离散数学教案

学习目标：1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元、全序关系、良序关系等概念；2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律；3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质；4．掌握关系的矩阵表示和关系图；5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法；6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别；7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法；会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元。

主要内容：1．集合的基本概念及其运算2．序偶与笛卡尔积3．关系及其表示4．关系的性质及其判定方法5．复合关系和逆关系6．关系的闭包运算7．等价关系与相容关系8．偏序关系重点：1．关系的性质及其判别；2．关系的复合运算及其性质；3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系；4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。

难点：1．关系的传递性及其判别；2．等价关系的特性；3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。

教学手段：通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。

习题：习题 3.1：4，6；习题 3.2：3（8），4（12），6（m ）；习题 3.4：1 （2）、(4)，3；习题 3.5：1，4；习题 3.6：2，5，6；习题 3.7：2，5，6；习题3.8：1（1）-（6）；习题3.9：3（2）、（4），4（3）；习题3.10：1 ，4，5。

3.1 集合的基本概念集合(set)（或称为集）是数学中的一个最基本的概念。

所谓集合，就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体，组成集合的这些“事物”称为集合的元素。

集合常用大写字母表示，集合的元素常用小写字母表示。

若A 是集合，a 是A 的元素，则称a 属于A ，记作a A ∈；若a 不是A 的元素，则称a 不属于A ，记作。

若组成集合的元素个数是有限的，则称该集合为有限集(Finite Set)，否则称为无限集(Infinite Set)。

常见集合专用字符的约定：N —自然数集合(非负整数集)I (或Z )—整数集合(I +，I -)Q —有理数集合(Q +，Q -)R —实数集合(R +，R -)F —分数集合(F +，F -) 脚标+和-是对正、负的区分C —复数集合 P —素数集合 O —奇数集合E —偶数集合幂集定义 3.1.1 对于每一个集合A ，由A 的所有子集组成的集合，称为集合A 的幂集(Power Set)，记为 ()P A 或2A．即(){}P A B B A =⊆。

例如：{,,}A a b c =, (){,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}P A a b c a b b c a c a b c φ=。

定理3.1.1 如果有限集A 有n 个元素，则其幂集()P A 有2n个元素。

证明 A 的所有由k 个元素组成的子集数为从n 个元素中取k 个的组合数。

(1)(2)(1)!k n n n n n k C k ---+=另外，因A φ⊆，故()P A 的元素个数N 可表示为1201nk nkn nnnn k N C C C C C ==++++++=∑又因 0()nnk k n k nk x y Cx y -=+=∑令 1x y == 得 02nnk nk C==∑故()P A 的元素个数是2n。

人们常常给有限集A 的子集编码，用以表示A 的幂集的各个元素。

具体方法是： 设12{,,,}n A a a a =，则A 子集B 按照含i a 记1、不含i a 记0(1,2,,)i n =的规定依次写成一个n 位二进制数，便得子集B 的编码。

例如，若1{,}n B a a =，则B 的编码是10001，当然还可将它化成十进制数。

如果4n =，那么这个十进制数为9，此时特别记14{,}B a a =为9B 。

3.2 集合的对称差运算定义 3.2.1 设A 、B 是两个集合，要么属于A ，要么属于B ，但不能同时属于A 和B 的所有元素组成的集合，称为A 和B 的对称差集，记为A B ⊕。

即{}()()A B A B B A x x A x B ⊕=--=∈∨∈例如，若{1,2,,}A c d =，{1,,3,}B b d =，则{2,,,3}A B c b ⊕=。

对称差的定义如图3-1所示。

图3-1由对称差的定义容易推得如下性质： （1）A B B A ⊕=⊕ （2）A A φ⊕= （3）A A ⊕=∅ （4）()()A B AB A B ⊕=（5）()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕证明 （5）()A B C ⊕⊕[()]()A B C A B C =⊕⊕{[()()]}[()()]A B A B C A B A B C =()(){[()()]}A BC A B C A B A B C =但 [()()]AB A B C={[()][()]}AB A AB BC [()()()()]A A A B A B B B C =[()()]A B AB C φφ=()()A B C ABC =故 ()A B C ⊕⊕()()A B C AB C =()()A B C A B C又 ()A B C ⊕⊕()[()]AB C AB C =⊕⊕[()()]{[()()]}A B C B C A B C B C ={[()()]}[()()]A BC B C A B C AB C =因为 [()()]A BC B C[()()()()]A B B B C C B CC =[()()]A BC CB =()()A B C A CB =故 ()A B C ⊕⊕()()A B C A B C =()()AB C A B C因此 ()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕对称差运算的结合性亦可用图3-2说明。

A B ⊕ B C ⊕()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕图3-2 对称差运算的结合性从文氏图3-3亦可以看出以下关系式成立。

()()()A B A B B A A B = ()()A B A B =⊕图3-3 AB3.4 序偶与笛卡尔积3.4.1 序偶在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。

例如，上，下；12<；男生9名而女生6；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。

一般的说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶(Ordered Pair)，记作,x y 。

上述各例可分别表示为〈上，下〉；1,2；9,6；〈中国，亚洲〉；,a b 等。

序偶可以看作是具有两个元素的集合，但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。

在集合中，{}{},,a b b a =，但对序偶，当a b ≠时，,,a b b a ≠。

定义3.4.1 两个序偶相等，,,x y u v =，当且仅当,x u y v ==。

这里指出：序偶,a b 中两个元素不一定来自同一个集合，它们可以代表不同类型的事物。

例如，a 代表操作码，b 代表地址码，则序偶,a b 就代表一条单地址指令；当然亦可将a 代表地址码，b 代表操作码，,a b 仍代表一条单地址指令。

但上述这种约定，一经确定，序偶的次序就不能再予以变化了。

在序偶,a b 中，a 称第一元素，b 称第二元素。

序偶的概念可以推广到有序三元组的情况。

有序三元组是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶，可形式化表示为,,x y z 。

由序偶相等的定义，可以知道,,,,x y z v w =当且仅当,,,x y u v z w ==，即,,x u y v z w ===，我们约定有序三元组可记作,,x y z 。

注意：,,,,x y z x y z ≠，因为,,x y z 不是有序三元组。

同理，有序四元组被定义为一个序偶，其第一元素为有序三元组，故有序四元组有形式为,,,x y z w ，可记作,,,x y z w ，且,,,,,,x y z w p q r s =x p y q z r w s ⇔=∧=∧=∧=这样，有序n 元组(Ordered n-tuple)定义为121,,,,n nx x x x -，记作121,,,,n n x x x x -，且1212,,,,,,n n x x x y y y =1122n n x y x y x y ⇔=∧=∧∧=一般地，有序n 元组12,,,n x x x 中的i x 称作有序n 元组的第i 个坐标。

3.4.2 笛卡尔积定义3.4.2 设A 和B 是任意两个集合，若序偶的第一个成员是A 的元素，第二个成员是B 的元素，所有这样的序偶集合，称为集合A 和B 的笛卡尔乘积或直积(CartesianProduct)，记作A B ⨯。

即{,}A B x y x A y B ⨯=∈∧∈例3.4.1 若{1,2},{,,}A B a b c ==, 求,A B B B ⨯⨯以及()()A B B A ⨯⨯解 {1,,1,,1,,2,,2,,2,}A B a b c a b c ⨯={,,,,,,,,,,,,,,,,,}B B a a a b a c b a b b c c a c b c c ⨯= {,1,,2,,1,,2,,1,,2}B A a a b b c c ⨯=()()A B B A φ⨯⨯=显然，我们有： （1）A B B A ⨯≠⨯；（2）如果,A m B n ==，则A B B A A B mn ⨯=⨯==。

我们约定：若A φ=或B φ=，则A B φ⨯=。

由笛卡尔积定义可知：(){,,,}A B C x y z x y A B z C ⨯⨯=∈⨯∧∈{,,}x y z x A y B z C ∈∧∈∧∈(){,,,}A B C x y zx A y z B C ⨯⨯=∈∧∈⨯由于,,x y z不是三元组，所以()()A B C A B C ⨯⨯≠⨯⨯定理3.4.1 设A 、B 和C 为任意三个集合，则有（1）()()()A B C A B A C ⨯=⨯⨯ （2）()()()A B C A B A C ⨯=⨯⨯（3）()()()A B C A C B C ⨯=⨯⨯ （4）()()()AB C A C B C ⨯=⨯⨯证明 （1）设,()x y A B C ∈⨯x A y B C ⇔∈∧∈()x A y B y C ⇔∈∧∈∨∈ ()()x A y B x A y C ⇔∈∧∈∨∈∧∈ ,,x y A B x y A C ⇔∈⨯∨∈⨯ ,()()x y A B A C ⇔∈⨯⨯因此， ()()()A BC A B A C ⨯=⨯⨯。