二维欧氏距离变换的演变与应用
二维欧氏距离变换的演变与应用
最初 ， 距离 变换只是应用于二值 图像 的处理 ， 变换结果 不再 是
二值图像 Ｆ：｛ ｆ（ Ｐ ） ｛ Ｐ ∈｛ ｌ ， ． ． ． ， Ｍ｝ ， Ｐ ∈｛ ｌ ， …， Ⅳ｝ ｝
距离 和棋 盘距离 。 在 文献［ ７ 】 中， 作者 采用下 图１ （ ａ ） （ ｂ ） 所 示的模板
ｄ ｉ ｓ ｔ （ ｐ ， ｇ ） ＝ √ （ ｐ 一 ｇ ） ＋ （ Ｐ 一 ｑ ｙ ） ，
ｄ ｉ ｓ ｔ （ ｐ ， ｇ ） ： Ｉ Ｐ 一ｑ １ ＋ｌ 一ｇ Ｉ ，
ｄ ｉ ｓ ｔ （ ｐ ， ｑ ） ＝ｍ ａ ｘ （ ｛ Ｐ 一 ｑ ｘ Ｉ ， Ｉ Ｐ 一 ｑ ｙ Ｉ ） ．
摘要： 目前 ， 二 维 欧 氏距 离变 换 已经 成 为 图像 处 理 与模 式识 另 ｑ 领域 的 重要 方 法 。 最初 它 只是 应 用 于 二值 图 像 的 处 理 ， 但 是 经过 近 几 年
的发展， 特别是布 朗大学的Ｐ ｅ ｄ ｒ ｏ Ｆ ． Ｆ ｅ ｌ ｚ ｅ ｎ ｓ ｚ ｗａ ｌ ｂ 对二雏欧氏距 离变换进行 了革命 性的扩展并提 出了线性 计算 复杂度的求解方法， 二 维欧氏
别领域 。
计算二值 图像 的二维欧 氏距 离变换通 常有两类方法 ， 一类是
基于模 板的近似计 算方法【 １ １ ４ ， 另外一类 是精确计算 的方 法［ Ｓ Ｉ ６ １ 。 在 第一类方法 中 ， 文献［ ４ 】 提 出了欧氏距离的一种近似估计 ： Ｃ ｈ ａ ｍｆ ｅ ｒ
距离 （ 式（ ３ ） 和式（ ４ ） 所表 示 的城 市街 区距 离和棋盘距 离其 实也是 幅二值 图像 ， 而是一幅灰度级 图像 ， 变换结果 中的像素表示的是 欧 氏距离 的近似表示形 式） 。 Ｃ ｈ ａ ｒ ￣ｅ ｒ 距离使用整数来代替 欧 氏距 该像素到达背景区域的最短距离 。 假设存在一幅分辨率为 Ｍ × Ｎ的 离变换 的浮点数 ， 降低了计 算复 杂度 ， 同时它的精度 高于城市街区
欧氏距离（Euclidian
欧⽒距离（Euclidian distance,欧⼏⾥得（德）距离）定义（转）欧⽒距离定义：欧⽒距离（Euclidean distance）也称欧⼏⾥得距离是⼀个通常采⽤的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。
欧⽒距离：（∑（Xi-Yi）2）1/2，即两项间的差是每个变量值差的平⽅和再平⽅根，⽬的是计算其间的整体距离即不相似性。
在⼆维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，⼆维的公式是 d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^) 三维的公式是 d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+(z1-z2)^) 推⼴到n维空间，欧式距离的公式是 d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这⾥i=1,2..n xi1表⽰第⼀个点的第i维坐标,xi2表⽰第⼆个点的第i维坐标 n维欧⽒空间是⼀个点集,它的每个点可以表⽰为(x(1),x(2),...x(n)),其中x(i)(i=1,2...n)是实数,称为x的第i个坐标,两个点x和y=(y(1),y(2)...y(n))之间的距离d(x,y)定义为上⾯的公式. 欧⽒距离看作信号的相似程度。
距离越近就越相似，就越容易相互⼲扰，误码率就越⾼。
＝＝＝＝＝＝＝＝所谓欧⽒距离变换，是指对于⼀张⼆值图像（再次我们假定⽩⾊为前景⾊，⿊⾊为背景⾊），将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。
欧⽒距离变换在数字图像处理中的应⽤范围很⼴泛，尤其对于图像的⾻架提取，是⼀个很好的参照。
所谓欧⽒距离变换，是指对于⼀张⼆值图像（再次我们假定⽩⾊为前景⾊，⿊⾊为背景⾊），将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。
欧⽒距离变换在数字图像处理中的应⽤范围很⼴泛，尤其对于图像的⾻架提取，是⼀个很好的参照。
＝＝＝＝＝＝＝＝欧⽒距离：（∑（Xi-Yi）2）1/2，即两项间的差是每个变量值差的平⽅和再平⽅根，⽬的是计算其间的整体距离即不相似性。
空间几何的欧氏变换
空间几何的欧氏变换欧氏变换是指在欧氏空间中进行的变换，它是一种可以保持欧氏空间中两点距离和线段相对长度不变的变换。
在二维平面上，欧氏变换包括平移、旋转和比例变换（缩放），在三维空间中也有类似的欧氏变换。
本篇文章将主要讨论三维空间中的欧氏变换。
一、平移变换平移变换是一种将空间中的点移动到新位置的变换，它是三维欧氏变换中最简单的一种。
具体地说，平移变换可用一个向量来表示，这个向量即为平移向量。
对于三维空间中的点P(x, y, z)，其中x、y、z分别表示该点在x、y、z三个轴上的坐标值。
若要将该点平移向量V(xv, yv, zv)，新点Q的坐标为Q(x+xv, y+yv, z+zv)。
二、旋转变换旋转变换是指将空间中的点绕某个轴进行旋转，从而改变其位置和方向。
具体地说，旋转变换可以由旋转轴和旋转角度确定。
对于三维空间中的点P(x, y, z)，设旋转轴方向向量为n=(nx, ny, nz)，旋转角度为θ，则旋转变换可表示为：$\begin{pmatrix} \cos \theta + n_x^2 (1-\cos \theta) & n_x n_y (1-\cos\theta)-n_z \sin\theta & n_x n_z (1-\cos\theta)+n_y \sin\theta \\ n_y n_x (1-\cos\theta)+n_z \sin\theta & \cos\theta+n_y^2(1-\cos\theta) &n_y n_z(1-\cos\theta)-n_x\sin\theta \\ n_z n_x(1-\cos\theta)-n_y\sin\theta & n_z n_y(1-\cos\theta)+n_x\sin\theta &\cos\theta+n_z^2(1-\cos\theta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$三、比例变换比例变换也称为缩放变换，它是将三维空间中的点按照某个比例进行缩放的变换。
欧氏距离变换的作用
欧氏距离变换的作用
欧氏距离变换是一种数学变换，用于将非欧氏空间中的数据映射为欧氏空间中的数据，其作用包括以下几个方面：
1. 降维：欧氏距离变换可以将高维空间中的数据降维到低维空间，从而减少数据的维度。
这个过程对于数据的可视化和理解非常有帮助。
2. 特征表示：欧氏距离变换可以在低维空间中寻找到数据的重要特征，从而实现对数据的更好表示。
例如，在图像处理中，可以将图像数据通过欧氏距离变换映射到特征空间，从而提取出图像的重要特征。
3. 数据聚类：欧氏距离变换可以将数据聚集到相似的簇中，从而实现数据的聚类。
通过欧氏距离变换后，距离相近的数据点在变换后的空间中距离更近，便于进行聚类分析。
4. 数据分类：欧氏距离变换可以将数据映射到欧氏空间中，从而便于进行分类操作。
通过计算欧氏距离，可以衡量不同数据点之间的相似性，并实现对数据的分类。
总之，欧氏距离变换在数据处理和分析中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理数据。
欧式距离变换实现流程
欧式距离变换实现流程一、前言在机器学习中，常常需要对两个向量进行相似度计算，度量其相似程度。
而欧式距离是最常用的一种方式，但有时需要对数据进行变换，然后再进行欧氏距离计算。
本文将详细介绍欧式距离变换的实现流程。
二、什么是欧式距离欧氏距离是最常用的一种距离度量方法，用于度量两个向量之间的距离。
在二维或三维空间中，一般通过欧氏距离公式计算：$$d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$$其中，x和y是两个n维向量， i是x和y的第i个维度， n是向量的维数。
三、什么是欧式距离变换欧式距离变换是对数据进行一定变换（如旋转、缩放等），然后再进行欧氏距离计算。
其目的是为了更准确地刻画数据之间的关系。
四、欧式距离变换的实现流程1. 数据预处理在进行欧式距离变换之前，需要先进行数据预处理，将数据转化为矩阵形式，同时根据需要进行特征筛选、缺失值填充等操作。
2. 数据变换欧式距离变换的操作非常多，如投影变换、缩放变换、旋转变换等。
这里以缩放变换为例，介绍欧式距离变换的实现流程。
首先，定义一个缩放因子s，将原始数据点x进行缩放变换，得到新的数据点：$$x' = x * s$$再次计算两个数据点之间的欧式距离：$$d(x',y') = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}((x_i * s–y_i * s)^2)}$$简化为：$$d(x',y') = s * \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i–y_i)^2}$$通过简单的数学运算，将变换后的欧氏距离转化为原始欧氏距离的倍数，进而计算变换后的欧氏距离。
3. 结果分析完成欧式距离变换后，需要对结果进行分析和解释。
可以通过聚类、分类，或者其他机器学习算法来对数据集进行分析。
五、总结本文介绍了欧式距离变换的实现流程，针对具体的数据集可以根据需求选择不同的变换方式，如旋转、缩放、投影等。
五个距离的逐差法
五个距离的逐差法距离是指某一物体或空间中两点之间的间隔或差异。
在日常生活中，我们经常使用距离来描述物体的位置和相对关系。
而在数学和物理学中，距离也是一个重要的概念，用于衡量物体之间的远近或相似程度。
本文将介绍五种常见的距离度量方法：欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、马氏距离和余弦相似度。
一、欧氏距离欧氏距离是最常见的距离度量方法之一，也是我们最常用的直观距离。
它在二维或三维空间中的计算方法如下：给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，欧氏距离为√((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。
欧氏距离的计算方法可以推广到更高维空间。
欧氏距离适用于连续型数据的度量，例如在机器学习中用于计算样本之间的相似性。
二、曼哈顿距离曼哈顿距离是另一种常见的距离度量方法，它的计算方法与欧氏距离有所不同。
在二维空间中，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，曼哈顿距离为|x2 - x1| + |y2 - y1|。
曼哈顿距离的计算方法可以推广到更高维空间。
曼哈顿距离适用于离散型数据的度量，例如在城市规划中用于计算两个位置之间的最短路径。
三、切比雪夫距离切比雪夫距离是一种特殊的距离度量方法，它取各个维度上的差的最大值作为距离。
在二维空间中，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，切比雪夫距离为max(|x2 - x1|, |y2 - y1|)。
切比雪夫距离的计算方法可以推广到更高维空间。
切比雪夫距离适用于各个维度上的度量具有不同权重的情况。
四、马氏距离马氏距离是一种基于协方差矩阵的距离度量方法，用于度量两个随机向量之间的相似性。
在二维空间中，给定两个随机向量X和Y，马氏距离的计算方法为√((X - Y)T * C^(-1) * (X - Y))，其中C为协方差矩阵。
马氏距离可以衡量样本在多维空间中的分布差异。
五、余弦相似度余弦相似度是一种常用的度量两个向量之间相似性的方法。
二维欧氏距离客观赋权的模糊算法
二维欧氏距离客观赋权的模糊算法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一种新的完全欧氏距离变换算法
一种新的完全欧氏距离变换算法
刘相滨;邹北骥;王胜春
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2005(041)013
【摘要】论文提出了一种基于边界剥离的二维完全欧氏距离变换算法.该算法从物体目标的最外层边界开始,自外向内、逐层对物体目标区域进行边界跟踪、剥离.在跟踪过程中,根据当前边界像素点的已获得距离变换结果或为背景的邻域像素信息,计算其与最近背景像素间的欧氏距离,从而实现距离变换.和已有算法相比,文中算法具有简单快速、容易实现,得到的是完全欧氏距离的优点,在分离粘连物体的应用中,取得了良好分离效果.
【总页数】3页(P44-45,153)
【作者】刘相滨;邹北骥;王胜春
【作者单位】湖南师范大学图像识别和计算机视觉研究所,长沙,410081;湖南大学计算机与通信学院,长沙,410082;湖南大学计算机与通信学院,长沙,410082;湖南师范大学图像识别和计算机视觉研究所,长沙,410081
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.基于围线扫描的快速完全欧氏距离变换算法 [J], 鲁继文;张二虎
2.近似欧氏距离变换的一种并行算法 [J], 崔峰;汪雪林;彭思龙
3.一种设计近似完全重构非均匀余弦调制滤波器组的新算法 [J], 蒋俊正;江庆;欧阳缮
4.基于围线追踪的完全欧氏距离变换算法 [J], 王钲旋;李文辉;庞云阶
5.三维完全欧氏距离变换的改进算法 [J], 董箭;彭认灿;郑义东
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欧氏距离模型
欧氏距离模型欧氏距离模型是一种基于欧氏距离度量的模型，用于度量对象在多维空间中的相似度。
在数据挖掘、机器学习、模式识别等领域中，欧氏距离模型被广泛应用，是许多算法的基石。
一、什么是欧氏距离模型欧氏距离模型是基于欧氏距离的相似性度量模型，可以用于许多应用领域。
在二维空间中，欧氏距离表示两个点之间的直线距离，以勾股定理为基础，假设一个点的坐标为(x1,y1)，另一个点的坐标为(x2,y2)，则它们之间的欧氏距离为：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
在多维空间中，欧氏距离的计算方式类似，假设有两个n维向量x和y，则它们之间的欧氏距离为d=sqrt((x1-y1)^2+(x2-y2)^2+...+(xn-yn)^2)。
二、欧氏距离模型的应用欧氏距离模型在机器学习、数据挖掘、模式识别等领域中得到广泛应用。
以下是几个示例：1. K-means算法K-means算法是聚类分析中的一种算法，它以欧氏距离为基础实现数据点的聚类。
该算法以欧氏距离为相似性度量，将数据点聚类到最近的聚类中心点，不断重复迭代直到聚类结果收敛。
2. K近邻算法K近邻算法是一种基于实例的学习方法，它以欧氏距离为度量计算待分类样本和已知样本之间的距离，选取距离最近的K个样本作为待分类样本的分类标签。
3. 特征选择特征选择是数据预处理的一个重要步骤，它通过对特征进行选择和抽取来提高分类器的性能。
特征之间的相关性通常使用欧氏距离来计算，选择与分类相关性强的特征进行训练和分类。
三、总结欧氏距离模型是一种基于欧氏距离度量的相似性度量模型。
它在很多领域中被广泛应用，如聚类分析、K近邻算法、特征选择等。
在应用欧氏距离模型时，需要遵循选择合适的参数和优化算法等原则来提高模型的性能和实际应用效果。
各种距离（欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、马氏距离等）
各种距离（欧⽒距离、曼哈顿距离、切⽐雪夫距离、马⽒距离等）在做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(SimilarityMeasurement)，这时通常采⽤的⽅法就是计算样本间的“距离”(Distance)。
采⽤什么样的⽅法计算距离是很讲究，甚⾄关系到分类的正确与否。
本⽂的⽬的就是对常⽤的相似性度量作⼀个总结。
本⽂⽬录：1.欧⽒距离2.曼哈顿距离3. 切⽐雪夫距离4. 闵可夫斯基距离5.标准化欧⽒距离6.马⽒距离7.夹⾓余弦8.汉明距离9.杰卡德距离& 杰卡德相似系数10.相关系数& 相关距离11.信息熵1. 欧⽒距离(EuclideanDistance)欧⽒距离是最易于理解的⼀种距离计算⽅法，源⾃欧⽒空间中两点间的距离公式。
(1)⼆维平⾯上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧⽒距离：(2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧⽒距离：(3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧⽒距离： 也可以⽤表⽰成向量运算的形式：(4)Matlab计算欧⽒距离Matlab计算距离主要使⽤pdist函数。
若X是⼀个M×N的矩阵，则pdist(X)将X矩阵M⾏的每⼀⾏作为⼀个N维向量，然后计算这M个向量两两间的距离。
例⼦：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]D= pdist(X,'euclidean')结果：D=1.00002.0000 2.23612. 曼哈顿距离(ManhattanDistance)从名字就可以猜出这种距离的计算⽅法了。
想象你在曼哈顿要从⼀个⼗字路⼝开车到另外⼀个⼗字路⼝，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除⾮你能穿越⼤楼。
实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。
⽽这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(CityBlock distance)。
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二维欧氏距离变换的演变与应用作者：张春晖任晓蕾来源：《数字技术与应用》2017年第04期摘要：目前，二维欧氏距离变换已经成为图像处理与模式识别领域的重要方法。
最初它只是应用于二值图像的处理，但是经过近几年的发展，特别是布朗大学的Pedro F. Felzenszwalb 对二维欧氏距离变换进行了革命性的扩展并提出了线性计算复杂度的求解方法，二维欧氏距离变换才真正被广泛应用于模式识别领域。
本文就二维欧氏距离变换的三个演进阶段进行总结归纳，并给出各个阶段的相应的求解方法与应用分析，以期提供二维欧氏距离变换的扩展思路，进一步拓展它的应用领域。
关键词：二维欧氏距离变换；特征提取；目标检测；计算几何中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2017）04-0060-03距离变换的概念在1966年被Rosenfeld首先提出[1]，它是计算并标识图像像素与前景目标最小距离的过程。
由于可以表征图像中目标的结构特征，因此被广泛应用于图像处理、计算机视觉和模式识别领域。
最初，距离变换只是应用于二值图像的处理，变换结果不再是一幅二值图像，而是一幅灰度级图像，变换结果中的像素表示的是该像素到达背景区域的最短距离。
假设存在一幅分辨率为的二值图像其中，属于背景区域，表示像素和之间的距离量度。
距离度量可以分为两大类：欧氏距离和非欧氏距离，常用的非欧氏距离度量有城市街区距离和棋盘距离。
欧氏距离、城市街区距离和棋盘距离分别表示如下[2]：我们在本文中只讨论二维欧氏距离变换。
在下面的内容中，我们将以二维欧氏距离变换的发展为线索，同时结合它在每个阶段的运算方法和应用来讨论。
1 二值图像的二维欧氏距离变换结合式（1）和式（2），二值图像的二维欧氏距离变换可以表示为：计算二值图像的二维欧氏距离变换通常有两类方法，一类是基于模板的近似计算方法[3][4]，另外一类是精确计算的方法[5][6]。
在第一类方法中，文献[4]提出了欧氏距离的一种近似估计：Chamfer距离（式（3）和式（4）所表示的城市街区距离和棋盘距离其实也是欧氏距离的近似表示形式）。
Chamfer距离使用整数来代替欧氏距离变换的浮点数，降低了计算复杂度，同时它的精度高于城市街区距离和棋盘距离。
在文献[7]中，作者采用下图1（a）（b）所示的模板依次对二值图像进行腐蚀操作以达到Chamfer距离变换的目的。
由此可见，该方法具有线性的计算复杂度（）。
处理效果如图1（c）所示。
一般学术界认为，基于模板的近似计算方法的计算复杂度偏低，但是精度有限，而精确计算方法的精度高，但是计算复杂度也偏高[8]。
在精确计算的方法中，布朗大学的Pedro F. Felzenszwalb作出了革命性的贡献，提出了一种在线性计算复杂度内精确计算欧氏距离变换的方法[6]，并将二值图像的欧氏距离变换泛化为多值图像的欧氏距离变换。
在文献[6]中，距离变换的表达式（式（5））被修改为：式（7）为文献[6]提出的泛化欧氏距离变换的特殊形式，在文中，作者采用计算几何的方法对泛化欧氏距离变换进行计算，计算复杂度为，计算方法请参考下一章节。
采用并行运算技术也是解决欧氏距离变换运算时间长的一种思路，文献[9]采用分区域的思路将二值图像的欧氏距离变换的工作并行化。
最近，GPU强大的并行计算能力正在被人们所认知和发掘，特别是NVIDIA公司开发的GPU拥有数以千计的运算核心，加以cuda作为运算平台，使GPU的运算效率比CPU快几十倍。
例如，文献[10]采用了NVIDIA 的GTX280 芯片来计算二值图像的球面距离变换。
二值图像的二维欧氏距离变换作为图像处理的基础方法被广泛应用于计算机视觉领域，特别是骨架提取和边缘检测。
文献[8]针对传统基于距离变换的骨架提取算法不能保证骨架连通性的问题，提出了一种以距离变换为约束，以种子点为起点，逐点生长出骨架的算法，同时该算法很容易被扩展到三维情况。
该算法使用距离变换值最大的像素作为种子点，然后选择距离变换值下降最缓慢的点逐点生长，保证了骨架的连通性和准确性，但是该方法所选择的距离变换算法的计算复杂度偏高（），从而导致算法的效率偏低。
文献[11]针对当前车道边缘检测不连续的问题，提出了基于行方向距离变换的车道检测算法，跟传统距离变换不同的是，行方向距离变换只计算与车道线水平方向的距离，如下式所示：由式（9）可看出，该距离变换值对不连续车道具有很强的鲁棒性，且计算效率较高，该方法可为自动驾驶技术提供更高的行车安全保障。
文献[12]针对传统边缘轮廓提取方法和Hough变换方法在边缘存在干扰的情况下不能准确确定SAR图像中矩形目标轮廓的问题，首先采用Canny边缘检测算子处理SAR图像，对结果图像进行二维欧氏距离变换，然后采用层次聚类法使用欧氏距离对像素进行聚类确定矩形位置，最后采用矩形的几何特征对矩形轮廓进行精确定位。
实验结果表明该方法相比上述传统方法对图像干扰具有更强的鲁棒性，并且定位精度较高。
文献[7]针对传统基于距离变换的边缘匹配方法容易受到干扰的问题，首先对图像进行二值距离变换，同时计算标记图（即每个像素与目标区域像素在进行距离变换时的对应关系图），最后使用遗传算法将原有模型跟距离变换结果和标记图进行匹配，实验结果表明，该方法可以达到更好的边缘匹配度。
文献[13]为了达到快速检测人脸的目的，首先采用肤色信息对图像进行二值化，然后采用距离变换对二值图像进行处理，最后根据距离变换的极大值确定人脸的位置和尺寸。
2 多值图像的二维欧氏距离变换二值图像的欧氏距离变换仅仅考虑了距离量度而没有考虑像素值的大小，如前章所述，二值图像的欧氏距离变换是文献[6]提出的泛化欧氏距离变换的特殊形式。
泛化欧氏距离变换的表达式为：由上式（10）可以看出像素值也被考虑进了距离度量中，因此又叫做多值图像的欧氏距离变换。
由于第一项与无关，因此式（10）可以变为因此，式（10）的求解可以拆分为：（1）首先对图像的每一列数据作一维欧氏距离变换，（2）然后以第一步的计算结果为输入，对每一行数据作一维欧氏距离变换。
一维欧氏距离变换可以表示为：式（12）可以采用计算几何的方式来求解：首先对以（）为根点的一系列抛物线求取下包络，也就是下包络在处的值。
文献[6]已经证明，一维欧氏距离变换的计算复杂度在最差情况下为，因此计算式（10）的计算复杂度最差为。
而且该方法很容易扩展到任意维图像的欧氏距离变换。
由上一章可以看出，二值图像的欧氏距离变换主要应用于图像处理、特征提取领域。
而多值图像的欧氏距离变换主要用于目标部件检测领域，用以发掘目标部件之间的结构特征。
例如文献[14][15]提出了一种基于星形结构的目标部件检测模型，该方法的目标函数为：其中，该模型共存在个部件，表示星形结构的顶点集，即部件集（个元素），表示星形结构的边集（个元素），表示图像的像素附近区域与部件的匹配代价，表示部件与部件的弹性代价。
在文献[14]中，采用普通欧氏距离的形式：其中，，，，为常数。
因此，式（13）可以按照标准多值二维欧氏距离变换的方式来求解，然而在文献[15]中，采用马氏距离的形式，需要将图像进行相应的旋转将马氏距离变为欧氏距离然后再作距离变换，最后将距离变换的结果重新旋转回原来的角度，也就得到了二维马氏距离变换的运算结果。
最小化式（13）便可以同时保持部件之间的相对关系又使部件内部的局部纹理尽可能匹配，从而可以得到精确的目标部件位置（）。
为了更加准确表征目标部件之间的相对关系，文献[16]采用树形模型来代替星形模型。
文献[17]针对树形模型和星形模型不能准确约束部件位置的问题，提出了网状模型，实验结果表明，在匹配代价模型不准确的情况下，定位精度有所提高。
以上所述的目标部件检测方法虽然模型方法不同，但最终目标函数的求解都用到了多值图像的二维欧氏距离变换。
3 拓展的多值图像的二维欧氏距离变换虽然上一章所述的目标部件检测方法采用二维欧氏距离变换可以精确计算目标函数的最优值，定位精度很高，但是只适用于非旋转目标的检测。
为了使目标检测方法对旋转鲁棒，文献[18]设计了与式（13）相似的目标函数，不同的是弹性代价函数：其中，表示部件与部件之间的平均距离。
该弹性代价函数将两两部件之间的距离约束在一定范围内，因而该方法对旋转是鲁棒的。
于是产生了拓展的多值图像的二维欧氏距离变换：为了方便计算，文献[18]在式（16）中引入了两个辅助变量，于是式（16）变为：当=0时，式（17）将退变为式（10）。
受到式（12）计算的启发，上式同样可以采用计算几何的方式来计算：首先对以（）为根点的一系列抛物曲面求取下包络，也就是下包络上沿着一个圆（以为圆心，为半径）的最小值。
文献[18]已经证明整个计算过程的计算复杂度平均为。
4 结语本文就二维欧氏距离变换的发展进行了逐一介绍，在每个发展阶段，分别介绍了它的计算方法和应用。
二值图像的欧氏距离变换主要用于图像处理和图像特征提取领域，而多值图像的欧氏距离变换多用于目标部件检测领域，拓展的多值图像的欧氏距离变换由于起步较晚，目前只应用于具有旋转不变性的目标部件检测领域。
在众多二维欧氏距离变换的计算方法中，我们比较看好Pedro F. Felzenszwalb提出的基于计算几何技术的运算方法，它不但具有高的计算精度，而且拥有线性的计算复杂度。
参考文献[1]Azriel Rosenfeld and John L Pfaltz. Sequential operations in digital picture processing[J]. Journal of the ACM，13（4）：471-494，1966.[2]Ricardo Fabbri， Luciano Da F Costa， Julio C Torelli， and Odemir M Bruno. 2deuclidean distance transformalgorithms[J]： A comparative survey. ACM Computing Surveys， 40（1）：2-45，2008.[3]StinaSvensson and GunillaBorgefors. Digital distance transforms in 3d images using information from neighborhoods up to 5×5×5[J].Computer Vision and Image Understanding， 88（1）：24-53，2002.[4]GunillaBorgefors. Hierarchical chamfer matching： A parametric edge matchingalgorithm[J].IEEE Transactionson Pattern Analysis and Machine Intelligence，10（6）：849-865，1988.[5]Toyofumi Saito and Jun-Ichiro Toriwaki. New algorithms for euclidean distance transformation of an n-dimensionaldigitized picture with applications[J].Pattern Recognition， 27（11）：1551-1565，1994.[6]Pedro Felzenszwalb and Daniel Huttenlocher. Distance transforms of sampled functions[J]. Theory and Computing，8：415-428，2012.[7]张煜，孙家抦，张晓东.一种基于距离变换与标记图的边缘匹配方法[J].武汉大学学报（信息科学版），31（8）：675-678，2006.[8]丁颐，刘文予，郑宇化.基于距离变换的多尺度连通骨架算法[J].红外与毫米波学报，24（4）：281-285，2005.[9]崔峰，汪雪林，彭思龙.近似欧氏距离变换的一种并行算法[J].中国图象图形学报，9（6）：693-698，2004.[10]陈伟锋，王锐，潘明皓，等.基于GPU的快速球面距离变换[J].计算机学报，34（3）：499-507，2011.[11]蒋如意，刘洪涛，胡文，等.改进的图像距离变换方法在车道检测中应用[J].上海交通大学学报， 46（9）：1450-1454，2012.[12]李慧平，李映，张秀伟.结合 Canny 和距离变换的矩形模式特征提取方法[J].计算机工程与应用，47（18）：166-182，2011.[13]曹灿，吴向前.基于肤色信息和距离变换的快速人脸检测算法[J].信阳农业高等专科学校学报，19（2）：111-113，2009.[14]Pedro F Felzenszwalb，Ross B Girshick， David McAllester， and Deva Ramanan. Object detection with discriminatively trained part-based models[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，32（9）：1627-1645， 2010.[15]David Crandall， Pedro Felzenszwalb， and Daniel Huttenlocher. Spatial priors for part-based recognition usingstatistical models[C]. In Computer Vision and Pattern Recognition， volume 1， pages 10-17. IEEE， 2005.[16]Pedro F Felzenszwalb and Daniel P Huttenlocher. Pictorial structures for object recognition. InternationalJournal of Computer Vision[J]， 61（1）：55-79，2005.[17]张春晖.基于信息融合的目标检测和 PET 目标重建方法[D].西安电子科技大学，2015.[18]Chunhui Zhang， Jimin Liang， Jun Zhang，and Heng Zhao. A new shape prior model with rotation invariance[J].Pattern Recognition Letters，54：82-88，2015.。