第2章 牛顿运动定律
一、力学中常见的力
1、万有引力
任何两个质点之间都存在互相作用的引力，力的
方向沿着两质点的连线；力的大小与两质点质量
m1和m2的乘积成正比，与两质点之间的距离r的
平方成反比。
v F
G
m1m2 r2
evr
=6.67×10–
11m3/kg×s2。m1、m2称为物体的引力质量，是物体
解(1)以小球为研究对象，受力分析如 图，根据牛顿第二定律
Fv= mav= mannˆ+ maττˆ
(1)当小球位于最高点时，其法向力应 为小球的重力与绳的张力之和，根据题 意，绳的张力此时为零，所以
mg = mv0 2 R
可得小球在最高点时的速率
v0 = gR
第二章 牛顿运动定律
(2)当小球在任一位置时，如图所示，设绳 与竖直方向成θ角，则此时的分量式为
v Wv1 W2
v Tv1 T2
m1av1 m2av2
T1=T2=T
绳不伸长 :x1+x2+πr=L
则：a1=-a2 解得：
T 2m1m2 g m1 m2
第二章 牛顿运动定律
举 例 质量为45kg的物体，由地面以初速 v0 60m s1 竖直向上
发射，空气阻力
f 求kv（, k1） 0发.0射3k到g 最s1大高度所需的时
mg kv m dv dt
t
0 mdv
dt
0
v0 mg kv
m mg t ln
6.61.11k(1s( )sm)g kv0
6.11( s )
mk mmggmgkkvv0 0
t ln
6.11( s )
k mg kv0
y v
f mg
0
第二章 牛顿运动定律
(2) 建 立mgH 与kvv的关m系ddvt
mmgmggkkvvkvmmmddddvtdvtvddyt
m
dv dy
dy dt
mv
dv dy
H
0 dmy g
0
vk0 v
dt
mmmgvdddvtvdkdytv
H
m2g k2
mg ln
mv0
mg kv0 k
H 108H2m(dkmy22)g
lv0n0mgmmmggvkdvvk0vmkHv 0
v F
mav
笛卡尔坐标系
Fx max
Fy
may
Fz
maz
自然坐标系
FFn
man ma
第二章 牛顿运动定律
2、注意事项
(1)只适用于质点
(2)牛顿第二F定v(律t)表达m了avF和(t)a的瞬时关系。
(3)它符合力的叠加原理。
当几个外力同时作用于物体时，其合外力所
产生的加速度a，与每个外力Fi所产生的加速度ai
在弹性限度内，弹簧产生的弹性力与弹簧的形变 （拉伸量或压缩量）成正比，即
胡克定律: F = -kx
第二章 牛顿运动定律
4、摩擦力
当一个物体在另一个物体表面上滑行或有滑行趋势 时，在这两具物体的接触面上变会产生阻碍物体间 做相对滑动的力，这种力叫摩擦力。当物体有滑动 趋势但尚未滑动时，作用在物体上的摩擦力称为静 摩擦力。静摩擦力的大小与外力的大小相等，而方 向相反。
为验证牛顿第二定律而设计的滑轮装置,称作"阿特伍德机"。研究它 需建立理想模型，在理论模型中，重物和可视为质点；滑轮是理想 的,求重物释放后物体加速度及物体对绳的拉力。
解：选地球作为惯性参考系 研究对象分别为m1、m2
坐标系：o-x
受力分析： m1: m1g,T1
m2:m2g,T2 由牛顿第二定律列方程: 由牛顿第三定律列方程
2、匀变速圆周 运动的动力学 方程
当物体做匀变速度圆周运动时，物体的加速度a可
以分解成向心加速度（法向加速度）an和切向加速
度at，即 a=an+at
则其动力学方程为 F＝man+mat
Fn =
man =
mv2 r
mr2
F m dv
dt
第二章 牛顿运动定律
二、圆周运动动力学方程的举例
有一长为R的细绳，一端固定于O点， 另一端系一质量为m的小球，令小球绕 O点在重力作用下于一竖直面内做圆周 运动，若欲使小球位于最高点时，绳的 张力为0而小球又不离开圆形轨道下落， 其速率应为多大？并求出此条件下小球 在轨道上任一位置的速率和绳中的张力。
maτ =
m
dvτ gt
man
=
v2 R
=
T
+
mgcosθ
其中 dv dvgds dv gv
gt ds dt ld
则 vdv gRsind
根据已知条件当θ＝0时， v gR
则两边积分可得 v gR(3 2cos )
T θv
mg
代入分量式中，得
T 3mg(1 cos )
第二章 牛顿运动定律
的矢量和是一样的，这就是力的叠加原理。
v nv
F Fi i1
式中是第i个分力，上式称为力的叠加原理。 在大多数情况下，物体同时受到多个力的作用，F 表示合力，a表示合力作用产生的总加速度。
第二章 牛顿运动定律
三、牛顿第三定律
1、表述
2、公式
作用在两个物体上的作用力和反作用力在同一直
线上，大小相等而方向相反。
m2g k2
ln mg mv0 mg kv0 k
182 (m)
第二章 牛顿运动定律
2-4 圆周运动的向心力
一、圆周运动的向心力
1、匀速圆周运 动的动力学方 程
当物体做匀速圆周运动时，物体只具有向心加速
度，其方向始终指向圆心。其向心加速度为
avn
=
v2 r
nˆ
则其动力学方程为
Fvn = mavn
第二章 牛顿运动定律
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第二章 牛顿运动定律
2-1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律
1、表述
任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到 其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。
2、本质
(1)物体运动的惯性。由牛顿第一定律可知，物体 之所以静止或做匀速直线运动是由于物体的本性 造成的。这种本性叫做物体运动的惯性。
3、辅助单位
不能归类到基本单位或导出单位的单位称为辅助 单位。
不同的基本单位、导出单位和辅助单位就形成不同的单位制。
第二章 牛顿运动定律
二、国际单位制和力学中常见的单位制
1、国际单位制
1960年第11届国际计量大会通过了国际单位制，制 定了基本单位、导出单位和辅助单位，并选择了7 个量为基本量。
1984年2月27日，国务院颁布实行以国际单位制 （SI）为基础的法定单位制。
确定一个参考系是不是惯性系，只能依靠观察和实验
如果一个参考系相对于某个惯性系静止或做匀速直线 运动，在惯性系中静止或做匀速直线运动的质点，在 这个参照系中也必然静止或做匀速直线运动。因而， 相对于惯性参考系静止或做匀速直线运动的任何其他 参考系也一定是惯性系。
在一切惯性参考系中，一切力学现象都是相同的，即 物体所遵从的力学规律完全相同
物理学中的物理量，通常都包含数值和单位两部 分，只有少数的物理量是没有单位的纯数。由于 物理量之间存在着规律性的联系，所以没有必要 对每个物理量的单位都进行规定，可以选取一些 物理量作为基本量，对这些选为基本量的物理量 规定其单位，这些单位称为基本单位。
2、导出单位
不直接规定其单位的物理量称为导出量，其单位 可由该物理量和基本量的关系推导出来，称为导 出单位。
2-5 惯性系和非惯性系
一、惯性系 力学的相对性原理 1、惯性系
问题１：当a=0时，悬挂小球与桌上小球是否符合牛顿运动定律？ 问题２：当a≠0时，悬挂小球与桌上小球是否符合牛顿运动定律？ 出现这种状况的原因是什么？
牛顿第一定律成立的参考系为惯性参考系，否则为非惯性系。
第二章 牛顿运动定律
注意事项
伽利 略相 对性 原理
滑动摩擦力： f N 运动速度不太大时
最大静摩擦力： f0 0 N 0
二、牛顿运动定律的应用举例
1、应用牛顿定 律解决质点动 力学问题的三 大类型
第一类是已作用于质点的力，求质点的加速度或运 动情况；
第二类是已知物体加速度，求作用于质点的力；
第三类是已知作用于质点的某些力和运动学条件， 求质点所受到的另一些力和质点的运动情况。
对选择的隔离体进行受力分析，画出 简单的受力示意图，表示隔离体受力 情况与运动情况。
建立适当的坐标系，在图中注明坐标 轴方向，把上面分析出的质量、加速 度和力用牛顿运动定律联系起来，列 出方程式。在方程式足够的情况下就 可以求解未知量了。
第二章 牛顿运动定律
举 例 英国剑桥大学物理教师阿特伍德,善于设计技巧的演示试验,他
vv F F '
3、特点
(1)作用力和反作用力是矛盾的两个方面，同时产 生同时消失；
(2)作用力和反作用力分别作用在两个物体上，不 能相互抵消；
(3)它们是同一性质的力。即如果是作用力是弹性 力，则反作用力也是弹性力。
第二章 牛顿运动定律
2-2 力学单位制和量纲
一、基本单位和导出单位 单位制
1、基本单位
若近似地将地球视为一个半径R，质量mE的均匀分 布的球体，质量为m的物体作质点处理，则当物体
距离地球表面h（h<<R）高度处时，所受地球的引
力（重力）大小为
Mm mg G R2
( r 地球半径R )
两个物体彼此相互接触产生了挤压或者拉伸，出现
了形变，物体具有消除形变恢复原来形状的趋势而
产生了弹力。
(2)物体质量越大，惯性越大，保持原有运动状态 的本领越强。
第2章 牛顿运动定律
分离变量求定积分，并考虑到初始条件：t=0时v=v0，则有
v dv t μ
dt
v v0
2
0R
即
v
1
v0
v0t
R
将上式对时间积分，并利用初始条件t=0时，s=0得
s
R μ
ln 1
μ R
v0t
15
例题2-2 一条长为l质量均匀分布的细链条AB，挂在半径 可忽略的光滑钉子上，开始时处于静止状态。已知BC段 长为L（l/2<L<2l/3），释放后链条做加速运动，如图所示。 试求BC=2l/3时，链条的加速度和速度。
a0
a0
mg
T -ma0
mg
讨论一种非惯性系，做直线运动的加速参考系，在以恒定
加速度 沿a直0 线前进的车厢中，用绳子悬挂一物体。在地面
上的惯性参考系中观察，牛顿运动定律成立。 在车厢中的参考系（非惯性系）内观察，虽然物体所受张
f μN
µ为滑动摩擦系数，它与接触面的材料和表面状态（如 粗糙程度、干湿程度等）有关；其数值可查有关手册。
10
2.2.2 力学中常见的几种力
3、摩擦力。
当两个相互接触的物体虽未发生相对运动，但沿接触面有 相对运动的趋势时，在接触面间产生的摩擦力为静摩擦力。 静摩擦力的大小可以发生变化。
如图所示，用一水平力F推一放置在粗糙水平面上的木箱，
解：取被抛物体为研究对象，物体运动过程
中只受万有引力作用。取地球为参考系，垂 直地面向上为正方向。物体运动的初始条件
v0
是：t=0时，r0=R，速度是v0。略去地球的公 转与自转的影响，则物体在离地心r处的万有
m
引力F与地面处的重力P之间的关系为
高二物理选修1第2章知识点
高二物理选修1第2章知识点第一节：牛顿运动定律
1. 牛顿第一定律：物体在无外力作用下静止或匀速直线运动。
2. 牛顿第二定律：物体所受合外力等于物体质量与物体加速度的乘积。
3. 牛顿第三定律：任何两个物体之间存在着大小相等、方向相反的两个相互作用力。
第二节：运动方程
1. 一维运动的位移公式：s = v0t + 1/2at^2
2. 一维运动的速度公式：v = v0 + at
3. 一维运动的加速度公式：v^2 = v0^2 + 2as
4. 匀加速直线运动的时间、位移、速度、加速度之间的关系。
第三节：重力运动
1. 重力：地球对物体的吸引力，大小为mg，方向向下。
2. 重力势能：地面上物体的重力势能为0，某一高度上的物体的重力势能为mgh。
3. 动能定理：物体的动能等于物体所受合外力沿着位移方向所做的功。
4. 机械能守恒定律：在只有重力做功的情况下，系统的机械能保持不变。
第四节：圆周运动
1. 向心力：使物体保持圆周运动的力，大小为mv^2/r，方向向心。
2. 离心力：物体离开圆周运动轨道所受到的力，大小与向心力相等、方向相反。
第五节：引力与万有引力定律
1. 引力：两个物体之间相互吸引的力。
2. 万有引力定律：两个物体之间的引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
结语：
本章涵盖了高二物理选修1第2章的重要知识点，包括牛顿运动定律、运动方程、重力运动、圆周运动以及引力与万有引力定
律。
通过学习这些知识点，我们可以更好地理解物体的运动规律，并应用于实际问题的解决中。
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
02牛顿运动定律习题解答
02牛顿运动定律习题解答第二章牛顿运动定律一选择题1．下列四种说法中，正确的为：（）A.物体在恒力作用下，不可能作曲线运动；B.物体在变力作用下，不可能作曲线运动；C.物体在垂直于速度方向，且大小不变的力作用下作匀速圆周运动；D.物体在不垂直于速度方向的力作用下，不可能作圆周运动；解：答案是C。
2．关于惯性有下面四种说法，正确的为：（）A.物体静止或作匀速运动时才具有惯性；B.物体受力作变速运动时才具有惯性；C.物体受力作变速运动时才没有惯性；D.惯性是物体的一种固有属性，在任何情况下物体均有惯性。
解：答案是D3．在足够长的管中装有粘滞液体，放入钢球由静止开始向下运动，下列说法中正确的是：（）A.钢球运动越来越慢，最后静止不动；B.钢球运动越来越慢，最后达到稳定的速度；C.钢球运动越来越快，一直无限制地增加；D.钢球运动越来越快，最后达到稳定的速度。
解：答案是D4．一人肩扛一重量为P的米袋从高台上往下跳，当其在空中运动时，米袋作用在他肩上的力应为：（）A.0B.P/4C.PD.P/2解：答案是A。
简要提示：米袋和人具有相同的加速度，因此米袋作用在他肩上的力应为0。
5．有两辆构造相同的汽车在相同的水平面上行驶，其中甲车满载，乙车空载，当两车速度相等时，均关掉发动机，使其滑行，若从开始滑行到静止，甲车需时t1，乙车为t2，则有：（）A.t1=t2B.t1>t2C.t1<t2D.无法确定谁长谁短解：答案是A。
简要提示：两车滑动时的加速度大小均为g，又因v0at1=v0at2=0，所以t1=t26.若你在赤道地区用弹簧秤自已的体重，当地球突然停止自转，则你的体重将：（）A.增加；B.减小；C.不变；D.变为0解：答案是A简要提示：重力是万有引力与惯性离心力的矢量和，在赤道上两者的方向相反，当地球突然停止自转，惯性离心力变为0，因此体重将增加。
7.质量为m的物体最初位于某0处，在力F=k/某2作用下由静止开始沿直线运动，k为一常数，则物体在任一位置某处的速度应为（）A.k112k113k11k11()B.()C.()D.()m某某0m某某0m某某0m某某0解：答案是B。
2牛顿运动定律
第二章 牛顿运动定律（Newton’s Laws of Motion ）§1 牛顿运动定律▲第一定律(惯性定律)(First law ，Inertia law ): 任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
⎩⎨⎧概念定性给出了力与惯性的定义了“惯性系” 惯性系（inertial frame ）：牛顿第一定律成立的参考系。
力是改变物体运动状态的原因，而并非维持物体运动状态的原因。
▲第二定律（Second lawF ρ：物体所受的合外力。
m ：质量（mass ），它是物体惯性大小的量度，也称惯性质量（inertial mass ）。
若m = const. ，则有：a m F ρρ= a ρ：物体的加速度。
第一定律▲第三定律（Third Law ）：2112F F ρρ-=说明：1.牛顿定律只适用于惯性系；2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义。
Δ§2 SI 单位和量纲（书第二章第2节）Δ§3 技术中常见的几种力（书第二章第3节）Δ§4基本自然力（书第二章第4节）m 1 m 2 F 12 F 21§5 牛顿定律应用举例书第二章第2节的各个例题一定要认真看，下面再补充一例，同时说明作题要求。
已知:桶绕z轴转动，ω= const.水对桶静止。
求：水面形状（z - r关系）解：▲选对象：任选表面上一小块水为隔离体m ；▲看运动：m作匀速率圆周运动raρρ2ω-=；▲查受力：受力gmρ及Nρ，水面⊥Nρ（∵稳定时m受周围水及空气的切向合力为零）；▲列方程：⎩⎨⎧-=-=-)2(sin)1(cos2rmNrmgNzωθθ向：向：θtg为z（r）曲线的斜率，由导数关系知：rzddtg=θ(3)由(1)(2)(3)得：rgrz2ddtgωθ==分离变量： r r gz d d 2ω= 积分： ⎰⎰=zz rr r g z 002d d ω得： 0222z r g z +=ω（旋转抛物面） 若已知不旋转时水深为h ，桶半径为R ,则由旋转前后水的体积不变，有： ⎰=⋅R h R r r z 02d 2ππ⎰=+Rh R r r z r g 02022d 2)2(ππω 得 g R h z 4220ω-=▲验结果： 0222z r g z +=ω ·单位：[2ω]=1/s 2 ，[r ]=m ，[g ]=m/s 2][m m/sm )/s 1(]2[2222z g ==⋅=ω，正确。
大学物理牛顿运动定律及其应用习题及答案
第2章 牛顿运动定律及其应用 习题解答1．质量为10kg 的质点在xOy 平面内运动，其运动规律为:543x con t =+(m),5sin 45y t =-(m).求t 时刻质点所受的力．解:此题属于第一类问题54320sin 480cos 4x x x x con t dx v t dtdv a t dt=+==-==- 5sin 4520cos 480sin 4y y y t v t a t=-==-12800cos 4()800sin 4()()800()x x y y x y F ma t N F ma t N F F F N ==-==-=+=2．质量为m 的质点沿x 轴正向运动，设质点通过坐标x 位置时其速率为kx 〔k 为比例系数〕，求： 〔1〕此时作用于质点的力；〔2〕质点由1x x =处出发，运动到2x x =处所需要的时间。
解:(1) 2()dv dx F m mk mk x N dt dt=== (2) 22112111ln ln xx x x x dx dx v kx t x dt kx k k x ==⇒===⎰ 3．质量为m 的质点在合力0F F kt(N )=-〔0F ,k 均为常量〕的作用下作直线运动，求： 〔1〕质点的加速度；〔2〕质点的速度和位置〔设质点开始静止于坐标原点处〕.解:由牛顿第二运动定律 200201000232000012111262v t x t F kt dv mF kt a (ms )dt mF t kt F kt dv dt v (ms )m m F t kt F t kt dx dt x (m )m m ---=-⇒=--=⇒=⎰⎰--=⇒=⎰⎰4．质量为m 的质点最初静止在0x 处，在力2F k /x =-(N)〔k 是常量〕的作用下沿X 轴运动，求质点在x 处的速度。
解: 由牛顿第二运动定律02120v x x dv dv dx dv F k /x mm mv dt dx dt dx k vdv dx v ms )mx -=-====-⇒=⎰⎰5．一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=(N)，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求质点在x =A /4处的速度的大小． 解: 由牛顿第二运动定律02120v x x dv dv dx dv F k /x mm mv dt dx dt dx k vdv dx v ms )mx -=-====-⇒===⎰⎰6．质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝t m k e v )(0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝(km v 0)［1-t m k e )(-］； (3)停止运动前经过的距离为)(0km v ； (4)当k m t =时速度减至0v 的e 1，式中m 为质点的质量． 证明: (1) t 时刻的速度为v ＝t m k e v )(0- 0000ln v t k t m v dv F kv mdt dv k v k dt t v v e v m v m -=-==-⇒=-⇒=⎰⎰(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝(k m v 0)［1-t m ke )(-］ 00000(1)k t m x tk k t t m m dx v v e dt mv dx v edt x e k ---===⇒=-⎰⎰(3)停止运动前经过的距离为)(0km v 在x 的表达式中令t=0得到: 停止运动前经过的距离为)(0k m v (4)当k m t =时速度减至0v 的e1，式中m 为质点的质量． 在v 的表达式中令k m t =得到:01v v e= 7．质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度．解: 由牛顿第二运动定律 (1) dv dv k m kv dt dt v m=-⇒=- 考虑初始条件,对上式两边积分: 000vt k t m v dv k dt v v e v m -=-⇒=⎰⎰ (2) max00max 00x k t m mv dx v e dt x dt k ∞-=-⇒=⎰⎰ 8．质量为m 的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为v = 5.0 m/s ．设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，问：当雨滴下降速率为v = 4.0 m/s 时，其加速度a 多大？(取29.8/g m s =)解: 由牛顿第二运动定律雨滴下降未到达极限速度前运动方程为2mg kv ma -= 〔1〕雨滴下降到达极限速度后运动方程为20mg kv -= 〔2〕将v = 4.0 m/s 代入〔2〕式得2maxmg k v = 〔3〕 由〔1〕、〔3〕式 22424max 16(1)10(1) 3.6/25v v v a g m s v ===-=⨯-= 9．一人在平地上拉一个质量为M 的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h ＝1.5 m ，不计箱高，问绳长l 为多长时最省力? 解: 由牛顿第二运动定律有sin 0cos 0T N mg T N θθμ+-=-=联立以上2式得 ()cos sin mgT μθθμθ=+上式T 取得最小值的条件为tg θμ==由此得到2.92l m =≈。
物理学 第二章 牛顿运动定律
g sin a2 tg( ) g cos
g sin a2 arc tg g cos
讨论：如果=0，a1=a2 ，则实际上是小车在水平 方向作匀加速直线运动；如果=0，加速度为零， 悬线保持在竖直方向。
例题2-3 一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板上， 绳长l=0.5m，重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆 周运动，转速n=1r/s。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳 和竖直方向所成的角度。
2m1m2 T g m1 m2
（2）电梯加速下降时，a<0，即得到
m1 m2 ar ( g a) m1 m2
a=g，即得到
2m1m2 T ( g a) m1 m2
ar 0,
T 0
例题2-2 一个质量为m、悬线长度为l的摆锤，挂在架子上， 架子固定在小车上，如图所示。求在下列情况下悬线的方 向(用摆的悬线与竖直方向所成的角表示)和线中的张力： (1)小车沿水平方向以加速度a1作匀加速直线运动。 (2)当小车以加速度a2沿斜面(斜面与水平面成角)向上作 匀加速直线运动。
自然坐标系中的分量形式
2
dv Ft mat m dt
Fn man m
v
2
2、牛顿第二定律的微分形式
牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的动力成正 比，并且发生在这力所沿直线的方向上。 这里的“运动”指物体的质量和速度矢量的乘积。
p mv
牛顿第二定律实质上是：
dp F dt
g cos 2 2 0.497 4 n l
60 13
可以看出，物体的转速n愈大， 也愈大，而 与重物的质量m无关。
l
中国矿业大学(北京)《大学物理》课件-第二章 牛顿运动定律
★实验表明：地球是一个近似程度很高的惯性系。 ★实验还表明：相对地球做匀速直线运动的物体也 是惯性系。
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牛顿第三定律
2、牛顿第三定律
两个物体之间的作用力 F 和反作用力 F 沿
同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两
个物体上。
F F
两点说明：
摩擦系数为 ，拉力F作用于物体上。
求：F与水平面之间的夹角 为多大时，能使物体获
得最大的加速度？
F
解：建立直角坐标系oxy，
N
根据牛顿第二定律列式：
f
F cos f ma
G
N F sin mg 0
y
f N
ox
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例题2-2
可解得： f μ(mg F sin ),
瞬时加速度。两者同时存在，同时消失。
F
m
d
v
dt
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牛顿第二定律
(3)矢量性的理解：
F
ma
m
d
v
dt
直角坐标系中的
自然坐标系中的
分量形式
分量形式
Fx
max
m dvx dt
d2 x m dt2
,
Fy
may
m dvy dt
m
d2 dt
y
2
,
Fz
maz
m dvz dt
最大静摩擦力 fmax 0N 滑动摩擦力 f N
0：静摩擦系数，：滑动摩擦系数。与接触面的 材料和表面粗糙程度有关，还和相对速度有关。
0 1
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大学物理第2章 牛顿运动定律
推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。 2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)； 推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。 评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。 你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力 气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无 动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏 得好。
mgR 2 F r2
R2 dv mg 2 m 由牛顿第二定律得： r dt 2 dv dv dr dv gR 又 v dr vdv 2 dt dr dt dr r
当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：
v gR 2 R r 2 dr v0 vdv r
故有
k
例题2-4 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速 v0最小应取多大，才不再返回地球?
分析：初始条件，r R 时的速度为 v0 只要求出速率方程 v v ( r ) “不会返回地球”的数学表示式为： 当
r 时， v 0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。 解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
说明
1）定义力
2）力的瞬时作用规律
3）矢量性
4）说明了质量的实质 ： 物体惯性大小的量度
5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
d ( mv x ) Fx dt
第二章-牛顿运动定律
Fi 0
( 静力学基本方程 )
二. 牛顿第二定律
某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上
所有力的合力。
Fi
d(mv) dt
Fi
k
d(mv) dt
取适当的单位，使 k =1 ，则有
Fi
d(mv) dt
dmv dt
m
dv dt
当物体的质量不随时间变化时
Fi
m
dv dt
ma
• 直角坐标系下为
例 一柔软绳长 l ，线密度 ρ，一端着地开始自由下落.
求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少？
解 在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）.
取整个绳为研究对象 设压力为 N
N gl dp p p yv
y
dt
N gl d( yv) dy v gt
dt dt
y
l
d( yv) dyv dv y v 2 yg dt dt dt
• 同时性 —— 相互作用之间是相互依存，同生同灭。
讨论
第三定律是关于力的定律，它适用于接触力。对于非接触的 两个物体间的相互作用力，由于其相互作用以有限速度传播， 存在延迟效应。
§2.2 力学中常见的几种力
一. 万有引力
质量为 m1、m2 ，相距为 r 的 两质点间的万有引力大小为
m1
F12
r r0
l
λΔ lg
T (l)
T
N
f2
四. 摩擦力
1. 静摩擦力 当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有 相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋 势的力，称为静摩擦力。
说明
静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大 静摩擦力为 fmax=µ0 N ( µ0 为最大静摩擦系数，N 为正压力) 2. 滑动摩擦力 两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现 的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。