数学建模教程及例题分析

数学模型初步— 数学模型初步—模型二
模型求解
给出一种简单、 给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转 对角线AC和 互换 互换。 将椅子旋转900，对角线 和BD互换。 旋转 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(π/2)=0 , g(π/2)>0. ， π π 令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(π/2)<0. 和 π 由 f, g的连续性知 h为连续函数 据连续函数的基本性 为连续函数, 的连续性知 为连续函数 质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) . 因为f( 所以f( 因为 θ) • g(θ)=0, 所以 θ0) = g(θ0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ θ和 f(θ), g(θ)的确定 的确定
考察四脚呈长方形的椅子
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模 型 准 备 了解实际背景 搜集有关信息 明确建模目的 掌握对象特征 形成一个 比较清晰 问题’ 的‘问题’ 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、 检验模型的合理性、适用性
实践
理论
实践
数学模型初步——线性规划
例1-1.某木匠制作桌子和书架出售，他希望确 定每种家具每周制作多少，即希望制定制作桌 子和书架的周生产计划，使获得利润最大。制 作桌子和书架的单位成本分别是5美元和7美 元。每周收益可以分别用下面的表达式估计： 50 x1 − 0.2 x12 其中 x1 是每周生产桌子数量；
LINGO的界面 LINGO的界面
• LINGO软件的主窗口（用 软件的主窗口（ 软件的主窗口 户界面）， ），所有其他窗口 户界面），所有其他窗口 都在这个窗口之内。 都在这个窗口之内。
• 当前光标 的位置 • 模型窗口（Model 模型窗口（ Window），用于输入 ），用于输入 ）， LINGO优化模型（即 优化模型（ 优化模型 LINGO程序）。 程序）。 程序
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 解释 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎) 数学模型的解答
数 学 世 界
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译” 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译” 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线 的对称性 利用正方形 椅脚连线)的对称性 椅脚连线
B´ B A´
对角线与x轴的夹角 用θ(对角线与 轴的夹角 表示椅子位置 对角线与 轴的夹角)表示椅子位置
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 A θ C 距离是θ的函数 O x 四个距离 两个距离 C´ D´ ´ (四只脚 四只脚) 四只脚 正方形 D 对称性 正方形ABCD 正方形 A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(θ) 绕O点旋转 点旋转 B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(θ)
数学模型初步——线性规划
目标函数： f ( x1 , x2 ) = 25 x1 + 30 x2 约束条件： 木板约束：20 x + 30 x ≤ 600 劳动时间约束：5x + 4 x ≤ 40 x 合同约束： 1 ≥ 4, x2 ≥ 2
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数学模型初步——LINGO的使用 的使用 数学模型初步
数学模型初步——总论
三、适用的范围？ 社会、经济、环境、生态、医学等等领域。 要建立一个好的数学模型，不尽需要数学的 知识，还必须了解其他领域内与之相关的内 容。
数学模型初步——模型一
车辆的停止距离 正常的驾驶条件对车与车的跟随距离的要求 是每十英里的速率可以允许一辆车的跟随距 离，但是在不利的天气或道路条件下要有更 长的跟随距离。 如何处理不利的情况？ 两秒钟法则—— 不管车速多少，看着你前面的车子刚驶过你 能确定的固定点，然后默数“一千零一，一 千零二”，如果你刚数完就到了那个固定点， 就表示你与前车靠的太近。
• 状态行（最左边显 状态行（ 示“Ready”，表示 ， 准备就绪” “准备就绪”）
• 当前时间
数学模型初步——一个简单的 数学模型初步 一个简单的LINGO程序 程序 一个简单的
例 直接用LINGO来解如下二次规划问题：
2 Max 98 x1 + 277 x2 − x12 − 0.3 x1 x2 − 2 x2
输出结果： 输出结果： 运行菜单命令“ 运行菜单命令“LINGO|Solve”
最大利润=11077.5 最大利润
最优整数解 X=(35，65) ，
• 运行状态窗口
Variables（变量数量）： （变量数量）： 变量总数（ 变量总数（Total）、 ）、 非线性变量数（ 非线性变量数（Nonlinear）、 ）、 整数变量数（ 整数变量数（Integer）。 ）。 Constraints（约束数量）： （约束数量）： 约束总数（ 约束总数（Total）、 ）、 非线性约束个数(Nonlinear)。 非线性约束个数 。 Nonzeros（非零系数数量）： （非零系数数量）： 总数（ 总数（Total）、 ）、 非线性项系数个数(Nonlinear)。 非线性项系数个数 。 Generator Memory Used (K) (内存使用 内存使用 量) • Elapsed Runtime (hh:mm:ss) 求解花费的时间） （求解花费的时间）
s.t.
x1 + x2 ≤ 100 x1 ≤ 2 x2 x1 , x2 ≥ 0 为整数
(1) (2) (3) (4)
输入窗口如下： 输入窗口如下：
程序语句输入的备注： 程序语句输入的备注： •LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数， 总是根据“ 寻找目标函数， 总是根据 或 寻找目标函数 而除注释语句和TITLE语句外的其他语句都是约束条 而除注释语句和 语句外的其他语句都是约束条 件，因此语句的顺序并不重要 。 •限定变量取整数值的语句为“@GIN(X1)”和 限定变量取整数值的语句为“ 限定变量取整数值的语句为 和 “@GIN(X2)”，不可以写成“@GIN(2)”，否则 ，不可以写成“ ， LINGO将把这个模型看成没有整数变量。 将把这个模型看成没有整数变量。 将把这个模型看成没有整数变量 •LINGO中函数一律需要以“@”开头，其中整型变量 中函数一律需要以“ 开头 开头， 中函数一律需要以 函数（ 函数（@BIN、@GIN）和上下界限定函数（@FREE、 、 ）和上下界限定函数（ 、 @SUB、@SLB）与LINDO中的命令类似。而且 变 中的命令类似。 、 ） 中的命令类似 而且0/1变 量函数是@BIN函数。 函数。 量函数是 函数
数学模型初步——模型一
刹车距离=h（重量，速率）（子模型二） 总结建模过程： 1.识别问题； 对现象做一般性观察 2.做出假设； 关于现象的假设、研制检验假设方法、用数据 检验假设 3.求解模型； 4.验证模型；
数学模型初步— 数学模型初步—模型二
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
• 运行状态窗口
当前模型的类型 :LP，QP，ILP，IQP，PILP， ， ， ， ， ， PIQP，NLP，INLP，PINLP （以I开头表示 ， ， ， 开头表示 IP，以PI开头表示 开头表示PIP） ， 开头表示 ） 当前解的状态 : "Global Optimum", "Local Optimum", "Feasible", "Infeasible“(不可行 不可行), 不可行 "Unbounded“(无界 无界), 无界 "Interrupted“(中断 中断), 中断 "Undetermined“(未确定 未确定) 未确定 当前约束不满足的总量(不是不 当前约束不满足的总量 不是不 满足的约束的个数):实数 实数（ 满足的约束的个数 实数（即使 该值=0，当前解也可能不可行， 该值 ，当前解也可能不可行， 因为这个量中没有考虑用上下界 命令形式给出的约束） 命令形式给出的约束）
模型构成
数学模型初步— 数学模型初步—模型二
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f(θ) , g(θ)是连续函数 是 对任意θ, f(θ), g(θ) 至少一个为0 至少一个为
数学 问题
已知： 已知： f(θ) , g(θ)是连续函数 ; 是 对任意θ， f(θ) • g(θ)=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. ， 证明： 证明：存在θ0，使f(θ0) = g(θ0) = 0.
65 x2 − 0.3x2 2 , 其中x2是每周生产的书架的数量；
数学模型初步——线性规划
线性规划问题中几个相关概念： f 目标函数：( x1 , x2 ) = 50 x1 − 0.2 x12 + 65 x2 − 0.3x2 2 − 5 x1 − 7 x2 x 决策变量：1和x2 约束条件：无约束
数学模型初步——线性规划