河南省豫南九校2015届高三上期第二次联考 数学(理) 超清扫描版[
豫南九校2014-2015学年上期第二次联考
高三（理科）数学参考答案
一、选择题：
1-5 C A B D D 6-1O C D A B A 11-12 D A
二、填空题：
13、 14、 2 15、 6 16、 2
三、解答题：
17、解：（1）当时，………………………1分
当时，①
②
①-②得,
即
故数列是首项为，公比为的等比数列，
…………………………………………………………………3分故
由是与的等差中项可得，即
因为，所以，即
解得或（舍去）
故……………………………………………………………………………6分（2）把代入,得
①
②…………………………………9分①-②得
.
………………………………………12分
18、解：(Ⅰ)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人.……………2分
设500名学生的平均成绩为
,则
＝(230＋50×0.0065＋250＋70×0.0140＋270＋90
×0.0170＋
290＋110×0.0050＋2110＋130×0.0043＋2130＋150×0.0032)×20＝78.48分. …………………………………………………………………………..…………6分
（II ）设学生甲答对每道题的概率为,则,∴
＝32
.
学生甲答题个数的可能值为3,4,5,
则=＝
＝
……………..………10分
所以的分布列为
3
4 5
＝31×3＋2710×4＋278×5＝27107
.…………………………..……………….. 12分
19、解：（1）平面
平面
,
平面
……………………………………………………………………2分 而
平面
，
……………………………………………………3分
……………………………………………………………………………4分
而
，
平面
………………………………………………………………………5分 而
平面
,
…………………………………………………6分
（2）建立如图所示直角坐标系， 不妨设
，因为
则
…………………………………8分
设为面的一个法向量
则
取…………9分
设为面的一个法向量
则
取…………………………………………………………………………10分
故二面角的余弦值为.………………………………………………12分20.解：（1）设M（）由题意，M到定点F的距离等于到定直线x=－1的距离，所以M的轨迹是以F为焦点的抛物线，
曲线H的方程为……3分
（2）设直线AB：
由得
则
………………………………………………5分则M的坐标为（）即M（）………………6分
由得，则C（－1，）…7分
…………………………9分
由……………………11分
存在这样的点C（－1，）使为正三角形…………12分
21. 解：（1）由……………①
得……………………… ②
①×2－②得，
时，
=于是f(x)在定义域上为单调增函数……………5分
（2）
由题设知有两个不相等的正实数根，则
＞0
＞0 ＜－8 ……………6分
＞0
而
=…………………8分
又，故欲证原不等式等价于证明不等式
也就是证明：对任意x＞0, …………………………10分
令＞0），由于
当0＜x＜1时＞0，g(x)在（0，1）上为增函数
故成立………………………………………………………………………12分
22. 证明：（1）因为AB是的直径，所以,即, 因
为D是的中点，由垂径定理得,因为OD∥AC, 又因为点O是AB
的中点，所以点E为BC的中点，所以OE=……………5分
(2) 连接CD，因为PC是的切线，所以,又是公共角，
所以∽, 得,
又D是的中点，且，所以CD=BD，因此 (10)
分
23、解（1）曲线的方程可化为(为参数)，通过先平方再求和得
直线的极坐标方程展开得，
直线的直角坐标方程为…………………………………………………4分（2）设与直线平行的直线的方程为
联立方程得，消元得
令，得或，当时曲线上的点到直线的距离最大，
此时，直线与曲线的切点为…………………………………………7分
而直线与直线的距离为.
曲线上的点到直线的最大距离为，这个点的坐标为.……10分24、解：（1）由已知得…………………………………1分
因为
（当且仅当时取等号）……………………………………………………………3分
解得
所以，实数的取值范围是……………………………………………………5分
（2）由（1）可知，
由柯西不等式，可得
…………………………………7分
当且仅当，即时等号成立
故的最小值为……………………………………………………………10分。
数学_2014-2015学年河南省某校高三(上)第二次联考数学试卷(理科)(含答案)
2014-2015学年河南省某校高三（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知实数R 为全集，集合A ={x|y =log 2(x −1)}，B ={y|y =√4x −x 2}，则(∁R A)∩B 等于（ ）A (−∞, 1]B (0, 1)C [0, 1]D (1, 2] 2. 复数3−i2+i 的实部与虚部之和为（ ）A 0B 1C 2D 33. 设随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，若P(ξ<2)＝0.8，则P(0<ξ<1)的值为（ ） A 0.6 B 0.4 C 0.3 D 0.24. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”B “x =−1”是“x 2−2x −3=0”的必要不充分条件C 命题“∃x ∈R 使得x 2+x −1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x −1>0”D 命题“已知x ，y ∈R ，若x +y ≠5，则x ≠1或y ≠4”为真命题 5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是195，则输出的P =( )A 11B 12C 13D 146. 已知四棱锥P −ABCD 的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ ）A 3B 2√5C 6D 87. △ABC 中，∠A ＝60∘，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB ＝3，且AD →=13AC →+λAB →(λ∈R)，则AD 的长为（ ） A 1 B √3 C 2√3 D 38. 若函数y =2x图象上存在点(x, y)满足约束条件{x +y −3≤0x −2y −3≤0x ≥m，则实数m 的最大值为（ ）A 12 B 1 C 32 D 29. 已知θ为锐角，且sin(θ−π4)=√210，则tan2θ=( ) A 43 B 34 C −247 D 24710. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 8−1)3+2015(a 8−1)=1，(a 2008−1)3+2015(a 2008−1)=−1，则下列结论正确的是（ ）A S 2015=2015，a 2008<a 8B S 2015=2015，a 2008>a 8C S 2015=−2015，a 2008≤a 8D S 2015=−2015，a 2008≥a 811. 已知函数f(x)=sinx ，将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则关于f(x)g(x)有下列命题，其中真命题的个数是（ ） ①函数y =f(x)⋅g(x)是偶函数； ②函数y =f(x)⋅g(x)是周期函数；③函数y =f(x)⋅g(x)的图象关于点(π2, 0)中心对称；④函数y =f(x)⋅g(x)的最大值为4√39． A 1 B 2 C 3 D 412. 已知定义在R 上的可导函数f(x)满足：f′(x)+f(x)<0，θ的终边不落在第一象限的角平分线上，则e √2−sinθ−cosθ与f(√2)的大小关系是（ ）Ae √2−sinθ−cosθ>f(√2) B e √2−sinθ−cosθ<f(√2) Ce √2−sinθ−cosθ=f(√2) D 不确定二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13. 若(x +a)6的展开式中x 3的系数为160，则∫x a a1dx 的值为________．14. 已知双曲线3y 2−mx 2=3m(m >0)的一个焦点与抛物线y =18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________．15. 已知三棱锥D −ABC 中，AB =BC =1，AD =2，BD =√5，AC =√2，BC ⊥AD ，则三棱锥的外接球的表面积为________．16. △ABC 中，BC =1，AB =√3，AC =√6，点P 是△ABC 的外接圆上的一个动点，则BP →⋅BC →的最大值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17. 已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=a(S n−a n+1)(a为常数，且a>0)，且a3是6a1与a2的等差中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18. 衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括9的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：(Ⅰ)求获得参赛资格的人数；(Ⅱ)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．19. 在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，A1B⊥C1C，AC=BC．（1）求证A1A⊥A1C；（2）若A1A=A1C，求二面角B−A1C−B1的余弦值．20. 已知动圆M过定点F(1, 0)且与直线x=−1相切，圆心M的轨迹为H．（1）求曲线H的方程；（2）一条直线AB经过点F交曲线H于A、B两点，点C为x=−1上的动点，是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．21. 已知函数f(X)的定义域为(0, +∞)且满足2f(x)+f(1x )=2lnx+a(2x+1)x+1．（1）若a=−8，判断f(x)在定义域上的单调性；（2）若f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2(x1≠x2)，求证：f(x1)+f(x2)≥f(x)+2x−2．选考题（在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22.如图，⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BĈ的中点，连接AD 并延长，与过C 点的切线交于P ，OD 与BC 相交于点E ． （1）求证：OE =12AC ；（2）求证：PDPA =BD 2AC 2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 参数方程为{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数），直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知不等式|t +3|−|t −2|≤6m −m 2对任意t ∈R 恒成立． (1)求实数m 的取值范围.(2)若(1)中实数m 的最大值为λ，且3x +4y +5z =λ，其中x ，y ，z ∈R ，求x 2+y 2+z 2的最小值．2014-2015学年河南省某校高三（上）第二次联考数学试卷（理科）答案1. C2. A3. C4. D5. D6. C7. C8. B 9. C 10. A 11. D 12. A 13. 7314. 2 15. 6π 16. 2 17. 解：（1）根据S n =a(S n −a n +1)，分别令n =1，2，3，可求得： a 1=a ，a 2=a 2，a 3=a 3； ∴ 6a +a 2=a 3； ∵ a >0；∴ 6+a =a 2，解得a =3； ∴ S n =3(S n −a n +1)①；∴ n >1时，S n−1=3(S n−1−a n−1+1)②； ∴ ①-②得：a n =3a n−1； ∴ a nan−1=3；∴ {a n }是首项为3，公比为3的等比数列； ∴ a n =3n ；（2）b n =3n log 23n =n ⋅3n log 23；∴ T n =b 1+b 2+...+b n =log 23(1⋅31+2⋅32+...+n ⋅3n ) ①； ∴ 3T n =log 23(1⋅32+2⋅33+⋯+n ⋅3n+1) ②； ∴ ①-②得：−2T n =log 23(3+32+⋯+3n −n ⋅3n+1)=log 23⋅[3(1−3n )1−3−n ⋅3n+1]=32−(n +12)3n+1； ∴ T n =−34+2n+14⋅3n+1．18. （I ）获得参赛资格的人数m ＝(0.005+0.0043+0.032)×20×500＝125 (II)平均成绩：X ¯=(40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032)×20＝(0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)×20＝78.48 (III)设甲答对每一道题的概率为．P 则(1−p)2=19，∴ p =23， ∴ ξ可能取得值为3，4，5， P(ξ＝3)＝P 3+(1−P)3=13，P(ξ＝4)=C 32P 2(1−p)P +C 32(1−p)p(1−p)=1027，P(ξ＝5)＝1−13−1027=827，∴ ξ的分布列为Eξ=3×13+4×1027+5×827=10727．19. 解：（1）∵ 平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴ BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴ A 1A ⊥BC ，∵ A 1B ⊥C 1C ，A 1A // CC 1 ∴ A 1A ⊥A 1B ，∴ A 1A ⊥平面A 1BC ， ∴ A 1A ⊥A 1C ；(II)建立如图所示的坐标系C −xyz ．设AC =BC =2， ∵ A 1A =A 1C ，则A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(1, 0, 1)，C(0, 0, 0)．CB →=(0, 2, 0)，CA1→=(1, 0, 1)，A1B1→=AB →=(−2, 2, 0)．设n 1→=(a, b, c)为面BA 1C 的一个法向量，则n 1→⋅CB →=n 1→⋅CA1→=0，则{2b =0a +c =0取a =1，n 1→=(1, 0, −1)． 同理，面A 1CB 1的一个法向量为n 2→=(1, 1, −1)．∴ cos <n 1→，n 2→>=|n 1→||n 2|˙=√63， ∴ 二面角B −A 1C −B 1的余弦值为√63．20. 解：（1）由题意圆心为M 的动圆M 过点(1, 0)，且与直线x =−1相切， 所以圆心M 的轨迹是以(1, 0)为焦点的抛物线， ∴ 圆心M 的轨迹方程为y 2=4x ．F(1, 0) 故曲线H 的方程为：y 2=4x ．（2）假设存在点C ，使得△ABC 为正三角形，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(−1, m)， 直线AB 的方程．{y 2=4x x =ty +1，化简得：y 2−4ty −4=0，y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4 x 1+x 2=4t 2+2，得AB 的中点坐标M(2t 2+1, 2t)，①当直线的斜率不存在时，t =0，A(1, 2)，B(1, −2)，可能C(−1, 0)， AB =4，AC =BC =2√2，不可能为正三角形，②当直线的斜率存在时，M(2t 2+1, 2t)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(−1, m)， |AB|=x 1+x 2+2=4t 2+2+2=4t 2+4 ∵ △ABC 是正三角形， ∴ K CM ⋅K AB =−1， 即−m−2t 2t 2+2⋅1t=−1，得m =2t 3+4t∴ C(−1, 2t 3+4t)，∵ |CM|=√(2t +2t 3)2+(2t 2+2)2=(2t 2+2)√t 2+1， ∴ √32(4t 2+4)=(2t 2+2)√t 2+1，解得：t =±√2，m =2(√2)3+4√2=8√2所以存在这样的点C(−1, ±8√2)，使得△ABC 是正三角形 21. 解：令1x=t ，x =1t，则：2f(1t )+f(t)=2ln 1t +a(2t +1)1t+1=−2lnt +a(t+2)t+1；∴ f(x)+2f(1x )=−2lnx +a(x+2)x+1①；又2f(x)+f(1x )=2lnx +a(2x+1)x+1②； ∴ ①②联立得f(x)=2lnx +axx+1；∴ （1）a =−8时，f(x)=2lnx −8xx+1，f′(x)=2x−8(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0；∴ 函数f(x)在定义域(0, +∞)上单调递增； （2）f′(x)=2x 2+(4+a)x+2x(x+1)2；若f(x)在定义域上有两个极值点x 1，x 2(x 1≠x 2)，则方程2x 2+(4+a)x +2=0有两个不等实根，且： x 1+x 2=−4+a 2，x 1x 2=1；∴ f(x 1)+f(x 2)=2lnx 1+ax 1x 1+1+2lnx 2+ax 2x 2+1=a ；∵ a =f(x)−2lnxx⋅(x +1)；∴ 要证明原不等式成立，只要证明f(x)−2lnxx⋅(x +1)≥f(x)+2x−2=f(x)−2(x−1)x；也就是证明对任意的x >0，lnx ≤x −1； 令g(x)=lnx −x +1，g′(x)=1x −1=1−x x；∴ x ∈(0, 1)时，g′(x)>0，x ∈(1, +∞)时，g′(x)<0；∴ g(1)=0是g(x)的最大值，∴ g(x)≤0，即lnx −x +1≤0，lnx ≤x −1； ∴ f(x 1)+f(x 2)≥f(x)+2x−2．22. （1）证明：因为AB 为⊙O 直径，所以∠ACB =90∘，即 AC ⊥BC ，因为D 是弧BĈ的中点，由垂径定理 得OD ⊥BC ，因此OD // AC又因为点O 为AB 的中点，所以点E 为 BC 的中点，所以OE =12AC（2）证明：连接CD ，因为PC 是⊙O 的切线， 所以∠PCD =∠CAP ， 又∠P 是公共角，所以△PCD ∽△PAC ． 得PC PA =PD PC =CD AC，∴ PCPA ×PDPC =CDAC ×CDAC ， ∴ PDPA =CD 2AC 2．因为D 是弧BC ̂的中点，所以CD =BD ，因此PD PA =BD 2AC 2． 23. 解：（1）由ρcos(θ−π4)=2√2， 得ρ(cosθ+sinθ)=4，∴ l:x +y −4=0，∵ {x =√3cosθy =sinθ，（θ为参数），∴ 消去参数得x 23+y 2=1，∴ 曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1和直线l 的直角坐标方程为x +y −4=0； （2）在C:{x =√3cosθy =sinθ上任取一点(√3cosθ, sinθ)，则点P 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ−4|√2=|2sin(θ+π3)−4|√2≤3√2，∴ 当sin(θ+π3)=−1时，d max =3√2，此时这个点的坐标为(−32,−12)．24. 解：(1)∵ |t +3|−|t −2|≤|(t +3)−(t −2)|=5， 不等式|t +3|−|t −2|≤6m −m 2对任意t ∈R 恒成立， 可得6m −m 2≥5，求得1≤m ≤5， 即实数m 的取值范围为{m|1≤m ≤5}． (2)由题意可得 λ=5，3x +4y +5z =5．∵ (x 2+y 2+z 2)(32+42+52)≥(3x +4y +5z)2=25， 当且仅当x3=y4=z5时，等号成立， 即x =310，y =25，z =12 时，取等号． ∴ 50(x 2+y 2+z 2)≥25，∴ x 2+y 2+z 2≥12，即x 2+y 2+z 2的最小值为12.。
河南省豫南九校2015届高三上期第二次联考 物理 扫描版含答案
更正物理试题第9题中B 选项中 GM R T 324π=改为 月Gm R T 324π=豫南九校2014—2015学年上期第二次联考高三物理答案一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题后给出的四个选项中，第1-8小题只有一个选项正确，第9-12小题中有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）1．答案：C ．解析：铜球在较小倾角斜面上的运动情况，发现铜球做的是匀变速直线运动，且铜球加速度随斜面倾角的增大而增大，倾角最大的情况就是90°时，这时物体做自由落体运动，由此得出的结论是自由落体运动是一种匀变速直线运动．故选项C 正确．２．答案：B ．解析：物体开始向正方向做匀减速直线运动到零，然后反向做匀加速直线运动．位移-时间图线的切线斜率表示瞬时速度，可知瞬时速度先减小后反向增大，另外反向运动时加速度大于原来的加速度，所以运动相同距离所用时间短．故B 正确，A 、C 、D 错误．故选B ．３．答案：A ．解析：小物块P 水平方向只受最大静摩擦力，提供向心力，所以向心加速度g a μ=，而R v a 2=，ABC 三轮边缘的线速度大小相同，所以R 1∝μ，所以A μ：B μ：C μ=2：3：6；由ωR v =可知，R 1∝ω，所以A ω：B ω：C ω=2：3：6，故正确答案为A 。
４．答案：C ．解析：以Ａ点为坐标原点，ＡＯ为y 轴，垂直于AO 为x 轴建立坐标系，分解速度和加速度，则在x 轴上做初速度为022v ，加速度为g 22和匀减速直线运动，末速度刚好为零，运动时间为gv t 0=，在y 轴上做初速度为022v ，加速度为g 22的匀加速直线运动，末速度为0022222v gt v v cy =+=，利用平均速度公式得位移关系 OA ：OC=t v t v v 222:)2222(000+=3：1．５．答案：D ．解析：对人的运动过程分析可知，人在加速下蹲的过程中，有向下的加速度，处于失重状态，此时人对传感器的压力小于人的重力的大小；在减速下蹲的过程中，加速度方向向上，处于超重状态，此时人对传感器的压力大于人的重力的大小，所以D 正确．故选D ．６．答案：B ．解析：经过最高点的铁水要紧压模型内壁，临界情况是重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律，有：mg=m R v 2解得：v=gR ，管状模型转动时边缘的线速度与支承轮转动时边缘的线速度相等，所以支承轮的最小角速度ω=r v rgR =， 故B 正确，ACD 错误,故选B 正确．７．答案：D ．解析：滑块沿斜面向上运动时，加速度大小为a 1＝g(sin 37°＋μcos 37°)＝10 m/s 2，滑块经t 1＝0．6 s 速度即减为零．因此1．2 s 时是向下经过B 点．下滑时加速度大小为a 2＝g(sin 37°－μcos 37°)＝2 m/s 2，物体上滑的最大距离：x=v ²/2a=36/20=1．8m 。
豫南九校联盟2014—2015年度上期第二次联考
豫南九校联盟2014—2015学年上期第二次联考一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题后给出的四个选项中，第1－8小题只有一个选项正确，第9－12小题中有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
）1．意大利科学家伽利略在研究物体变速运动规律时，做了著名的“斜面实验”，他测量了铜 球在较小倾角斜面上的运动情况，发现铜球做的是匀变速直线运动，且铜球加速度随斜面倾角的增大而增大，于是他对大倾角情况进行了合理的外推，由此得出的结论是A ．力不是维持物体运动的原因B ．力是使物体产生加速度的原因C ．自由落体运动是一种匀变速直线运动D ．物体都具有保持原来运动状态的属性，即惯性2．一质点做直线运动的v －t 关系图象如图1所示，则该质点的x －t 关系图象可大致表示为下列图2中的3．水平放置的三个不同材料制成的圆轮A 、B 、C ，用不打滑皮带相连，如图3所示（俯视图），三圆轮的半径之比为R A ：R B ：R C ＝3 ：2 ：1，当主动轮C 匀速转动时，在三轮的边缘上分别放置一小物块P （可视为质点），P 均恰能相对静止在各轮的边缘上，设小物块P 所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小物块P 与轮A 、B 、C 接触面间的动摩擦因素分别为μA 、μB 、,μC ，A 、B 、C 三轮转动的角速度分别为A ω 、B ω、C ω，则A ．A μ ：B μ ：C μ＝2 ：3 ：6 B ．A μ ：B μ ：C μ＝6 ：3 ：2C ．A ω ：B ω ：C ω＝1 ：2 ：3D ．A ω ：B ω ：C ω＝6 ：3 ：24．如图4所示，固定斜面AO 、BO 与水平方向夹角均为45°，现由A 点以某一初速度水平抛出一个小球（可视为质点），小球恰能垂直于BO 落在C 点，则OA 与OC 的比值为A ：1B ．2 ：1C ．3 ：1D ．4 ：15．在探究超重和失重规律时，某体重为G 的同 学站在一压力传感器上完成一次下蹲动作。
河南省豫南九校2015届高三上学期第二次联考数学(文)试题 Word版含答案
河南省豫南九校2015届高三（上）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（）A．1 B．C．D．32．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，2] 3．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2+C．y=﹣x3D．y=e|x|4．某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．605．下面几个命题中，真命题的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x；②“方程x+=a有解”是“a≥2”的必要不充分条件；③设函数f（x）=，总存在x∈（﹣∞，﹣1）使得f（x）≥0成立；④若a，b∈[0，2]，则不等式a2+b2＜成立的概率．A．1 B．2C．3D．46．在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，则a6=（）A．3﹣2B．3﹣3C．38D．397．将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则f（）=（）A．4 B．2﹣C．﹣2 D．2+8．如图，程序框图所进行的是求2+22+23+24+25的和运算，则①处条件是（）A．n＞6 B．n＜5 C．n＞5 D．n＜69．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）A．B．C．4D．10．已知函数f（x）=（）x﹣log x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（）A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知点O是平面上的一定点，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若动点P满足﹣=λ（b+c），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是_________．14．已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若cosC=，且sinC=sinB，则△ABC 的内角A=_________．15．已知变量x，y满足约束条件，目标函数Z=e2x+y的最大值为_________．16．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4||，求数列{}前n项和T n．18．（12分）欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童肥胖问题日益严重的主要原因之一．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF=6．（Ⅰ）求证：AC⊥BE（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若过椭圆C右焦点F2作垂直于线段MQ的直线L，交椭圆C于A，B两点，求四边形AMBQ面积S．21．（12分）已知函数f（x）=﹣+lnx﹣2（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．【选考题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
河南省八市重点高中高三数学第二次联考试卷 文(扫描版)
河南省八市重点高中2015届高三数学第二次联考试卷文（扫描版）数学（文科）·答案13、5 14、相交或相切 15、②③ 16、[02]，三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17. （本小题满分10分）（I ）当3m =时, }54|{≤≤=x x B ,故可由求得}54|{≤≤=x x B A ，}52|{≤≤-=x x B A ;………………………………（4分）（II ）,A B B =B A ∴⊆，下分B =∅与B ≠∅两种情况来解．当∅=B 时，112+<-m m ，得.2<m …………………………………………（6分）当∅≠B 时，得⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≤-+≥-21512112m m m m ，即23m ≤≤． ………………………………（9分）综上，m 的取值范围：{|3}m m ≤…………………………………………………（10分）18. （本小题满分12分）（I ）证：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a a n n +-=+…………………………………（3分）所以{}n a n 是以111a =为首项，1为公差的等差数列． ……………………………（5分）（II ）解：由（I 所以2n a n =，从而3n b n =⋅………………………………………………………（7分）1231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅① 234+13132333-133n n n S n n =⨯+⨯+⨯++⋅+⋅（）② ①－②得： 132333332+⋅-++++=-n n n n S …………………………………（9分） 1331)31(3+⋅---⨯=n n n………………………………………………………………（11分）所以+1(21)334n n n S -⋅+= …………………………………………………………（12分）19. （本小题满分12分）解：（I ）存在，N 点为AB 一个靠近A 点的三等分点，即13AN AB =.…………（1分）证明如下：连结1BC111111//2AM AD AN AC A C MC A C NB ∴===， 1//MN BC ∴，……………………………………………………………………………（3分） 又MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，//MN ∴平面11BB C C .…………（4分）（II ）由题意，1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ,∴1A D BC ⊥.又1,BC AC AC A D D ⊥=,∴BC ⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥，又111,AC BA BA BC B ⊥=，∴1AC ⊥平面1,ACB 又1AC ⊂平面1,ACB 11AC AC ⊥， ∴平行四边形11AC CA 为菱形. ………………………………………………………（6分）又1,A D AC D ⊥为AC 的中点，11,A A AC AC BC a ∴==== BC ⊥平面11AAC C ，190BCA BCA ︒∴∠=∠=，1,A B AB ∴==取1AA 中点H，则BH ==. 12117S 2AA B AA BH ∆==，…………………………………………………………（8分）设点C 1到平面A 1ABB 1的距离为h ,1//C C 平面A 1ABB 1，11112211113173323C AAB C A AB A CAB ABC V V V S A D a a a h ---∆∴====⨯⨯=⨯， 解得h =.………………………………………………………………………（11分） 故C 1到平面A 1ABB 1的距离为h =………………………………………………（12分）20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2cos 22sin 12B C A ++=得， 222cos 11cos()2cos cos 1A B C A A -+-+=+=， ………………………（2分） 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），A 为ABC ∆的内角3A π∴=，………………………………………………………………………（4分） 由余弦定理得，2222cos 3BC AB AC AB AC A =+-=，即BC =. ……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由条件得，2224,2AB AC BC C π=+=∴=， 以C 点为坐标原点，,CA CB 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，则P 点坐标为(,)x y ，直线AB的方程为11x =， 点P 到直线AB的距离h =， 因为点P 在直线AB的左下方，0y +-≤，即h =，(12y d h x y x y x =++=++=++，…………………（9分）即(22y x d =-，因为点P 在ABC ∆内运动（含边界），由线性规划知识得，当直线(22y x d =-+经过点(0,0)C ，d，……………………………………………………………………（10分）当直线(22y x d =-经过点B ，d，……………………………………………………………………（11分）所以d的取值范围d ∈……………………………………………………（12分）21. （本小题满分12分）（Ⅰ）设圆C 的半径为r，则2r ，∴圆C 方程为：422=+y x …………………………………………………………（1分）因为点)3,1(G ,所以103122=+=OG , 622=-=OM OG GM所以以G 点为圆心，线段GM 长为半径的圆G 方程：6)3()1(22=-+-y x （1）又圆C 方程为：422=+y x （2）由)2()1(-得直线MN 方程：043=-+y x ………………………………………（4分）（Ⅱ）(方法一)设直线l 的方程为：bx y +-= 联立422=+y x 得：042222=-+-b bx x ，…………………………………（5分）设直线l 与圆的交点),(),,(2211y x Q y x P ，由0)4(8)2(22>---=∆b b ，得82<b ，………………………………………（7分）24,22121-=⋅=+b x x b x x （3） 因为PRQ ∠为钝角，所以0RP RQ ⋅<,即满足1212(1)(1)(1)(1)0x x y y --+++<，且RP 与RQ 不是反向共线，又b x y b x y +-=+-=2211,，所以212121212(1)(1)(1)(1)2(2)()220x x y y x x b x x b b --+++=-+++++<（4）由（3）（4）得22b <，满足0>∆，即b <<………………………（10分）当RP 与RQ 反向共线时，直线b x y +-=过（1，-1），此时0=b ，不满足题意， …………………………………………………………（11分）故直线l 纵截距的取值范围2,0)(0,2]……………………………（12分）（方法二）设直线l 的方程为：2y x m =-+，取PQ 中点M ，则OM PQ ⊥， 点M 坐标为(,)M m m .若使PRQ ∠为钝角，需满足点R 在以PQ 为直径的圆内，且点,,P Q R 不共线即1,2MR PQ <即222,MR OP OM <-即2222(1)(1)4()m m m m -++<-+， 解得：212m <，……………………………………………………………………（9分）当,,P Q R此时0m =，不满足题意，所以2,0)(0,2]………………………（11分） 故直线l 纵截距的取值范围2,0)(0,2]……………………………（12分）22. （本小题满分12分） （Ⅰ）当1a =时，函数()12ln f x x x =--，22'()1x f x x x -=-=……………………（1分）由'()0f x >得2x >，由'()0f x <得02x <<……………………………………（3分）故()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞ ………………………（4分）（Ⅱ）①当0a ≤时，由(0,1)x ∈，得10x -<，2ln 0x ->，得()(1)2ln 0f x a x x =-->恒成立，即0a ≤符合题意；…………………………（6分）②当0a >时， 当2a ≤时，即1a ≥时，由'()0f x <得0x a<<， 即()f x 在区间(0,1)上单调递减，故()(1)0f x f >=，满足对(0,1)x ∀∈，()0f x >恒成立，故此时()f x 在区间(0，1)上无零点,符合题意……………………………………（8分）当2a >时，即201a <<时，由'()0f x >得2x a >，由'()0f x <得20x a<<， 即()f x 在区间2(0,)a 上单调递减，在区间2(,1)a上单调递增； ……………………………………………………………（9分） 令()a g a e a =-，当2a >时，2'()110a g a e e =->->恒成立. 故函数()a g a e a =-在区间(2,)+∞上单调递增, 2()(2)20g a g e ∴>=->, 即1122,01a a e a e a a >>∴<<<<,而111()(1)2ln 0a a a a a f a a e e e e=--=+>, 故当2a >时，12()()0a f f e a <,即012(,)a x e a∃∈,使得0()0f x =成立, 所以2a >时, ()f x 在区间(0，1)上有零点,不符合题意. ……………………（11分）综上，a 取值范围是{|2}a a ≤……………………………………………………（12分）。
数学_2015年河南省豫南九校高考数学质检试卷(理科)(含答案)
2015年河南省豫南九校高考数学质检试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合P ={x|x 2−x −2≤0}，Q ={x|log 2(x −1)≤1}，则(∁R P)∩Q 等于（ ） A [2, 3] B (−∞, −1]∪[3, +∞) C (2, 3] D (−∞, −1]∪(3, +∞)2. 设复数z 1=1−i ，z 2=√3+i ，其中i 为虚数单位，则z 1¯z 2的虚部为（ ）A1+√34i B1+√34C√3−14i D √3−143. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2，则a 2等于（ ）A −2B 2C 1D 44. “m >0”是“函数f(x)＝m +log 2x(x ≥1)不存在零点”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 5. 在(√x +√x 3)12的展开式中，x 项的系数为（ ）A C 612 B C 512 C C 712 D C 812 6. 已知双曲线kx 2−y 2＝1(k >0)的一条渐近线与直线x −2y −3＝0平行，则双曲线的离心率是（ ）A √52 B √3 C 4√3 D √57. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 43√3 B 53√3 C 2√3 D 83√38. 已知函数f(x)=sin(x +π6)，其中x ∈[−π3, a]，若f(x)的值域是[−12, 1]，则实数a 的取值范围是( )A (0, π3] B [π3, π2] C [π2, 2π3] D [π3, π] 9. 如图所示的程序框图中输出的结果为（ ）A 2B −2C 12D −1210. O 是平面上一点，A 、B 、C 是平面上不共线三点，动点P 满足：OP →=OA →+λ(AB →+AC →)，λ∈[−1, 2]，已知λ=1时，|AP →|=2，则PA →⋅PB →+PA →⋅PC →的最大值为（ ） A −2 B 24 C 48 D 9611. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =120∘．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB||MN|的最小值为________.12. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x 2，当x >0时，f(x +1)＝f(x)+f(1)，若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有7个不同的公共点，则实数k 的取值范围为（ ）A (2√2−2, 2√6−4)B (√3+2, √3+√6)C (2√2+2, 2√6+4)D (4, 8)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上． 13. 设五个数值31，38，34，35，x 的平均数是34，则这组数据的方差是________． 14. 在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ≥0x −y +4≥0x ≤a （a 为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数a 的值为________．15. 表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为________．16. 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为a mk (m, k =1, 2, 3,…,n, n ≥3)，公差为d m ，并且a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列．若d m =p 1d 1+p 2d 2（3≤m ≤n ，p 1，p 2是m 的多项式），则p 1+p 2=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a+b c=cos(A+C)cosC.(1)求角C 的大小；(2)若c =2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．18. 已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且PD ⊥底面ABCD ，∠DAB =60∘，E 为AB 的中点． （1）证明：DC ⊥平面PDE ；（2）若PD =√3AD ，求面DEP 与面BCP 所成二面角的余弦值．19. 从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量X是以这三点为顶点的三角形的面积．（1）求概率P(X=12)；（2）求X的分布列，并求其数学期望E(X)20. 已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为√22，且一个焦点坐标为(√2, 0)．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．21. 已知函数f(x)＝ln(x+1x )，且f(x)在x=12处的切线方程为y＝g(x)．（1）求y＝g(x)的解析式；（2）证明：当x>0时，恒有f(x)≥g(x)；（3）证明：若a i>0，且∑n i=1a i＝1，则(a1+1a1)(a2+1a2)…(a n+1a n)≥(n2+1n)n(1≤i≤n, i, n∈N∗)四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且AB=13AC，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC＝30∘（1）求AF的长；（2）求证：AD＝3ED．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为{x=√3cosθ，y=sinθ（θ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2．(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知函数f(x)=|2x−1|．（1）若对任意a、b、c∈R(a≠c)，都有f(x)≤|a−b|+|b−c||a−c|恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f(x)≤3x．2015年河南省豫南九校高考数学质检试卷（理科）答案1. C2. D3. D4. C5. A6. A7. B8. D9. A10. B11. √312. ∵ 当0≤x≤1时，f（x）＝x2，∴ f（1）＝1∵ 当x＞0时，f（x+1）＝f（x）+f（1），∴ f（x+1）＝f（x）+1，∴ 当x∈[n，n+1]，n∈N∗时，f（x+1）＝f（x﹣1）+2＝f（x﹣2）+3＝…＝f（x﹣n）+n+1＝（x﹣n）2+n+1，∵ 函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称∵ 直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴ 当x＞0时，直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴ 由x＞0时f（x）的图象可知：直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象相切位置在x∈[1，2]时，直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象相切位置在x∈[2，3]时，直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴ 直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间∵ 当x∈[1，2]时，由{y=kxy=(x−1)2+1得：x2﹣（k+2）x+2＝0，令△＝0，得：k=2√2−2由{y=kxy=(x−2)2+2得：x2﹣（k+4）x+6＝0，令△＝0，得：k＝2√6−4∴ k的取值范围为（2√2−2,2√6−4）13. 614. 215. 216. 117. 解：(1)∵ A+C=π−B，即cos(A+C)=−cosB，∴ 由正弦定理化简已知等式得：2sinA+sinBsinC =−cosBcosC，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=−sinCcosB，即−2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA，∵ sinA ≠0， ∴ cosC =−12，∵ C 为三角形内角， ∴ C =2π3.(2)∵ c =2，cosC =−12，∴ 由余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2abcosC ， 即4=a 2+b 2+ab ≥2ab +ab =3ab ， ∴ ab ≤43，（当且仅当a =b 时ab =43成立）， ∵ S =12absinC =√34ab ≤√33， ∴ 当a =b 时，△ABC 面积最大为√33，此时a =b =2√33， 则当a =b =2√33时，△ABC 的面积最大为√33．18. 证明：（1）∵ PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴ PD ⊥AB连接DB ，在菱形ABCD 中，∠DAB =60∘ ∴ △DAB 为等边三角形… 又∵ E 为AB 的中点 ∴ AB ⊥DE又∵ PD ∩DE =D ∴ AB ⊥底面PDE… ∵ AB // CD∴ CD ⊥底面PDE… 解：（2）如图，分别以DE ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系设AD =a ，则PD =√3a∴ D(0,0,0),B(√32a ，12a ，0)，C(0,a,0)，P(0,0,√3a)… 由(1)知面PDE 的法向量DC →=(0,a,0)． 设面PBC 的法向量n →=(x,y,z)则{PC →⋅n →=0˙又∵ BC →=(−√32a,12a,0)，PC →=(0,a,−√3a) ∴ {−√32ax +12ay =0ay −√3az =0令x =1，则y =√3，z =1 ∴ n →=(1,√3,1)…∴ cos <DC →，n →>=|DC →|⋅|n|→˙=√3a a⋅√5=√155∴ 面PDE 与面PBC 所成角的余弦值为√155… 19. 解：（1）从正方体的8个顶点中任取3个点，共有C 83=56种情况，∵ 正方体的棱长为1，故若三点为顶点的角形的面积为12，则该三角形的两边为正方体的相邻的棱，故共有8⋅C 32=24个， 故P(X =12)=2456=37；（2）显然，三角形的三边不可能都是正方体的棱，若恰有一边为棱，则对于每一条棱，只有2种选择，故2×12=24种， 面积为√22； P(X =√22)=2456=37；故都不是棱，则为正三角形，面积为√32； P(X =√32)=1−37−37=17；则分布列是E(X)=12×37+√22×37+√32×17=3+3√2+√314． 20. 由题意可设椭圆的标准方程为：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∴ {ca=√22c =√2a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b 2＝2，∴ 椭圆M 的方程为x 24+y 22=1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝kx +m ， 联立{y =kx +m x 2+2y 2=4 ，化为(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−4＝0， △＝16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−4)>0，化为2+4k 2−m 2>0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，P(x 0, y 0)． ∴ x 0＝x 1+x 2=−4km 1+2k 2，y 0＝y 1+y 2＝k(x 1+x 2)+2m =2m 1+2k 2．∵ 点P 在椭圆M 上，∴ x 024+y 022=1，∴ 4k 2m 2(1+2k 2)2+2m 2(1+2k 2)2=1，化为2m 2＝1+2k 2，满足△>0． 又点O 到直线l 的距离d =√1+k 2=√12+k 2√1+k 2=√1−12(1+k 2)≥√1−12=√22．当且仅当k ＝0时取等号．当直线l 无斜率时时，由对称性可知：点P 一定在x 轴上，从而点P 的坐标为(±2, 0)，直线l 的方程为x ＝±1，∴ 点O 到直线l 的距离为1．∴ 点O 到直线l 的距离的最小值为√22． 21. 由f(x)＝ln(x +1x )，得f ′(x)=x x 2+1(1−1x2)=x 2−1x 3+x，∴ 切线的斜率k =f ′(12)=−65．又f(12)＝ln 52，∴ f(x)在x =12处的切线方程为y −ln 52=−65(x −12)，即y ＝g(x)=−65x +35+ln 52； 证明：令t(x)＝f(x)−g(x)=ln(x +1x )+65x −35−ln 52(x >0)， ∵ t ′(x)=x 2−1x 3+x +65=(x−12)(6x 2+8x+10)5(x 3+x)．∴ 当0<x <12时，t′(x)<0， ∴ t(x)min =t(12)=0．故t(x)≥0，即ln(x +1x)≥−65x +35+ln 52；证明：由（1）知，f ′(1n )=n−n 31+n 2，故f(x)在(1n ,ln(n +1n ))处的切线方程为y −ln(n +1n )=n−n 3n 2+1(x −1n )， 即y =n−n 3n 2+1x −1−n 21+n 2+ln(n +1n )．先证f(x)≥n−n 3n 2+1x −1−n 21+n 2+ln(n +1n )，令ℎ(x)=ln(x+1x )−n−n3n2+1x+1−n21+n2−ln(n+1n)(x>0)，∵ ℎ′(x)=x2−1x3+x −n−n3n2+1=(n3−n)x3+(n2+1)x2+(n3−n)x−n2−1(n2+1)(x3+x)=(x−1n)[(n3−n)x2+2n2x+n3+n](x3+x)(n2+1)．∴ 0<x<1n时ℎ′(x)<0．∴ ℎ(x)min=ℎ(1n)=0．∴ f(x)≥n−n3n2+1x−1−n21+n2+ln(n+1n)，∵ a i>0，∴ ln(a i+1a i )≥n−n31+n2a i−1−n21+n2+ln(n+1n)．∴ ∑n i=1ln(a i+1a i )≥n−n3n2+1∑−i=1n ain(1−n2)1+n2+nln(n+1n)=nln(n+1n)．∴ (a1+1a1)(a2+1a2)…(a n+1a n)≥(n2+1n)n．22. 延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM＝90∘，∵ BM＝2BE＝4，∠EBC＝30∘，∴ BC=2√3，又∵ AB=13AC，∴ AB=12BC=√3，∴ AC=3√3，根据切割线定理得AF2=AB⋅AC=√3×3√3=9，即AF＝3证明：过E作EH⊥BC于H，∵ ∠EDH＝∠ADF，∠EHD＝∠AFD，∴ △EDH∽△ADF，∴ EDAD =EHAF，又由题意知CH=12BC=√3，EB＝2，∴ EH＝1，∴ EDAD =13，∴ AD＝3ED．23. 解：(1)曲线C1的参数方程为{x=√3cosθ，y=sinθ（θ为参数），则由sin2θ+cos2θ=1化为x23+y2=1，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，即有ρsinθcosπ4+ρcosθsinπ4=4√2，即为直线x+y−8=0.(2)设P(√3cosθ, sinθ)，则P到直线的距离为d，则d=√3cosθ+sinθ−8|√2=|2sin(θ+π3)−8|√2，则当sin(θ+π3)=1，此时θ=2kπ+π6，k为整数，P的坐标为(32, 12)，距离的最小值为√2=3√2．24. 解：（1）∵ |a−b|+|b−c|≥|a−b+(b−c)|=|a−c|，故有|a−b|+|b−c||a−c|≥1，再根据f(x)≤|a−b|+|b−c||a−c|恒成立，可得f(x)≤1，即|2x−1|≤1，∴ −1≤2x−1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f(x)≤3x，即|2x−1|≤3x，∴ {3x≥0−3x≤2−1≤3x，求得x≥15，即不等式的解集为{x|x≥15}．。
河南省豫南九校2015届高三(上)第二次联考数学(文)试卷
河南省豫南九校2015届高三（上）第二次联考数学（文）试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（）A． 1 B．C．D．32．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，2]3．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2+C．y=﹣x3D．y=e|x|4．某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．605．下面几个命题中，真命题的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x；②“方程x+=a有解”是“a≥2”的必要不充分条件；③设函数f（x）=，总存在x∈（﹣∞，﹣1）使得f（x）≥0成立；④若a，b∈[0，2]，则不等式a2+b2＜成立的概率．A． 1 B．2 C．3D．46．在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，则a6=（）A．3﹣2B．3﹣3C．38D．397．将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则f（）=（）A． 4 B．2﹣C．﹣2 D．2+8．如图，程序框图所进行的是求2+22+23+24+25的和运算，则①处条件是（）A．n＞6 B．n＜5 C．n＞5 D．n＜69．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）A．B．C．4D．10．已知函数f（x）=（）x﹣log x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（）A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知点O是平面上的一定点，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若动点P满足﹣=λ（b+c），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是_________．14．已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若cosC=，且sinC=sinB，则△ABC的内角A=_________．15．已知变量x，y满足约束条件，目标函数Z=e2x+y的最大值为_________．16．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4||，求数列{}前n项和T n．18．（12分）欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童肥胖问题日益严重的主要原因之一．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到列联表：平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF=6．（Ⅰ）求证：AC⊥BE（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若过椭圆C右焦点F2作垂直于线段MQ的直线L，交椭圆C于A，B两点，求四边形AMBQ面积S．21．（12分）已知函数f（x）=﹣+lnx﹣2（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．【选考题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
河南省豫南九校2015届高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
河南省豫南九校2015届高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|y=log2（x﹣1），y∈N*，x∈B}，B={2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{1，2，3}C．{3，5，9} D．{2，3，4，5，6，7，8，9}2．（5分）如图复平面内的点A表示复数z，则复数表示的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A．92 B．94 C．116 D．1184．（5分）已知直线l的斜率为2，M、N是直线l与双曲线C：的两个交点，设M、N的中点为P（2，1），则C的离心率为（）A．B．C．2D．25．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）若，则等于（）A．B．C．D．7．（5分）实数x，y满足条件，则22x﹣y的最小值为（）A．B．C．1D．48．（5分）如图所示，该程序框图的功能是计算数列{2n﹣1}前6项的和，则判断框内应填入的条件为（）A．i＞5 B．i≥5 C．i＞6 D．i≥69．（5分）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=4，BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．24πB．36πC．12πD．11．（5分）已知点A（1，2）在抛物线C：y2=4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D，E，直线AD，AE的斜率分别为k AD，K AE．若直线DE过点（﹣1，﹣2），则k AD•k AE=（）A．4B．3C．2D．112．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知•=0，|+|=t||，若+与﹣的夹角为，则t的值为．14．（5分）若（+4x2+4）3展开式的常数项为．15．（5分）设锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a=2，B=2A，则b的取值范围为．16．（5分）已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数n，点（a n+1，S n）在直线2x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S n+λ•n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．18．（12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点（，1）一个焦点是F（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C交于点M、N两点，试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．21．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．22．（10分）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD 相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF=4BF=4，求线段BC的长．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．24．设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|（Ⅰ）解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，求实数a取值范围．河南省豫南九校2015届高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|y=log2（x﹣1），y∈N*，x∈B}，B={2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{1，2，3}C．{3，5，9} D．{2，3，4，5，6，7，8，9}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由对数的性质得到x大于1，再由符合已知条件得到集合A中的元素，则A交B的答案可求．解答：解：由y=log2（x﹣1），得x﹣1＞0 即x＞1．又x∈B，当x取3，5，9时，y符合题意，属于N*，则A∩B={3，5，9}∩{2，3，4，5，6，7，8，9}={3，5，9}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了对数的运算性质，是基础题．2．（5分）如图复平面内的点A表示复数z，则复数表示的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=3+i，则复数===2﹣i表示的点（2，﹣1）所在的象限为第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A．92 B．94 C．116 D．118考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为x，则，解得x=94，故选：B点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）已知直线l的斜率为2，M、N是直线l与双曲线C：的两个交点，设M、N的中点为P（2，1），则C的离心率为（）A．B．C．2D．2考点：双曲线的简单性质．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，利用点差法，得到关于a、b的关系式，再求离心率解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，①=1，②，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴，∴①﹣②得a2=b2，∴c2=2a2，∴e=．故选：A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．6．（5分）若，则等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：将看作整体，将化作的三角函数．解答：解：==﹣=﹣=2﹣1=2×﹣1=．故选A点评：观察已知的角与所求角的练习，做到整体代换．7．（5分）实数x，y满足条件，则22x﹣y的最小值为（）A．B．C．1D．4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：设z=2x﹣y，利用数形结合求出z的最小值即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=2x﹣y，由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C（0，1）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．将A（0，1）的坐标代入目标函数z=0﹣1=﹣1，即z=2x﹣y的最小值为﹣1，此时22x﹣y的最小值为．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（5分）如图所示，该程序框图的功能是计算数列{2n﹣1}前6项的和，则判断框内应填入的条件为（）A．i＞5 B．i≥5 C．i＞6 D．i≥6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序退出循环的条件．解答：解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；第六次运行，A=2×31+1=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63，i=7；由于程序框图的功能是计算数列{2n﹣1}前6项的和，由题意，此时应该满足条件，终止运行，输出A=63，故判断框内应填入的条件为：i＞6故选：C．点评：本题考查循环结构的程序框图，等比数列的前n项和公式，根据算法流程判断程序的功能是关键，属于基本知识的考查．9．（5分）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：因为2位老人不排在两端，所以从5名志愿者中选2名排在两端，因为2位老人相邻，所以把2位老人看成一个整体，与其他元素进行排列，注意整体之间的排列．解答：解：可分3步．第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有A52=20种排法，第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=24种排法第三步，2名老人之间的排列，有A22=2种排法最后，三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法故选B点评：本题主要考查了有限制的排列问题的解决，掌握这些常用方法．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=4，BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．24πB．36πC．12πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：构造补充图形为长方体，几何体三棱锥P﹣ABC的外接球，与棱长为4，4，2．长方体的外接球应该是同一个外接球，再用长方体的对角线长求解外接球的半径，即可求解体积．解答：解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=4，BC=2，∴画出几何图形，可以构造补充图形为长方体，棱长为4，4，2．∵对角线长为=6．∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为3，体积为×π×33=36π．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的性质，构建容易操作的几何体，把问题转化求解，关键是有一定的空间想象能力．11．（5分）已知点A（1，2）在抛物线C：y2=4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D，E，直线AD，AE的斜率分别为k AD，K AE．若直线DE过点（﹣1，﹣2），则k AD•k AE=（）A．4B．3C．2D．1考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：向量与圆锥曲线．分析：通过利用过F点直线DE与抛物线C方程，利用韦达定理计算即可．解答：解：设F（﹣1，﹣2），过F点直线DE方程为：y+2=k（x+1），联立，消去x、整理得：ky2﹣4y+4k﹣8=0，由题意及韦达定理可得：y1+y2=，y1y2=，∴x1+x2==，x1x2==，∴k AD•k AE=•===2，故选：C．点评：本题是一道直线与抛物线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．解答：解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．点评：本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是2015届高考常考的热点问题，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知•=0，|+|=t||，若+与﹣的夹角为，则t的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题目条件得出|+|=||=t||，2=t2，即2=（t2﹣1）2，t＞0利用向量的夹角公式cos=，即可解得结论，即=．解答：解：∵•=0，∴|+|=||∵|+|=t||，若+与﹣的夹角为，∴2=t2，即2=（t2﹣1）2，t＞0∴由向量的夹角公式cos=====，即=，t2=4，t=±2，t=﹣2（舍去），故答案为：2．点评：本题主要考查向量数量积的运算及夹角公式的应用，属于基础题．14．（5分）若（+4x2+4）3展开式的常数项为160．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：∵（+4x2+4）3 =的展开式中的第r+1项为T r+1=•26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，故展开式中的常数项为•23=160，故答案为：160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．（5分）设锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a=2，B=2A，则b的取值范围为（2，2）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．解答：解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理可得：=b==2cosA，即b=4cosA，∴2＜4cosA＜2，则b的取值范围为：（2，2）．故答案为：（2，2）．点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围，属于基本知识的考查．16．（5分）已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为2．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：化简g（x）=x+﹣1，从而由基本不等式可判断g（x）在x=1处取得最小值1；从而可知f（x）在x=1处取得最小值1，再由二次函数的顶点式写出f（x）=（x﹣1）2+1，从而求函数的最大值．解答：解：∵g（x）==x+﹣1≥2﹣1=1；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）∴g（x）在x=1处取得最小值1；又∵f（x）与g（x）是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，∴f（x）在x=1处取得最小值1；∴f（x）=x2+px+q=（x﹣1）2+1；又∵|﹣1|＜|2﹣1|，∴f max（x）=f（2）=1+1=2；故答案为：2．点评：本题考查了学生对新定义的接受与转化能力，同时考查了基本不等式的应用及二次函数的性质应用，属于中档题．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数n，点（a n+1，S n）在直线2x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S n+λ•n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知条件可得2a n+1 +S n ﹣2=0，可得n≥2时，2a n+s n﹣1﹣2=0，相减可得=（n≥2）．由此可得{a n}是首项为1，公比为的等比数列，由此求得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）先求出s n=2﹣，若数列{S n+λ•n+}为等差数列，则由第二项的2倍等于第一项加上第三项，求出λ=2，经检验λ=2时，此数列的通项公式是关于n的一次函数，故满足数列为等差数列，从而得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵点（a n+1，S n）在直线2x+y﹣2=0上，∴2a n+1 +S n ﹣2=0．①n≥2时，2a n+s n﹣1﹣2=0．②①─②得2a n+1 ﹣2a n+a n=0，∴=（n≥2）．再由a1=1，可得a2=．∴{a n}是首项为1，公比为的等比数列，∴a n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得s n==2﹣．若数列{S n+λ•n+}为等差数列，则s1+λ+，s2+2λ+，s3+3λ+成等差数列，∴2（s2+2λ+）=（s1+λ+）+（s3+3λ+），解得λ=2．又λ=2时，S n+λ•n+=2n+2，显然{2n+2}成等差数列，故存在实数λ=2，使得数列{S n+λ•n+}成等差数列．点评：本题主要考查等差关系的确定，根据数列的递推关系求通项，属于中档题．18．（12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，“丙海选合格”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E．利用对立事件的计算公式能求出结果．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，“丙海选合格”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E．则．（4分）（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P．（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：计算题；证明题．分析：由PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，我们不妨令PA=1，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．解答：证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．（4分）（Ⅰ），因为，所以CM⊥SN（6分）（Ⅱ），设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则令x=2，得a=（2，1，﹣2）．因为，所以SN与片面CMN所成角为45°．点评：如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=即可求解20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点（，1）一个焦点是F（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C交于点M、N两点，试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过将点（，1）代入椭圆方程、并利用a2﹣b2=1，计算即得结论；（2）分MN斜率不存在与存在两种情况讨论，当点P不在y轴上时，分别联立直线PA1方程、直线PA2方程与椭圆方程，计算出k QM、k QN即可．解答：解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）经过点（，1），∴①又∵椭圆的一个焦点是F（0，1），∴a2﹣b2=1 ②由①②得：a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：；（2）结论：直线MN恒经过定点Q（0，1）．证明如下：由（1）知a2=4，∴点P在直线y=4上，设P（t，4）．当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1）；当点P不在y轴上时，记A1（0，2）、A2（0，﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），则直线PA1方程：y=x+2=x+2，直线PA2方程：y=x﹣2=x﹣2，联立，得：（3+t2）x2+6tx=0，解得x1=﹣，y1=，∴k QM==，联立，得：（27+t2）x2﹣18tx=0解得x2=，y2=，∴k QN==，∵k QM==k QN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，由此能求出a．（2）k＜对任意x＞1恒成立，等价于k＜对任意x＞1恒成立，求出右边的最小值，即可求得k的最大值．解答：解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1；（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx∴k＜对任意x＞1恒成立，等价于k＜对任意x＞1恒成立令g（x）=，则g′（x）=令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1，则h′（x）=1﹣=＞0∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x0，满足x0∈（3，4），且h（x0）=0当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增∴g（x）min=g（x0）==∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0∈（3，4），∴整数k的最大值为3．点评：本题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，属于中档题．22．（10分）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD 相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF=4BF=4，求线段BC的长．考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：立体几何．分析：（Ⅰ）连结AM，由AB为直径可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，由此能证明A、E、F、M四点共圆．（Ⅱ）连结AC，由A、E、F、M四点共圆，得BF•BM=BE•BA，由此能求出线段BC的长．解答：（Ⅰ）证明：如图，连结AM，由AB为直径可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，所以∠AEF=∠AMB=90°，因此A、E、F、M四点共圆．（4分）（Ⅱ）解：连结AC，由A、E、F、M四点共圆，所以BF•BM=BE•BA，（6分）在RT△ABC中，BC2=BE•BA，（8分）又由MF=4BF=4知BF=1，BM=5，所以BC2=5，．（10分）点评：本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．考点：直线的参数方程；参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．解答：解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（5分）（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …（8分）又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）点评：本题考查直线的参数方程与圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．24．设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|（Ⅰ）解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，求实数a取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用绝对值的意义可得数轴上的到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，从而求得不等式f（x）≥2的解集．（Ⅱ）由题意可得|a﹣2|≥f max（x），而由绝对值的意义可得f max（x）=3，可得|a﹣2|≥3，由此求得不等式的解集．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，而数轴上的到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，故不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥}．（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，故|a﹣2|≥f max（x），而由绝对值的意义可得f max（x）=3，∴|a﹣2|≥3，∴a﹣2≥3，或a﹣2≤﹣3．解得a≥5，或a≤﹣1，即实数a取值范围为{a|a≥5，或a≤﹣1}．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．。
河南省信阳市2015届高三上学期第二次调研检测(期末)数学(理)试题(扫描版)
高三数学理科参考答案一、BCAAC DCABD CB 二、13．3 14. -10 15.2 16. 2三、17. 解：（Ⅰ）x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6π2sin(2++x ， 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时，()0f x =min ， 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π|. ……………… 6分 （Ⅱ）由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －，所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, ∴函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k -. ……… 12分18.解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ① 当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当n=1时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a . 又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L n nn T n n ③231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅L n n n n T n n n ④由③-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅L n n n n T n 23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅L n n n n T n∴62)23(1-⋅-=-+n n n T ∴62)32(2+⋅-=+n n n T∴数列{}n c 的前n 项和62)32(1+⋅-=+n n n T ……………………………12分19. 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．∴ 0.0125x =． ..........................3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ∵12000.12144⨯=，∴1200名新生中有144名学生可以申请住宿.................... 6分（Ⅲ）∵X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． .................. 10分812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或1414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． ................. 12分20．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.∴椭圆C 的标准方程是12622=+y x . ……………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线P Q 的方程为x ＝my +2，将直线P Q 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3.设M 为P Q 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm .∵TF ⊥P Q ，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入上式，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得3=t . ………………………………………………12分21.解.（Ⅰ）由1e )(--=ax x f x ，得a x f x -='e )(.又11)0(-=-='a f ，∴2=a .∴12e )(--=x x f x ，2e )(-='x x f . 由02e )(>-='x x f ，得2ln >x .∴函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增. …………4分 (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e)2(ln )(2ln min -=--==f x f .∴4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x，04ln 22e >-≥-x x.令1e )(2--=x x g x ，则02e )(>-='x x g x.∴)(x g 在),0(+∞上单调递增，∴0)0(1e )(2=>--=g x x g x ， ∴1e 2+>x x.…………（8分） (Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x>. 令331e )(x x h x-=，则2e )(x x h x -='. 由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴01)0()(>=>h x h ，所以331e x x>. ∴)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+.依次取nn x 1,,23,12+=Λ，代入上式，则 12ln 33ln 12>+，23ln 33ln 23>+，ΛΛnn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312nn n n n +⨯⨯⨯>+++++ΛΛ∴()1ln 33ln )131211(+>++++++n n n n Λ，∴()n n n n--+>++++3ln 1ln 3131211Λ，即()n n n n e31ln 1312113+>++++Λ……………………………………12分22. (Ⅰ)∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角 ∴ABP ∆∽CAP ∆ …………………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分(Ⅱ)由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2 ∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分 又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DB CD AB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分 又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分23．解：(Ⅰ)（方法一）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x即4)3(22=+-y x ∴曲线C 是圆心为(3,0)，半径为2的圆.∵直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分 ∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α ………5分 ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 ………6分 (法二)将05cos 62=+-θρρ化成直角坐标方程为05622=+-+x y x ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-+ααsin cos 105622t y t x x y x 消去y x ,得012cos 82=+-αt t …………4分 ∵ l 与C 相切 ∴ Δ=64α2cos -48=0 解得cos α=23±∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 …………6分 (Ⅱ)设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= ………9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分24．解：(Ⅰ)∵ab b a ab 2222≥+= 即ab ab ≥ ∴1≤ab ………2分 又2b211≥≥+a b a 当且仅当b a =时取等号. ∴ 2m = ………5分 (Ⅱ)()f x 2|1||1|||≥+≥++-=tt t x t x ………9分 ∴ 满足条件的实数x 不存在. ………10分。
2014-2015年河南省名校高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣65．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．37．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．39．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．10．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣5，﹣1]D．[﹣2，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．14．（5分）图中阴影部分的面积等于．15．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．复数对应点的坐标（），在第四象限．故选：A．2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合M={x|y=lg}，，解得：0＜x＜1，M={x|0＜x＜1}，∴∁R M={x|x≤0或x≥1}N={y|y=x2+2x+3}={y|y≥2}，（∁R M）∩N=[2，+∞）故选：C．3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（﹣，0），∴sinα+cosα＞0，∴（sinα+cosα）2=1+sin2α=，∴sinα+cosα=，故选：A．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣6【解答】解：∵当x＜0时，f （x）=x﹣e﹣x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6﹣e ln6=﹣ln6﹣6，又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6+6故选：A．5．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．3【解答】解：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．9．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，所以a1+a2015=a1003+a1013=π，b7•b8=b6•b9=2，所以tan=tan=．故选：D．10．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣5，﹣1]D．[﹣2，1]【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，可得出函数图象关于x=1对称，且函数在（﹣∞，1）上减，由此得出自变量离1越近，函数值越小，综合考虑四个选项，四个选项中的集合中都有﹣1，0不存在于A，C两个选项的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通过验证a的值取0与1时两种情况得出正确选项．当a=0时，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）变为f（2）≤f（x﹣1），有函数f（x）图象特征可得出|2﹣1|≤|x﹣1﹣1|，解得x≥3或x≤1，满足，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，由此排除A，C两个选项．当a=1时，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）变为f（x+2）≤f（x﹣1），有函数f（x）图象特征可得出|x+2﹣1|≤|x﹣1﹣1|，解得x≤，不满足不等式f（ax+2）≤f （x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，由此排除D选项．综上可知，B选项是正确的．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．【解答】解：∵已知tan（θ﹣π）=2=tanθ，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3=+3=+3=+3=，故答案为．14．（5分）图中阴影部分的面积等于1．【解答】解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：115．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为1．【解答】解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是（1）（2）（4）．【解答】解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，f （x ）max =f （1）=21﹣1=20=1，f （x ）min =f （0）=20﹣1=，故（3）错误； （4）当x ∈（3，4）时，x ﹣4∈（﹣1，0），4﹣x ∈（0，1）， ∴f （4﹣x ）=（）1﹣（4﹣x ）=，又f （x ）是周期为2的偶函数，∴f （4﹣x ）=f （x ）=，（4）正确．综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4）， 故答案为：（1）（2）（4）．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f （x ）的最大值，并写出使f （x ）取最大值是x 的集合； （Ⅱ）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若．求a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=cos （2x ﹣）+2cos 2x=（cos2xcos +sin2xsin）+（1+cos2x ）=cos2x ﹣sin2x +1=cos （2x +）+1，（3分）∵﹣1≤cos （2x +）≤1，即cos （2x +）最大值为1，∴f （x ）的最大值为2，（4分） 要使f （x ）取最大值，cos （2x +）=1，即2x +=2kπ（k ∈Z ），解得：x=kπ﹣（k ∈Z ），则x 的集合为{x |x=kπ﹣（k ∈Z ）}；（6分）（Ⅱ）由题意，f （B +C ）=cos [2（B +C ）+]+1=，即cos （2π﹣2A +）=，化简得：cos （2A ﹣）=，（8分）∵A ∈（0，π），∴2A ﹣∈（﹣，），则有2A﹣=，即A=，（10分）在△ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，∴a2≥4﹣3=1，则a取最小值1．（14分）18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，∴．（2）∵b n=log2a n==n，∴c n==．∴数列{c n}的前n项和T n=+…+==．∵对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，∴，化为=．∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号．∴，∴．∴实数k的取值范围是．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC．…（2分）因为AA1=AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C．所以AC1⊥平面A1BC，所以A1B⊥AC1．…（5分）（Ⅱ）以OC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，）．=（2，2，0），=（0，1，），设=（x，y，z）是面ABB1的一个法向量，则•=0，•=0，即，取x=，得=（，﹣，1）．同理面CBB1的一个法向量为=（0，﹣，1）．…（10分）因为cos＜＞=．二面角A﹣BB 1﹣C是锐二面角，所以二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．…（12分）20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．【解答】（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0时，f（x）=x2，因为x＞0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），从而“∀x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，设，g′（x）=+，则g（x）≥g（1）=﹣1，从而，﹣1＜a＜0；综上所述，常数a的取值范围﹣1＜a≤0．（3）证明：直接计算知，设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，当a＞e（e﹣1）2或时，＜0，因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；当时，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以g（x）有最小值，且，此时存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0．综上所述，∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴∠ABC=∠BCD．又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，∴∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．∴△BEC∽△CBD，∴，∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a ﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．。