高考二项式定理题型归纳

六、二项式定理

一、指数函数运算

知识点：1 *)(N n a a a a a a

n n ∈⋅⋅=434

21Λ个 )0(10≠=a a *),0(1

N n a a a n n ∈≠=-2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=⋅+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈⋅= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -② n b

a )(可看作n n

b a -⋅ ∴n b a )(=n

n b a -⋅=n n b a 4、n m n

m

a a

= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞例题：

例1求值：43

32

13

2

)81

16(,)41(,100,8---.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：

1） a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞43a a ⋅ 3）a a a

例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(6

56131212132b a b a b a -÷- .))(2(883

41n m 例4计算下列各式： );0()

1(32

2>a a a a 435)12525)(2(÷-

例5化简：)()(4

14

12

12

1y x y x -÷-

例6 已知x+x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(2

32

32

12

1-

-++x x x

x

二、二项式知识回顾

1. 二项式定理

0111()n n n k n k k n n

n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ,

以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k

k n

T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式）

0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-L L ，1(1)k k n k k

k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++L L ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++L L

1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++L L ②

① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n

n n

n n C C C +++=L ，即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213

12n n

n n n C C C C -++=++=L L ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.

2. 二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m

n n C C -=. （2）二项式系数k

n C 增减性与最大值：

当12n k +<时，二项式系数是递增的；当1

2

n k +≥时，二项式系数是递减的.

当n 是偶数时，中间一项2n

n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n

C

-和12n n

C

+相等，且同时取得最大值.

三、考试类型 1、“n b a )(+展开式

例1．求4)13(x

x +的展开式；

解：原式=4

)1

3(

x

x +=24)13(x x +=])3()3()3()3([1

4

4

3

4

22

4

31

4

40

4

2C C

C

C

C

x x x x x ++++

=5411284812

2++++x x x x 【练习1】求4)13(x

x -的展开式

2.求展开式中的项

例2.已知在

n 的展开式中，第6项为常数项.

（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

3.二项展开式中的系数

已知*22)()n

n N x

∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. (1)求展开式中含32

x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数

72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数

（04安徽改编）3)21

(-+x

x 的展开式中，常数项是 ；

6、求中间项

例6求（103

)1

x

x -

的展开式的中间项；

解：,)1

()(310101r

r

r

r x

x T C -=-+Θ∴展开式的中间项为

53

5510

)1()(x

x C

- 即：6

5252x

-。

当n 为奇数时，n

b a )(+的展开式的中间项是

2

12

121-+-n n n n

b

a C 和

2

12121+-+n n n n

b

a C

；

当n 为偶数时，n

b a )(+的展开式的中间项是

2

2

2n n n n

b a C

。

7、有理项

例7 103)1(x

x -的展开式中有理项共有 项；

8、求系数最大或最小项

（1） 特殊的系数最大或最小问题

例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；

（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(x

x +

展开式中系数最大的项；

9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和