212+++y x ＝1 17. (1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∴圆心是(2,1)，半径是5，∴圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)设直线l 的方程是：y ＝x ＋b.∵CA ⊥CB ，∴圆心C 到直线l 的距离是102， 即|2－1＋b|2＝102.解之得，b ＝－1± 5. ∴直线l 的方程是：y ＝x －1± 5.18.(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a ＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 所以，直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0、N(0,2＋a)，又因为a>－1，故S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×(a ＋1)2＋2(a ＋1)＋1a ＋1＝12×[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2(a ＋1)×1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 19. [解析] (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k(x －1)，则由|2－k|k2＋1＝2得，k1＝0，k2＝－43，故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0. (2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k(x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d2，∴d ＝1，∴1＝|－1＋2|k2＋1，∴k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，∵M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，∴x ＝x 0，y ＝2y 0.∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝4，即x 24＋y 216＝1， ∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆． 20. [解析] (1)线段AB 的中点E ⎝⎛⎭⎫32，52，kAB ＝3－21－2＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32，即x －y ＋1＝0. 因为圆C 经过A 、B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上．又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆C ，所以直线m 经过圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝03x －2y ＝0解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，即圆心的坐标为C(2,3)，而圆的半径r ＝|CB|＝(2－2)2＋(2－3)2＝1，所以圆C 的方程为：(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋1.圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|1＋k2， (ⅰ)由题意得d ＝|2k －3＋1|1＋k2<1，两边平方整理得：3k2－8k ＋3<0， 解之得：4－73<k<4＋73. (ⅱ)将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1 ①(x －2)2＋(y －3)2＝1 ② 将①代入②得：(1＋k2)x2－4(1＋k)x ＋7＝0，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则由根与系数的关系可得：x1＋x2＝4(1＋k)1＋k2，x1x2＝71＋k2， 而y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，所以OM →·ON →＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝(1＋k2)·71＋k2＋k ·4(1＋k)1＋k2＋1＝4k(1＋k)1＋k2＋8， 故有4k(1＋k)1＋k2＋8＝12，整理k(1＋k)＝1＋k2，解得k ＝1.经检验知，此时有Δ>0，所以k ＝1.。
中国人民大学附属中学必修二第二章《解析几何初步》测试题(含答案解析)
一、选择题1．设两条直线的方程分别为0x y a ++=,0x y b ++=,已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根,且108c ≤≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ) A3, B13, C．122, D．23, 2．已知点(,0)A m -，(,0)B m ，R m ∈，若圆22:(3)(3)2C x y -+-=上存在点P ，满足PA PB ⊥，则m 最大值是（ ）A．B．C．D．3．已知圆()()2295x a y a -+=>上存在点M ，使2OM MQ =（O 为原点）成立，()2,0Q ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7a >B ．57a <<C ．1373a ≤≤ D ．57a <≤4．已知直线:20()l kx y k R +-=∈是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴，若点(2,)A k ，B 为圆C 上任意的一点，则线段AB 长度的最小值为（ ） A2B ．2CD25．已知M 、N 分别是圆()()22:161C x y ++-=和圆()()22:261D x y -+-=上的两个动点，点P 在直线:l y x =上，则PM PN +的最小值是（ ） A．2B ．10C2D ．126．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ） A ．4B ．10C ．5D7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是梭BC ，CD 的中点，则1A F 与1C E 所成角的余弦值为（ ） ABC．15D．158．现有一个三棱锥形状的工艺品P ABC -，点P 在底面ABC 的投影为Q ，满足12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△，22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，ABCS =品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）A ．42πB ．44πC ．48πD ．49π9．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A ．(0,3⎤⎦B ．2,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．3,23D ．(]2,410．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π11．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π12．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（ ）A ．32B 3C ．102D ．2二、填空题13．已知直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行，则m 的值为__________. 14．已知直线l ：230ax y a --+=与圆C ：()()22124x y -+-=相交于P ，Q 两点，则PQ 的最小值为______.15．经点()2,3P -，作圆2220x y +=的弦AB ，使得P 平分AB ，则弦AB 所在直线方程是______.16．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为______.17．若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于点()1,2P -，则a b +=________.18．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______.19．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.20．如图，在一个底面面积为4，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为___________.21．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.22．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱11A B ，1BB ，11B C 的中点，则下列结论中：①FG BD ⊥； ②1B D ⊥面EFG ；③面//EFG 面11ACC A ； ④//EF 面11CDD C ． 正确结论的序号是________.23．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角的大小为_________.24．在三棱锥-P ABC 中，侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形，若3PA =，则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________．三、解答题25．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）设1AP =，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．26．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AA ==，1O 是底面1111D C B A 的中心.（Ⅰ）求证：1//O B 平面1ACD ；（Ⅱ）求二面角1D AC D --的平面角的余弦值. 27．如图，在三棱锥A BCD -中，2,22,23,BCBD AB CD AC AB BD =====⊥（1）证明：平面ABC ⊥平面ABD ．（2）在侧面ACD 内求作一点H ，使得BH ⊥平面ACD ，写出作法（无需证明），并求线段AH 的长．28．如图，四边形ABCD 为矩形，且4=AD ，22AB =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E 为BC 的中点.（1）求证：PC DE ⊥；（2）若M 为PC 的中点，求三棱锥M PAB -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由韦达定理求出1,a b ab c +=-=，然后求出2||()4a b a b ab -=+-两平行线间的距离范围. 【详解】由已知得两条直线的距离是d =， 因为,a b 是方程20x x c ++=的两个根，所以1,a b ab c +=-=，则||a b -=， 因为108c ≤≤，所以12222，即1222d . 故选：C 【点睛】本题考查平行线间的距离公式，韦达定理和不等式，属于基础题.2．C解析：C 【分析】首先设点(),P x y ，利用0AP BP ⋅=，转化为m =m 的最大值. 【详解】由圆的方程可知，圆的圆心()3,3C ，设(),P x y 则(),AP x m y =+，(),BP x m y =-，()()20AP BP x m x m y ⋅=+-+=，即222m x y m =+⇒=m 的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值，即圆心到原点的距离加半径，即OC r +== 故选：C 【点睛】结论点睛：与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r -；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -；3．D解析：D 【分析】根据2OM MQ =可得M 的轨迹方程.由点M 在圆()()2295x a y a -+=>上,可得M的轨迹方程与圆()()2295x a y a -+=>有公共点,即可由其位置关系求解. 【详解】 由题意,设(),M x y则由2OM MQ =,()2,0Q =化简变形可得2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 所以M 的轨迹为以8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心,以43为半径的圆 由题意可知M 为2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与()()2295x a y a -+=>的公共点即两个圆有公共点,由圆与圆的位置关系可知48433333a -≤-≤+ 解得1373a ≤≤ 又因为5a >所以57a <≤ 故选:D 【点睛】本题考查了点的轨迹方程求法,圆与圆位置关系式的应用,属于中档题.4．D解析：D 【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，求得1k =，得到点(2,1)A ，再结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意，圆22:6260C x y x y +-++=，可得圆心(3,1)C -，半径为2r因为直线:20l kx y +-=是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴， 则(3,1)C -在直线l 上，即3120k --=，解得1k =，所以(2,1)A ，则AC ==所以线段AB 长度的最小值为min ||||2AB AC r =-=.2. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系求得k 的值，转化为点与圆的位置关系，结合圆的性质求解是解得关键，着重考查转化思想，以及计算能力.5．C解析：C 【分析】计算圆心()1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，计算1C D =. 【详解】圆()()22:161C x y ++-=的圆心为()1,6-，圆()()22:261D x y -+-=的圆心为()2,6，()1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，1C D ==故PM PN +的最小值是1122C D r r --=. 故选：C. 【点睛】本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.6．C解析：C 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点A 与定点B ，进而可得22210PA PB AB +==，再利用基本不等式，即可得解．【详解】由题意直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可变为(1)30m x y --+=，所以该直线过定点()1,3B ， 所以2221310AB =+=，又()110m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=与直线30mx y m --+=互相垂直， 所以22210PA PB AB +==，所以22102PA PB PA PB =+≥⋅即5PA PB ⋅≤，当且仅当=PA PB , 所以PA PB ⋅的最大值为5. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线位置关系的判断及直线过定点的应用，考查了基本不等式的应用，合理转化条件是解题关键，属于中档题．7．D解析：D【分析】延长DA 至G ，使AG CE =，可证11//A G C E ，得1GA F ∠是异面直线1A F 与1C E 所成的角（或其补角）．在1AGF △中，由余弦定理可得结论． 【详解】延长DA 至G ，使AG CE =，连接1,GE GA ,GF ，11,AC A C ， 又//AG CE 所以AGEC 是平行四边形，//,GE AC GE AC =， 又正方体中1111//,AC AC AC AC =， 所以1111//,AC DE AC DE =，所以11AC EG 是平行四边形，则11//A G C E ，所以1GA F ∠是异面直线1A F 与1C E 所成的角（或其补角）． 设正方体棱长为2，在正方体中易得15AG =，10GF =，22222112(21)3A F AA AF =+=++=，1AGF △中，2221111125cos 215253AG A F GF GA F AG A F +-∠===⋅⨯⨯． 故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求异面直线所成角的方法： （1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得结论； （2）建立空间直角坐标系，由两异面直线的方向向量的夹角得异面直线所成的角．8．D解析：D 【分析】作QM AB ⊥，连接PM ，易证AB PM ⊥，由112122QAB PABABQMS S AB PM ⨯⨯==⨯⨯△△,得到2PM QM =，再根据12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△，由对称性得到AB BC AC ==，然后根据22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABCS =，求得6,23AB AQ ==，在AOQ△中，由222AO OQ AQ =+求解半径即可.【详解】 如图所示：作QM AB ⊥与M ，连接PM ， 因为PQ ⊥平面ABC ，所以PQ AB ⊥，又QM PQ Q ⋂=， 所以AB ⊥平面PQM ， 所以AB PM ⊥，所以112122QAB PABAB QM S S AB PM ⨯⨯==⨯⨯△△, 2PM QM =,因为12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△， 由对称性得AB BC AC ==,又因为22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABCS =所以21sin 60932ABCSAB =⨯⨯=解得6,23AB AQ ==，所以3,23,3QM PM PQ ===，设外接球的半径为r ，在AOQ △中，222AO OQ AQ =+，即()()222323r r =-+， 解得72r =， 所以外接球的表面积为2449S r ππ==， 即该球形容器的表面积的最小值为49π. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△得到三棱锥是正棱锥，从而找到外接球球心的位置而得解..9．A解析：A 【分析】取BC 中点E ，连接DE ，AE ，若CB AD ⊥，则可证明出BC ⊥平面ADE ，则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ，AD 关于x 的表达式，然后在ADE 中，利用三边关系求解即可. 【详解】由题意得BC x =，则21x AD CD BD +===，如图所示，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==， 翻折后，在图2中，若CB AD ⊥，则有：∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，且,AD DE 平面ADE ，∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==∴AE =AD =，在ADE 中，由三边关系得：①122+>②122<+③0x >；由①②③可得0x <<．故选：A. 【点睛】本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE 与AE ，根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ，得到BC AE ⊥，从而通过几何条件求解.10．D解析：D 【分析】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62xIE =-，求出x 的值，再利用勾股定理求R ，代入球的表面积公式，即可得答案. 【详解】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62x IE =-， 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍， 所以246222x x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得4x =. 设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，如图，则QP QC R ==，22OC =16423OP =-= 所以()(22232R R =+，解得3R =所以外接球的表面积为2100433S ππ==（2cm ）.故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，四棱锥外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.11．C解析：C 【分析】分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则P E AD '⊥，设AD x =，则1122P E AD x '==， 设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1sin 2h x θ=， 当90θ=时，max 12h x =，矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得22x =.将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-， 所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为22222226R P N P A P D P Q AD AB ''''==++=+=，则6R =，因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=. 故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.12．C解析：C 【分析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ，把AC 放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD ⊥平面CBD ，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD ， ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,在直角三角形ABD 中，AB =1，AD ，∴2BD ==所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，则在直角三角形ABM 中，AB =1，∠ABM=60°，∴1,22BM AM ==.同理，在直角三角形CBD 中，1,22DN CN ==. ∴MN =BD -BM -DN =112122--=,∴2CM ===在直角三角形AMC 中，2AC === 故选：C 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.二、填空题13．【分析】解方程即得解【详解】由题得当时两直线不重合故答案为：【点睛】结论点睛：直线和直线平行则且两直线不重合解析：23-【分析】解方程230m ⨯⨯=（-1)-即得解. 【详解】由题得2230,3m m ⨯⨯=∴=-（-1)-. 当23m =-时，两直线不重合.故答案为：23-. 【点睛】结论点睛：直线1111:0l a x b y c ++=和直线2222:0l a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合.14．【分析】首先求出直线所过定点的坐标当时取得最小再根据弦长公式计算可得；【详解】解：因为所以令所以故直线恒过定点又因为故点在圆内当时取得最小因为所以故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系弦长公式解析：【分析】首先求出直线所过定点M 的坐标，当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小，再根据弦长公式计算可得； 【详解】解：因为230ax y a --+=，所以()()230x a y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩，故直线恒过定点()2,3M ，又因为()()22213224-+-=<，故点()2,3M 在圆内，当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小，因为MC ==所以minPQ ===故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式、两点间的距离公式的应用，关键是掌握直线与圆的位置关系以及应用，属于中档题．15．【分析】由题意知圆的圆心从而可求出由从而可求出弦所在直线的斜率是由直线的点斜式可写出弦所在直线方程【详解】解：设圆的圆心为则由是的中点知因为所以点在圆内且所以弦所在直线的斜率是则弦所在的直线方程是整解析：23130x y --=. 【分析】由题意知圆2220x y +=的圆心()0,0O ，从而可求出32OP k =-，由AB OP ⊥，从而可求出弦AB 所在直线的斜率是123AB OP k k =-=，由直线的点斜式，可写出弦AB 所在直线方程.解：设圆2220x y +=的圆心为O ，则()0,0O .由P 是AB 的中点，知AB OP ⊥.因为()22231320+-=<，所以点P 在圆O 内，且303202OP k --==--. 所以弦AB 所在直线的斜率是123AB OP k k =-=，则弦AB 所在的直线方程是23(2)3y x +=-， 整理可得，23130x y --=. 故答案为：23130x y --=. 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，考查了两直线垂直的应用.本题的关键是分析出AB OP ⊥，进而求出弦所在直线的斜率.16．2【分析】求得双曲线的一条渐近线方程求得圆心和半径运用点到直线的距离公式和弦长公式可得ab 的关系即可得到所求离心率公式【详解】双曲线C ：的一条渐近线方程设为圆的圆心为半径可得圆心到渐近线的距离为则化解析：2 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，圆22(2)4x y -+=的圆心为(2,0)，半径2r ，可得圆心到渐近线的距离为d =则2=，化为22223a b c a ==-， 即224a c =，1ce a=>，解得2e =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a ，b 的等量关系，即可求解a 、c 关系，属于中等题.17．3【分析】根据题意先由圆的方程求出圆心为根据直线和圆相切的性质列出方程组求出即得解【详解】根据题意的圆心为：若直线与圆相切于则有故答案为：3【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系考查了学生转化与划归数【分析】根据题意，先由圆的方程求出圆心为()2,0-，根据直线和圆相切的性质列出方程组，求出,a b ，即得解.【详解】根据题意22410x y x ++-=的圆心为：()2,0-，若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于()1,2P -，则有2301,2302()1(2)(1)a b a b a b a b -+-=⎧⎪∴==∴+=-⎨⨯-=-⎪---⎩故答案为：3 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.18．【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故答案为： 解析：()4,2-【分析】先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得()4,2-的对称点，由此得出结论.【详解】已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M . 则816102AB k ==---.∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-， 化为20x y -=.设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，则2214422022baa b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-. 【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于19．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的 解析：163π【分析】求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积. 【详解】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，33x ∴=， 所以，球O 的半径为232x =，则球O 的表面积为22316433S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：163π. 【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解.20．【分析】设为正方形的中心的中点为连接求出如图分别可求得大球与小球半径分别为和进而可得小球的体积【详解】解：由题中条件知底面四边形是边长为2的正方形设O 为正方形的中心的中点为M 连接则如图在截面中设N 为解析：224π 【分析】设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO，求出OM ，PM ，PO ，如图，分别可求得大球1O 与小球2O 半径分别为22和24，进而可得小球的体积． 【详解】解：由题中条件知底面四边形ABCD 是边长为2的正方形.设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =，221013PM PA AM =-=-=，9122PO =-=，如图，在截面PMO 中，设N为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，∵1sin 3OM MPO PM ∠==，∴1113NO PO =，则13PO R =，11422PO PO OO R =+==，∴2R =，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴22R r ==，故小球2O 的体积342324V r ππ==.故答案为：224π．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.21．【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角（或补角）这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩解析：12． 【分析】作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得．【详解】如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=， 设1BC =，则22AB BC ==，在矩形ABCD 中，3AC =，12633DM ⨯==， 6D M DM '==， 则222222666612cos 2232DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12． 故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．22．②④【分析】由是正三角形可判断①；判断出平面平面平面可判断②；假设面面则可以推出可判断③；由平面平面平面可判断④【详解】连接分别是的中点对于①因方是正三角形所以与不垂直；对于②连接因为且所以平面平面解析：②④. 【分析】由1//FG BC ，1BDC 是正三角形，可判断①；判断出1DB ⊥平面11A C B ，平面11//AC B 平面EFG ，可判断②；假设面//EFG 面11ACC A ，则可以推出1//AA EF 可判断③；由平面11//ABB A 平面11DCC D ，EF ⊂平面11ABB A ，可判断④. 【详解】连接11A C ，1A B ，1BC ，BD ，1B D ，E ，F ，G 分别是1A B ，1BB ，11B C 的中点． 对于①，因方1//FG BC ，1BDC 是正三角形，所以FG 与BD 不垂直； 对于②，连接11D B ，因为1111111AC B D ,AC BB ⊥⊥，且1111B D BB B ⋂=，所以11A C ⊥平面11BDD B ，1DB ⊂平面11BDD B ，所以111AC DB ⊥，同理11BC DB ⊥，且1111A C BC C ，所以1DB ⊥平面11A C B ，因为1//A B EF ，11//AC EG ，且111A B AC A ⋂=，EF EG E =，所以平面11//AC B 平面EFG ，所以1B D ⊥平面EFG ．正确；对于③，如果面//EFG 面11ACC A ，由平面EFG 平面11ABB A EF =，平面11CC A A平面111BB A A A A =，则1//AA EF ，显然不正确；对于④，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，EF ⊂平面11ABB A ，所以//EF 平面11CDD C ，正确故选：②④. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了正方体中垂直与平行关系，考查了线线垂直、线面垂直的判定、线面平行的判断、面面平行的判断与性质，对于证明线线关系、线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明， 属于中档题.23．40°【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系根据点处的纬度计算出晷针与点处的水平面所成角【详解】画出截面图如下图所示其中是赤解析：40° 【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角. 【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故答案为：40°.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，解题的关键是将稳文中的数据建立平面图形，属于中档题.24．【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平解析：o 60. 【分析】先画出直观图，证明平面PAD ⊥平面ABC ，然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠，根据题目中的数据算出即可. 【详解】如图，作BC 的中点D ，连结AD 、PD 因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形 而D 为BC 的中点，所以BC PD ⊥，BC AD ⊥，又PD AD D ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，同时BC ⊂平面ABC 所以平面PAD ⊥平面ABC ，所以PAD ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成的角 由侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形得3AD PD ==3PA =所以PAD ∆为等边三角形，则=PAD ∠o 60 即侧棱PA 与底面ABC 所成的角为o 60 故答案为：o 60 【点睛】本题主要考查空间直线与平面所成角的计算，较简单.三、解答题25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（ 1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明//PB 平面AEC ；（ 2）通过体积得到底面为正方形，再由线面垂直得到面面垂直即可. 【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连结EO , 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点, 又E 为PD 的中点，所以//EO PB ,EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .（2）因为113P ABCD V AB AD AP -=⨯⨯⨯=, 所以3AB =ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ABCD ⊥，所以BD PA ⊥，且AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ， 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD .【点睛】本题主要考查了立体几何及其运算，要证明线面平行先证明线线平行，要证明面面垂直，先证明线面垂直，考查了学生的基础知识、空间想象力. 26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）63. 【分析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接1D O ，连接11B D ，可证11//O B D O ，即可得证； （Ⅱ）依题意可得1D OD ∠是二面角1D AC D --的平面角，再根据锐角三角函数计算可得； 【详解】（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接1D O ，连接11B D ， 由长方体的性质知11BO O D =，且11//BO O D ， 故四边形11BO D O 是平行四边形， 所以11//O B D O .又因为1D O ⊂平面1ACD ，1O B ⊄平面1ACD ， 所以1//O B 平面1ACD .（Ⅱ）解：设122AB BC AA ===，由长方体底面ABCD 是正方形，得DO AC ⊥. 因为11D A D C =，O 是AC 的中点，所以1D O AC ⊥， 所以1D OD ∠是二面角1D AC D --的平面角.。
高一数学解析几何初步单元检测题及答案必修2
高一数学单元过关检测题（必修2·解析几何初步）（满分100分；检测时间100分钟）一．选择题1.如果直线0=++CByAx的倾斜角为45；则有关系式Ａ．BA=Ｂ．0=+BAＣ．1=ABＤ．以上均不可能2.直线122=-byax在y轴上的截距是A. bB. 2bC. 2b- D. b±3.下列命题中正确的是A．平行的两条直线的斜率一定相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等C．垂直的两直线的斜率之积为-14.圆2)3()2(22=++-yx的圆心和半径分别是A．)3,2(-；1 B．)3,2(-；3 C．)3,2(-；2 D．)3,2(-；25.如果直线l上的一点A沿x轴负方向平移３个单位；再沿y轴正方向平移１个单位后；又回到直线l上；则l的斜率是A．3 B．13C．－36.结晶体的基本单位称为晶胞；如图是食盐晶胞的示意图。
其中实点建立空间直角坐标系O—xyz原子所在位置的坐标是A．（12；12；1）B．（0；0；1）C．（1；12；1）D．（1；12；12）7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0；且在y轴上的截距为31；则m；n的值分别为A.4和3 3 C.- 4和-38.已知点P（0；-1）；点Q在直线x-y+1=0上；若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0；则点Q的坐标是A．（-2；1）B．（2；1）C．（2；3）D．（-2；-1）9.已知三角形ABC的顶点A（2；2；0）；B（0；2；0）；C(0；1；4)；则三角形ABC是A ．直角三角形；B ．锐角三角形；C ．钝角三角形；D ．等腰三角形； 10. 平行于直线2x-y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是A ．2x －y+5=0B ．2x －y －5=0C ．2x ＋y+5=0或2x ＋y －5=0D ．2x －y+5=0或2x －y －5=0 二．填空题11. 如图；直线12,l l 的斜率分别为k 1、k 2；则k 1、k 2的大小关系是； .12. 如果直线l 与直线x+y －1＝0关于y 轴对称；则直线l 的方程是 . 13. 已知两点A （1；－1）、B （3；3）；点C （5；a ）在直线AB 上；则实数a 的值是 .14.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１；那么b 的取值范围是.15.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角为 .16. 连接平面上两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的线段12P P 的中点M 的坐标为1212(,)22x x y y ++；那么；已知空间中两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z ；线段12P P 的中点M 的坐标为 .三．解答题17. 已知一条直线经过两条直线0432:1=--y x l 和0113:2=-+y x l 的交点；并且垂直于这个交点和原点的连线；求此直线方程。
2022_2023学年高中数学第2章平面解析几何初步单元测评湘教版选择性必修第一册
第2章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022江苏南京六校高二联考)直线2x+3y+1=0的斜率和它在y轴上的截距分别为( )A.2,1B.C.-,-D.-,-2.已知直线l经过点(3,1),且直线l的一个法向量是(1,1),则l的方程是( )A.y=-x+4B.y=x-2C.y=-x+2D.y=x+23.(2022安徽池州高二期末)若圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0,圆C2:x2+y2-6x-10y-2=0,则圆C1,C2的公切线条数为( )A.1B.2C.3D.44.(2022北京第十二中学高二期中)已知圆的一条直径的端点分别是A(-1,0),B(3,-4),则该圆的方程为( )A.(x+1)2+(y-2)2=8B.(x-1)2+(y+2)2=8C.(x+1)2+(y-2)2=32D.(x-1)2+(y+2)2=325.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为( )A.2x+3y-2=0B.2x+3y+3=0C.3x+2y-2=0D.3x+2y+3=06.经过点A(1,2)可作圆x2+y2+mx-2y+4=0的两条切线,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-5,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-5,-2)∪(2,+∞)7.(2022江苏阜宁中学高二月考)已知圆C1与圆C2:(x+2)2+(y-1)2=4关于直线y=x对称,则圆C1的方程为( )A.(x+1)2+(y-2)2=4B.(x-1)2+(y-2)2=4C.(x+1)2+(y+2)2=4D.(x-1)2+(y+2)2=48.(2022四川成都树德中学高二月考)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将该圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是( )A.2B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022山西长治二中高二月考)若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α1,α2,下列命题是真命题的为( )A.若l1∥l2,则两条直线的斜率相等B.若两条直线的斜率相等,则l1∥l2C.若l1∥l2,则α1=α2D.若α1=α2,则l1∥l210.(2022湖北宜昌夷陵中学等高二联考)已知直线l的一个方向向量为u=-,且直线l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是( )A.直线l的倾斜角等于150°B.直线l在x轴上的截距等于C.直线l与直线x-3y+2=0垂直D.直线l与直线x+y+2=0平行11.(2022江苏苏州第十中学高二月考)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是( )A.存在k,使得直线l2的倾斜角为90°B.对任意的k,直线l1与l2都有公共点C.对任意的k,直线l1与l2都不重合D.对任意的k,直线l1与l2都不垂直12.(2022辽宁实验中学高二月考)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是( )A.x2+y2的最大值为2+B.(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+12C.x+y的最大值为3+2D.4x-3y的最大值为8三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.我国古代名著《墨经》中给出了圆的定义为“一中同长也”.已知O为坐标原点,P(-1,),若☉O,☉P的“长”分别为1,r(r>0),且两圆相切,则r= .14.(2022江苏阜宁中学高二月考)已知直线l:mx-y=1,若直线l与直线x-my-1=0平行,则实数m 的值为 .动直线l被圆C:x2+y2+2x-24=0截得弦长的最小值为 .15.(2022福建南安第三中学高二月考)一个圆过圆C:x2+y2-2x=0与直线l:x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程为 .16.(2022山东潍坊高二联考)已知P(3,-2),M为圆x2+(y-2)2=4上的动点,则线段MP长度的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0(a≠1),试求a为何值时,(1)l1∥l2; (2)l1⊥l2.18.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y-4=0.(1)在下列两个条件中任选一个作答.①已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;②从圆外一点P(2,1)向圆引切线,求切线方程.(注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分)(2)若圆C2:x2+y2=4与圆C相交于D,E两点,求线段DE的长.19.(12分)(2022山东高二“学情检测”)已知△ABC的顶点A(4,2),AB边上的中线CM所在直线方程为x-y-3=0,AC边上的高BH所在直线方程为x+2y-2=0.求:(1)顶点C的坐标;(2)点B到直线AC的距离.20.(12分)已知A(0,3),O为坐标原点,直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.21.(12分)(2022四川绵阳重点高中高二联考)已知圆C经过(2,4),(1,3)两点,圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M,N两点.(1)求圆C的标准方程;(2)若=12(O为坐标原点),求直线l的斜率.22.(12分)(2022黑龙江哈尔滨九中高二期中)已知线段AB的端点B的坐标是(6,8),端点A在圆x2+y2=16上运动,M是线段AB的中点,且直线l过定点(1,0).(1)求点M的轨迹方程;(2)记(1)中求得的图形的圆心为C,若直线l与圆C交于P,Q两点,求△CPQ面积的最大值,并求此时直线l的方程.参考答案第2章测评1.D 将直线2x+3y+1=0化为斜截式,得y=-x-,所以直线的斜率为-,在y轴上的截距为-,故选D.2.A 由直线l的一个法向量可知直线的斜率为-1.∵直线l经过点(3,1),且直线l的斜率为-1,根据直线的点斜式可得直线l的方程是y-1=-(x-3),整理得y=-x+4,故选A.3.B 依题意,圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心为C1(1,2),半径为r1=3,圆C2:(x-3)2+(y-5)2=36,圆心为C2(3,5),半径为r2=6.因为|C1C2|=,且r2-r1<<r1+r2,故圆C1,C2相交,则圆C1,C2有2条公切线.故选B.4.B 由题意可知,线段AB的中点为(1,-2),即该圆的圆心为(1,-2).又圆的半径为r=|AB|==2,故圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=8.故选B.5.A 联立方程组解得则交点为A(-2,2).因为所求直线垂直于直线3x-2y+4=0,故所求直线的斜率k=-.故所求直线方程为y-2=-(x+2),即2x+3y-2=0.故选A.6.B 由圆x2+y2+mx-2y+4=0整理得x+2+(y-1)2=-3,∴-3>0,解得m<-2或m>2.由题意知点A在圆外,∴1+4+m-4+4>0,解得m>-5.综上可得,-5<m<-2或m>2.故选B.7.D 设圆心C2(-2,1)关于直线y=x的对称点C1的坐标为(a,b),则线段C1C2的中点为,且.则解得即圆C1的圆心为C1(1,-2).因为两圆关于直线对称,则圆的半径长度不变,即圆C1的半径为2,所以圆C1的方程为(x-1)2+(y+2)2=4.故选D.8.A 如图所示,以经过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设P(x,y),因为,所以,整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8.因为P,A,B三点不共线,故当P点在y轴上时,△PAB面积最大,此时三角形的高为OP=2,所以△PAB面积的最大值是×2×2=2.故选A.9.CD 当α1=α2=90°时,l1∥l2,但两条直线斜率不存在,故A错误;若两条直线的斜率相等,且两直线不重合,可得l1∥l2,故B错误;若l1∥l2,由平行线的性质,可得α1=α2,故C正确;若α1=α2,由平行线的性质,可得l1∥l2,故D正确.故选CD.10.CD 因为直线l的一个方向向量为u=-,所以直线l的斜率为k==-.设直线的倾斜角为α(0≤α<π),则tanα=-,所以α==120°,故A错误;因为直线l经过点(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),令y=0,则x=-+1,所以直线l在x轴上的截距为-+1,故B错误;因为直线x-3y+2=0的斜率为,直线l的斜率为-,所以-=-1,所以直线l与直线x-3y+2=0垂直,故C正确;因为直线x+y+2=0的斜率为-,直线l的斜率也为-,且两直线截距不等,故两直线平行,故D 正确.故选CD.11.ABD 当k=0时,直线l2斜率不存在,此时l2的倾斜角为90°,故A正确;由可得x(2k+1)=0,对于任意的k,此方程组都有解,所以对任意的k,直线l1与l2都有公共点,故B正确;当k=-时,直线l2:x-y-=0,即x-y-1=0,此时直线l1与l2重合,故C不正确;由x-y-1=0可得直线l1的斜率为1,若直线l2与l1垂直,则直线l2的斜率为=-1,此方程无解,所以对任意的k,直线l1与l2都不垂直,故D正确.故选ABD.12.BCD 方程x2+y2-2x-4y+1=0整理可得(x-1)2+(y-2)2=4,则方程x2+y2-2x-4y+1=0表示的图形是以点C(1,2)为圆心,2为半径的圆,如图所示.代数式x2+y2表示圆C上的点P(x,y)到原点O的距离的平方,当点P为直线OC与圆C的交点,且C在线段OP上时,|OP|取得最大值,即|OP|max=|OC|+2=2+,所以(x2+y2)max==9+4,故A错误;由于代数式(x+2)2+(y+1)2表示圆C上的点Q(x,y)到点A(-2,-1)的距离的平方,当点Q为直线AC与圆C的交点,且点C在线段AQ上时,|AQ|取得最大值,即|AQ|max=|AC|+2=+2=3+2,所以[(x+2)2+(y+1)2]max==22+12,故B正确;设x+y=k,则直线x+y-k=0与圆C有公共点,所以圆心到直线的距离≤2,解得3-2≤k≤3+2,所以x+y的最大值为3+2,故C正确;设4x-3y=t,则直线4x-3y-t=0与圆C有公共点,所以≤2,解得-12≤t≤8,所以4x-3y的最大值为8,故D正确.故选BCD.13.1或3 由题意,O为坐标原点,P(-1,).根据圆的定义可知,☉O的圆心为O(0,0),半径为1,☉P的圆心为P(-1,),半径为r.因为两圆相切,则有|PO|=r+1或|PO|=|r-1|.因为|PO|==2,则有r+1=2或|r-1|=2,解得r=1或3.14.-1 2 由题意得m×(-m)-(-1)×1=0,所以m=±1.当m=1时,两直线重合,舍去,故m=-1.因为圆C的方程x2+y2+2x-24=0可化为(x+1)2+y2=25,即圆C的圆心为C(-1,0),半径为5.由于直线l:mx-y-1=0过定点P(0,-1),所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短,|PC|=,则最短弦长为2×=2.15.x2+(y+2)2=10 由解得所以圆C与直线l的交点为,B(1,1).因为直线AB的斜率为-,线段AB,所以线段AB的垂直平分线的斜率为2,则可得y-=2x-,即y=2x-2.又因为圆心在y轴,所以圆心为(0,-2),半径为圆心到交点B的距离,则所求圆的方程为x2+(y+2)2=10.16.[3,8] 因为圆x2+(y-2)2=4的圆心坐标为C(0,2),半径r=2.又P(3,-2),所以|PC|==5.因为M为圆上的动点,所以5-r≤|MP|≤5+r,即3≤| MP|≤8,所以线段MP长度的取值范围是[3,8].17.解(1)若l1∥l2,则解得故a=-1.(2)若l1⊥l2,则a+2(a-1)=0,解得a=.18.解(1)①将圆C的方程化为(x+1)2+(y-2)2=9,∴圆心C的坐标为(-1,2),半径为3.∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,故直线l的斜率为-1.设直线l的方程为y=-x+b,∵直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=9相切,∴=3,整理得b=1±3.故所求直线l的方程为y=-x+1±3.②将圆C的方程化为(x+1)2+(y-2)2=9,∴圆心C的坐标为(-1,2),半径为3.当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x=2,此时圆心C到直线的距离为3,所以直线x=2是圆C的切线.当过点P的直线斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由题意可知=3,解得k=,∴切线方程为x-y+1-2×=0,整理得4x-3y-5=0.综上所述,切线方程为4x-3y-5=0或x=2.(2)联立两圆方程得①-②得2x-4y=0,则DE所在直线的方程为x-2y=0.则圆心C到直线DE的距离为d=.∴线段DE的长为2=4.19.解(1)设C(m,n),由于AB边上的中线CM所在直线方程为x-y-3=0,AC边上的高BH所在直线方程为x+2y-2=0.则解得故可得顶点C的坐标为(3,0).(2)设B(a,b),则解得则可得B点坐标为,-.由(1)可得直线AC的方程为,整理得2x-y-6=0.故点B到直线AC的距离d=.20.解(1)由题得圆心在直线l:y=2x-4和直线y=x-1上,则可得解得即圆心C的坐标为(3,2).设过A(0,3)的圆C的切线方程为y-3=k(x-0),即kx-y+3=0,由直线kx-y+3=0与圆C相切,可得=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)根据圆心C在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,∴=2,整理可得x2+(y+1)2=4,故点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.又点M也在圆C上,故圆C和圆D有交点,∴2-1≤|CD|≤1+2,即1≤≤3,得解得0≤a≤,即a的取值范围为.21.解(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则由题意可得解得所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,x1+x2=,x1x2=.=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=12,即=4,解得k=1.经检验,符合题意,所以直线l的斜率为1.22.解(1)设M(x,y),A(x0,y0),∵M是线段AB中点,∴整理可得∵点A在圆x2+y2=16上,∴(2x-6)2+(2y-8)2=16,整理得(x-3)2+(y-4)2=4,即M点的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=4.(2)由直线l与圆C交于P,Q两点知直线l斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,则圆心C到直线l距离d=,∵S△CPQ=|PQ|·d=d=2,当且仅当4-d2=d2,即d2=2时,等号成立.由d2=2得=2,解得k=1或k=7.故△CPQ面积的最大值为2,此时直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.。
平面解析几何初步直线圆的方程等单元过关检测卷(二)含答案人教版高中数学艺考生专用
高中数学专题复习《平面解析几何初步直线圆的方程等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（2020年高考陕西卷（文））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 （ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定2．对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是 （ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心（2020重庆理）3．在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（ ） A ．33B ．23C ．3D ．1（2020广东文）(解析几何)4．圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是（ ） (A)相离(B)相交(C)外切(D)内切(2020重庆理)5．已知圆的方程为X 2+Y 2-6X -8Y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） （A ）106（B ）206（C ）306（D ）406(2020山东理)6．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．90（北京卷7）7．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．72=+-y x （2020全国4理3）8．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（ ）(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ （2020全国1理11）9．圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切C ．相交D ．内切（2020全国文8） 10．直线（23-）x+y=3和直线x+（32-）y=2的位置关系是（ ）A ．相交不垂直B ．垂直C ．平行D ．重合（2020北京安徽春季6）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．与圆224240x y x y +-++=关于直线0x y +=对称的圆的方程是 ．12． 经过点（－2，3），且斜率为2的直线方程的一般式为______________.13．如图，过点P (7,0)作直线l 与圆22:25O x y +=交于A,B 两点，若PA =3，则直线l 的方程为 ▲ ．（第14题）14．平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为 ．{}0,1,2--15．若直线1ax by +=过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是 ．16．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： ( )011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y a p x评卷人得分三、解答题17．（本小题满分16分）已知圆22222240x y ax ay a a ++-+-=(04)a <≤的圆心为C ，直线:l y x m =+.（1）若4m =，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(0,4]变化时，求m 的取值范围.18．一条光线从点A （-3，4）发出，经过x 轴反射，又经过y 轴反射后过点 ByP AxBO 1C2C（第18题）xy. .（-2，6），（1）求过点B 的反射光线所在直线的方程；（2）求过点A 的入射光线与过点B 的的反射光线所在直线间的距离。
北师大版高一数学必修2解析几何初步试题及答案
《解析几何初步》检测试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ）A 、12B 、12- C 、13D 、13-3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1)5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．210x y ++=D ．210x y +-=6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．0,4B ．0,2C ．2,4D ．4,27．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ）A.（x －2)2+(y+3)2=12 B.（x －2)2+(y+3)2=2C.（x ＋2)2+(y －3)2=12 D.（x ＋2)2+(y －3)2=210．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为( )A ．2B ．32C ．12D ．211．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++=D ．50x y +-=12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN≥k的取值范围是（）A.34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]34⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C.⎡⎢⎣⎦ D.23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13.已知点()1,1A-，点()3,5B，点P是直线y x=上动点，当||||PA PB+的值最小时，点P的坐标是。
上海梅山第一中学必修二第二章《解析几何初步》测试(答案解析)
一、选择题1．两圆22440x y x y ++-=和22280x y x ++-=相交于两点,M N ，则线段MN 的长为A ．4B ．355C ．1255D ．6552．已知圆224x y +=与圆22260x y y +--=，则两圆的公共弦长为（ ） A ．3 B ．23 C ．2 D ．13．如图，棱长为2的正四面体ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在空间直角坐标系的坐标轴,,Ox Oy Oz 上，则定点D 的坐标为（ ）A ．()1,1,1B ．2,2,2C ．3,3,3D ．()2,2,2 4．如果圆()()228x a y a -+-=2的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()()3,11,3--⋃B ．()3,3-C ．[]1,1-D ．[][]3,11,3--⋃ 5．方程(1)210a x y a --++=(a R ∈)所表示的直线（ ）A ．恒过定点(2,3)-B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(3,2)-D ．都是平行直线6．已知直线:20l x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=所截的弦长为4，则实数a 为（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．4 7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π 8．已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是3O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 39．已知正三棱柱111ABC A B C -，的体积为343111ABC A B C -的外接球表面积为（ ）A ．1123πB ．563π C ．2243π D ．28π 10．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若//,//,//l m αβαβ，则//l mC ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α 11．三棱锥P ABC -中，6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，若52PA PB PC ===B 到平面PAC 的距离为（ ）A ．32B ．4141C 1534D ．612．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面ABEB ．//MN 平面ADEC ．//MN 平面BDHD ．//MN 平面CDE二、填空题13．已知直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，过点()1,P a -的直线m 与圆C 交于,A B 两点，且AB 4=，则直线m 的斜率为____. 14．若圆()()2234x a y a ++--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为______.15．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2018,2019)与点(,)m n 重合，则m n -等于____.16．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．17．若直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M 、N 两点，且M 、N 两点关于直线0x y +=对称，则20182019k m -=______.18．已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．19．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．20．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中A C B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.21．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.22．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.23．如图①，一个圆锥形容器的高为2a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水面的高恰为a （如图②），则图①中的水面高度为_________．24．水平放置的ABC ∆的斜二测直观图如图所示,已知''4,''3B C A C ==,则ABC ∆中AB 边上的中线的长度为_______ .三、解答题25．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆是边长为2的等边三角形，2AB =，O ，D 分别是AB ， PB 的中点.（1）求证://OD 平面PAC（2）求证:OP ⊥平面ABC（3）求三棱锥D OBC -的体积.26．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAH ；（2）若2PA AD ==，求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值.27．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．28．如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝23，VC=1．（1）证明： AB ⊥VC ；（2）求三棱锥V —ABC 的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．【详解】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y=0①，x 2+y 2+2x ﹣8=0，②①﹣②可得：x ﹣2y+4=0．∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为，∴圆心到公共弦的距离为= ∴公共弦长==. 故答案为：C【点睛】 本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.2．B解析：B【分析】把两个圆的方程相减可得相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长.【详解】圆224x y +=与圆22260x y y +--=的方程相减可得公共弦所在的直线方程为1y =-，由于圆224x y +=的圆心到直线1y =-的距离为1，且圆224x y +=的半径为2， 故公共弦的长为=故选：B .【点睛】本题考查两圆的位置关系，相交弦所在的直线方程，弦长，重点考查计算能力，属于基础题型.3．A解析：A【解析】的正四面体ABCD 可以放到正方体中，已知D 点、O 点的连线是正方体的体对角线，故D 点坐标为()1,1,1，选A.4．D解析：D【详解】圆心(),a a ，半径r =d ，因为圆()()228x a y a -+-=，则圆()()228x a y y a -+-=与圆222x y +=有公共点，'''r r r r r ∴=∴-≤≤+，，即13a ≤≤，解得13a ≤≤或31a -≤≤-，所以实数a 的取值范围是[][]3,11,3--⋃，故选D.5．A解析：A【分析】将方程化为()()3(1)2y a x -=---，即可得出答案.【详解】方程(1)210a x y a --++=可化为(1)223a x a y -+-=-即()()3(1)2y a x -=---则恒过定点(2,3)-故选：A【点睛】本题主要考查了直线恒过定点问题，属于中档题. 6．B解析：B【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，由距离公式得出圆心到直线:20l x y ++=的距离d ，最后由弦长公式得出实数a .【详解】由22(1)(1)2x y a ++-=-可知，圆心为(1,1)-，半径2r a =<圆心到直线:20l x y ++=的距离d ==∣242r =r ∴=4a ∴=-故选：B【点睛】本题主要考查了由直线与圆相交的弦长求参数的值，属于中档题.7．A解析：A【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积．【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-， 222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．A解析：A【分析】首先得到11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算．【详解】因为侧棱1AA ⊥底面111A B C ，则11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，则1145AB A ∠=︒． 故由11111tan tan 451AA AB A A B ∠=︒==，得111AA A B =． 设111AA A B a ==，则1113133232ABC A B C a V a a -=⨯==三棱柱 解得2a =．所以球O 的半径R ==，所以球O 的表面积2228π4π4π3S R ==⨯=． 故选：A ．【点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的． 9．A解析：A【分析】由面积和体积可得三棱柱的底面边长和高，根据特征可知外接球的球心为上下底面中心连线的中点，再由勾股定理可得半径及球的表面积.【详解】依题意，14AA ==，而21sin 24ABC S AB AC A AB =⨯⨯== 解得4AB =，记ABC 的中心为О，111A B C △的中心为О1，则114O A O A ==， 取1OO 的中点D ，因为AO CO =，90AOD COD ∠=∠=，由勾股定理得AD CD =，同理可得111AD BD A D B D C D ====，所以正三棱柱的外接球的球心为即D ，AD 为外接球的半径， 由正弦定理得42sin 603AB AO ==， 故2221628433A O D D O A =+=+=， 故三棱柱111ABC ABC -的外接球表面积2281124433S R πππ==⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查了正三棱柱外接球的表面积的求法，关键点是确定球心的位置和球的半径的长度，考查了学生的空间想象力和计算能力.10．D解析：D 【分析】在A 中，m 与n 相交、平行或异面； 在B 中，l 与m 不一定平行，有可能相交； 在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交；在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α．【详解】由直线m 、n ，和平面α、β，知：对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，若//,//,//l m αβαβ，l 与m 不一定平行，有可能相交，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误；对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．11．C解析：C 【分析】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，根据题中条件，由线面垂直的判断定理，证明PO ⊥平面ABC ；求出三棱锥P ABC -的体积；以及PAC △的面积，设点B 到平面PAC 的距离为d ，根据等体积法，由P ABC B PAC V V --=，即可求出结果. 【详解】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，因为6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，所以226810BC =+=，则152AO BC ==； 又52PA PB PC ===222100PB PC BC +==，则PB BC ⊥，152PO BC ==， 所以22250PO OA PA +==，所以PO AO ⊥； 因为PB PC =，O 为BC 中点，所以PO BC ⊥，又BC AO O ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AO ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ； 此时三棱锥P ABC -的体积为11168540332P ABC ABCV S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 因为在PAC △中，52PA PC ==，8AC =，所以PAC △的面积为221843422PACAC SPA ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 设点B 到平面PAC 的距离为d ， 由P ABC B PAC V V --=可得1403PACS d =⋅，所以153417434d ==. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：求解空间中点P到面α的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面α的一个法向量m，以及平面α的一条斜线PA所对应的向量PA，则点P到面α的距离即为PA m dm⋅=.12．C解析：C【分析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A 作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN 的平行线BO .二、填空题13．1【分析】由直线是圆的一条对称轴得到直线过圆心求得得到再根据得到点的直线必过圆心利用斜率公式即可求解【详解】由题意圆的圆心坐标半径为因为直线是圆的一条对称轴则直线过圆心即解得此时点又由直线与圆交于两解析：1 【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，得到直线l 过圆心，求得2a =-，得到(1,2)P --，再根据4AB =，得到点P 的直线必过圆心(2,1)C ，利用斜率公式，即可求解.【详解】由题意，圆22:4210C x y x y +--+=的圆心坐标(2,1)C ，半径为2r，因为直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴， 则直线l 过圆心(2,1)C ，即210a +⨯=，解得2a =-，此时点(1,2)P --， 又由直线m 与圆C 交于,A B 两点，且4AB =，可得过点P 的直线必过圆心(2,1)C ， 所以直线m 的斜率为1(2)12(1)k --==--.故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14．【分析】到原点的距离为1的轨迹为根据题意知两圆相交计算圆心距和半径关系得到答案【详解】到原点的距离为1的轨迹为根据题意知两圆相交故圆心距满足解得故答案为：【点睛】本题考查了根据圆和圆的位置关系求参数 解析：3,0【分析】到原点的距离为1的轨迹为221x y +=，根据题意知两圆相交，计算圆心距和半径关系得到答案. 【详解】到原点的距离为1的轨迹为221x y +=，根据题意知两圆相交，故圆心距d =2112d -<<+，解得30a -<<.故答案为：()3,0-. 【点睛】本题考查了根据圆和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．【分析】根据点的坐标关系知已知的两点关于y 轴对称则折痕即为y=-x 轴进一步根据关于y=-x 轴对称则横坐标纵坐标交换位置且改变符号可得答案【详解】∵将一张坐标纸折叠一次使得点(02)与(−20)重合∴ 解析：1-【分析】根据点的坐标关系，知已知的两点关于y 轴对称，则折痕即为y =-x 轴，进一步根据关于y =-x 轴对称，则横坐标，纵坐标交换位置，且改变符号，可得答案． 【详解】∵将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与(−2,0)重合， ∴折痕是y =−x .∴点(2018,2019)与点(−2019,−2018)重合， 故m =−2019，n =−2018， 故m −n =−1， 故答案为：−1. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，解题关键是找出点与点的关系求解即可，属于中等题.16．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到2d =，利用圆心到直线的距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为2d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。