高中数学人教A版选修2-1课件:3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1 2 4 + (������������' − ������������ ) 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 4 1 1 4 = ������������ + ������������ + ������������' = ������ + ������ + ������. 5 5 5 5 5 5
题型一
题型二
题型三
解:连接 AC,AD',AC'. = (a+b+c).
1 2 1 2 1 2 1 2
(1)������������ = (������������ + ������������') = (������������ + ������������ + ������������') (2)������������ = (������������ + ������������') = (������������ + 2������������ + ������������') = ������ +b+ ������. (3)������������ = (������������' + ������������') = [(������������ + ������������ + ������������') + (������������ + ������������')] = (������������ + 2������������ + 2������������') = ������ +b+c. (4)������������ = ������������ + ������������ = ������������
题型一
题型二
题型三
求向量的坐标 【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, ∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面ABCD, ∠PDA=30°,AE⊥PD.试建立适当的空间直角坐标系并求出图中各 点的坐标.
分析:由题意知,AP,AB,AD两两垂直,故以A为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 是BB1,D1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求E,F两点的坐标.
1 2
∴EF=AE· sin 60°=
������ 3 故������ 0, , ������ . 2 2
3 ������, ������������ 2
= ������������ · cos 60°= ,
������ 2
反思建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直 的三条直线,要在题目中找出或构造出这样的三条直线,因此要充 分利用题目中所给的垂直关系,即线线垂直、线面垂直、面面垂直, 要使尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的线段平行于坐标轴, 有直角的把直角边放在坐标轴上的原则.
题型一
题型二
题型三
解:以点 A 为坐标原点,以 AB,AD,AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AB=BC=a, ∴A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0). ∵AD=2a,∴D(0,2a,0). ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AD. 又∠PDA=30°,∴PA=ADtan 30°=
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
-1-
1.了解空间向量的正交分解的含义. 2.掌握空间向量的基本定理,并能用空间向量基本定理解决一些 简单问题. 3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐 标.
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示. ①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作������������ =a, ������������ =b, ������������ =c, ������������ =p; ②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平 面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点 A',B'; ③表示:于是存在三个实数 x,y,z,使������������' = ������������������ = ������a, ������������' = ������������������ = ������b, ������'������ = ������������������ = ������c; ④求和代入: ������������ = ������������' + ������'������ = ������������' + ������������' + ������'������ = ������������������ + ������������������ + ������������������ , 所以p=xa+yb+zc.
2.空间向量的坐标表示 剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相 垂直,且长都为1个单位,则这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}或 {e1,e2,e3}表示. (2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底 {i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、 y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz, 点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
2 3 ������ 3 2 3 ������, 3
∴������ 0,0,
.
易知平面 PAD⊥平面 ABCD,过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,则点 F 为点 E 在底面 ABCD 内的射影.
题型一
题型二
题型三
在 Rt△AED 中,∵∠EDA=30°,∴AE= ������������ = ������. 在 Rt△EFA 中,∠EAF=60°,
(4)空间任一点P的坐标的确定.过点P作平面xOy的垂线,垂足为 点P',在平面xOy中,过点P'分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点A,C, 则|x|=|P'C|,|y|=|AP'|,|z|=|PP'|,如图所示.
题型一
题型二
题型三
基底的概念 【例1】 若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作 为空间的一个基底. 分析:解答本题可以使用反证法,判断a+b,b+c,c+a是否共面,若不 共面,则可作为一个基底;否则,不能作为一个基底. 解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ和μ,使得 a+b=λ(b+c)+μ(c+a), ∴a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
1 1 2 3 1 1 1 (b+c)− (a+b+c)=− ������. 3 3 3
题型一
题型二
题型三
反思利用空间向量的一组基底{a,b,c}可以表示出任意一个空间向 量.要注意结合图形,灵活地应用向量的三角形法则、平行四边形 法则及向量的数乘运算.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中, ������������ =a, ������������ =b, ������������' =c,P 是 CA'的中点,M 是 CD'的中点,N 是 C'D'的中点,点 Q 是 CA'上的点,且 CQ∶QA'=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量: (1)������������; (2)������������; (3)������������; (4)������������.
(2)唯一性:设还有实数x',y',z',使p=x'a+y'b+z'c,而p=xa+yb+zc, 则xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c, 所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0. 又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'. 所以p=xa+yb+zc的表示形式是唯一的.
������ = 1, ∵{a,b,c}是基底,∴ ������ = 1, 此方程组无解. ������ + ������ = 0,
∴a+b,b+c,c+a不共面. ∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.
题型一
题型二
题型三
反思判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是看 它们是否共面,常用反证法来判断.
又������������ = ������������ − ������������ ,
2 3 2 3
2 3
������������ = ������������ = × (������������ + ������������ ) = (b+c), ∴ ������������ =
1 2
1 1 4 1 1 4 = ������������ + ������������ + ������������' = ������ + ������ + ������. 5 5 5 5 5 5
题型一
题型二
题型三
解:连接 AC,AD',AC'. = (a+b+c).
1 2 1 2 1 2 1 2
(1)������������ = (������������ + ������������') = (������������ + ������������ + ������������') (2)������������ = (������������ + ������������') = (������������ + 2������������ + ������������') = ������ +b+ ������. (3)������������ = (������������' + ������������') = [(������������ + ������������ + ������������') + (������������ + ������������')] = (������������ + 2������������ + 2������������') = ������ +b+c. (4)������������ = ������������ + ������������ = ������������
题型一
题型二
题型三
求向量的坐标 【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, ∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面ABCD, ∠PDA=30°,AE⊥PD.试建立适当的空间直角坐标系并求出图中各 点的坐标.
分析:由题意知,AP,AB,AD两两垂直,故以A为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 是BB1,D1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求E,F两点的坐标.
1 2
∴EF=AE· sin 60°=
������ 3 故������ 0, , ������ . 2 2
3 ������, ������������ 2
= ������������ · cos 60°= ,
������ 2
反思建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直 的三条直线,要在题目中找出或构造出这样的三条直线,因此要充 分利用题目中所给的垂直关系,即线线垂直、线面垂直、面面垂直, 要使尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的线段平行于坐标轴, 有直角的把直角边放在坐标轴上的原则.
题型一
题型二
题型三
解:以点 A 为坐标原点,以 AB,AD,AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AB=BC=a, ∴A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0). ∵AD=2a,∴D(0,2a,0). ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AD. 又∠PDA=30°,∴PA=ADtan 30°=
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
-1-
1.了解空间向量的正交分解的含义. 2.掌握空间向量的基本定理,并能用空间向量基本定理解决一些 简单问题. 3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐 标.
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示. ①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作������������ =a, ������������ =b, ������������ =c, ������������ =p; ②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平 面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点 A',B'; ③表示:于是存在三个实数 x,y,z,使������������' = ������������������ = ������a, ������������' = ������������������ = ������b, ������'������ = ������������������ = ������c; ④求和代入: ������������ = ������������' + ������'������ = ������������' + ������������' + ������'������ = ������������������ + ������������������ + ������������������ , 所以p=xa+yb+zc.
2.空间向量的坐标表示 剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相 垂直,且长都为1个单位,则这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}或 {e1,e2,e3}表示. (2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底 {i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、 y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz, 点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
2 3 ������ 3 2 3 ������, 3
∴������ 0,0,
.
易知平面 PAD⊥平面 ABCD,过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,则点 F 为点 E 在底面 ABCD 内的射影.
题型一
题型二
题型三
在 Rt△AED 中,∵∠EDA=30°,∴AE= ������������ = ������. 在 Rt△EFA 中,∠EAF=60°,
(4)空间任一点P的坐标的确定.过点P作平面xOy的垂线,垂足为 点P',在平面xOy中,过点P'分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点A,C, 则|x|=|P'C|,|y|=|AP'|,|z|=|PP'|,如图所示.
题型一
题型二
题型三
基底的概念 【例1】 若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作 为空间的一个基底. 分析:解答本题可以使用反证法,判断a+b,b+c,c+a是否共面,若不 共面,则可作为一个基底;否则,不能作为一个基底. 解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ和μ,使得 a+b=λ(b+c)+μ(c+a), ∴a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
1 1 2 3 1 1 1 (b+c)− (a+b+c)=− ������. 3 3 3
题型一
题型二
题型三
反思利用空间向量的一组基底{a,b,c}可以表示出任意一个空间向 量.要注意结合图形,灵活地应用向量的三角形法则、平行四边形 法则及向量的数乘运算.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中, ������������ =a, ������������ =b, ������������' =c,P 是 CA'的中点,M 是 CD'的中点,N 是 C'D'的中点,点 Q 是 CA'上的点,且 CQ∶QA'=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量: (1)������������; (2)������������; (3)������������; (4)������������.
(2)唯一性:设还有实数x',y',z',使p=x'a+y'b+z'c,而p=xa+yb+zc, 则xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c, 所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0. 又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'. 所以p=xa+yb+zc的表示形式是唯一的.
������ = 1, ∵{a,b,c}是基底,∴ ������ = 1, 此方程组无解. ������ + ������ = 0,
∴a+b,b+c,c+a不共面. ∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.
题型一
题型二
题型三
反思判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是看 它们是否共面,常用反证法来判断.
又������������ = ������������ − ������������ ,
2 3 2 3
2 3
������������ = ������������ = × (������������ + ������������ ) = (b+c), ∴ ������������ =
合集下载
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(人教A版选修2-1)
O
y
的坐标系都是右手直角坐标
系.
x
复习回顾:
2.向量共线定理:
对空间任意两个向量a、(b b 0),a // b的
充要条件是存在实数,使a=b。
3.向量共面定理:
如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 p=xa+yb。
4.平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有
(e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。)
我们知道,平面内的任意一个向量 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定
理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?
新知探究:
我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定
理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?
N B
1
OA
1
OB
1
OC
633
例题:
3.1.4 空间向量的正交分解及其 坐标表示
复习回顾:
1.空间直角坐标系:
(1)作空间直角坐标系 O xyz 时,一般使
xOy 135 (或45 ), yOz 90
(2)在空间直角坐标系中,
z
让右手拇指指向 轴x的正
方向,食指指向 轴y的正
z 方向,如果中指指向 轴
的正方向,称这个坐标系为
右手直角坐标系。本书建立
理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?
如结图论,:设如果i ,ij,,jk, k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的向量.
且的有向公量,共那的么起,点对O于. 空间任一向量 p,
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
[解题过程] ∵O→G=O→A+A→G,而A→G=23A→D,A→D=O→D -O→A,
又D为BC中点. ∴O→D=12(O→B+O→C), ∴O→G=O→A+23A→D=O→A+23(O→D-O→A) =O→A+23×12(O→B+O→C)-23O→A=13(O→A+O→B+O→C) =13(a+b+c).
1.对基底的理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基 底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底惟一表示. (2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共 面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是0. (3)空间的一个基底是指一个向量组,是由三个不共面的空 间向量构成;一个基向量是指基底中的某个向量,二者是相关 联的不同概念.
∴m=17,n=-5,z=-30.
∴O→P =17O→A -5O→B -30O→C .
[题后感悟] 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为 基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常 用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.
2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一 个基底,给出下列向量组:
①{a,b,x};②{a,b,y};③{x,y,z};④{a,x,y}; ⑤{x,y,a+b+c}.
其中可以作为空间基底的向量组有( )
A.1个
B.2个
C.3个D.4个
解析: 如图所示,设 a=A→B,b=A→A1,
c=A→D ,则 x=A→B1,y=A→D1,z=A→C,
a+b+c=A→C1,由 A、B1、C、D1 四点 不共面,
1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成一个基底的 一组向量是( )
A.2a,a-b,a+2b
高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件
2
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
3
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行 向量. a 平行于 b 记作 a // b . 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、 , b( b ≠ 0 )
13
14
15
D1 A1 D A B1 E
C1
F
B
C
16
1答案
2答案
证明: 设正方体的棱长为1,
A1
D1
z
C1 B1
建立如图的空间直角坐标系
A
D F
E C
y
x
B
17
18
1.基本知识:
(1)向量的长度公式与两点间的距离公式;
(2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题
时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐
标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
19
20
分析:
Байду номын сангаас
证三点共线可 尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ,求
的值.
6
练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ,求 的值.
学习共面
7
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ,使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
3
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行 向量. a 平行于 b 记作 a // b . 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、 , b( b ≠ 0 )
13
14
15
D1 A1 D A B1 E
C1
F
B
C
16
1答案
2答案
证明: 设正方体的棱长为1,
A1
D1
z
C1 B1
建立如图的空间直角坐标系
A
D F
E C
y
x
B
17
18
1.基本知识:
(1)向量的长度公式与两点间的距离公式;
(2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题
时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐
标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
19
20
分析:
Байду номын сангаас
证三点共线可 尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ,求
的值.
6
练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ,求 的值.
学习共面
7
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ,使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
高中数学(人教A版选修2-1)课件:3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【答案】 C
1.判断一组向量能否作为空共面,就可以作为一个基底. 2.判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体, 用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底,并在此基础上构造其他向 量进行相关的判断.
[再练一题] → =e +2e -e ,OB → =-3e +e +2e , 1.已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且OA 1 2 3 1 2 3 → =e +e -e ,能否以OA → ,OB → ,OC → 作为空间的一个基底? OC 1 2 3
阶 段 一
阶 段 三
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
阶 段 二 学 业 分 层 测 评
1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(重点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的 方法.(难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 空间向量基本定理 阅读教材 P92~P93“倒数第 2 自然段”内容,完成下列问题. 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组{x, y,z},使得 p=________. 其中{a,b,c}叫做空间的一个________,a,b,c 都叫做基向量.
【精彩点拨】 (1)能作为空间一基底的向量组应满足什么条件?(2)能否构 造图形,利用平行四面体中棱与面上的对角线所对应的向量关系来直观判断?
→ → → 【自主解答】 如图所示,令 a=AB,b=AA1,c=AD, → ,y=AD → ,z=AC →, 则 x=AB 1 1 a+b+c=AC1.由于 A,B1,C,D1 四点不共面,可知向量 x,y,z 也不共 面,同理 b,c,z 和 x,y,a+b+c 也不共面,故选 C.
高中数学人教A版选修2-1配套课件:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
xe1+ye2+ze3 可知,存在有序实数组{x,y,z},使得 p=_____________. x、y、z 称作向量 p 在单位正交基底 e1,e2,e3 我们把__________ (x,y,z) . 下的坐标,记作 p=__________
牛刀小试 4 .若a=3e1 +2e2 -e3,{e1 ,e2,e3}为空间的一个单位正 交基底,则a的坐标为__________. [答案] (3,2,-1)
→ → → → [解析] (1)∵OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC). → → → → → ∴MA=BM+CM=-MB-MC. → → → ∴向量MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知,向量MA,MB,MC共面,三个向量又有公共 起点 M,∴M、A、B、C 共面,即点 M 在平面 ABC 内.
定不共面,因此必定不共线,都是非零向量,∴A错,D错,B
正确;△ABC为直角三角形时不一定角A为直角,故C错.
空间向量的正交分解与坐标表示 温故知新
2.复习平面向量的正交分解与坐标表示. 思维导航 2 .类比平面向量的正交分解,空间向量也可以正交分 解,请思考此时的基底应满足什么条件?
如何选取基底才能实现将空间向量用坐标表示,且计算方
向量,它们可能共面,此时 {a , b , c} 不可能成为空间的一个 基底.
6.已知 A,B,C 三点不共线,平面 ABC 外的一点 M 满 → 1→ 1→ 1→ 足OM=3OA+3OB+3OC. → → → (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.
的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看作
牛刀小试 4 .若a=3e1 +2e2 -e3,{e1 ,e2,e3}为空间的一个单位正 交基底,则a的坐标为__________. [答案] (3,2,-1)
→ → → → [解析] (1)∵OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC). → → → → → ∴MA=BM+CM=-MB-MC. → → → ∴向量MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知,向量MA,MB,MC共面,三个向量又有公共 起点 M,∴M、A、B、C 共面,即点 M 在平面 ABC 内.
定不共面,因此必定不共线,都是非零向量,∴A错,D错,B
正确;△ABC为直角三角形时不一定角A为直角,故C错.
空间向量的正交分解与坐标表示 温故知新
2.复习平面向量的正交分解与坐标表示. 思维导航 2 .类比平面向量的正交分解,空间向量也可以正交分 解,请思考此时的基底应满足什么条件?
如何选取基底才能实现将空间向量用坐标表示,且计算方
向量,它们可能共面,此时 {a , b , c} 不可能成为空间的一个 基底.
6.已知 A,B,C 三点不共线,平面 ABC 外的一点 M 满 → 1→ 1→ 1→ 足OM=3OA+3OB+3OC. → → → (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.
的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看作
新人教A版数学选修2-1课件:3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
方法技巧 (1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和 平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方 便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
即时训练 2-1:(1)在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E
注意:(1)若p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表示式或线性 组合,或者说p可以由a,b,c线性表示. (2)对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面外,还应明确以下三点:① 空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.②基底中的三 个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面. ③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向 量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.
解析: OA =2a+b+3c=8i+4j+2j+3k+9k-3j=8i+3j+12k. 所以点 A 的坐标为(8,3,12).故选 D.
4.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,
且向量p=i-3j+ 1 k,则p的坐标为
.
2
答案:(1,-3,1 )
2
5.从空间一点 P 引出三条射线 PA,PB,PC,在 PA,PB,PC 上分别取 PQ =a, PR =b,
使得p=xa+yb+zc.
(2)空间向量基本定理的证明
如图,已知 a,b,c 不共面,过点 O 作 OA =a, OB =b, OC =c, OP =p.过点 P 作直线 PP′∥OC,交平面 OAB 于点 P′,在平面 OAB 内过点 P′作 P′A′∥OB,P′B′∥ OA,分别与直线 OA,OB 交于点 A′,B′,连接 OP′.于是存在三个实数 x,y,z,使
人教版高中数学选修2-1(A版)课件:第三章 3.1 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (共72张PPT)
最孤独的时光,会塑造最坚强的自己。 只要有信心,人永远不会挫败。 我们的人生必须励志,不励志就仿佛没有灵魂。 如果我们一直告诫自己要开心过每一天,就是说我们并不开心。 善良的人永远命是弱者的借口,运是强者的谦辞,辉煌肯定有,就看怎么走。 只要还有明天,今天就永远是起跑线。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫,作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗,胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么,说明其内心最缺乏什么;一个人越在意的地方,也是其最自卑的地方。 我们这个世界,从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事,但一定要真诚感人。 人必须有自信,这是成功的秘密。 同在一个环境中生活,强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望,只有和勤奋作伴,才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜! 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利,与征服自己的胜利比起来,都是微不足道。所有的失败,与失去自己的失败比起来,更是微不足道。 不是井里没有水,而是挖的不够深;不是成功来的慢,而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧,放弃一样东西则需要勇气! 你既认准这条路,又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫,作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗,胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么,说明其内心最缺乏什么;一个人越在意的地方,也是其最自卑的地方。 我们这个世界,从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事,但一定要真诚感人。 人必须有自信,这是成功的秘密。 同在一个环境中生活,强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望,只有和勤奋作伴,才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜! 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利,与征服自己的胜利比起来,都是微不足道。所有的失败,与失去自己的失败比起来,更是微不足道。 不是井里没有水,而是挖的不够深;不是成功来的慢,而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧,放弃一样东西则需要勇气! 你既认准这条路,又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
高二数学人教A版选修2-1课件:3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张ppt) .ppt
不是零向量 C.若向量ar ⊥ br ,则ar ,br 与任何一个向量都不能构
成空间的一个基底
D.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点, 且OuuAr=ar ,OuuBr=br ,OuuCr=cr ,用ar ,br ,cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底,
以er1,er 2,er 3的公共起点O为原点, 分别以er1,er 2,er 3的方向为x轴,y轴,z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ,一定可以把它平移,使它的
uur 起点与原点O重合,得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知,存在有序实数组 {x,y,z},使得pr =xer1+yer 2+zer 3 我们把x,y,z称作向量pr 在单位正交基底er1,er 2,er 3 下的坐标,记作pr =(x,y,z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图,设i,j,k是空间三个两两垂直的向量,
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影,
由平uur面r 向量基本定理可知,
z
在OQ,k所确定的平面上,
uur uur r
存在实数z,使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知,空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图,M,N分别是四面体OABC的
边OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点.
成空间的一个基底
D.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点, 且OuuAr=ar ,OuuBr=br ,OuuCr=cr ,用ar ,br ,cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底,
以er1,er 2,er 3的公共起点O为原点, 分别以er1,er 2,er 3的方向为x轴,y轴,z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ,一定可以把它平移,使它的
uur 起点与原点O重合,得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知,存在有序实数组 {x,y,z},使得pr =xer1+yer 2+zer 3 我们把x,y,z称作向量pr 在单位正交基底er1,er 2,er 3 下的坐标,记作pr =(x,y,z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图,设i,j,k是空间三个两两垂直的向量,
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影,
由平uur面r 向量基本定理可知,
z
在OQ,k所确定的平面上,
uur uur r
存在实数z,使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知,空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图,M,N分别是四面体OABC的
边OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点.
高二数学人教A版选修2-1课件:3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张)
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理:
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决 一些几何问题.(重点)
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始, 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1,-1) (-1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理:
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决 一些几何问题.(重点)
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始, 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1,-1) (-1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件(28张)
z
以 i , j , k 为单位正交基底
z
P ( x, y, z )
建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
k
x
i
O
y
j
y
记 p ( x, y, z )
x
OP ( x, y, z ) P( x, y, z )
k
z
实数x, y, 使得OQ xi y j
i
O
p j
P
y
Q
OP OQ z k xi y j z k x
由此可知,如果 i, j , k 是空间两两垂直的向量, 那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p xi y j zk . 我们称 xi, y j , zk 为向量 P 在 i, j , k 上的分向量.
复习:
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 ( b b 0), a / /b的 充要条件是存在实数,使a= b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 p=xa+yb.
平面向量基本定理:
如果e1,是同一平面内的两个不共线向量, e2 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 一对实数1,2,使a=1 e1+2 e 2 . (e1、 e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
练习1 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 取D点为原点建立空间直角坐标系,O、M、P、Q
