左孝凌离散数学课件序偶与笛卡尔积关系及其表示
合集下载
离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
返回第5、3节目录
六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
返回第5、3节目录
六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学-3-4序偶与笛卡儿积
笛卡儿积描述事件关系
通过笛卡儿积，可以描述两个或多个事件的独立性、相关性或条件性。例如，如果事件A和事件B相互独立，那么 事件A和事件B的笛卡儿积等于它们各自概率的乘积。
图论中的应用
序偶表示边
在图论中，序偶可以用来表示一条边，其中第一个元素表示起点，第二个元素表示终点。
笛卡儿积描述多重边
通过笛卡儿积，可以描述图中的多重边。如果存在一条从点i到点j的边和一条从点j到点 i的边，那么可以通过笛卡儿积来表示这两条边。
离散数学-3-4序偶与 笛卡儿积
目录
• 序偶的定义与性质 • 笛卡儿积的定义与性质 • 序偶与笛卡儿积的关系 • 序偶与笛卡儿积在离散数学中的应用
01
序偶的定义与性质
序偶的表示方法
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
03
序偶的表示
一个序偶可以表示为有序 对，通常用圆括号括起来， 如 (a, b)，其中a和b是元 素。
序偶的元素
THANKS
感谢观看
02
笛卡儿积的定义与性质
笛卡儿积的表示方法
定义
设 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 是任意集合，则 $A_1 times A_2 times ldots times A_n$ 称为集合 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 的笛卡儿积。
表示
笛卡儿积可以用大括号 {} 表示，即 $A_1 times A_2 times ldots times A_n = {(a_1, a_2, ldots, a_n) | a_i in A_i, i=1,2,ldots,n}$。
笛卡儿积的应用场景
组合数学
笛卡儿积常用于组合数学中，表示不同元素的排 列和组合。
通过笛卡儿积，可以描述两个或多个事件的独立性、相关性或条件性。例如，如果事件A和事件B相互独立，那么 事件A和事件B的笛卡儿积等于它们各自概率的乘积。
图论中的应用
序偶表示边
在图论中，序偶可以用来表示一条边，其中第一个元素表示起点，第二个元素表示终点。
笛卡儿积描述多重边
通过笛卡儿积，可以描述图中的多重边。如果存在一条从点i到点j的边和一条从点j到点 i的边，那么可以通过笛卡儿积来表示这两条边。
离散数学-3-4序偶与 笛卡儿积
目录
• 序偶的定义与性质 • 笛卡儿积的定义与性质 • 序偶与笛卡儿积的关系 • 序偶与笛卡儿积在离散数学中的应用
01
序偶的定义与性质
序偶的表示方法
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
03
序偶的表示
一个序偶可以表示为有序 对，通常用圆括号括起来， 如 (a, b)，其中a和b是元 素。
序偶的元素
THANKS
感谢观看
02
笛卡儿积的定义与性质
笛卡儿积的表示方法
定义
设 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 是任意集合，则 $A_1 times A_2 times ldots times A_n$ 称为集合 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 的笛卡儿积。
表示
笛卡儿积可以用大括号 {} 表示，即 $A_1 times A_2 times ldots times A_n = {(a_1, a_2, ldots, a_n) | a_i in A_i, i=1,2,ldots,n}$。
笛卡儿积的应用场景
组合数学
笛卡儿积常用于组合数学中，表示不同元素的排 列和组合。
离散数学第四章(第1讲)
xy??a??bc?xy??xyx??a??y??bc?xy??xyx??a??y??b??y??c?xy??xyx??a??y??b??x??a??y??c?xy??a??ba??c即a??bca??ba??c例
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
离散数学左孝陵第五章
n n-1
=….= xm+n n （2）(xm) = xm … xm= xm+m xm … xm=…=xm.n
n n-1
§2运算及其性质
下面定义特异元素幺元,零元和逆元。
《定义》：设*是集合Z中的二元运算, 定义》
(1)若有一元素el ∈Z,对任一x ∈Z有el*x=x；则称el为Z 中对于*的左幺元(左单位元素)； (2)若有一元素er ∈Z,对任一x ∈Z有x* er=x；则称er为Z 中对于*的右幺元（右单元元素）。 《定理》：若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元, 定理》 则对于每一个x ∈Z，可有el= er = e和e*x=x* e=x，则 称e为Z中关于运算* 的幺元，且e ∈Z是唯一的。
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和 定理》
§2运算及其性质
《定义》：设*是Z中的二元运算，且Z中含幺元e， 定义》
令x ∈Z， （1）若存在一xl∈Z，能使xl *x= e，则称xL是x的左逆 元,并且称x是左可逆的； （2）若存在一xr ∈ ∈Z，能使x* xr = e，则称xr是x的右 逆元，并且称x是右可逆的； （3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x 是可逆的，且x的逆元用x-1表示。
§2运算及其性质
例：（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在ρ(z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对 ∩均是可分配的； ρ(z)中任一元素,对∩,∪均是等幂元素。∴满足等幂律； 而ρ(z)中,对称差分⊕是可交换,可结合的。 除ρ(s) ={Φ}以外不满足等幂律。∵ Φ ⊕ Φ = Φ,而除Φ 以外的A∈ ρ(z)有A ⊕ A≠A。
=….= xm+n n （2）(xm) = xm … xm= xm+m xm … xm=…=xm.n
n n-1
§2运算及其性质
下面定义特异元素幺元,零元和逆元。
《定义》：设*是集合Z中的二元运算, 定义》
(1)若有一元素el ∈Z,对任一x ∈Z有el*x=x；则称el为Z 中对于*的左幺元(左单位元素)； (2)若有一元素er ∈Z,对任一x ∈Z有x* er=x；则称er为Z 中对于*的右幺元（右单元元素）。 《定理》：若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元, 定理》 则对于每一个x ∈Z，可有el= er = e和e*x=x* e=x，则 称e为Z中关于运算* 的幺元，且e ∈Z是唯一的。
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和 定理》
§2运算及其性质
《定义》：设*是Z中的二元运算，且Z中含幺元e， 定义》
令x ∈Z， （1）若存在一xl∈Z，能使xl *x= e，则称xL是x的左逆 元,并且称x是左可逆的； （2）若存在一xr ∈ ∈Z，能使x* xr = e，则称xr是x的右 逆元，并且称x是右可逆的； （3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x 是可逆的，且x的逆元用x-1表示。
§2运算及其性质
例：（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在ρ(z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对 ∩均是可分配的； ρ(z)中任一元素,对∩,∪均是等幂元素。∴满足等幂律； 而ρ(z)中,对称差分⊕是可交换,可结合的。 除ρ(s) ={Φ}以外不满足等幂律。∵ Φ ⊕ Φ = Φ,而除Φ 以外的A∈ ρ(z)有A ⊕ A≠A。
左孝凌离散数学PPT课件
25
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
3-4序偶与笛卡尔积(精)
2.下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(AB) (CD)=(AC)(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD)
一、序偶和笛卡尔积的概念
2、n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
Байду номын сангаас
上次课程内容回顾
集合的运算
交运算 并运算 补运算 对称差 序偶的定义 笛卡尔积
序偶和笛卡尔积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ (1)ABACBC 不正确，当A，BC时，AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确，当A=B={1}，C={2}时，A-(BC)={1}-{<1， 2>}={1}，而(A-B)(A-C)={1}=。 (3)A=C，B=DAB=CD 正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确，当A=时，AAA。
一、序偶和笛卡尔积的概念
有序n元组
1、序偶(有序2元组)：
两个具有固定次序的客体组成一个序偶(有序2元组)，记 作<x，y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶，我们可用<x，y>表示。 注：序偶是讲究次序的，例<1，3>和<3，1>是表示平面上 两个不同的点，这与集合不同，{1，3}和{3，1}是两个相 等的集合。
5、定理3-4.2：对于任意集合A、B、C，若C，则 AB ACBC CACB
离散数学 第七章的课件
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y(允许x = y)，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对或序偶，记作<x,y>. 其中，x是它的第一个元素，y是它的第二个元素。
0 1 0 0
0 1 0 0
13
题目 A={a, b, c, d}, R={<a, a>,<a, b>,<a, c>,<b, a>,<d, b>}, R的关系矩阵 MR 和关系图 GR 如下：
1 1 MR 0 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 0 0 0
9
实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
c
d
14
7.3 关系的运算
关系的基本运算（7种） 定义7.6 设R是二元关系。 （1）R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记作 domR，形式化表示为 domR = { x | y (<x,y>R) } （2）R中所有的有序对的第二元素构成的集合称为 R的值域，记作ranR， 形式化表示为 ranR = { y | x (<x,y>R) } （3）R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR，形式化表示为 fldR = domR ranR
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y(允许x = y)，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对或序偶，记作<x,y>. 其中，x是它的第一个元素，y是它的第二个元素。
0 1 0 0
0 1 0 0
13
题目 A={a, b, c, d}, R={<a, a>,<a, b>,<a, c>,<b, a>,<d, b>}, R的关系矩阵 MR 和关系图 GR 如下：
1 1 MR 0 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 0 0 0
9
实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
c
d
14
7.3 关系的运算
关系的基本运算（7种） 定义7.6 设R是二元关系。 （1）R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记作 domR，形式化表示为 domR = { x | y (<x,y>R) } （2）R中所有的有序对的第二元素构成的集合称为 R的值域，记作ranR， 形式化表示为 ranR = { y | x (<x,y>R) } （3）R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR，形式化表示为 fldR = domR ranR
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
BA={<1,>,<1, >,<2,>,<2,>,<3, >,<3,>} AA={<,>,<,>,<,>,<,>} BB={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>} (AB)(BA)= 注意： 1）若A、B均是有限集，|A|=m，|B|=n，则|AB|=mn 2）一般， AB与BA不相等，即集合的笛卡尔积运算不满足交换 律。反例: A={1}, B={2}.AB={<1,2>}, BA={<2,1>}.
离散数学( ) Discrete Mathematics
2020/4/27
1
3-4 序偶与笛卡尔积
一、序偶 二、笛卡尔积。
一、序偶(有序2元组)
1.定义
两个元素x,y按给定顺序组成的2元组称为一个序 偶（有序对），记作<x，y>:其中x是它的第一元素， y是它的第二元素。
➢序偶主要用来表示两个个体之间的联系 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶，我们可用<x，y>表示。 ，
二、笛卡尔积
证明定理3用到集合包含的 传递性： (AB)∧(BC)
(AC)
定理3：对任意四个非空集合，ABCD的充 分必要条件是AC，BD。
证明：充分性。设AC，BD。 由定理2，因BD，A，所以ABAD。
又AC，D ，所以ADCD，所以ABCD。 必要性。设 ABCD。 xA，yB，所以<x， y>AB，又因ABCD，所以<x，y>CD，所以 xC，yD，所以AC，BD
一、序偶(有序2元组)
2.序偶的性质
➢如果x≠y,则<x,y> ≠<y,x> ➢两个序偶相等，<x，y>=<u，v>，当且仅当x=u且y=v。
注：
➢序偶是有次序的。 例：<1，3>和<3，1>是表示平面上两个不同的点，这与集 合不同，{1，3}和{3，1}是两个相等的集合。 ➢序偶中的两个元素可以相等 例：<x,x>代表一个序偶，而在集合中{x，x}与{x}相同。
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
二、笛卡尔积 2.n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
二、笛卡尔积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ (1)ABACBC 不正确，当A，BC时，AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确，当A=B={1}，C设=x{2∈}时A,，y ∈A-B(,B所C以)<=x{,1y}>-{∈<1A,2>B}={1}，而(AB)(A-C)={1}=。 A=C,B=D,所以x ∈C,y ∈D 所以<x,y> ∈ CD得证 (3)A=C，B=DAB=CD 正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确，当A=时，AAA。
它们互相
有<a，b>(AB)(AC)，得A(BC)(AB)(AC) 包含。
<a，b>(AB)(AC)，
则<a，b>AB且<a，b>AC，
则aA，bB，且aA，bC，则bBC。
所以<a，b>A(BC)，所以(AB)(AC)A(BC) 由以上两条有：A(BC)(AB)(AC)
二、笛卡尔积
定理2：对于任意集合A、B、C，若C，则
二、笛卡尔积
定理1：对任意三个集合A、B、C，有
(a)A(BC)=(AB)(AC) (b)A(BC)=(AB)(AC)
(c)(BC)A=(BA)(CA) (d)(BC)A=(BA)(CA)
证明：(b)
<a，b>A(BC)，
证明两个 集合相等，
则aA，bBC，即aA，且bC，
可以证明
即<a，b>AB且<a，b>AC，
集合称集合A和B的笛卡尔积或直积。记作AB。即
AB={<x，y>|x A∧y B}
所以AB表示： 来自A的元素与 来自B的元素所 构成的所有序偶 的集合
二、笛卡尔积
例题 若A={，}，B={1，2，3}， 求AB， BA， AA， BB以及(AB)(BA)。 解：AB={<,1>,<,2>,<,3>,<,1>,<,2>,<,3>}
(5)(AB)C = A(BC) 不满足结合律
错。当A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
(除非 A= B= C=)
二、笛卡尔积
3、笛卡尔积的性质
➢对于任意集合A，A=， A= 。 ➢笛卡尔积运算不满足交换律，当A，B， AB时ABBA。 ➢笛卡尔积运算不满足结合律，即当A，B，C均非 空时(AB)CA(BC)。
注
✓N元组的第一个分量应该是n-1元组 < <x1,x2>,x3>=<x1,x2,x3>≠ <x1,<x2,x3>> ✓序偶中的两个元素可以来自不同集合
例：<牛，水>表示牛要喝水
因此任给两个集合A和B，我们可以定义一种序偶 的集合。
二、笛卡尔积
1.定义：设A和B是任意两个集合，由A中元素作第一
元素，B中元素作第二元素构成序偶，所有这样序偶的
1)AB ACBC 2)AB CACB 证明：1)
设xA，因C ，设y C ， 有<x，y>AC，因为AB，xB 所以<x，y>BC,所以AC BC 设<x，y>AC，则xA，yC， 又因ACBC ，所以<x,y> BC ，所以 xB, y C，所以AB
同样，定理的第二部分AB CACB可以类似地 证明。
序偶的概念可以扩展到三元组的情况
一、序偶
3.有序３元组: <<x，y>，z>=<x，y，z>
4.有序n元组：
< <x1,x2,…,xn-1>,xn>=<x1,x2,…,xn-1,xn>
➢<x1，x2，…， xn-1，xn> =<y1，y2，…，yn-1，yn>的充 要条件是xi=yi，i=1，2，…，n。
练习 105页(2)-(5)
105页（2）
设A={a,b}，构成集合 P(A)A。 解
P(A)={,{a},{b},{a,b}} P(A)A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>, <{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>,}
105页（3）
下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(A∪B) (C∪D)=(AC)∪(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD) d)(A -B) C =(AC) -(BC) e)(AB) C =(AC) (BC)
离散数学( ) Discrete Mathematics
2020/4/27
1
3-4 序偶与笛卡尔积
一、序偶 二、笛卡尔积。
一、序偶(有序2元组)
1.定义
两个元素x,y按给定顺序组成的2元组称为一个序 偶（有序对），记作<x，y>:其中x是它的第一元素， y是它的第二元素。
➢序偶主要用来表示两个个体之间的联系 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶，我们可用<x，y>表示。 ，
二、笛卡尔积
证明定理3用到集合包含的 传递性： (AB)∧(BC)
(AC)
定理3：对任意四个非空集合，ABCD的充 分必要条件是AC，BD。
证明：充分性。设AC，BD。 由定理2，因BD，A，所以ABAD。
又AC，D ，所以ADCD，所以ABCD。 必要性。设 ABCD。 xA，yB，所以<x， y>AB，又因ABCD，所以<x，y>CD，所以 xC，yD，所以AC，BD
一、序偶(有序2元组)
2.序偶的性质
➢如果x≠y,则<x,y> ≠<y,x> ➢两个序偶相等，<x，y>=<u，v>，当且仅当x=u且y=v。
注：
➢序偶是有次序的。 例：<1，3>和<3，1>是表示平面上两个不同的点，这与集 合不同，{1，3}和{3，1}是两个相等的集合。 ➢序偶中的两个元素可以相等 例：<x,x>代表一个序偶，而在集合中{x，x}与{x}相同。
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
二、笛卡尔积 2.n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
二、笛卡尔积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ (1)ABACBC 不正确，当A，BC时，AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确，当A=B={1}，C设=x{2∈}时A,，y ∈A-B(,B所C以)<=x{,1y}>-{∈<1A,2>B}={1}，而(AB)(A-C)={1}=。 A=C,B=D,所以x ∈C,y ∈D 所以<x,y> ∈ CD得证 (3)A=C，B=DAB=CD 正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确，当A=时，AAA。
它们互相
有<a，b>(AB)(AC)，得A(BC)(AB)(AC) 包含。
<a，b>(AB)(AC)，
则<a，b>AB且<a，b>AC，
则aA，bB，且aA，bC，则bBC。
所以<a，b>A(BC)，所以(AB)(AC)A(BC) 由以上两条有：A(BC)(AB)(AC)
二、笛卡尔积
定理2：对于任意集合A、B、C，若C，则
二、笛卡尔积
定理1：对任意三个集合A、B、C，有
(a)A(BC)=(AB)(AC) (b)A(BC)=(AB)(AC)
(c)(BC)A=(BA)(CA) (d)(BC)A=(BA)(CA)
证明：(b)
<a，b>A(BC)，
证明两个 集合相等，
则aA，bBC，即aA，且bC，
可以证明
即<a，b>AB且<a，b>AC，
集合称集合A和B的笛卡尔积或直积。记作AB。即
AB={<x，y>|x A∧y B}
所以AB表示： 来自A的元素与 来自B的元素所 构成的所有序偶 的集合
二、笛卡尔积
例题 若A={，}，B={1，2，3}， 求AB， BA， AA， BB以及(AB)(BA)。 解：AB={<,1>,<,2>,<,3>,<,1>,<,2>,<,3>}
(5)(AB)C = A(BC) 不满足结合律
错。当A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
(除非 A= B= C=)
二、笛卡尔积
3、笛卡尔积的性质
➢对于任意集合A，A=， A= 。 ➢笛卡尔积运算不满足交换律，当A，B， AB时ABBA。 ➢笛卡尔积运算不满足结合律，即当A，B，C均非 空时(AB)CA(BC)。
注
✓N元组的第一个分量应该是n-1元组 < <x1,x2>,x3>=<x1,x2,x3>≠ <x1,<x2,x3>> ✓序偶中的两个元素可以来自不同集合
例：<牛，水>表示牛要喝水
因此任给两个集合A和B，我们可以定义一种序偶 的集合。
二、笛卡尔积
1.定义：设A和B是任意两个集合，由A中元素作第一
元素，B中元素作第二元素构成序偶，所有这样序偶的
1)AB ACBC 2)AB CACB 证明：1)
设xA，因C ，设y C ， 有<x，y>AC，因为AB，xB 所以<x，y>BC,所以AC BC 设<x，y>AC，则xA，yC， 又因ACBC ，所以<x,y> BC ，所以 xB, y C，所以AB
同样，定理的第二部分AB CACB可以类似地 证明。
序偶的概念可以扩展到三元组的情况
一、序偶
3.有序３元组: <<x，y>，z>=<x，y，z>
4.有序n元组：
< <x1,x2,…,xn-1>,xn>=<x1,x2,…,xn-1,xn>
➢<x1，x2，…， xn-1，xn> =<y1，y2，…，yn-1，yn>的充 要条件是xi=yi，i=1，2，…，n。
练习 105页(2)-(5)
105页（2）
设A={a,b}，构成集合 P(A)A。 解
P(A)={,{a},{b},{a,b}} P(A)A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>, <{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>,}
105页（3）
下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(A∪B) (C∪D)=(AC)∪(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD) d)(A -B) C =(AC) -(BC) e)(AB) C =(AC) (BC)