旅行商问题_TSP_的几种求解方法
旅行商问题(TSP)
iS jS
除起点和终点外，各边不构成圈
xij
0, 1
(7 1) (7 2) (7 3)
5
0 8 5 9 12 14 12 16 17 22
8
0
9 15 17
8
11
18
14
22
5 9 0 7 9 11 7 12 12 17
9 15 7 0
lingo解决旅行商问题 model: sets: city/1..6/:u; link(city,city):dist,x; endsets data: dist=99999,702,454,842,2396,1196,
702,99999,324,1093,2136,764, 454,324,99999,1137,2180,798, 842,1093,1137,99999,1616,1857, 2396,2136,2180,1616,99999,2900, 1196,764,798,1857,2900,99999; enddata
C=v1,v2,…,vi,vj,…,vj-1,vi+1,vj+1,…,vm,v1 （3）C0C,重复步骤（2），直到条件不满足为止，最后得 到的C即为所求。
例对下图的K6,用二边逐次修正法求较优H圈.
较优H圈: 其权为W(C3)=192
分析: 这个解的近似程度可用最优H圈的权的下界与
其比较而得出.即利用最小生成树可得最优H圈的一个下界.
设C是G的一个最优H圈，则对G的任一顶点v, C-v是
G-v的生成树.如果T是G-v的最小生成树,且e1是e2与v关联
的边中权最小的两条边,则w(T)+w(e1)+w(e2)将是w(C)
关于旅行商问题的数学模型
关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。
本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。
1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。
旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。
城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。
例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。
2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。
2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。
3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。
因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。
TSP问题的近似算法
TSP问题的近似算法近似算法是解决优化问题的一种有效方法，它可以在较短时间内得到一个接近最优解的解，而不是花费大量时间去寻找最优解。
TSP问题（Traveling Salesman Problem）是一个经典的优化问题，它的目标是找到一条经过所有城市的最短路径。
这个问题是一个经典的NP难题，意味着在合理的时间内找到准确的最优解是不可能的，最多只能得到近似解。
因此，近似算法在TSP问题中具有重要的应用价值。
常见的近似算法包括贪心算法、局部搜索算法、动态规划算法等。
下面我们将介绍其中几种经典的算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的近似算法。
它的基本思想是每次选择当前最优解，直到得到一个接近最优解的解。
在TSP问题中，贪心算法的思路是从起点出发，每次选择距离当前城市最近的城市，直到遍历所有城市。
但是这种贪心策略往往不能得到最优解，因为它可能陷入局部最优解。
2. 局部搜索算法局部搜索算法是一种基于局部优化的近似算法。
它的基本思想是从一个随机的解出发，不断地进行局部搜索，直到得到一个接近最优解的解。
在TSP问题中，局部搜索算法的思路是从一个随机的解出发，通过交换城市的顺序来不断优化当前解，直到达到一定的迭代次数或无法继续优化为止。
这种算法的优点是效率高，缺点是易陷入局部最优解。
3. 动态规划算法动态规划算法是一种基于状态转移的近似算法。
它的基本思想是将一个复杂问题分解成若干个子问题，通过按顺序解决子问题来求解原问题。
在TSP问题中，动态规划算法通过定义状态、状态转移方程和初始状态来求解最短路径。
其时间复杂度为O(n^2*2^n)，因此不适用于大规模的问题。
总结以上是常见的几种近似算法，在实际运用中可以根据问题的特点选择合适的算法。
虽然这些算法不能得到准确的最优解，但它们可以在短时间内得到一个接近最优解的解，具有重要的实际应用价值。
tsp问题求解
已知n个城市之间的相互距离，现有一个推销员必须遍访这n个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回出发城市。
如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短？用图论的术语来说，假设有一个图g=(v,e)，其中v是顶点集，e是边集，设d=(dij)是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。
这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商问题(dij≠dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)。
若对于城市v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：min l=σd(t(i),t(i+1)) （i=1,…,n）旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个np难问题，其可能的路径数目与城市数目n是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采用遗传算法求其近似解。
遗传算法：初始化过程：用v1,v2,v3,…,vn代表所选n个城市。
定义整数pop-size作为染色体的个数，并且随机产生pop-size个初始染色体，每个染色体为1到18的整数组成的随机序列。
适应度f的计算：对种群中的每个染色体vi，计算其适应度，f=σd(t(i),t(i+1)).评价函数eval(vi)：用来对种群中的每个染色体vi设定一个概率，以使该染色体被选中的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例，既通过轮盘赌，适应性强的染色体被选择产生后台的机会要大，设alpha∈(0,1)，本文定义基于序的评价函数为eval(vi)=alpha*(1-alpha).^(i-1) 。
[随机规划与模糊规划]选择过程：选择过程是以旋转赌轮pop-size次为基础，每次旋转都为新的种群选择一个染色体。
TSP问题
lb=((1+3)+(3+6)+(1+2)+(3+4)+(2+3))/2=14
于是，得到了目标函数的界[14, 16]。 需要强调的是，这个解并不是一个合法的选择（可能没有 构成哈密顿回路），它仅仅给出了一个参考下界。
d(1, {2, 3})=min{c12+d(2, {3}), c13+ d(3, {2})}=min{2+5, 3+11}=7(1→2) d(2, {1, 3})=min{c21+d(1, {3}), c23+ d(3, {1})}=min{4+6, 2+12}=10(2→1) d(3, {1, 2})=min{c31+d(1, {2}), c32+ d(2, {1})}=min{7+8, 5+9}=14(3→2) 最后有：
③ 边(u, v) 加入解集合S后，S中不产生分枝；
∞3 3 2 6
C= 3 ∞ 7 3 2 3 7 ∞2 5
2 3 2∞3
6 2 5 3∞
1
52
2
4
3
(a) 5城市的代价矩阵 (b) 城市1→城市4
1
2 5
22
4
3
(c) 城市5→城市2
hopfield网络求解TSP问题
Hopfield神经网络求解TSP问题1.什么是TSP问题旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem），也是最优化问题。
一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
用数学语言描述TSP如下 :设有限个城市集合 : C = { C1 , C 2 , … , Cn }，每两个城市间的距离为 d（Ci，Cj）∈Z, 其中 Ci，Cj∈C（ 1<=i , j <=n), 即求 minL=∑d（Ci，Cj）的值的问题。
有效路径的方案数目为Rn=（（n-1）！/2）,例如:R4=3,R5=12,R6=120,R10=181440可见路径总数，随n增大而急剧增长,当城市数目增加到一定的程度,计算量增加到无法进行的地步，所以要选择一种合理快速的算法，而不能对所有情况使用人工列举的方法。
2.Hopfield神经网络介绍人工神经网络（Artificial Neural Networks，简写为ANNs）也简称为神经网络（NNs）或称作连接模型（Connection Model），它是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。
这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的.最基础的为BP、Hopfield网络等。
Hopfield网络是一种互连型网络的一种，它引入类似于Lyapunov 函数的能量函数概念，把神经网络的拓扑结构(用连接权矩阵表示)与所求问题(用目标函数描述)相对应，并将其转换为神经网动力学系统的演化问题。
3.神经元的数学模型人的大脑是由大量神经细胞或神经元组成的。
每个神经元可以看作为一个小的处理单元，这些神经元按照某种方式相互连接起来，构成大脑内部的生理神经元网络系统，他们中各个神经元之间连接的强弱不是固定不变的，而是按照外部的信号激励程度做自适应的变化，而每个神经元又随着接收到的多个激励信号的综合大小呈现兴奋或抑制状态。
旅行商问题应用题
旅行商问题应用题引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，其目标是在给定一组城市和城市之间的距离矩阵的情况下，寻找一条最短路径，使得所有城市恰好访问一次且最后回到起始城市。
本文将介绍旅行商问题的应用场景，并讨论如何解决该问题。
应用场景旅行商问题的应用广泛，以下是一些例子：物流配送在物流配送领域，快递员需要按照最短路径依次访问多个客户，以最大程度地减少路程和时间。
通过求解旅行商问题，我们可以确定最优的路线规划，提高物流效率。
电路板布线在电路板布线中，需要在不相互干扰的情况下，将多个元件连接起来。
通过将元件表示为城市，元件之间的连接成本表示为城市之间的距离，可以将布线问题转化为旅行商问题。
求解旅行商问题可以找到最优的布线方案，提高电路板的性能。
DNA测序在生物学领域中，DNA测序是一项非常重要的任务。
通过旅行商问题，可以确定测序机器在测序多个DNA样本时的最短路径，以减少测序时间和成本。
解决方法求解旅行商问题有多种方法，常见的有贪心算法、动态规划算法和遗传算法等。
下面分别简要介绍这些方法：贪心算法贪心算法是一种简单而常用的方法，它通过局部最优的选择来进行整体的优化。
在旅行商问题中，贪心算法每次选择最近的未访问城市进行访问，直到所有城市都被访问。
然而，贪心算法不能保证找到全局最优解，可能会陷入局部最优。
动态规划算法动态规划算法采用自底向上的方式，通过将问题分解为子问题，并使用一个表格来存储已解决的子问题的最优解，从而逐步求解整体问题。
在旅行商问题中，动态规划算法通过填充一个二维表格来记录每个子问题的最优解，最后得到全局最优解。
但是，动态规划算法的时间复杂度较高，不适用于问题规模较大的情况。
遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。
在旅行商问题中，遗传算法通过模拟基因的遗传、交叉和变异过程，生成多个路径方案，并利用适应度函数来评估每个方案的优劣，最终选择适应度较高的方案作为最优解。
求解TSP问题的几种算法比较
求解TSP问题的几种算法比较侯淑静【摘要】The traveling salesman problem (TSP) is an important problem for the classical discrete optimization, which is very important to study the solving algorithm. After the introduction of the greedy algorithm, taboo search algorithm, simulated annealing algorithm, genetic algorithm, the author put forward the corresponding algorithm. Aiming at the four typical examples in the test base, we realized implementation of these algorithms with procedures, and the running time and the results of these algorithms are compared. The results show that the greedy algorithm can draw the solution in a short time, the taboo search algorithm and genetic algorithm have the same effect, and the results of simulated annealing algorithm is better than those of genetic algorithm.%旅行售货商问题(简称TSP )是离散优化的一个经典的重要问题，对求解算法的研究非常重要。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
15 3
2 主要求解方法
基于 TSP 的问题特性, 构造型算法成为最先开 发的求解 算法, 如最 近邻 点、最 近合并、最近 插入、最 远插 入、最 近添 加、贪婪插入等。但 是, 由于构 造型算 法优化 质量较 差, 迄今 为止已开发了许多性 能较好的改进型搜索算法 [ 3] , 主要有:
1) 模拟退火算法 2) 禁忌搜索算法 3)H opfie ld神经网络优化算法 4) 蚁群算法 5) 遗传算法 6) 混合优化策略 2. 1 模拟退火算法方法 2. 1. 1 基本思想 模拟退 火算法 ( sim ula ted annea ling, SA ) 是 基于 M onte Car lo 迭代求解 策略的 一种随 机寻优 算法, 其 出发点是 基于 物理中固体物质的 退火过 程与 一般组 合优 化问 题之间 的相
1) 编码 选 择: 采 用 描 述 T SP 解的 最 常 用 的一 种 策 略 路径编码。 2) SA 状态产生函数的设计: 对 于基于路径编码的 SA状 态产生函数 操作, 可将其设计为: ① 互换操作 ( SWA P ); ② 逆 序操作 ( INV ); ③ 插入操作 ( IN S)。 3) SA 状 态 接 受 函数 的 设 计: m in{ 1, ex p( - / t) } > random [ 0, 1] 准则是作为接受新 状态的 条件最常 用的方 案, 其中 为新旧状态的目标值差, t为 温度 。 4) 初温和初始状态: 最常 用且 可理 解的 初温 确定 方案 是, 首先随机产生一组 状态, 确 定两两 状态 间的 最大目 标值 差: | m ax |, 然后由式 t0 = - m ax / lnpr, 其中 pr 为初始接受概 率 ( 理论上应接近 1, 实际设计时也可以取 0. 1)。初 始状态可 采用启发式算法 (如 2opt方 法 ) 快速得 到一个 解, 并以 此为 SA 的初始状态。 5) 退温函数的设计: 指数 退温 函数 是最 常用 的退 温策 略 ( tk = tk- 1, 为退温速率 ) 。 6) 温度修改准则和 算法 终止 准则 的设 计: 可 采用 阈值 法设计的 温度修改 和 算法终止 两准则 。 2. 2 禁忌搜索算法 2. 2. 1 基本思想 禁忌搜索 ( T abu Search或 T aboo Sea rch, 简称 T S) 是一 种亚启发式搜索技术 [ 4], 由 G lover在 1986年首次提出, 进而
似性。SA 算法由某一较高初温开始, 结合具有 概率突 跳特性 的 M etropo lis抽样策略在解空间中随机寻找目标函数的全局 最优解, 伴随温度参数 的不断 下降 重复抽 样过 程, 最终 得到 问题的全局最优解。
从算法结构知, 新状态产生函数、新状态 接受函数、退温 函数、抽样稳定准 则 和退 火结 束准 则 ( 简称 三函 数两 准则 ) 以及初始温度是直接 影响算法优化结果的主要环节 [ 3] 。 2. 1. 2 求解 T SP
SeveralM ethods for So lving Trave ling Sa lesm an P rob lem
T IAN G u i- chao, L IM ing, W E IX ue - jie
( D epa rtm en t of T est& C ontro l Eng inee ring, N anchang Institute o f A e ronautica l T echno logy, N anchang Jiangx i 330034, Ch ina)
简单 TS算法的 基本思想是: 给定 一个当 前解 ( 初始 解 ) 和一种邻域, 然后在当 前解的 邻域 中确定 若干 候选解 ; 若最 佳候选解对应的目标 值优于 best so far 状态, 则忽视 其禁 忌特性, 用其替代当前解和 best so far 状态, 并将相应的对 象加入禁忌表, 同时修 改禁忌 表中 各对象 的任 期; 若不 存在 上述候选解, 则选择在候选解中选择非禁 忌的最佳状 态为新 的当前解, 而无视它与 当前解 的优 劣, 同时 将相 应的对 象加 入禁忌表, 并修改禁忌 表中各 对象 的任期; 如此 反复上 述迭 代搜索过程, 直至 满足停 止准则。邻域函数、禁忌对 象、禁忌 表和藐视准则, 构成了禁忌搜索算法的关键。 2. 2. 2 求解 T SP
基于禁忌搜索算法的一般设 计原则, 对典型的组 合优化 问题 TSP, 其算法可以按如下方案实现:
1) 初始解: 可随机产生也可基于问题信息借助一些启发 式方法产生以保证一定 的初始性能。
2) 邻 域 结 构: 常 用 方 法 是 互 换 ( SWA P )、 插 入 ( INSERT )、逆序 ( INV ERSE) 等操作。
旅行商问题可分 为如下两类: 1) 对称旅行商问题 ( dij = dj i,
i, j = 1, 2, 3, , n );
基金项目: 国家自然基金 ( 60475002 ) 收稿日期: 2005 - 06 - 30
2) 非对称旅行商问题 ( dij dji, i, j = 1, 2, 3, , n )。 非对称旅行商问题较难求解 , 我们一 般是探讨对 称旅行 商问题的求解。
n
d ti,
t
i+
。
1
i= 1
T SP 是一个典型的组 合优化 问题, 并且是 一个 N P 完全
难题, 是诸多领域内出现的多种复杂问题 的集中概括 和简化
形式, 并且已成为各种 启发式 的搜 索、优化 算法 的间接 比较 标准。因此, 快速、有效地解决 T SP 有着重要的理论价 值和极
高的实际应用价值 [ 2]。
AB STRACT: T he T rave ling Sa lesm an P rob lem ( TSP) is one of the typ ical N P - Comp lete ha rd prob lem s in com b inato r ia l optim ization, wh ich is easy to be descr ibed but hard to be so lv ed. Its possible am ounts o f pa th increase ex ponentia lly w ith the am oun ts o f c ity, so it is v ery difficult to so lve. But to so lve T SP qu ick ly and effect ive ly has im por tant theo retica l v a lues and h igh pract ica l application va lue s. TSP is first in troduced in th is paper. T hen the ba sic thoughts o f six effec tiv e m ethods ( sim u la ted annea ling algo rithm, taboo search a lgo rithm, H opfie ld neura l ne two rks op tim iza tion a lg or ithm, ant co lony a lgo r ithm, genet ic a lgor ithm s and hybr id op tim iza tion stra tegy) for so lv ing TSP and the ir p ro ce sses are discussed. A t last, the advantage s and d isadvantage s o f the six m a in so lv ing m ethods are re spective ly ind icated, and the pro spect fo r the future o f so lv ing T SP is prov ided. K EYW ORDS: T rave ling salesm an prob lem ( T SP ); Com b ina tor ia l op tim iza tion; P ath; P ro spect
第 23 卷 第 08期 文章编号: 1006 - 9348( 2006) 08 - 0153 - 05
计算机仿真
2006年 08月
旅行商问题 ( TSP) 的几昌航空工业学院测试技术与控制工程系, 江西 南昌 330034)
摘要: 旅行商问题 ( TSP) 是组合优化领域里的一个典型的、易于描述却难以处理的 N P完全难题, 其可能的路径 数目与城市 数目是呈指数型增长的, 求解非常困难。而快速、有效地解决 TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。该文首先介 绍 了什么是 TSP, 接着论述了六种目前针对 TSP比较有效的解决方法 ( 模拟退火算法、禁忌搜索算法、H op f ield神经网络优化 算法、蚁群算法、遗传算法和混合优化策略 ) 的基本思想, 并且简单阐述 了它们的求解过 程, 最后分别指 出了各自的 优缺点 并对解决 TSP的前景提出了展望。 关键词: 旅行商问题; 组合优化; 路径; 展望 中图分类号: TP301. 6 文献标识码: A
若对于城市 V = { v1, v2, v3, , vn } 的一个访问顺序为 T
= { t1, t2, t3, , ti, , tn }, 其中 ti V ( i = 1, 2, 3, , n), 且
记 tn+ 1 = t1, 则 旅 行 商 问 题 的 数 学 模 型 为 [ 1]: m in L =
神经网络优化 算法就 是利 用神经 网络 中神 经元的 协同 并行计算能力来构造的优化算法 , 它将实 际问题的优 化解与 神经网络的稳定状态相对应, 把实际问题 的优化过程 映射为 神经网络系统的 演化过程 。H op field网络 是典型 的全连 接网 络, 通过在网络中引入 能量函 数以 构造动 力学 系统, 并 使网 络的平衡态与能量函数 的极小解相对应, 从而将求解 能量函 数极小解的过程转化为 网络向平衡态的演化过程。