加权欧氏距离及其应用

x j3) 2〕1/ 2
6
(3. 2)
采用最短距离法对 n = 10 个样本点进行聚类分析 ,用 G1 , G2 , …,表示类 ,用 Dpq表示 Gp 与 Gq
两类间的距离
D pq
= i
min
∈Gp , j ∈Gq{
d
3 ij
}
聚类步骤如下 :
(3. 3)
(1) 开始时 ,每个样品自成一类 ,计算各类间两两加权欧氏距离 ,所得矩阵记作 D0
将 D0 中 p 、q 两列合并成新列对应 Gr ,计算各类 代表团 金牌数 银牌数 铜牌数
间加权欧氏距离 ,所得距阵记为 D1 。
1
(4) 对 D1 重复上述 ( 2) 、( 3) 两步后得矩阵
2 3
D2 ,如此继续进行下去 ,直到所有的类合并成一
4
39
25
33
32
28
28
28
16
15
16
25
17
一 、加权欧氏距离
现在我们考虑对 2000 年奥运金牌榜 51 个国家中前 10 名进行分类 ,每一个国家视为一个
样品 ,每个样品设 p = 3 个指标 , 分别以 x i1 , x i2 , x i3 , i = 1 , …, 10 表示第 i 个国家获得的金 、 银 、铜牌数 , ( x i1 , x i2 , x i3) i = 1 , …, 10 为三维空间中的点 , 如直接用两点间的欧氏距离 dij =
(
d
3 m
j)
2
-
(
d
ห้องสมุดไป่ตู้3 ij
)
2
=
2α1 r ( x i1
-
x j1
+
r 2
)
(2. 1)
证明 由假设及 (1. 1) 式 ,有
X 收稿日期 :2001 - 06 - 07 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
3
j
)
2
-
(
d
3 ij
)
2
= 2α3 r ( x i3
-
x j3
+
r 2
)
于是有
〔(
d
3 m
1
j)
2
-
(
d
3 ij
)
2
〕∶〔(
d
3 m
2
j
)
2
-
(
d
3 ij
)
2
〕∶〔(
d
3 m
3
j
)
2
-
(
d
3 ij
)
2〕
= 2α1 r ( x i1 -
x j1
+
r) 2
∶2α2 r ( x i2
-
x j2
+
r) 2
类为止 。
5
6
现用最短距离法 ,用加权欧氏距离 (3. 1) 式对
7
14
17
26
13
14
11
13
8
13
2000 年奥运金牌榜前 10 名国家进行聚类分析 ,
8
12
9
4
2000 年奥运金牌榜前 10 名国家见表 1 。
9
11
11
7
10
11
10
7
通过聚类分析 ,得 2000 年奥运金牌榜国家前 10
为 ( x i1 +
r , x i2 , x i3) , ( x i1 , x i2 +
r , x i3) , ( x i1 , x i2 , x i3 +
r)
, 则〔(
d
3 m
1
j
)
2
-
(
d
3 ij
)
2 〕∶〔(
d
3 m
2
j
)
2
-
(
d
3 ij
)
2〕∶〔(
d
3 m
3
j
)
2
-
(
d
3 ij
)
2 〕= α1
(
x i1
-
x j1
+
r 2
)
∶α2
(
x i2
-
x j2
+
r 2
)
∶α3
(
x i3
-
x j3
+
r 2
)
证明 :由性质 1 得
(
d
3 m
1
j
)
2
-
(
d
3 ij
)
2
= 2α1 r ( x i1
-
x j1
+
r 2
)
(
d
3 m
2
j
)
2
-
(
d
3 ij
)
2
= 2α2 r ( x i2
-
x j2
+
r 2
)
(
d
3 m
名聚类图如下 :
由图 1 知 ,如把 2000 年奥运金牌榜国家属前 10
名分为四类 ,则美国 、俄罗斯属第一类 ,中国属第二
类 ,澳大利亚 、德国属第三类 ,其余五个国家属第四
类 ,由此可见我国在 2000 年奥运会上取得的成绩举
世瞩目 。
[ 参考文献 ]
[ 1 ] 王玲玲等. 常用统计方法〔M〕. 上海 :华东师范大学出版 社 ,1998 ,228 - 257.
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
∶2α3 r ( x i3
-
x j3
+
r) 2
证毕 。
= α1 ( x i1 -
x j1
+
r 2
)
∶α2 ( x i2
-
x j2
+
r 2
)
∶α3 ( x i3
-
x j3
+
r 2
)
。
性质 2 说明在计算距离时 ,金 、银 、铜牌所起的作用依次减小 ,因此用加权欧氏距离 (1. 1) 式对奥运金牌榜国家进行聚类分析是合理的 ,其中α1 >α2 >α3 的选取可凭大多数人的共识 而定 。
x j2) 2 + α3 ( x i3 -
x j3) 2
(
d
3 m
j
)
2
-
(
d
3 ij
)
2
= α1〔( x i1
-
x j1 + r) 2 -
( x i1 -
x j1) 2〕
= α1 r (2 x i1 - 2 x j1 + r) = 2α1 r ( x i1 -
x j1
+
r) 2
性质 2 设 i , j 两点坐标分别为 ( x i1 , x i2 , x i3) , ( x j1 , x j2 , x j3) , m 1 , m 2 , m 3 点的坐标依次
加权欧氏距离及其应用
17
文章编号 :1002 —1566 (2002) 05 —0017 —03
加权欧氏距离及其应用 X
刘瑞元
(青海师范大学数学系 ,西宁 810008)
摘 要 :本文定义了加权欧氏距离并讨论了它的性质 ,然后应用加权欧氏距离对 2000 年奥运金牌
榜国家前 10 名进行了聚类分析 。
18
数理统计与管理 21 卷 5 期 2002 年 9 月
于是
(
d
3 ij
)
2
= α1 ( x i1
-
x j1) 2 + α2 ( x i2 -
x j2) 2 + α3 ( x i3 -
x j3) 2
(
d
3 m
j
)
2
= α1 ( x i1
-
x j1 + r) 2 + α2 ( x i2 -
加权欧氏距离及其应用
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D rk
=
i
min ∈ Gr , j
∈ Gk {
d
3 ij
}
= min{ i
min
d
3 ij
∈ Gp , j ∈ Gk , i
min
d
3 ij
∈ Gq , j
∈
} Gk
,
(3. 4)
将 D0 中 p 、q 两行合并成新行对应 Gr , 同时 表 1 : 2000 年奥运金牌榜 (前 10 名)
关键词 :加权欧氏距离 ;聚类分析
中图分类号 : F127 ;O212. 7
文献标识码 :A
当我们讨论对几个样品进行分类时 ,首先对每一个样品测量它的 p 个指标 , 以 x ij表示第 i 个样品的第 j 个指标 ,全体数据如下
{ xij ,1 F i F n ,1 F j F p} 衡量两个样品之间接近程度的方法 ,是将每个样品看作 p 维空间的一个点 ,在 p 维空间中定义 两点间的距离 ,把距离小的点归为一类 ,把距离大的点分在不同的类中 。
Eucl id distance with weight and its appl ications
L IU Rui2yuan
(Mat hematics department ,Qinghai teachers university , Xinning 810008 ,China) Abstract :This paper definites a Euclid distance wit h weights , discusses its properities and uses t he cluster analysis to study t he nation’s first ten winners on t he list of 2000 Olympic gold medals wit h t he Eudid distance wit h weights. Key works :euclid distance wit h weights ;cluster analysis