假设模态法 振动力学课件
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振动力学第三章_ppt课件
位移向量：
2018/11/16 《振动力学》
x1 { x} x2
激励向量：
F1 {F } F2
10
3.1 两自由度系统的运动微分方程
振动方程：
m x ( cc ) xc x ( kk ) xk x F 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 m xc x ( c ) x k x ( k k ) x F 2 2 2 1 2 c 3 2 2 1 2 3 2 2
c u u f (t) 1 d 2 f (t) u 2
16
3.2 无阻尼系统的自由振动
令
c u u a u1 b u 2 2 1 d 2 u u1 2
2 f() t f() t 0
则有 其解为： 由第一式：
ft ( ) C c o s ( t )
振动方程两个同步解为：
( 1 ) ( 1 ) x () t u o s ( t ) 1 1C 1c 1 1 (1 ) ( 1 ) x () t u C o s ( t ) 2 1 r 1 1c 1 1
( 2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 1 1 C 2c 2 2 (2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 2 1 rC 2 2c 2 2
( 2 ) 2 u a c 2 2 r 2 ( 2 ) 2 u b d 1 2
2018/11/16 《振动力学》
18
3.2 无阻尼系统的自由振动
由上述分析可知： 1.系统的固有频率仅与系统的物理有关。 2.系统按任一固有频率做同步运动时，m 1 和m 2 振具有确定比值的一对常数u 1( 1 ) 、u 2( 1 ) 或 u 1 、 的振动形态，称之为固有振型。 向量形式：
2018/11/16 《振动力学》
x1 { x} x2
激励向量：
F1 {F } F2
10
3.1 两自由度系统的运动微分方程
振动方程：
m x ( cc ) xc x ( kk ) xk x F 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 m xc x ( c ) x k x ( k k ) x F 2 2 2 1 2 c 3 2 2 1 2 3 2 2
c u u f (t) 1 d 2 f (t) u 2
16
3.2 无阻尼系统的自由振动
令
c u u a u1 b u 2 2 1 d 2 u u1 2
2 f() t f() t 0
则有 其解为： 由第一式：
ft ( ) C c o s ( t )
振动方程两个同步解为：
( 1 ) ( 1 ) x () t u o s ( t ) 1 1C 1c 1 1 (1 ) ( 1 ) x () t u C o s ( t ) 2 1 r 1 1c 1 1
( 2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 1 1 C 2c 2 2 (2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 2 1 rC 2 2c 2 2
( 2 ) 2 u a c 2 2 r 2 ( 2 ) 2 u b d 1 2
2018/11/16 《振动力学》
18
3.2 无阻尼系统的自由振动
由上述分析可知： 1.系统的固有频率仅与系统的物理有关。 2.系统按任一固有频率做同步运动时，m 1 和m 2 振具有确定比值的一对常数u 1( 1 ) 、u 2( 1 ) 或 u 1 、 的振动形态，称之为固有振型。 向量形式：
二自由度系统的振动PPT课件
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12 m22
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
坐标变换：
ui qi
（i=1,2）
代入原微分方程得到： Mqi Kqi fi
B1、B2待定
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
代入微分方程组得到
k1 k2 m12
k2
k2
k2 m2
2
B1 B2
0 0
由
det
k1
k2
m1
k2
2
k2
k2
m22
0
12 22
B11 B21
B12 B22
B11
B21
B12
B22
（固有振型矩阵）
k2 (u1 u2 ) c2 (u1 u2 )
u2 f2 m2
k3u2 c3u2
6.1 建立系统微分方程组
写成矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c 2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
u1
u2
f1 f2
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••
《力学》第九章振动ppt课件
第九章 振动
则： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
因此，
cos A1 cos1 A2 cos2 A sin A1 sin1 A2 sin2 A
x Acos cos0t Asin sin0t Acos0t
（1）
⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其 频率和分振动频率相同。
l g
0
因此，
d 2
dt 2
02
0，
02
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
第九章 振动 nˆ
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第九章 振动
3. 复摆（物理摆）
任何刚体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴垂
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动 是围绕平衡位置的周期运动。
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二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2 0
第九章 振动
对弹簧振子： T 2 2 k
0
m
2. 频率（ ）
单位时间内完成的全振动的次数：
幅最大；
（2）若相位差 (2 1) (2n 1) ，即反相位，则：A A1 A2 ，
振幅最小；
（3）一般情况下，振幅 A 介于 A1 A2 与 A1 A2之间。
同方向同频率简谐振动的合成，在光波、声波等的 干涉和衍射中很有用。
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第九章 振动
二、同方向不同频率简谐振动的合成
假设模态法 振动力学课件
3x
2l
1 1.7723
G
l 2
1 (x)
sin
x
2l
0.0681sin
3x
2l
2 4.7795
G
l 2
2
(x)
0.1995sin
x
2l
sin
3x
2l
注意：
由于近似模态不是真正自然振型，故相当于增加约束即刚
度，所以对于各阶近似频率均有 i，即它i 解出了的上
限 。
工程上常取一系列近似方案，并算出结果中选一组最小的 i
I 0
l 1 0
x sin 2 2l
3x
2l
dx
0.3806
lI
0
m12
m21
I 0
l 0
1
x 2l
sin
x
2l
sin
3x
2l
dx
0.038
lI 0
00..30830860
i
(x)
sin
2i
2l
1
x
V 1
2
l 0
GI
(x) (x,t)2
dx
1 2
l
0 GI (x)
l
mij 0 l (x)i (x) j (x)dx mi (xa ) j (xa )
kij
l 0
EI
(
x)i"
(
x)
" j
(
x)dx
k1i'
(
xb
)
' j
(
xb
)
k
2i
(
xb
)
j
理论力学经典课件-振动
2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
高等结构振动学-第10章-模态综合方法
（10－23）
{F (t)} [S]T {P(t)}
（10－24）
在模态综合法中，为了描述结构在空间的运动和变形状态，采用两类广义坐
标来描述，分别为“物理（几何）坐标”和“模态坐标”，物理坐标描述结构各
节点的几何坐标位置，而模态坐标则表示物理坐标响应中各个模态成份大小的
量。
对于模态综合法中的“模态”一词，它比“振型”具有更加广义的内涵，它
（1）按结构特点划分子结构 （2）计算并选择分支模态进行第一次模态坐标变换 （3）在全部模态坐标中，选择不独立的广义坐标 （4）由位移对接条件，形成广义坐标的约束方程，得到独立坐标变换阵 [S ] （5）对组集得到的质量矩阵、刚度矩阵进行合同变换，得到独立坐标下的质量
矩阵，刚度矩阵，形成整个系统的振动方程 （6）根据坐标变换关系，再现子结构物理参数
（10－5）
通常，[ ], [ ] 的个数远少于对应子结构的自由度数。
记：
{
p}
p p
[
M
]
[
M 0
]
0 [M ]
[
K
]
[
K 0
]
0 [K ]
（10－6）
[M ] [ ]T [m ][ ] [M ] [ ]T [m ][ ]
[]T [K ][] diag[2]
（10－38）
子结构柔度矩阵为：
[G] [K ]1 [](diag[2 ])1[]T [k ](diag[k2 ])1[k ]T [d ](diag[d2 ])1[d ]T
（10－15）
{
p}
谐响应响应谱分析随机振动与模态分析》ppt课件模板
2
0
Courseware template
2 1 /
施加谐波载荷并求解
7
/
2
6 施加谐波载荷并求解
典型命令:
所有施加的载荷以规定的频率（或频率范 围）简谐地变化
“载荷”包括：
DK,… ! 或 D或DSYM DA,... DL,…
位移约束-零或非零的 作用力 压强
*AFUN,DEG FK,…
注意：如果要施加重力和热载荷，它 们也被当作简谐变化的载荷来考虑！
2
0
2 1 /
查看结果
7
/
2
6
确定各临界频率
和相角
• 用图形显示最高振幅 发生时的频率；
• 由于位移与施加的载 荷不同步（如果存在 阻尼的话），需要确 定出现最大振幅时的 相角；
– 要进行上述工作， 首先要选择振幅+ 相位选项。
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On the evening of July 24, 2021
2
0
Courseware template
2 1 /
查看结果
7
/
2
6
1.绘制结构上的特殊点处的位移-频率曲线
2.确定各临界频率和相应的相角
3.观看整个结构在各临界频率和相角时的位移和应力
典型命令: /POST26 NSOL,… PLVAR,...
On the evening of July 24, 2021
• 输入：
– 已知大小和频率的谐波载荷（力、压力和强迫位移）；
– 同一频率的多种载荷，可以是同相或不同相的。
• 输出：
– 每一个自由度上的谐位移，通常和施加的载荷不同相；
模态分析的基础理论-PPT精品文档109页
k
m
c x
kx c·x
m F0 cos t
简谐强迫振动
系数
B
2
x
2 0
x0
n d
x0
tan 1 x0 n x0 d x0
X
A
1
(
n
)
2
2
2
n
2
ET
U1kA2 2
12(x02x02n2)
ET UE
Rayleigh商 动能系数
能量关系
T1mA2 2
12mxm 2ax
n2
k m
Umax T
阻尼自由振动
方程
mxcxkx 0 x(0) x0, x0(0) 0
x2nxn2x 0
自激振动：输电线的舞动 1940年美国塔可马(Tacoma Narrows)吊桥在中速
风载作用下，因桥身发生扭转振动和上下振动造 成坍塌事故 1972年日本海南的一台66×104kW汽轮发电机组， 在试车过程中发生异常振动而全机毁坏； 步兵在操练时，不能正步通过桥梁，以防发生共 振现象造成桥梁坍塌
x ( t) e n t( c 1 c o sd t c 2 s ind t)
x (t)X e n tco s(dt)
c 1 x 0 ,c 2 (xn x 0)/ d
阻尼自由振动
对数衰减率
x1 x2
X Xeenntt12ccooss((ddtt11)
单自由度系统
自由振动 简谐振动 非周期强迫振动