动量和角动量
第4章 动量和角动量
0
N
f
Mg
u
θ mg y x
∫ (Mg + mg + N + f )dt = Mv + m(v +u) −0 τ (1) x方向： ∫ fdt = −Mv + m(−v + u cosθ )— 方向： 方向 τ y方向： 方向： 方向 ∫ (N − Mg − mg)dt = musinθ —(2)
mv = ( M + m)u
m
m M
细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 只有重力作功 机械能守恒！ 机械能守恒！ 1 ( m + M ) u 2 = ( m + M ) g l (1 − c o s α ) 2 入射物体的速度： 入射物体的速度：
N
dP F= dt
∑ F + ∑∑
i =1 i i =1 j ≠ i
N
N
dpi d N f ij = ∑ = ∑ pi dt i =1 iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1 dt
N
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：
∫ (∑ F )dt = ∑ p − ∑ p
tf ti i f i i i
i
或： I = ∑ I i = P f − P i
P = ∑ pi = 常矢量
i= i =1
N
注意
——质点系动量守恒定律 质点系动量守恒定律
1. 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 尽管总动量不守恒） （尽管总动量不守恒）
∑ p α = const.
i i
2. 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程，外力 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程， 与内力相比小很多。 与内力相比小很多。 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量） 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量）相比之 下可以忽略不计。 下可以忽略不计。 我们可以有近似的动量守恒。 我们可以有近似的动量守恒。 3. 动量定理只适用于惯性系 4. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定 在牛顿力学的理论体系中， 律的推论。 律的推论。 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律， 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观 和微观领域、低速和高速范围均适用。 和微观领域、低速和高速范围均适用。
第4章动量和角动量
用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计)
解 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将 落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平
v
dm
向右为正。
m
F
t 时刻系统的水平总动量：
m v dm 0mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: m d v m (v m d m )v
dt 时间内水平总动量的增量： d p (m d m )v m v d v m
④ 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合 外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。
N
当Fx 0时，
mivix px 常量
i＝1
当Fy 0时，
N
miviy py 常 量
i＝1
当Fz 0时，
N
miviz pz 常 量
i＝1
⑤ 动量守恒定律只适用于惯性系。
例题4-3 质量为M，仰角为α的炮车发射了一枚质量为m的炮
dt
F dtdp — 动量定理的微分式
2）积分形式： 对上式积分，
t2
v Fdt
t1
pv2 pv1
dpv
即：
t2
v Fdt
pv
— 动量定理的积分式
t1
在一个过程中，质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。
说明
1、反映了过程量与状态量的关系。 2、I 与p 同向3、。 只适用于惯性系。
从动量定理可以知道,在相等的冲量作用下,不同质量的物体, 其速度变化是不相同的,但它们的动量的变化却是一样的,所以从 过程角度来看,动量比速度能更能恰当地反映了物体的运动状态。 因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比用速度更 确切些。动量是描述物体机械状态的状态参量。
03动量和角动量
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理
物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理动量定理和动量角动量定理是物理学中非常基本的两个概念。
它们的内容涉及到我们对物体运动规律的认识，不仅有助于我们更好地理解物理学知识，还可以应用于现实生活中的一些问题。
下面，我们将分别介绍这两个概念及其应用。
一、动量定理动量定理是描述物体运动过程中动量变化的一个基本定理。
它指出：在总外力作用下，物体的动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力和时间的乘积成正比。
这个定理的表达方式为：Δp=Ft其中，Δp表示物体动量的变化量，F表示物体所受的总外力，t 表示外力作用的时间。
式子的意义是：在总外力作用下，物体动量的变化量等于总外力作用时间的乘积。
重物移动时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么物体的动量就会发生更大的变化。
从而可以更快地推动物体运动起来。
同样，如果要让运动中的物体停下来，也可以利用动量定理的知识。
通过对物体施加一个与它的运动方向相反的恒定力，也就是反向加速度，可以让物体的动量逐渐减小，直到物体停下来。
二、动量角动量定理动量角动量定理是物理学中另一个基本的概念。
它是通过描述物体绕某一点旋转的行为，来了解物体运动过程中动量变化的定理。
它指出：在物体绕某一点旋转时，物体的角动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力矩和时间的乘积成正比。
这个定理的表达方式为：ΔL=Mt其中，ΔL表示物体角动量的变化量，M表示作用力矩，t表示外力作用的时间。
式子的意义是：在物体绕某一点旋转时，物体角动量的变化量等于力矩作用时间的乘积。
个陀螺时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么陀螺的角动量也会发生更大的变化。
从而可以更快地让陀螺旋转。
同样，如果要让旋转中的陀螺停下来，也可以利用动量角动量定理的知识。
通过对陀螺施加一个与它的旋转方向相反的外力矩，也就是反向加速度矩，可以让陀螺的角动量逐渐减小，直到陀螺停下来。
总之，动量定理和动量角动量定理是物理学中非常重要的两个概念。
它们既可以帮助我们更好地理解物理学知识，也可以用于实际生活中的问题解决。
动量和角动量守恒定律
动量和角动量守恒定律动量和角动量守恒定律是物理学中两个重要的守恒定律，它们在描述物体运动过程中起到了关键作用。
本文将对动量和角动量守恒定律的概念、原理以及应用进行详细的讲解。
一、动量守恒定律动量是物体运动的核心概念，它定义为物体质量与其速度的乘积。
动量的守恒定律表明，在一个系统中，如果没有外力作用，系统的总动量将保持恒定不变。
动量守恒定律可以用数学公式表示为：Σmv = 常数，其中Σ表示对系统中所有物体的动量求和，m为物体的质量，v为物体的速度。
例如，考虑一个闭合系统，系统中有两个物体A和B，它们分别具有动量m₁v₁和m₂v₂。
根据动量守恒定律，如果没有外力作用，则系统的总动量为m₁v₁ + m₂v₂，即系统动量守恒。
动量守恒定律的应用非常广泛。
在交通事故中，当两车相撞后，虽然车辆的速度和方向可能发生了改变，但整个系统的总动量保持不变，这可以解释为车辆之间的动量传递。
二、角动量守恒定律角动量是描述物体旋转运动的重要物理量，它定义为物体的转动惯量与其角速度的乘积。
角动量的守恒定律表明，在一个系统中，如果没有外力矩作用，系统的总角动量将保持恒定不变。
角动量守恒定律可以用数学公式表示为：ΣIω = 常数，其中Σ表示对系统中所有物体的角动量求和，I为物体的转动惯量，ω为物体的角速度。
例如，考虑一个旋转的物体系统，系统中有多个物体，它们分别具有角动量I₁ω₁、I₂ω₂等。
根据角动量守恒定律，如果没有外力矩作用，则系统的总角动量为I₁ω₁ + I₂ω₂，即系统角动量守恒。
角动量守恒定律的应用也非常广泛。
例如，在天体运动中，行星绕太阳旋转的过程中，由于没有外力矩作用，它们的角动量保持不变。
三、动量和角动量守恒定律的应用动量和角动量守恒定律在解决物体运动问题时具有广泛的应用。
1. 弹性碰撞在弹性碰撞中，两个物体在碰撞过程中会发生能量和动量的交换，但整个系统的动量守恒。
通过运用动量守恒定律，可以计算出碰撞前后物体的速度和动量的变化。
角动量和动量的转化关系
角动量和动量的转化关系角动量和动量是物理学中两个重要的概念，它们之间存在着转化关系。
本文将详细解释角动量和动量的含义，并探讨它们之间的转化关系。
我们来了解一下角动量的概念。
角动量是描述物体旋转状态的物理量。
对于一个质点，其角动量可以通过其质量、速度和距离旋转轴的位置来确定。
角动量的大小与旋转物体的质量、速度和旋转半径有关。
当旋转物体的质量增加、速度增加或旋转半径增加时，角动量也会增加。
而动量是描述物体运动状态的物理量。
动量等于物体的质量乘以其速度。
动量是一个矢量量，具有大小和方向。
当物体的质量增加或速度增加时，动量也会增加。
在物理学中，角动量和动量之间存在着转化关系。
在旋转运动中，物体的角动量可以转化为动量，而动量也可以转化为角动量。
这种转化关系可以通过以下两种情况来解释：情况一：物体的角动量转化为动量。
当一个旋转物体突然停止旋转，其角动量会转化为线性动量。
这是因为旋转物体在旋转时具有角动量，当它停止旋转时，角动量会转化为物体的线性动量。
这就是我们常说的角动量守恒定律。
情况二：动量转化为角动量。
当一个物体在运动过程中受到外力的作用，其动量会转化为角动量。
这是因为外力的作用会改变物体的运动状态，使其发生旋转运动，从而产生角动量。
通过上述两种情况可以看出，角动量和动量之间存在着转化关系。
它们之间的转化是相互联系的，不可分割的。
这种转化关系在物理学中具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
在实际应用中，角动量和动量的转化关系被广泛应用于航天、机械工程、天文学等领域。
例如，火箭发射时，燃料的动量转化为火箭的角动量，从而使火箭得以旋转并产生推力。
再如，地球的自转使得地球具有角动量，而地球自转的角动量又转化为地球的动量，影响地球的运动轨迹。
角动量和动量是物理学中两个重要的概念，它们之间存在着转化关系。
角动量描述物体的旋转状态，而动量描述物体的运动状态。
角动量可以转化为动量，动量也可以转化为角动量。
物理动量和角动量
02
角动量
定义
总结词
角动量是描述旋转运动的物理量，表示物体转动惯量和角速度的乘积。
详细描述
角动量是描述旋转运动的物理量，它等于物体转动惯量和角速度的乘积。转动惯量是描述物体转动惯 性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。角速度是描述物体旋转快慢的物理量，等于物 体转过的角度与时间的比值。
乒乓球的旋转速度和方向决定了球的 轨迹和落点，对于比赛结果具有重要 影响。因此，乒乓球运动员需要熟练 掌握各种旋转球技术，以提高比赛水 平。
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动量的计算公式
总结词
动量的计算公式是质量与速度的乘积 。
详细描述
动量的计算公式为 P=mv，其中 P 表示 动量，m 表示质量，v 表示速度。这个 公式用于计算物体的动量，是物理学中 常用的基本公式之一。
动量的矢量性
总结词
动量是一个矢量，具有方向和大小。
详细描述
动量具有矢量性，表示物体运动的方向和大小。在物理学中，动量的方向与速度 的方向一致，大小等于质量与速度的乘积。矢量性是动量最基本的性质之一，对 于描述物体的运动状态和变化趋势非常重要。
角动量的计算公式
总结词
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。
详细描述
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。转动惯量 I 是由物体的质量分布和旋转轴的位置决定的， 可以通过质心坐标系和刚体转动轴的垂直距 离计算得出。角速度 ω 是描述物体旋转快慢 的物理量，等于物体转过的角度与时间的比
动量的守恒定律
总结词
在没有外力作用的情况下，封闭系统中的总动量保持不变。
动量与角动量
开始的速度：
1） m1 m2
Lz Lz 0
Mz 0
Lz 0
m1
m2
角动量守恒
v2 v1
m1 R( v2 v1 ) 0
Mz 0 dLz / dt 0
同时到达
2） m1 m2
m2v2 m1v1
Lz Lz 0
v2 v1
体重轻的先到达
1 pc 3 . 3 l . y .
以人跳下的速度水平分量为正
2 m ( u v 1 ) Mv 1 0
第一人跳下时车的速率为 v0
m( u v0 ) ( M m )v0 0
第二人跳下时车的速率为 v2
m ( u v 2 ) Mv 2 ( M m ) v 0
得：
v2 mu(
1 M m
行星受引力（有心力）作用 太阳（力心）为坐标原点 引力臂为0， 角动量守恒。
r r
v
r
r
m
r sin
o
L m v r sin α r r r sin S C m r sin 2 m 2m t 2t t
六 质点系角动量定理 角动量守恒定律 1 质点系角动量定理
Lr p
2 质点的角动量定理
M
dL dt
dL dt
dr dt
pr
dp dt
v prF
合力
p
r F M
m
F
合力矩
o
r
o r
合力矩改变质点的角动量 对不同的坐标原点，角动量定理始终存在
动量与角动量 一 概念（定义、计算）
动量和角动量
[例4-3] 质量为m的行李，垂直地轻放在传送带上，传送
带的速率为v ，它与行李间的摩擦系数为μ， 试计算：(1)
行李将在传送带上滑动多长时间? (2) 行李在这段时间内运
动多远? (3) 有多少能量被摩擦所耗费? m 解: (1) 以地面为参照系
v
O (2) 由质点动能定理
x
(或：
)
(3) 被摩擦损耗的能量等于一对摩擦力做的功
F (t)dt
Ii 如F
Fiti
方向不变
t1
t2
I F (t)dt
t1
F
t1
t2 t
2、特性
a、矢量性
I
t2
t1
Fdt
I
I xiˆ
I
y
ˆj
Ik kˆ
t2
t1
Fx dtiˆ
t2
t1
Fydtˆj
t2
t1
Fz dtkˆ
Ix
t2
t1
Fx dt
４－３ 碰 撞 问 题 collision
Current measurements suggest that, in about three billion years, the Milky Way and Andromeda galaxies may collide.
一、碰撞过程 １、压缩阶段
２、恢复碰撞
基态 第一类：
激发态
总动能减少而内能坛加
第二类：
总动能坛加而内能减少
二、恢复系数 正碰
弹性碰撞
分离速度： 接近速度：
弹性碰撞 ｅ＝１ 完全非弹性碰撞 ｅ＝０ 非弹性碰撞有 0<e<1
角动量和动量的转化关系
角动量和动量的转化关系一、引言角动量和动量是物理学中两个重要的概念，它们在描述物体运动时起着关键的作用。
本文将通过深入探讨角动量和动量之间的转化关系，以展示它们之间的联系和相互关系。
二、角动量和动量的定义2.1 角动量的定义角动量是描述物体旋转运动的物理量。
它是由物体的质量、角速度和旋转轴决定的。
根据刚体的定义，刚体是指其内部任意两点之间的距离保持不变的物体。
对于一个刚体，其角动量的表达式可表示为：L=I⋅ω其中，L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
转动惯量是刚体质量分布的一种度量，其大小与物体的形状和质量分布有关。
2.2 动量的定义动量是描述物体线性运动的物理量。
它是由物体的质量和速度决定的。
根据牛顿第二定律，物体的动量的表达式可表示为：p=m⋅v其中，p表示动量，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
动量是一个矢量，它的方向与速度的方向一致。
三、角动量和动量的转化关系3.1 转动惯量与质量之间的关系在刚体的转动运动中，转动惯量是描述物体抵抗转动的性质。
对于一个质点的转动惯量，其定义可表示为：I=m⋅r2其中，I表示转动惯量，m表示质点的质量，r表示质点到转轴的距离。
可以看出，质量对转动惯量的大小有直接影响。
3.2 角速度和线速度之间的关系在刚体的转动运动中，角速度和线速度之间存在一定的关系。
对于一个刚体的线速度和角速度，其关系可以表示为：v=ω⋅r其中，v表示线速度，ω表示角速度，r表示质点到转轴的距离。
可以看出，角速度和线速度之间存在着一定的比例关系。
3.3 角动量和动量之间的转化关系在刚体的转动运动中，角动量和动量之间存在着转化关系。
根据定义可得到：L=I⋅ωp=m⋅v将角动量的定义式和动量的定义式相对比，可以发现它们之间的形式非常相似。
通过进一步分析可以得出：L=p⋅r也就是说，角动量等于动量乘以质点到转轴的距离。
这一关系表明，角动量和动量之间存在着直接的转化关系。
四、角动量和动量的实际应用角动量和动量的转化关系在物理学中具有广泛的应用。
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０一叶一世界第四章 动量和角动量§4.1 动量守恒定律一、冲量和动量1.冲量定义：力的时间积累。
dt F I d =或⎰=21t t dt F I2.动量定义：v m P= 单位：kg.m/s千克.米/秒二、动量定律1.质点动量定理内容：质点所受的合外力的冲量等于质点动量的改变量。
冲量的方向与动量改变量的方向相同。
在直角坐标系下的表示平均冲力：1221t t dtF F t t -=⎰1212t t P P --= 2.质点系动量定理系统所受合外力的冲量等于系统总动量的改变量。
三、动量守恒定律条件：若系统所受的合外力0=合F，则：结论：=∑ii i v m 恒量１一叶一世界四、碰撞1、恢复系数 102012v v v v e --=2、碰撞的分类完全弹性碰撞 0=e 机械能不损失 完全非弹性碰撞 1=e 机械能损失 完全弹性碰撞 10<<e 机械能损失【典型题例】利用动量守恒定律解题时首先要分析系统的受力情况，若整个系统的合外力为零，则系统的动量守恒，若合外力不为零，但在某一方向合力为零，则该方向动量守恒；其次，写出动量守恒的矢量表达式；再次，【例4-1】煤粉由传送带A 上方高为h=0.05m 自由落下,其流量为q m =40kg/s 。
传送带A 以v=2.0m/s 的速度匀速向右移动，求煤粉对传送带A 的作用力。
【解】 煤粉落至传送带A 上的速度为：gh v 20=，方向坚直向下煤粉与传送带A 相互作用的Δt 时间内，落至传送带A 上的煤粉质量为：t q m m ∆=∆。
设煤粉所受传送带的平均冲力为f ，建立如图例3-4图解所示的坐标系，由质点系动量定理得：与水平方向的夹角为【讨论】 由于煤粉连续落在传送带上，考察t ∆时间内有m ∆（视为质点）的动量改变，按动量定理可求出平均冲力。
另外，求冲力时，应忽略煤粉给传送带正压力。
【例4-2】 质量为M 半径为R 的4/1圆周弧型滑槽，静止于光滑桌面上。
质量为m 的小物体由弧的上端A 处静止滑下，如图例3-5图所示，当滑到最低点B 时，求滑槽M 在水平面上移动的距离。
【解】选例3-5图解所示的坐标系，取m 和M 作为系统。
在m 下滑过程中，系统在水平方向受到的合外力为0，因此水平方向的动量守恒。
以v和V分别表示下滑过程中任一时刻m 和M 对地的速度，则：v 例3-5图dx例3-3图l(b)例3-4图x(a)lAv图30YX例3-4图解例3-5图vvMBk 1m 1A k 2Axy例3-5图解２一叶一世界即就整个下落的时间对此式积分 因而有由于位移的相对性R S s -=，将此式代入上式得【讨论】 本题牵涉相对运动，特别指明的是m 和M 的系统对地（而不是对M ）在水平方向动量守恒，求解时应首先说明m 是针对地还是M 的速度。
此距离值S 与弧型槽面是否光滑无关，只要M 下面的水平地面光滑就行了。
【例4-3】 一小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞。
试证明：碰后两球或者交换速度，或者沿互相垂直的方向离开。
【解】 设两球的质量都为m ，碰撞前运动球的速度为10v ，碰撞后两球的速度分别为1v 和2v，由于系统的动量和机械能（动能）守恒：结论：（1）1021,0v v v ==，交换速度（正碰）（2）1012,0v v v ==，不可能（因静止球受到了力的作用，不可能再静止） （1）21v v⊥，相互垂直（斜碰）【分类习题】【4-1】 F 作用于一质量为kg 0.1的质点上，使质点沿x 轴运动。
已知运动方程为243t t x -=)(3SI t +。
在s 40-内，求（1）力F 的冲量； （2）力F 对质点的功。
【4-2】 将质量为m 的小球自高为0y 处以速率0v 水平抛出（图3-13），与地面碰撞后小球跳起的最大高度为2y ，水平速率为20v 。
则碰撞过程中，地面对小球的垂直冲量大小为 ，方向为 ；地面对小球的水平冲量大小为 ，方向为 。
【4-3】 质量为kg 25.0的质点受力)(SI i t F =，0=t 时该质点以速度s m j /2通过原点。
求该质点t时刻的位置矢量。
【4-4】 有两物体A 和B 紧靠放在光滑水平桌面上，已知A 和B 的质量分别为kg 2和kg 3（图3-15）。
一质量为g 100的子弹以s m v /800=的速率水平射入物体A ，经s 01.0又射入物体B 并停于B 内。
设子弹在A 中受摩擦力为N 3103⨯。
求：（1）子弹射入A 过程中，B 受A 的作用力大小。
（2）当子弹留在B 中时，A 与B 的速度大小。
【4-5】 m 千克水以速率v 进入弯管，经时间t 后以相同速率流出，（图3-16），在管子拐弯处，水对管壁的平均冲力的大小为 ，方向为 （不计水的重量）。
【4-6】一木船以速率v 向湖边驶近, 一人静止站在木船上，已知人图3-16vm 1Ak图3-18Aα３一叶一世界和木船的质量分别为m 和M ，设湖水静止，阻力不计。
如人相对船以'v 沿船前进的方向向湖岸跳去，求跳后船向前的速率。
并讨论此人从大船跳上岸容易还是从小船跳上岸容易。
【4-7】如图3-18所示，水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹。
炮身 质量为M ，炮身仰角为α，炮弹质量为m ，炮弹刚出口时相对于炮身的速率为u ，不计地面摩擦。
（1）求炮弹刚出口时，炮车的反冲速度的大小； （2）若炮筒长为l ，求发炮过程中炮车移动的距离。
【4-8】 质量分别为1m 和2m 的自由质点，放于光滑水平面上，它们之间的作用符合万有引力定律。
开始时，它们均处于静止状态并且相距为l ，求它们相距为2/l 时，其速度各为多少？【4-9】质量为1m 和2m 的小车A 和B ，分别带有弹性系数为1k 和2k 的理想弹簧缓冲器，车A 以速率0v 碰撞静止的车B （图3-20）。
忽略弹簧质量及所有摩擦。
求两车相对静止时，其间的作用力。
（提示：串联弹簧的等效弹性系数21/1/1/1:k k kk +=）【4-10】 弹性系数为k 的弹簧两端分别连接质量为m 和m 3的物体A 和B 。
系统放于光滑地面上，A 紧靠墙（图3-21），用力推物体B 使弹簧压缩0x 后释放。
求： （1）释放后，两物体速度相等时的速度大小；（2） 释放后，弹簧的最大伸长量。
提示：物体B 到达自然长度处，作为系统动量守恒的初状态。
§4-2角动量守定律【基本内容】一、角动量如图3.1：大小：αsin mrv L =，方向：由右手定则确定。
二、角动量定理质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
三、角动量守恒定律条件：若质点所受的合力矩为零0=M则： 质点的角动量保持不变。
=L恒矢量推论：质点在有心力作用下，其角动量守恒。
有心力是恒定指向力心的力。
R LP=m v图3.1α４一叶一世界【典型题例】用角动量守恒定律解题时，首先要分析系统的受力情况；其次，根据系统对固定点或定轴的力矩是否为零，判断系统的角动量守恒，并写出角动量守恒的矢量表达式；最后选择角动量的正方向，求出结果。
【例4-4】 在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量为kg m 1=的滑块，如图所示。
弹簧自然长度为m l 2.00=，倔强系数为m N k /100=。
开始时，滑块在自然长度处以s m v /50=垂直于弹簧运动，当弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度m l 5.0=。
求此时滑块的速度。
【解】 由角动量和机械能守恒结论：对于有心力问题，系统对力心处的角动量守恒。
【分类习题】【4-11】 光滑桌面上，绳的一端系一物体，另一端穿过桌面中心的小孔，物体以角速度0ω绕小孔作半径为R 的圆周运动。
今将绳从小孔缓慢往下拉2/R （图3-22），在往下拉的过程中，物体的动量、动能、对小孔的角动量三者中保持不变的物理量是 ，末状态物体的角速度=ω 。
【4-12】 地球与太阳的质量分别为m 和M ，地球绕太阳作半径为R 的圆周运动，已知引力常数为G 。
求地球对太阳的轨道角动量。
【4-13】 质量均为70kg 的两滑冰运动员，以6.5s m /等速反向滑行，滑行路线的垂直距离为10m 。
当彼此交错时，各抓住10m 长绳子的两端，然后相对旋转。
则各自对中心的角动量=L ，当各自收绳到绳长为5m 时，各自速率为=v 。
【4-14】 身高和体重均相同的两人甲和乙，分别握住跨过无摩擦定滑轮的绳子两端，滑轮与绳子质量不计。
两人均以初速度为0开始向上爬，已知甲对绳的速度是乙对绳的速度的两倍，则两人到达顶点的顺序为 （填甲先到、乙先到、同时到达）。
【4-15】角动量为L ，质量为m 的人造卫星，在半径为r 圆轨道上运行，试求它的动能、势能、总能量和运行周期。
【4-16】 质量为M 的短试管用长为L 的轻直杆悬挂（图3-27），试管内有乙醚液滴，试管用质量为m 的软木塞封闭，加热试管时，软木塞在乙醚蒸汽的作用下飞出，要使试管绕o 点在竖直平面内作一完整的圆周运动，则软木塞飞出的最小速度为多少？如将直杆换为细绳而其它条件不变，上面答案如何？第四章 动量和角动量答案【4-1】 Ns 16，J 176【4-2】 042.2gy m ，向上；2/0mV ，向左【4-3】 )(2323SI j t i t+【4-4】 （1）1.8N 310⨯，s m s m /6.22,/6)2(【4-5】 ,/t mv 向下【4-6】 /V mM mV +-大船图3-27图3-21MLk 2m2BkAB图3-22图3-21kAB图3-22图3-27M0mL λ-αvB Bξ例3-5图λ例3-4图M (b)m 0A dxxV AV/2例3-3图l /4(b)(a)l /4v 0vθ例3-7图５一叶一世界【4-7】 mMmu+αcos )1(m M ml +αcos )2(【4-8】 )(22121m m l Gm v +=，)(22112m m l G m v +=【4-9】 ))((212121210m m k k m m k k v ++【4-10】 （1）043x mm k，（2）2/0x 【4-11】 角动量，04ω 【4-12】 GMR m 【4-13】 s m Nms /13,2275 【4-14】 同时【4-15】 222m r L E k = 22m r L E P-= 222mr L E -= L m r T 22π=【4-16】 gL m M 2 gL mM 5。