山东科技大学 离散数学3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示
合集下载
离散数学-3-4序偶与笛卡儿积
笛卡儿积描述事件关系
通过笛卡儿积，可以描述两个或多个事件的独立性、相关性或条件性。例如，如果事件A和事件B相互独立，那么 事件A和事件B的笛卡儿积等于它们各自概率的乘积。
图论中的应用
序偶表示边
在图论中，序偶可以用来表示一条边，其中第一个元素表示起点，第二个元素表示终点。
笛卡儿积描述多重边
通过笛卡儿积，可以描述图中的多重边。如果存在一条从点i到点j的边和一条从点j到点 i的边，那么可以通过笛卡儿积来表示这两条边。
离散数学-3-4序偶与 笛卡儿积
目录
• 序偶的定义与性质 • 笛卡儿积的定义与性质 • 序偶与笛卡儿积的关系 • 序偶与笛卡儿积在离散数学中的应用
01
序偶的定义与性质
序偶的表示方法
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
03
序偶的表示
一个序偶可以表示为有序 对，通常用圆括号括起来， 如 (a, b)，其中a和b是元 素。
序偶的元素
THANKS
感谢观看
02
笛卡儿积的定义与性质
笛卡儿积的表示方法
定义
设 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 是任意集合，则 $A_1 times A_2 times ldots times A_n$ 称为集合 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 的笛卡儿积。
表示
笛卡儿积可以用大括号 {} 表示，即 $A_1 times A_2 times ldots times A_n = {(a_1, a_2, ldots, a_n) | a_i in A_i, i=1,2,ldots,n}$。
笛卡儿积的应用场景
组合数学
笛卡儿积常用于组合数学中，表示不同元素的排 列和组合。
通过笛卡儿积，可以描述两个或多个事件的独立性、相关性或条件性。例如，如果事件A和事件B相互独立，那么 事件A和事件B的笛卡儿积等于它们各自概率的乘积。
图论中的应用
序偶表示边
在图论中，序偶可以用来表示一条边，其中第一个元素表示起点，第二个元素表示终点。
笛卡儿积描述多重边
通过笛卡儿积，可以描述图中的多重边。如果存在一条从点i到点j的边和一条从点j到点 i的边，那么可以通过笛卡儿积来表示这两条边。
离散数学-3-4序偶与 笛卡儿积
目录
• 序偶的定义与性质 • 笛卡儿积的定义与性质 • 序偶与笛卡儿积的关系 • 序偶与笛卡儿积在离散数学中的应用
01
序偶的定义与性质
序偶的表示方法
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
03
序偶的表示
一个序偶可以表示为有序 对，通常用圆括号括起来， 如 (a, b)，其中a和b是元 素。
序偶的元素
THANKS
感谢观看
02
笛卡儿积的定义与性质
笛卡儿积的表示方法
定义
设 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 是任意集合，则 $A_1 times A_2 times ldots times A_n$ 称为集合 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 的笛卡儿积。
表示
笛卡儿积可以用大括号 {} 表示，即 $A_1 times A_2 times ldots times A_n = {(a_1, a_2, ldots, a_n) | a_i in A_i, i=1,2,ldots,n}$。
笛卡儿积的应用场景
组合数学
笛卡儿积常用于组合数学中，表示不同元素的排 列和组合。
离散数学教案
学习目标：1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下)界、上(下）确界、最大（小)元、全序关系、良序关系等概念;2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律;3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质；4．掌握关系的矩阵表示和关系图；5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法；6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别;7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法;会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上(下）界、上（下）确界、最大（小）元.主要内容:1．集合的基本概念及其运算2．序偶与笛卡尔积3．关系及其表示4．关系的性质及其判定方法5．复合关系和逆关系6．关系的闭包运算7．等价关系与相容关系8．偏序关系重点：1．关系的性质及其判别；2．关系的复合运算及其性质;3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系；4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解.难点：1．关系的传递性及其判别；2．等价关系的特性;3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。
教学手段：通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。
习题：习题3。
1：4，6；习题3。
2:3（8），4（12），6(m);习题 3.4:1 （2）、（4）,3；习题3。
5：1,4；习题3.6：2,5,6;习题3.7：2，5，6;习题3。
8：1(1）-（6）;习题3。
9:3（2)、(4）,4(3);习题3。
10：1 ，4，5。
3。
1 集合的基本概念集合（set ）(或称为集）是数学中的一个最基本的概念。
所谓集合,就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体,组成集合的这些“事物”称为集合的元素。
离散数学：第3讲 序偶与笛卡尔积
23
n维笛卡尔积(性质)
非交换: ABCBCA (要求A,B,C均非空,且互不相等)
非结合: (非2元运算) 分配律: 例如
AB(CD)=(ABC)(ABD) 其他: 如 ABC=A=B=C=.
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
24
二元关系(binary relation)
二元关系(简称关系) ：序偶的任一集合 确定了一个二元关系R，R中任一序偶 <x,y>可记作<x,y>∈R或xRy；不在R中的
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
26
举例1
甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛，如 果任何两个人之间都要赛一场，那么共 要赛三场。假设三场比赛的结果是乙胜 甲、甲胜丙、乙胜丙，这个结果可以记 作{<乙,甲>、<甲,丙>、<乙,丙>}，其中 <x,y>表示x胜y 。它表示了集合{甲,乙, 丙}中元素之间的一种胜负关系。
序偶与笛卡尔积
30
定义域,值域,域(举例)
例4: R1={}, R2={<c,d>,<e,f>}, R3={<1,2>,<3,4>,<5,6>}.
dom R1=, ran R1=, fld R1= dom R2={c,e}, ran R2={d,f}, fld
R2={c,d,e,f} dom R3={1,3,5}, ran R3={2,4,6}, fld R3={1,2,3,4,5,6}. #
序偶与笛卡尔积
36
一些特殊关系
空关系 恒等关系 全域关系 整除关系 小于等于关系,… 包含关系, 真包含关系
2020/12/29
离散数学第四章(第1讲)
xy??a??bc?xy??xyx??a??y??bc?xy??xyx??a??y??b??y??c?xy??xyx??a??y??b??x??a??y??c?xy??a??ba??c即a??bca??ba??c例
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
《离散数学》讲义 - 3
x | x Ax B
对称差的定义如图3-2.5所示。
E
A
B
图 3-2.4
39
（2）性质 a) AB=BA(交换律) b) A=A c) AA= d) AB=(A～B)(～AB) e) (AB)C=A (BC)
40
(AB)C=A (BC)
E
A
B
C AB
A
E
A
B
C BC
E B
C
(AB)C=A (BC) 图 3-2.6
53
c) (AB)×C=(A×C)系
一、左右两边同时直积上相同的集合 定理3-4.2 若C，则
设全集E={a,b,c}， 可能的子集有：S0=,S1={a}, S2={b}, S3={c}, S4={a,b},S5={a,c}, S6={b,c}, S7={a,b,c}。 SiE(i=0,1,2,…,7)。 注意：对于一个元素个数为n的全集E，其可能的子集个数 为2n。
13
7、幂集
定义3-1.5 给定集合A，有集合A的所有子集为元 素组成的集合，称为集合A的幂集。
例如：设A是小于10的素数集合，即A={2,3,5,7}， 设代数方程x4－17x3＋101x2－247x＋210＝0的所有根 可组成集合B，则B={2,3,5,7}。
又如：{1,2,4}={1,2,2,4} {1,2,4}={1,4,2} {1,3,5,…}={x|x是正奇数}
但： {{1,2},4}{1,2,4}
n
P
A1 A2
An
i1
Ai
例如： A1={1,2,8},A2={2,8},A3={4,8}。
则：
3
i1
Ai
{8}
24
对称差的定义如图3-2.5所示。
E
A
B
图 3-2.4
39
（2）性质 a) AB=BA(交换律) b) A=A c) AA= d) AB=(A～B)(～AB) e) (AB)C=A (BC)
40
(AB)C=A (BC)
E
A
B
C AB
A
E
A
B
C BC
E B
C
(AB)C=A (BC) 图 3-2.6
53
c) (AB)×C=(A×C)系
一、左右两边同时直积上相同的集合 定理3-4.2 若C，则
设全集E={a,b,c}， 可能的子集有：S0=,S1={a}, S2={b}, S3={c}, S4={a,b},S5={a,c}, S6={b,c}, S7={a,b,c}。 SiE(i=0,1,2,…,7)。 注意：对于一个元素个数为n的全集E，其可能的子集个数 为2n。
13
7、幂集
定义3-1.5 给定集合A，有集合A的所有子集为元 素组成的集合，称为集合A的幂集。
例如：设A是小于10的素数集合，即A={2,3,5,7}， 设代数方程x4－17x3＋101x2－247x＋210＝0的所有根 可组成集合B，则B={2,3,5,7}。
又如：{1,2,4}={1,2,2,4} {1,2,4}={1,4,2} {1,3,5,…}={x|x是正奇数}
但： {{1,2},4}{1,2,4}
n
P
A1 A2
An
i1
Ai
例如： A1={1,2,8},A2={2,8},A3={4,8}。
则：
3
i1
Ai
{8}
24
离散数学第3章-集合与关系
（1） 任一对象a，对某一集合A来说，a属于A或a不属于A， 两者必居其一，且仅居其一。并且当a属于A时，称a是A的成
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
3-4序偶与笛卡尔积(精)
2.下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(AB) (CD)=(AC)(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD)
一、序偶和笛卡尔积的概念
2、n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
Байду номын сангаас
上次课程内容回顾
集合的运算
交运算 并运算 补运算 对称差 序偶的定义 笛卡尔积
序偶和笛卡尔积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ (1)ABACBC 不正确，当A，BC时，AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确，当A=B={1}，C={2}时，A-(BC)={1}-{<1， 2>}={1}，而(A-B)(A-C)={1}=。 (3)A=C，B=DAB=CD 正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确，当A=时，AAA。
一、序偶和笛卡尔积的概念
有序n元组
1、序偶(有序2元组)：
两个具有固定次序的客体组成一个序偶(有序2元组)，记 作<x，y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶，我们可用<x，y>表示。 注：序偶是讲究次序的，例<1，3>和<3，1>是表示平面上 两个不同的点，这与集合不同，{1，3}和{3，1}是两个相 等的集合。
5、定理3-4.2：对于任意集合A、B、C，若C，则 AB ACBC CACB
离散数学(3.5关系及其表示)
例8 有王、张、李、何是某校的老师，该校有三
门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文和
数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何可 以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文，数 学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系就 可以用由A到B的一个关系 中的序偶来表示。
={〈 王 , 语 文 〉,〈 王 , 数 学 〉,〈 张 , 语 文 〉,〈 张 , 英
3.3 关系(Relations)
3.3.1 关系的定义(The
definition of Relation) special Relations) of Relations)
3.3.2 几种特殊的关系(Several
3.3.3 关系的表示(The expression A B
AB
第三章 集合与关系(Sets & Relations)
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
例如 例7中的 A {2,3,4,8} ， B {1,5,7} ,
{ 2,5 , 2,7 , 3,5 , 3,7 , 4,5 , 4,7 }
则ρ 的关系图如下 A B
例如 例9中的 A {1,2,3,4} ，
{ 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,2 , 2,4 , 3,3 , 4,4 }
的关系图如下：
第三章 集合与关系(Sets & Relations)
小结: 本节介绍了关系的定义、几种特殊的 关系及关系的表示。重点掌握关系的表示方 法。
作业：P109 （2），（6） ，（7）
3.3.2 几种特殊的关系(Several special Relations)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例题4 设X={1，2，3，4}，若H={<x，y>|(x-y)/2是整数}， S={<x，y>|(x-y)/3是正整数}，求HS，HS， H，S-H。 解：H={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>， <3，3>，<3，1>，<4，4>，<4，2>} S={<4，1>} HS={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，<3，3>， <3，1>，<4，4>，<4，2>，<4，1>} HS= XX={<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<2，1>， <2，2>，<2，3>，<2，4>，<3，1>，<3，2>， <3，3>，<3，4>，<4，1>，<4，2>，<4，3>，<4，4>} H={<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，3>，<3，2>， <3，4>，<4，1>，<4，3>} S-H={<4，1>}
3、有序３元组：是一个序偶，其第一元素本身也是一个 序偶，表示为<<x，y>，z>或<x，y，z>。 4、有序n元组：有序n元组也是一个序偶，其第一元素是 一个n-1元组。< <x1，x2，…， xn-1> ，xn>，通常简记为： <x1，x2，…， xn-1，xn>，其中xi称作它的第i坐标，i=1， 2，…，n。 <x1，x2，…， xn-1，xn> =<y1，y2，…，yn-1，yn>的充要 条件是xi=yi，i=1，2，…，n。
小圆圈用直线或弧线连接起来,并加上从结点a到结
点b方向的箭头。
例 设A＝｛1,2,3,4,5｝,B＝｛a,b,c｝, 则ρ 1 ＝｛(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)｝是 A 到 B 的关系, 而ρ 2＝｛(a,2),(c,4),(c,5)｝是B到A的关系。 其集合表示法如下：
2、关系矩阵： 设给定两个有限集合X={x1，x2，…，xm}， Y={y1，y2，…，yn}，R是X到Y的关系，则R 的关系矩阵MR，其中[rij]mn， rij =1，当<xi， yj>R， rij =0，当<xi， yj>R 。
若A、B均是有限集，|A|=m，|B|=n，则|AB|=mn。
三、笛卡尔积的性质
1、对于任意集合A，A=， A= 。
2、笛卡尔积运算不满足交换律，当A，B， AB时ABBA。
3、笛卡尔积运算不满足结合律，即当A，B，C 均非空时(AB)CA(BC)。
4、定理3-4.1：对任意三个集合A、B、C，有 (1)A(BC)=(AB)(AC) 证明两个集合相 (2)A(BC)=(AB)(AC) 等，可以证明它 (3)(BC)A=(BA)(CA) 们互相包含。 (4)(BC)A=(BA)(CA) 证明：(2)<a，b>A(BC)， 则aA，bBC，即aA，bB，且bc，
定理3-3.1：设A1，A2为有限集合，其元素个数分别 为|A1|，|A2|，则|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|，此定理被 称作包含排斥原理。
3-4 序偶与笛卡尔积
一、有序n元组
1、序偶(有序2元组)：两个具有固定次序的 客体组成一个序偶(有序2元组)，记作<x， y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元 素。
一、有序n元组
例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为 一个有序序偶，我们可用<x，y>表示。
注：序偶是讲究次序的。 例<1，3>和<3，1>表示平面上两个不同的点，这 与集合不同，{1，3}和{3，1}是两个相等的集合。 2、定义3-4.1：两个序偶相等，<x，y>=<u，v>， 当且仅当x=u且y=v。
5、定理3-5.1：若Z和S是集合X到Y的两个关 系，则Z和S的并、交、补、差仍是到的关系。
关系的表示方法
• 集合法 • 关系矩阵 • 关系图
二、关系的表示 1、集合 为直观地表示A到B的关系,采用如下的图示:
•用大圆圈表示集合A和B,里面的小圆圈表示集合中 的元素; •若a∈A,b∈B,且(a,b)∈ρ,则在图示中将表示a和b的
3、X到Y的关系 例题2 设X={1，2，3，4}，求X上的关系>及 dom >，ran >。 解： >={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3， 2>，<4，2>，<4，3>} dom >={2，3，4}， ran >={1，2，3}
4、特殊的关系 (1)全域关系：对于集合X和Y，称XY为X到Y的全域关 系。记作U。 称为空关系。 (2)二元关系：R是XX的子集，称R是X上的二元关系 (3)恒等关系：Ix称为X上的恒等关系iff Ix={<x,x>|xX}
3-5 关系及其表示
• • • • • 兄弟关系 师生关系 朋友关系 恋人关系 大于关系
一、关系（Relation）
1、关系 定义3-5.1：任一序偶的集合确定了一个二元关系R， <a，b>R记作aRb，称a与b有关系，<a，b>R记 作aRb，称a与b没有关系。 例如，>={<x，y>|x，y是实数且x>y} 说明： (1)把关系R这种无形的联系用集合这种“有形”的实 体来描述，为今后的描述和论证带来方便。 (2)序偶是讲究次序的，如果有<a，b>R未必有<b， a>R ，即a与b有关系R，未必b与a有关系R。 例：甲与乙有父子关系，但乙与甲没有父子关系。
序偶<x,y>其元素可以分别属于不同的集合，因此任给 两个集合A和B，我们可以定义一种序偶的集合。
二、笛卡尔积
1、定义3-4.2：设A和B是任意两个集合，由A中 元素作第一元素，B中元素作第二元素构成序偶， 所有这样序偶的集合称集合A和B的笛卡尔积或直
积。记作AB。 即
AB={<x，y>|xA∧yB}
证明定理3-4.3用到集合包 含的传递性： (AB)∧(BC) (AC)
6、定理3-4.3：对任意四个非空集合，ABCD的充分 必要条件是AC，BD。 证明：充分性。设AC，BD。 由定理3-4.2，因BD，A，所以ABAD。又AC， D非空，所以ADCD，所以ABCD。 必要性。设 ABCD。 xA，yB，所以<x， y>AB，又因ABCD，所以<x，y>CD，所以 xC，yD，所以AC，BD
2、前域、值域 定义3-5.2：二元关系R中， •所有序偶的第一元素的集合dom R称为R的 前域，即： dom R={x|(y)<x，y>R} •所有序偶的第二元素的集合ran R称为R的值 域，即： ran R={y|(x)<x，y>R} 。 •R的前域和值域一起称作的域，记作FLD R。 即： FLD R=dom Rran R
2、n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
例题 若A={，}，B={1，2，3}，求AB， BA， AA， BB以及(AB)(BA)。 解：AB={<，1>，<，2>，<，3>，<，1>，<，2>， <，3>} BA={<1，>，<1， >，<2，>，<2，>，<3， >， <3， >} AA={<， >，<， >，<，>，<， >} BB={<1，1>，<1，2>，<1，3>，<2，1>，<2，2>， <2，3>，<3，1>，<3，2>，<3，3>} (AB)(BA)=
例题3 若H={f，m，s，d}表示一个家庭中的父、母、 子、女四个人的集合，确定H上的全域关系和空关系， 另外再确定H上的一个关系，指出该关系的值域和前域。 解： •设H上的同一家庭成员的关系为H1，H上的互不相识 的关系为H2，则：H1为全域关系，H2为空关系； •设H上的长幼关系为H3 ， H3={<f，s>，<f，d>，<m， s>，<m，d>}，dom H3={f，m}，ran H3={s，d}
M 2
a 0 1 0 0 0 b 0 0 0 0 0 c 0 0 0 1 1
关系矩阵的写法也可以简化, 当约定了元素 的次序后, 可以不写最左列和最上行的元素。 如
1 0 M 1 1 0 0
1 0
例题5 设X={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3}, R={<x1,y1>, <x1,y3>, <x2,y2>, <x2,y3>, <x3,y1>, <x4,y1>, <x4,y2>}，写出关系矩阵MR。
例题6 设A={1,2,3,4}，写出集合A上大于关系>的 关系矩阵。
离 散 数 学
Discrete Mathematics
曾庆田
Email:qtzeng@