第四讲 旅行商问题
组合优化中的旅行商问题
组合优化中的旅行商问题组合优化问题是指在给定的集合或者结构中，寻找一个最优解或者一个近似最优解的问题。
而旅行商问题是组合优化中的一个经典问题，也是一个NP困难问题。
它的问题描述是：给定一些城市和它们之间的距离，求解一个最短路径，使得每个城市只经过一次，并且最后能够回到起始城市。
旅行商问题在实际生活中有着广泛的应用，比如物流配送、电路板布线、旅游路线规划等。
由于问题的复杂性，寻找解决该问题的最优算法一直是学术界和工业界的研究热点。
为了解决旅行商问题，已经提出了一系列的算法。
下面将介绍其中几种常见的算法。
1. 穷举法穷举法是最简单的解决旅行商问题的方法之一。
它的思想是对所有可能的路径进行穷举，计算路径的总长度，并选择其中最短的路径作为结果。
然而，由于旅行商问题的解空间巨大(复杂度是O(n!))，穷举法在问题规模较大时计算量会非常庞大，因此不适用于大规模问题。
2. 动态规划法动态规划法是另一种解决旅行商问题的常用方法。
它的思想是通过将问题分解成多个子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的解。
具体来说，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从城市i出发，经过集合j中的城市一次后，回到起始城市的最短路径长度。
通过动态规划的递推公式，可以求解出dp数组中的所有元素，从而得到整个问题的最优解。
3. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化和遗传机制的搜索算法。
它通过模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，逐步优化解的质量。
在解决旅行商问题时，可以将每个可能的路径编码成一个染色体，并用适应度函数评估每个染色体的优劣。
然后通过选择、交叉和变异等操作，使得优秀的染色体得以传递下去，最终得到一个接近最优解的路径。
4. 其他启发式算法除了上述提及的算法，还有一些启发式算法常被用于解决旅行商问题，如蚁群算法、模拟退火算法和遗传算法等。
这些算法多为基于自然现象和启发式规则的搜索算法，可以有效地在大规模数据集上求解旅行商问题。
旅行商问题
3,具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图,简称H图.
4,总长最小的哈密尔顿回路称为最优哈密尔顿回路; 总长最小的旅行商回路称为最优旅行商回路.
定理1:任意一个完全图 K n 必是H图.
算法:分支定界法
当旅行商问题数学模型 去掉一个条件(1.7)后,就是 一个指派问题,根据指 派问题的算法,得到旅 行商问题 的分支定界法.
1,定界 (1)任意选取一条 H 回路作为上界的初始值 ; ( 2 )每一行每一列减去本行 本列的最小值,得到距 离 矩阵 W = ( w ij )的简化形式,简化总量 构成原问题的一 下界,当简化矩阵中的 零元素构成一条哈密尔 顿回路 时,得到原问题的最优 解. (3)若不然,分支.
大多数情况下,最优旅行商问题可归结为最优哈 密尔顿回路问题,但迄今还无有效算法
旅行商问题(TSP,traveling salesman problem) 管梅谷教授1960年首先提出,国际上称之 为中国邮递员问题. 问题描述:一商人去n个城市销货,所有 城市走一遍再回到起点,使所走路程最 短.
数学模型: min ∑ dij xij
�
第六节 旅行商问题
问题:商人从某驻地出发,经所要去的城市至 少一次,然后返回原地,应如何安排其旅行路 线,使总的旅行路线最短? 应用:流水线作业生产线顺序安排问题,机组 人员轮班安排问题,教师任课班级负荷分配问 题等等. 问题实质:在赋权图中寻找一通过每个顶点至 少一次的回路问题
一,定义
1,旅行商回路:在一个无 向图G (V , E )中,经过每个 顶点至少一次的回路.
பைடு நூலகம்
图论 旅行商问题
故最优解为S6 ，其长度为32。
计算要掌握两个要点：
1. 按字典序逐一考察各边集；
2. 每次考察完一个边集后，应考虑是否可以 用过滤条件(当前d0值)跳过一些不必要情形的 考察，因为比当前d0值差的情形不需考虑。
6
4. 近似算法－－“便宜”算法
分支定界法虽可求得旅行售货员问题的准确 最优解，但计算复杂度为O(n!)，故对大型问 题需寻找近似算法求解。 需采用近似算法往往需要增加一些限制， 以便能够提高计算速度和近似程度：
例 求v1到其它各点的最短路。
v4
4
2 1 2 -2 令d(v1)=0, 则:
vi v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 7 8 11 8 9 v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 7 6 10 8 8 v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 7 6 10 8 8
例
5 16
1 4 20 3 4
10
9 11
10 4
3
2 13
1) 边按权排序(由小到大), d0:=∞ 边： a35 a24 a15 a14 a12 a13 a34 a23 a45 a25 权： 3 4 4 9 10 10 11 13 16 20
4
边： a35 a24 a15 a14 a12 a13 a34 a23 a45 a25 权： 3 4 4 9 10 10 11 13 16 20 2) 分支定界： S1: a35 a24 a15 a14 a12 , 非H回路,d(S1)=30; S2: a35 a24 a15 a14 a13 , 非H回路,d(S2)= 30； S3: a35 a24 a15 a14 a34 , 非H回路,d(S3)=31 ； S4: a35 a24 a15 a14 a23 , H回路, d0:= 33; S5: a35 a24 a15 a12 a13 , 非H回路,d(S5)=31; S6: a35 a24 a15 a12 a34 , H回路,d(S6)=32, d0:= 32; S7: a35 a24 a15 a13 a34 , 非H回路,d(S6)=32; S8: a35 a24 a14 a12 a13 , 非H回路,d(S6)=36; 继续下去所得组长度会比S8差，故可终止计算。
关于旅行商问题的数学模型
关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。
本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。
1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。
旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。
城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。
例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。
2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。
2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。
3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。
因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。
旅行商问题
一、 问题描述旅行商问题:给定一个完全无向带权图G=(V,E)，其每条边(u,v)∈E 有一非负整数权值w(u,v)。
要求找出G 的一条经过每个顶点一次且仅经过一次的回路，使得该回路上所有边的权值之和尽可能地小。
二、 算法分析旅行商问题的各个城市间的距离可以用代价矩阵来表示，就是邻接矩阵表示法。
如果E j i ∉),(，则∞=ij c 。
先说明旅行商问题具有最优解结构。
设s s s s p ,,.....,,21是从s 出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s 到下一个城市1s 已经求出，则问题转化为求1s 到S 的最短路径，显然s s s s p ,,.....,,21一定构成一条从1s 到S 的最短路径，如果不然，设s r r r s q ,,.....,,,211是一条从1s 到S 的最短路径且经过n-1个城市，则s r r r s s q ,,.....,,,,211将是从S 出发的路径长度最短的简单回路且比s s s s s p ,,.....,,,21要短，从而导致矛盾。
所以，旅行商问题一定满足最优性原理。
穷举法：穷举法解决旅行商问题的思路很简单，就是遍历所有可能的情况，然后把符合条件（最短）的路径找到并输出可以了。
动态规划法：假设从顶点i 出发，令)',(V i d 表示从顶点i 出发经过V ’中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i 的最短路径的长度，开始时，V ’=V-{i}，于是，旅行商问题的动态规划函数为：)({}),()'})}({',(min{)',(i k c k d V k k V k d c V i d ki ik ≠=∈-+=)2()1( 下面举个实例说明算法的执行过程。
下图是无向带权图的邻接矩阵表示法：⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞=763C323∞ 226∞ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤∞237在上图所示的带权图中，从城市0出发，经城市1，2，3然后回到城市0的最短路径长度为：})}2,1{,3(}),3,1{,2(}),3,2{,1(min{})3,2,1{,0(030201d c d c d c d +++=这是最后一个阶段的决策，它必须知道})3,1{,3(}),3,1{,2(}),3,2{,1(d d d 的计算结果，而：})}2{,3(}),3{,2(min{})3,2{,1(1312d c d c d ++=})}1{,3(}),3{,1(min{})3,1{,2(2321d c d c d ++= })}1{,2(}),2{,1(min{})2,1{,3(3231d c d c d ++=这一阶段的决策又依赖于下面的计算结果：{}),2(})2{,3({}),,3(})3{,2({}),,2(})2{,1(322312d c d d c d d c d +=+=+= {}),1(})1{,3({}),,1(})1{,2({}),,3(})3{,1(312113d c d d c d d c d +=+=+= 而下面的就可以直接获得（括号中是该策略引起的路径）：)03(7{}),3(),02(6{}),2(),01(3})0{,1(302010>-==>-==>-==c d c d c d向前推导，可以得到：)23(862{}),2(})2{,3()13(633{}),1(})1{,3()12(532{}),1(})1{,2()32(972{}),3(})3{,2()31(1073{}),3(})3{,1()21(862{}),2(})2{,1(323121231312>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=>-=+=+=d c d d c d d c d d c d d c d d c d再向前推导有：)23(7}7,11min{})}1{,2(}),2{,1(min{})2,1{,3()32(8}8,12min{})}1{,3(}),3{,1(min{})3,1{,2()21(11}11,11min{})}2{,3(}),3{,2(min{})3,2{,1(323123211312>-==++=>-==++=>-==++=d c d c d d c d c d d c d c d 最后有：})}2,1{,3(}),3,1{,2(}),3,2{,1(min(})3,2,1{,0(030201d c d c d c d +++=)302010(14}14,14,14min{}77,86,113min{>->->-==+++=or or所以，从顶点0出发的旅行商问题的最短路径长度为14，其中一条路径为01320>->->->-。
图算法--旅行商问题
图算法--旅⾏商问题旅⾏商问题的描述试想⼀下，⼀个业务员因⼯作需要必须访问多个城市。
他的⽬标是每个城市只访问⼀次，并且尽可能地缩短旅⾏的距离，最终返回到他开始旅⾏的地点，这就是旅⾏商问题的主要思想。
在⼀幅图中，访问每个顶点⼀次，并最终返回起始顶点，这个访问的轨迹称为哈密顿圈。
要解决旅⾏商问题，需要⽤图G=（V，E）作为模型，寻找图中最短的哈密顿圈。
G是⼀个完整的、⽆⽅向的带权图，其中V代表将要访问的顶点的集合，E为连接这些顶点的边的集合。
E中每条边的权值由顶点之间的距离决定。
由于G中⼀个完整的、⽆⽅向的图，因此E包含V（V-1）/2条边。
事实上，旅⾏商问题是⼀种特殊的⾮多项式时间问题，称为NP完全问题。
NP完全问题是指那些多项式时间算法未知，倘没有证据证明没有解决的可能性的问题。
考虑到这种思想，通常⽤⼀种近似算法来解决旅⾏商问题。
最近邻点法的应⽤⼀种近似的计算旅⾏商路线的⽅法就是使⽤最近邻点法。
其运算过程如下：从⼀条仅包含起始顶点的路线开始，将此顶点涂⿊。
其他顶点为⽩⾊，在将其他顶点加⼊此路线中后，再将相应顶点涂⿊。
接着，对于每个不在路线中的顶点v，要为最后加⼊路线的顶点u与v之间的边计算权值。
在旅⾏商问题中，u与v之间边的权值就是u到v 之间的距离。
这个距离可以⽤每个顶点的坐标计算得到。
两个点（x1，y1）与（x2，y2）之间距离的计算公式如下：r = √（x2 - x1）2 + （y2 - y1）2 （注意是求和的平⽅根）利⽤这个公式，选择最接近u的顶点，将其涂⿊，同时将其加⼊路线中。
接着重复这个过程，直到所有的顶点都涂成⿊⾊。
此时再将起始顶点加⼊路线中，从⽽形成⼀个完整的回路。
下图展⽰了使⽤最近邻点法来解决旅⾏商问题的⽅法。
通常，在为旅⾏商问题构造⼀个图时，每个顶点之间相连的边不会显⽰表⽰出来，因为这种表⽰会让图不清晰了，也没有必要。
在图中，每个顶点旁边都显⽰其坐标值，虚线表⽰在此阶段需要⽐较距离的边。
旅行商问题
有n个城市，一个推销员要从其中某一个城市出发，
唯一走遍所有的城市，再回到他出发的城市，求最短 的路线。
解 ： 假 设 任 意 两 个 城 市 之 间 都 有 路 相 连 ， 且 用 c ij 表 示 从 城 市 i 到 城 市 j的 路 程 ， E {1, 2， ， n } x ij 1, 推 销 员 从 城 市 i 直 达 城 市 j 0 , 推 销 员 没 有 从 城 市 i直
x ij 1, i E ;
i E 且 i j
x ij 1, j E ;
i S j S
x ij 1, S E 且 S
x ij 0 或 1， i , j S
“旅行商问题”的应用领域包括：
如何规划最合理高效的道路交通，以减少拥堵； 如何更好地规划物流，以减少运营成本；
i S j S
x ij 1, S E 且 S
( 2 ) 任 何 一 个 子 集 中 ， 边 数 顶 点 个 数 -1
i S j S
x ij S 1, S E 且 2 S n 1
m in z
( i , j ) E
c ij x ij
在互联网环境中如何更好地设置节点，以更好地让信 息流动等.
m in z
i E j E
c ij x ij
推销员唯一走遍所有的城市：
j E 且 j i
x ij 1, i E ;
i E 且 i j
x ij 1, j E ;
则可能出现
S
E/S
第四讲 旅行商问题
p2 (2, 3, 4) 4 p2 (3, 2, 4) 4 p2 (4, 2,3) 2
当k=3时，即从v1城开始，中间经过三个城市(顺序随便)回 到v1城的最短距离是：
f3 (1, 2， 3， 4) min f 2 (2, 3, 4) d 21 , f 2 (3, 2, 4) d31 , f 2 (4, 2,3) d 41 min 20 8,18 5, 22 6 23
vj
1
0 5 6 3
2
3 0 4 7
3
6 2 0 5
4
7 3 2 0
作业
• 求解5个城市的旅行商问题。
1 1 2 3 4 0 12 23 34 2 10 0 9 32 3 20 18 0 4 4 30 30 5 0 5 40 25 10 8
5
45
11
10
0
例： 求解四个城市旅行推销员问题，其距离矩阵 如表所示。当推销员从v1城出发，经过每个城市一 次且仅一次，最后回到v1城，问按怎样的路线走， 使总的行程距离最短。
vi 1 2 3 4
vj
1 0 8 5 6
2 6 0 8 5
3 7 9 0 5
4 9 7 8 0
解: 由边界条件可知：
f0 (2, ) d12 6, f0 (3, ) d13 7, f0 (4, ) d14 9
动态规划模型
• 设S表示从V1到Vi中间所有可能经过的城市集合，S实际上是包 含除V1与Vi两个点之外其余点的集合，但S中的点的个数要随 阶段数改变。 • 状态变量（i，S）表示：从V1点出发，经过S集合中所有点一 次最后到达到Vi
• 最有指标函数fk(i, S)为从V1出发经由k个城镇的S到Vi的最短距 离
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动态规划模型
• 设S表示从V1到Vi中间所有可能经过的城市集合，S实际上是包 含除V1与Vi两个点之外其余点的集合，但S中的点的个数要随 阶段数改变。 • 状态变量（i，S）表示：从V1点出发，经过S集合中所有点一 次最后到达到Vi
• 最有指标函数fk(i, S)为从V1出发经由k个城镇的S到Vi的最短距 离
第四讲 旅行商问题
讲授：白丹宇
问题描述
货郎担问题在运筹学里是一个著名的命题。有一个串村 走户卖货郎，他从某个村庄出发，通过若干个村庄一次且 仅一次，最后仍回到原出发的村庄。问应如何选择行走路 线，能使总的行程最短。类似的问题有旅行路线问题，应 如何选择行走路线，使总路程最短或费用最少等。 现在把问题一般化。设有n个城市，以v1，v2，…，vn表 示之。dij表示从vi城到vj城的距离。一个推销员从城市v1 出发到其他每个城市去一次且仅仅是一次，然后回到城 市v1。问他如何选择行走的路线，使总的路程最短。这 个问题属于组合最优化问题，当n不太大时，利用动态 规划方法求解是很方便的。
p3 (1,2,3,4) 2
由此可知，推销员的最短旅行路线是1→2→4→3→1，最短 总距离为23。
旅行商问题应用
• 物资运输路线问题 • 自动焊机割咀路线问题 • 管道铺设路线问题
课堂练习
• 求解四个城市的旅行商问题。问应如何选择行进路线， 使从v1的出发到其他城市一次且仅一次，再回到v1的总 路程最短？ vi 1 2 3 4
• 决策变量Pk(i, S)表示：从V1经由k个中间城镇的S到Vi城镇的最 短路线上邻接Vi的前一个城镇，则动态规划的顺序递推关系为
f k (i, S ) min f k 1 ( j, S \ j) d j i
js
f 0 (i, ) d1i 为空集 (k 1, 2,, n 1，i 2,3,, n )
例： 求解四个城市旅行推销员问题，其距离矩阵 如表所示。当推销员从v1城出发，经过每个城市一 次且仅一次，最后回到v1城，问按怎样的路线走， 使总的行程距离最短。
vi 1 2 3 4
vj
1 0 8 5 6
2 6 0 8 5
3 7 9 0 5
4 9 7 8 0
解: 由边界条件可知：
f0 (2, ) d12 6, f0 (3, ) d13 7, f0 (4, ) d14 9
vj
1
0 5 6 3
2
3 0 4 7
3
6 2 0 5
4
7 3 2 0
作业
• 求解5个城市的旅行商问题。
1 1 2 3 4 0 12 23 34 2 10 0 9 32 3 20 18 0 4 4 30 30 5 0 5 40 25 10 85 Nhomakorabea45
27
11
10
0
当k=1时，即从v1城开始，中间经过一个城市到达vi城的最 短距离是：
f1 (2, 3) f 0 (3, ) d32 7 8 15 f1 (2, 4) f 0 (4, ) d 42 9 5 14 f1 (3, 2) 6 9 15 f1 (3, 4) 9 5 14 f1 (4, 2) 6 7 13 f1 (4, 3) 7 8 15
当k=2时，即从v1城开始，中间经过二个城市(它们的顺序随 便)到达vi城的最短距离是：
f 2 (2,[3, 4]) min f1 (3, 4) d32 , min 14 8,15 5 20 f 2 (3, 2, 4) min 14 9,13 5 18 f 2 (4, 2,3) min 15 7,15 8 22 f1 (4, 3) d 42
p2 (2, 3, 4) 4 p2 (3, 2, 4) 4 p2 (4, 2,3) 2
当k=3时，即从v1城开始，中间经过三个城市(顺序随便)回 到v1城的最短距离是：
f3 (1, 2， 3， 4) min f 2 (2, 3, 4) d 21 , f 2 (3, 2, 4) d31 , f 2 (4, 2,3) d 41 min 20 8,18 5, 22 6 23