动量和角动量

０一叶一世界

第四章 动量和角动量

§4.1 动量守恒定律

一、冲量和动量

1.冲量

定义：力的时间积累。

dt F I d =或?

=21

t t dt F I

2.动量

定义：v m P

= 单位：kg.m/s

千克.米/秒

二、动量定律

1.质点动量定理

内容：质点所受的合外力的冲量等于质点动量的改变量。 冲量的方向与动量改变量的方向相同。 在直角坐标系下的表示

平均冲力：1

22

1

t t dt

F F t t -=

?

1

212

t t P P --= 2.质点系动量定理

系统所受合外力的冲量等于系统总动量的改变量。

三、动量守恒定律

条件：若系统所受的合外力0=合F

，则：

结论：=

∑i

i i v m 恒量

１一叶一世界

四、碰撞

1、恢复系数 10

201

2v v v v e --=

2、碰撞的分类

完全弹性碰撞 0=e 机械能不损失 完全非弹性碰撞 1=e 机械能损失 完全弹性碰撞 10<

【典型题例】

利用动量守恒定律解题时首先要分析系统的受力情况，若整个系统的合外力为零，则系统的动量守恒，若合外力不为零，但在某一方向合力为零，则该方向动量守恒；其次，写出动量守恒的矢量表达式；再次，

【例4-1】煤粉由传送带A 上方高为h=0.05m 自由落下,其流量为q m =40kg/s 。传送带A 以v=2.0m/s 的速度匀速向右移动，求煤粉对传送带A 的作用力。

【解】 煤粉落至传送带A 上的速度为：

gh v 20=

，方向坚直向下

煤粉与传送带A 相互作用的Δt 时间内，落至传送带A 上的煤粉

质量为：

t q m m ?=?。

设煤粉所受传送带的平均冲力为f ，建立如图例3-4图解所示

的坐标系，由质点系动量定理得：

与水平方向的夹角为

【讨论】 由于煤粉连续落在传送带上，考察t ?时间内有m ?（视为质点）的动量改变，按动量定理可求出平均冲力。另外，求冲力时，应忽略煤粉给传送带正压力。

【例4-2】 质量为M 半径为R 的4/1圆周弧型滑槽，静止于光滑桌面上。质量为m 的小物体由弧的上端A 处静止滑下，如图例3-5图所示，当滑到最低点B 时，求滑槽M 在水平面上移动的距离。 【解】选例3-5图解所示的坐标系，取m 和M 作为系统。在m 下滑过程中，系统在水平方向受到的合外力为0，因此水平方向的动量守恒。以v

和V

分别表示下滑过程中任一时刻m 和M 对地

的速度，则：

v 例3-5图dx

例3-3图

l

(b)例3-4图x

(a)

l

A

v

图3

0Y

X

例3-4图解

例3-5图

v

v

M

B

k 1

m 1

A k 2

A

x

y

例3-5图解

２一叶一世界

即

就整个下落的时间对此式积分 因而有

由于位移的相对性R S s -=，将此式代入上式得

【讨论】 本题牵涉相对运动，特别指明的是m 和M 的系统对地（而不是对M ）在水平方向动量守恒，求解时应首先说明m 是针对地还是M 的速度。此距离值S 与弧型槽面是否光滑无关，只要M 下面的水平地面光滑就行了。

【例4-3】 一小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞。试证明：碰后两球或者交换速度，或者沿互相垂直的方向离开。

【解】 设两球的质量都为m ，碰撞前运动球的速度为10v ，碰撞后两球的速度分别为1v 和2v

，由于系统的动量和机械能（动能）守恒：

结论：（1）1021,0v v v ==，交换速度（正碰）

（2）1012,0v v v ==，不可能（因静止球受到了力的作用，不可能再静止） （1）21v v

⊥，相互垂直（斜碰）

【分类习题】

【4-1】 F 作用于一质量为kg 0.1的质点上，使质点沿x 轴运动。已知运动方程为

243t t x -=)(3SI t +。在s 40-内，求

（1）力F 的冲量； （2）力F 对质点的功。

【4-2】 将质量为m 的小球自高为0y 处以速率0v 水平抛出（图3-13），与地面碰撞后小球跳起的最大高度为

2

y ，水平速率为20v 。则碰撞过程中，地面对小球的垂直冲量大小为 ，方

向为 ；地面对小球的水平冲量大小为 ，方向为 。

【4-3】 质量为kg 25.0的质点受力)(SI i t F =，0=t 时该质点以速度s m j /2

通过原点。求该质点t

时刻的位置矢量。

【4-4】 有两物体A 和B 紧靠放在光滑水平桌面上，已知A 和B 的质量分别为kg 2和kg 3（图3-15）。

一质量为g 100的子弹以s m v /800=的速率水平射入物体A ，经s 01.0又射入物体B 并停于B 内。设子弹在A 中受摩擦力为N 3

103?。求：

（1）子弹射入A 过程中，B 受A 的作用力大小。 （2）当子弹留在B 中时，A 与B 的速度大小。

【4-5】 m 千克水以速率v 进入弯管，经时间t 后以相同速率流出，（图3-16），在管子拐弯处，水对管壁的平均冲力的大小为 ，方向为 （不计水

的重量）。

【4-6】一木船以速率v 向湖边驶近, 一人静止站在木船上，已知

人

图3-16

v

m 1

A

k

图3-18

A

α

３一叶一世界

和木船的质量分别为m 和M ，设湖水静止，阻力不计。如人相对船以'

v 沿船前进的方向向湖岸跳去，求跳后船向前的速率。并讨论此人从大船跳上岸容易还是从小船跳上岸容易。

【4-7】如图3-18所示，水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹。炮身 质量为M ，炮身仰角为α，炮弹质量为m ，炮弹刚出口时相对于炮身的速率为u ，不计地面摩擦。 （1）求炮弹刚出口时，炮车的反冲速度的大小； （2）若炮筒长为l ，求发炮过程中炮车移动的距离。

【4-8】 质量分别为1m 和2m 的自由质点，放于光滑水平面上，它们之间的作用符合万有引力定律。开始时，它们均处于静止状态并且相距为l ，求它们相距为2/l 时，其速度各为多少？

【4-9】质量为1m 和2m 的小车A 和B ，分别带有弹性系数为1k 和2k 的理想弹簧缓冲器，车A 以速率0v 碰撞静止的车B （图3-20）。忽略弹簧质量及所有摩擦。求两车相对静止时，其间的作用力。（提示：串联弹

簧的等效弹性系数21/1/1/1:k k k

k +=）

【4-10】 弹性系数为k 的弹簧两端分别连接质量为m 和m 3的物体A 和B 。系统放于光滑地面上，A 紧靠墙（图3-21），用力推物体B 使弹簧压缩0x 后释放。求： （1）释放后，两物体速度相等时的速度大小；

（2） 释放后，弹簧的最大伸长量。

提示：物体B 到达自然长度处，作为系统动量守恒的初状态。

§4-2角动量守定律

【基本内容】

一、角动量

如图3.1：

大小：αsin mrv L =，方向：由右手定则确定。

二、角动量定理

质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。

三、角动量守恒定律

条件：若质点所受的合力矩为零0=M

则： 质点的角动量保持不变。

=L

恒矢量

推论：质点在有心力作用下，其角动量守恒。 有心力是恒定指向力心的力。

R L

P=m v

图3.1

α

４一叶一世界

【典型题例】

用角动量守恒定律解题时，首先要分析系统的受力情况；其次，根据系统对固定点或定轴的力矩是否为零，判断系统的角动量守恒，并写出角动量守恒的矢量表达式；最后选择角动量的正方向，求出结果。

【例4-4】 在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量为kg m 1=的滑块，如图所示。弹簧自然长度为m l 2.00=，倔强系数为m N k /100=。开始时，滑块在自然长度处以s m v /50=

垂直于弹簧运动，当弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度m l 5.0=。求此时滑块的速度。

【解】 由角动量和机械能守恒

结论：对于有心力问题，系统对力心处的角动量守恒。

【分类习题】

【4-11】 光滑桌面上，绳的一端系一物体，另一端穿过桌面中心的小孔，物体以角速度0ω绕小孔作半径为R 的圆周运动。今将绳从小孔缓慢往下拉2/R （图3-22），在往下拉的过程中，物体的动

量、动能、对小孔的角动量三者中保持不变的物理量是 ，末状态物体的角速度=ω 。

【4-12】 地球与太阳的质量分别为m 和M ，地球绕太阳作半径为R 的圆周运动，已知引力常数为G 。求地球对太阳的轨道角动量。

【4-13】 质量均为70kg 的两滑冰运动员，以6.5s m /等速反向滑行，滑行路线的垂直距离为10m 。当彼此交错时，各抓住10m 长绳子的两端，然后相对旋转。则各自对中心的角动量=L ，当各自收绳到绳长为5m 时，各自速率为=v 。

【4-14】 身高和体重均相同的两人甲和乙，分别握住跨过无摩擦定滑轮的绳子两端，

滑轮与绳子质量不计。两人均以初速度为0开始向上爬，已知甲对绳的速度是乙对绳的速度的两倍，则两人到达顶点的顺序为 （填甲先到、乙先到、同时到达）。

【4-15】角动量为L ，质量为m 的人造卫星，在半径为r 圆轨道上运行，试求它的

动能、势能、总能量和运行周期。

【4-16】 质量为M 的短试管用长为L 的轻直杆悬挂（图3-27），试管内有乙醚液滴，试管用质量为m 的软木塞封闭，加热试管时，软木塞在乙醚蒸汽的作用下飞出，要使试

管绕o 点在竖直平面内作一完整的圆周运动，则软木塞飞出的最小速度为多少？如将直杆换为细绳而其它条件不变，上面答案如何？

第四章 动量和角动量答案

【4-1】 Ns 16，J 176【4-2】 042.2gy m ，向上；2/0mV ，向左【4-3】 )(23

23SI j t i t

+

【4-4】 （1）1.8N 3

10?，s m s m /6.22,/6)2(【4-5】 ,/t mv 向下【4-6】 /

V m

M m

V +-

大船

图3-27

图3-21M

L

k 2

m

2

B

k

A

B

图3-22

图3-21k

A

B

图3-22

图3-27

M

0m

L λ-α

v

B B

ξ

例3-5图

λ

例3-4图

M (b)m 0A dx

x

V A

V/2

例3-3图

l /4

(b)

(a)

l /4

v 0

v

θ

例3-7图

５一叶一世界

【4-7】 m

M

mu

+αcos )1(m M ml +αcos )

2(【4-8】 )(22121m m l G

m v +=，)

(22112m m l G m v +=

【4-9】 )

)((21212

1210

m m k k m m k k v ++【4-10】 （1）

043x m

m k

，

（2）2/0x 【4-11】 角动量，04ω 【4-12】 GMR m 【4-13】 s m Nms /13,2275 【4-14】 同时

【4-15】 222m r L E k = 2

2m r L E P

-= 222mr L E -= L m r T 2

2π=【4-16】 gL m M 2 gL m

M 5