卷积计算(图解法)
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卷积积分及零状态响应的卷积计算法.
t
e RC
RCT
T RC t
e RCT 0
RC T RC
(t 0)
u0T T RC
e
t T
t
e RC
ε(t)
➢卷积积分的图解
求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数
f()h(t)在 由0到t的区间内的定积分。根据定积分的 几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积 函数f()h(t)的曲线在该区间内与 轴之间所限定的面
§4-6 卷积积分及零状态响 应的卷积计算法
➢ 卷积积分的推导
激励函数的 近似表示
f (t) fa (t) f (0)ε(t) ε(t )
f ( )ε(t ) ε(t 2 )
f (2 )ε(t 2 ) ε(t 3 )
f (n 1) ε(t (n 1) ) ε(t n )
解： [e tε(t)] ε(t) t e ε( )ε(t )d 0
t ed 0
1 e t
0
(t 0)
(t 0)
1 1 e t ε(t)
例2 设图示RC串联电路中电压源的电压
t
u(t) u0e T ε(t)
求零状态响应电压uC(t)。
解： 用卷积积分公式求uC(t)，应先求冲激响应
如按
t
r(t) h( ) f (t ) d h(t) f (t)
0
当 0<t <1 时
计算。
r(t ) te ε( )d t e d 1 et
0
0
当 t >1时
r(t ) t e ε( )d t 1
t e d e(t1) et t 1 返回
注意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分上、下限
卷积计算(图解法)
(1) n<0
x(m) m 0 4 h(n-m) m n-6 n0
y(n) = x(n) ∗ h(n) = 0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4
∴ y(n) = ∑ x(m)h(n − m) = ∑1⋅ a
m=0 n m=0
n
n
n−m
=a
n
m=0
∑a
−m
1− a =a −1 1− a
n
−( n+1)
1− a =1− a
1+n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
m 0 4 h(n-m) m n-6 0
1+n
∴ y(n) = ∑x(m)h(n − m)
m=0
4
= ∑1⋅ a
m=0 n
4
n−m
=a
n
m=0
∑a
n−4
4
−m
4 6 n
1− a a −a =a = −1 1− a 1− a
−(1+4)
x(m) m 0 4 h(n-m) m 0 n-6
7
(4)在6<n≤10区间上
∴ y(n) = =
m=n−6
∑x(m)h(n − m)
=a
n m=n−6 −( 4+1)
n
m=n−6
∑1⋅ a
n
n
n−m
∑a
=
4
−m
6
n
10
=a
a
−( n−6)
−a −1 1− a
a
n−4
−a 1− a
综合以上结果， 可归纳如下： 综合以上结果，y(n)可归纳如下： 可归纳如下
04第四章：卷积的计算.ppt
当t > 0时, ∫ e
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得 所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。 解 由于
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ， 的波形， 4.1- （ ； （ 3） 将 得到 f 2 (t − τ ) 的波形， 如图 4.1-2 d） 相乘， （4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得 所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。 解 由于
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ， 的波形， 4.1- （ ； （ 3） 将 得到 f 2 (t − τ ) 的波形， 如图 4.1-2 d） 相乘， （4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2
与冲激函数或阶跃函数的卷积
系统并联
3、结合律
[ f1(t) f2 (t)] f3(t) f1(t) [ f2 (t) f3(t)]
f1(t)
f1(t)*f2(t)
h2 (t)=f2(t)
h3 (t)=f3(t)
y1(t) f1(t) h(t)= =
y1(t)
f2(t)*f3(t)
系统级联或串联
二 卷积的微分和积分
推广：任意两函数卷积
若：s(t) f1(t) * f2 (t)
则：f1(t t1) * f2 (t t2 ) s(t t1 t2 ) 证明：f1(t t1) * f2 (t t2 )
f1(t)* (t t1)* f2 (t)* (t t2 ) f1(t) * f2 (t) * (t t1) * (t t2 ) s(t) * (t t1 t2 )
t
f2 () * 1()d
类似地：对高阶导数和积分
f (t) f1(t) * f2(t)
则：
f
(i ) (t )
f1( j) (t) *
f
(i 2
j
)
(t)
其中，I，j取正整数时，为导数阶次 若I，j取负整数时，为重积分次数，如
f (t)
f1(1) (t) *
e(t)
lim
t1 0
e(t1)t1
t1
(t
t1)
卷积的物理含义图解：
k (t t1)
kh(t t1)
A
e(t1)t1 (t t1)
A
e(t1)t1h(t t1)
LTI系统的性质
e(t)为激励系统的零状态响应
Z3.19 卷积和的图解法
i
(1) 换元
(2) f2(i)反转得f2(– i) (3) f2(–i)右移2得f2(2–i)
(4) f1(i)乘f2(2–i)
(5) 求和，得f(2) = 4.5
-2 -1
f2(–i )
0 1 2 3 ki
f2( ki )
1
f2(2–i)
-2 -1 0 1 2 3 ki
f1( i )f2( k- i )
3.3 卷积和
第三章 离散系统的时域分析
(2) f2(-i)向右移k得f2(k-i)，求 f1(i) f2(k-i)
2 f2(k i) 1
2 f1(i) f2 (k i) k=-1
1
k-1 k
0
i
-1 0 1 i
2 f1(i) f2 (k i) k=0
1
i
2 f1(i) f2 (k i) k=1
解：(1)换元 f1(i)， f2(i) ，反转得 f2(-i)
2 f1(i) 1 -2 -1 0 1 2 3 i
2 f2 (i) 1 -2 -1 0 1 2 3 i
2 f2 ( -i) 1 -2 -1 0 1 2 3 i
4
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
1
-1 0 1 i
2 f1(i) f2 (k i) k=2
1
-1 0 1 i
5
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
3.3 卷积和
(3)求 f1(k) * f2 (k) :
f1(k) * f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
0,
卷积图解法可分解为五步：
计算卷积的方法.ppt
' t
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:
h (t )
t
e( )
0
*
0
h(t ) 非零值下限是－ 卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的 下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].
f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定 。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:
h (t )
t
e( )
0
*
0
h(t ) 非零值下限是－ 卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的 下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].
f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定 。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
卷积法
故复合系统的冲激响应 为
h(t) f2 (t ) h2 (t ) [costu(t )] [u(t 1) u(t 2)]
[ cosu ( )d ] [ (t 1) (t 2)]
t
t
[ cosd ]u (t ) [ (t 1) (t 2)]时限
2.用函数式计算卷积 3.利用性质计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
方法一.用图解法计算卷积
y(t ) f (t ) h(t )
f ( )h(t )d
1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量; 2）把其中一个信号翻转、平移;
作业 p86 (1) (2) 2-21
2
e(t ) E (t )u (t ) de(t ) d [ E (t )u (t )] dE (t ) u (t ) E (t ) (t ) dt dt dt
由系统之因果性,当e(t ) u (t )时, 响应为 g (t )u (t ),
de r (t ) *g dt
h1 (t )
y1 (t )
f 2 (t )
h 2 (t )
y(t )
解: 1. 当输入 f(t) (t)时,子系统 h1 (t )的输出为
cost
y1 (t ) f (t ) h1 (t ) (t ) u(t ) u(t )
由图可知 ,子系统 h 2 (t )的输入为 f2 (t ) y1 (t ) cost costu(t )
计算f1 f 2
f1(t) a
f ( ) f
1
h(t) f2 (t ) h2 (t ) [costu(t )] [u(t 1) u(t 2)]
[ cosu ( )d ] [ (t 1) (t 2)]
t
t
[ cosd ]u (t ) [ (t 1) (t 2)]时限
2.用函数式计算卷积 3.利用性质计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
方法一.用图解法计算卷积
y(t ) f (t ) h(t )
f ( )h(t )d
1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量; 2）把其中一个信号翻转、平移;
作业 p86 (1) (2) 2-21
2
e(t ) E (t )u (t ) de(t ) d [ E (t )u (t )] dE (t ) u (t ) E (t ) (t ) dt dt dt
由系统之因果性,当e(t ) u (t )时, 响应为 g (t )u (t ),
de r (t ) *g dt
h1 (t )
y1 (t )
f 2 (t )
h 2 (t )
y(t )
解: 1. 当输入 f(t) (t)时,子系统 h1 (t )的输出为
cost
y1 (t ) f (t ) h1 (t ) (t ) u(t ) u(t )
由图可知 ,子系统 h 2 (t )的输入为 f2 (t ) y1 (t ) cost costu(t )
计算f1 f 2
f1(t) a
f ( ) f
1
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卷积计算——图解法
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
计算步骤如下：
(1)翻褶：先在坐标轴m上画出x(m)和h(m)， 将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m)。
(2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为 正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应序列值相乘。
n0 0n4 4n6 6 n 10 10 n
卷积结果y(n)如图所示
y(n)
n 0 4 6 10
m 0
1 a
m 0 n
4
nm
a
n
m 0 (1 4 )
a
n4
4
m
m
n-6 0
1 n
4 6 n
1 a a a a 1 1 a 1 a
x(m) m 0 4 h(n-m) m
m
(4)在6<n≤10区间上
y ( n)
m n 6
x ( m) h( n m)
y ( n ) x ( m) h ( n m) 1 a
m 0 n m 0
n
n
nm
a
n
m 0
a
m
1 a a 1 a 1
n
( n 1)
1 a 1 a
1 n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
4
m 0 4 h(n-m)
y ( n ) x ( m) h ( n m)
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。 例 已知x(n)和h(n)分别为：
1, 0 n 4 x ( n) 其它 0,
和
a n , 0 n 6 h( n) 其它 0,
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
a
n m n 6 ( 4 1)
n
m n 6
1 a
n
n
nm
a
4
0 n-6
7
6
n
10
a
a
( n 6 )
a 1 1 a
a
n4
a 1 a
综合以上结果，y(n)可归纳如下：
0, 1 a1 n , 1 a n 4 1 n a a y ( n) , 1 a a n4 a 7 , 1 a 0,
解 参看图，分段考虑如下：
h(m)
x(m) 0 m 0 4 -6 h(n-m) 0 6 h(-m) m
m
m
n-6 n
(1) n<0
x(m) m
0
y ( n) x ( n) h ( n) 0
4
h(n-m) m
n-6
n0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
计算步骤如下：
(1)翻褶：先在坐标轴m上画出x(m)和h(m)， 将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m)。
(2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为 正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应序列值相乘。
n0 0n4 4n6 6 n 10 10 n
卷积结果y(n)如图所示
y(n)
n 0 4 6 10
m 0
1 a
m 0 n
4
nm
a
n
m 0 (1 4 )
a
n4
4
m
m
n-6 0
1 n
4 6 n
1 a a a a 1 1 a 1 a
x(m) m 0 4 h(n-m) m
m
(4)在6<n≤10区间上
y ( n)
m n 6
x ( m) h( n m)
y ( n ) x ( m) h ( n m) 1 a
m 0 n m 0
n
n
nm
a
n
m 0
a
m
1 a a 1 a 1
n
( n 1)
1 a 1 a
1 n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
4
m 0 4 h(n-m)
y ( n ) x ( m) h ( n m)
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。 例 已知x(n)和h(n)分别为：
1, 0 n 4 x ( n) 其它 0,
和
a n , 0 n 6 h( n) 其它 0,
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
a
n m n 6 ( 4 1)
n
m n 6
1 a
n
n
nm
a
4
0 n-6
7
6
n
10
a
a
( n 6 )
a 1 1 a
a
n4
a 1 a
综合以上结果，y(n)可归纳如下：
0, 1 a1 n , 1 a n 4 1 n a a y ( n) , 1 a a n4 a 7 , 1 a 0,
解 参看图，分段考虑如下：
h(m)
x(m) 0 m 0 4 -6 h(n-m) 0 6 h(-m) m
m
m
n-6 n
(1) n<0
x(m) m
0
y ( n) x ( n) h ( n) 0
4
h(n-m) m
n-6
n0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4