图论与网络流第六章答案蒋长浩
图论期末考试试题和答案
图论期末考试试题和答案****一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 图论中，图的基本元素不包括以下哪一项？A. 顶点B. 边C. 权重D. 节点答案：D2. 在图论中，一个图的路径是指什么？A. 一系列顶点B. 一系列边C. 一系列顶点和边的序列D. 一系列权重答案：C3. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 边的方向B. 顶点的数量C. 边的数量D. 图的颜色答案：A4. 在图论中，一个完全图是指什么？A. 所有顶点都相连的图B. 所有边都相连的图C. 所有顶点和边都相连的图D. 所有权重都相同的图答案：A5. 图论中的欧拉路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：C6. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：B7. 在图论中，二分图是指什么？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合B. 图的边可以被分成两个不相交的集合C. 图的顶点和边可以被分成两个不相交的集合D. 图的权重可以被分成两个不相交的集合答案：A8. 图论中的最短路径问题是指什么？A. 寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径B. 寻找从一个顶点到所有其他顶点的最短路径C. 寻找所有顶点之间的最短路径D. 寻找所有边之间的最短路径答案：A9. 图论中的最小生成树问题是指什么？A. 寻找一个图中所有顶点的最小生成树B. 寻找一个图中所有边的最小生成树C. 寻找一个连通图中所有顶点的最小生成树D. 寻找一个连通图中所有边的最小生成树答案：C10. 图论中的网络流问题是指什么？A. 在图中寻找最大流量B. 在图中寻找最小流量C. 在图中寻找最大流和最小割D. 在图中寻找最小流和最大割答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为______图。
图论基础与网络流习题集锦
图论简介
平行边：即重边。 环：即自环。 简单图：不含平行边且不含环的图。 度：无向图中，与某点关联的边的数量。 入度，出度：有向图中，与某点关联的入边和出边 的数量。 K-正则图：无向简单图中所有点的度数都为K。 握手定理：所有点度数之和等于2*|E|。
同构：两个无向图<V1,E1>与<V2,E2>，若存在双 射函数f:V1->V2，使得对于任意vi,vj ∈ V1,f(vi),f(vj) ∈ V2时， <vi,vj> ∈ E1当且仅当<f(vi),f(vj)> ∈ E2， 则称这两个无向图同构。
网络流习题集锦：闭合子图
最大权闭合子图类问题：
给定一些事件。
事件之间有依赖关系，比如若选了A就一定要选B。
建图的经典思想： S->(pA S->B->T A->(c)B 用c作为最小割
网络流习题集锦：加工顺序
有N个工作，M种机器，每种机器你可以租或者买过来. 每个工作包括若干道工序，每道工序需要某种机器来 完成,你可以通过购买或租用机器来完成。现在给出这 些参数，求最大利润。 N<=1200,M<=1200
解答： 将所有工人看做一个点排成一排在左边，所有产品看 做一个点排成一排在右边，若某个工人会制造某个产 品，则在相应的两个点上连容量为1的边。
此时，我们考虑到对这个图做网络流，源向左边每个 点都连一条容量为K的边，右边每个点向终点连一条容 量为K的边，如果没有流满，那么显然是不可能有解的。 而如果流满，则根据Hall定理，我们也可以知道它是有 解的，然后一遍一遍进行二分图匹配即可。
网络流习题集锦：路径覆盖
路径覆盖类题目，主要是指这样一类问题：给定一个 图以及一系列行走规则，问如何使用最小的代价将用 一系列按照行走规则的路径覆盖住。 下面我们就来具体问题具体反分析。
图论讲义1图路树
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
第6章-图习题参考答案
习题六参考答案一、选择题1.在一个有个顶点的有向图中，若所有顶点的出度之和为，则所有顶点的入度之和为（A）。
A. B. C. D.2.一个有向图有个顶点，则每个顶点的度可能的最大值是（B）。
A. B. C. D.3.具有6个顶点的无向图至少应有（A）条边才能确保是一个连通图。
A.5B.6C.7D.84.一个有n个顶点的无向图最多有（C）条边。
A. B. C. D.5.对某个无向图的邻接矩阵来说，下列叙述正确的是（A）。
A.第行上的非零元素个数和第列上的非零元素个数一定相等B.矩阵中的非零元素个数等于图中的边数C.第行与第列上的非零元素的总数等于顶点的度数D.矩阵中非全零行的行数等于图中的顶点数6.已知一个有向图的邻接矩阵，要删除所有以第个顶点为孤尾的边，应该（B）。
A.将邻接矩阵的第行删除B.将邻接矩阵的第行元素全部置为0C.将邻接矩阵的第列删除D.将邻接矩阵的第列元素全部置为07.下面关于图的存储的叙述中，哪一个是正确的？……（A）A．用邻接矩阵存储图，占用的存储空间只与图中顶点数有关，而与边数无关B．用邻接矩阵存储图，占用的存储空间只与图中边数有关，而与顶点数无关C．用邻接表存储图，占用的存储空间只与图中顶点数有关，而与边数无关D．用邻接表存储图，占用的存储空间只与图中边数有关，而与顶点数无关8.对图的深度优先遍历，类似于对树的哪种遍历？……（A）A.先根遍历B.中根遍历C．后根遍历D．层次遍历9.任何一个无向连通图的最小生成树（B）。
A.只有一棵B.有一棵或多棵C.一定有多棵D.可能不存在10.下面是三个关于有向图运算的叙述：（1）求两个指向结点间的最短路径，其结果必定是唯一的（2）求有向图结点的拓扑序列，其结果必定是唯一的（3）求AOE网的关键路径，其结果必定是唯一的其中哪个（些）是正确的？……（D）A.只有（1）B.（1）和（2）C.都正确D.都不正确二、填空题1.若用表示图中顶点数，则有条边的无向图称为完全图。
国科大中科院图论与网络流理论第6章答案
,Vk 是 G I 的一个正常 k -点染色，即 V1 ,V2 ,
V j ,
k i 1
,Vk 是 V (G I ) 的
一个划分，每个 Vi 非空， Vi
Vi V (G I ) 。从而
k i 1
Vi
I V (G ) ，且是
V1 ,V2 ,
因此构成 G 的一个 k 1 正常点染色， 故 (G) k 1 ， ,Vk , I 互不相交的独立集。
(G) (G I ) 1，即 (G) 1 (G I ) 。
结合式（1）得 (G I)
(G) 1 。
证明 2： G 是 k 色临界的，则 (G) k ，且 (G I ) k 1 。 另一方面，若 (G I ) r k 1，无妨设 G I 的一个 r 正常染色为 V1 ,V2 , 则 V1 ,V2 ,
即 (G I ) (G) 1 ，结合（2）式，得 (G I)
(G) 1 。
ห้องสมุดไป่ตู้
证明 4： 因 G 是色临界图， 故 (G I ) (G) 1 ， 另一方面， 假如 (G I ) (G) 2 ， 则 G I 是 (G) 2 色可染的，因 G I 是 G 的子图，对 G I 进行 (G) 2 色正常染色 后，再用第 (G) 1种色对 I 中的点染色，可得 G 的 (G) 1正常点染色，这与 G 的色数
证法 3：假如 (G) ，则由正则性， G 的每个点都与 种颜色的边相关联，从而去掉一 种颜色的边后所得之图 G 是 个顶点的 k 1 正则图。在 G 中看， 2
d (v )
vG
图论习题答案
图论习题答案
《图论习题答案》
图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在学习
图论的过程中，我们常常会遇到各种各样的习题，通过解答这些习题可以帮助
我们更好地理解图论的知识。
下面就让我们来看一些图论习题的答案吧。
1. 问：一个图中有多少条边？
答：一个图中的边数可以通过计算每个顶点的度数之和再除以2来得到。
2. 问：一个图中有多少个连通分量？
答：一个图中的连通分量可以通过使用深度优先搜索或广度优先搜索来求得。
3. 问：一个图中是否存在欧拉回路？
答：一个图中存在欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。
4. 问：一个图中是否存在哈密顿回路？
答：一个图中存在哈密顿回路的判定是一个NP难题，目前还没有有效的多项式时间算法。
5. 问：一个图中的最小生成树有多少条边？
答：一个图中的最小生成树的边数恰好等于顶点数减一。
通过解答这些图论习题，我们可以更好地掌握图论的基本概念和算法。
图论不
仅在数学领域有着重要的应用，而且在计算机科学、电信网络等领域也有着广
泛的应用。
因此，熟练掌握图论知识对我们的学习和工作都有着重要的意义。
希望通过本文的分享，能够帮助大家更好地理解图论知识，提高解决问题的能力。
同时也希望大家在学习图论的过程中能够多多练习，勇于挑战各种各样的
图论习题，不断提升自己的图论水平。
祝大家在图论的学习道路上取得更大的
进步！。
图论-图的基本概念
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
网络流 习题 答案
网络流习题答案网络流是图论中一个重要的概念，它在计算机科学和运筹学等领域有着广泛的应用。
网络流问题可以抽象为在一个有向图中找到从源点到汇点的最大流量或最小割问题。
解决网络流问题的算法有很多种，其中最著名的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
在解决网络流问题时，我们首先需要定义图的结构。
一个网络流图由一组节点和一组有向边组成。
每条边都有一个容量，表示该边上最大可以通过的流量。
图中有一个特殊的源点和一个汇点，源点是流量的起点，汇点是流量的终点。
我们的目标是找到从源点到汇点的最大流量。
Ford-Fulkerson算法是一种经典的解决网络流问题的方法。
它的基本思想是不断寻找增广路径，即从源点到汇点的一条路径，沿途每条边上的流量都小于等于该边的容量。
通过增加这条路径上的流量，我们可以逐步增大整个网络的流量。
当无法找到增广路径时，算法终止，此时的流量即为最大流量。
Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一个改进版本。
它通过使用广度优先搜索来寻找增广路径，从而保证每次找到的路径都是最短的。
这样可以大大提高算法的效率，尤其是在图中边的容量差异较大时。
Edmonds-Karp算法的时间复杂度为O(V*E^2)，其中V是节点数，E是边数。
除了上述两种算法外，还有其他一些解决网络流问题的方法，如Dinic算法和Push-Relabel算法等。
这些算法在不同的应用场景下有各自的优势，选择适合的算法可以提高问题的求解效率。
网络流问题的应用非常广泛。
在运输领域，网络流可以用来优化货物的运输方案，使得总运输成本最小。
在通信网络中，网络流可以用来优化数据的传输路径，提高网络的吞吐量。
在社交网络中，网络流可以用来分析信息的传播过程，预测病毒传播的路径等。
总之，网络流是图论中一个重要的概念，它在计算机科学和运筹学等领域有广泛的应用。
解决网络流问题的算法有很多种，每种算法都有其适用的场景。
第六章运筹学图与网络
A
7
2
2
5
S
4
B
5
D
5
1
C
3
4
E
1
7
T
第三节 最短路(Shortest path)问题 最短路问题是指在给定的网络(有向图和无向图) 中,找出任意两点间距离最短的一条路,这里的距 离是权值的代表.最短路问题可应用于选址,管道 铺设时的选线,设备更新,投资等方面. 本节介绍从某一点到其他各点之间最短距离的 Dijkstra算法和网络图上任意两点的最短距离的 矩阵算法.
对起点和终点相重合的链称为圈.起点和终点重 合的路称为回路.在一个图中,如果任意两点间 至少存在一条链,则称该图为连通图,否则为不 连通的.
1 v5 , e8 , v3 , e3 , v1 , e2 , v2 , e4 , v3 , e7 , v4 2 v5 , e8 , v3 , e7 , v4
图的最小部分树(最小生成树):设 G2 是一个图,如 果 G1 是 G2 的支撑子图(部分图),且 G1 是一个树, 则称 G1 是 G2 的部分树.树的各条边称为树枝.在 图的每条边上赋予权值的图称为赋权图. 在 G2 中一般含有许多部分树,其中树枝总长为 最小的部分树,称为该图的最小部分树.
部分树
min2 7,4 5,4 3,4 4 7 LSE , 对E标号, 将边[ B, E ]改
与已标号点相邻的未标 号点是D, T .计算 LSP minLSA d AD , LSB d BD , LSE d ED , LSE d ET [ E , D]改为红色; 只有T未标号, 计算LSP minLSD d DT , LSE d ET min8 5,7 7 13 LST , 对T标号, 将边[ D, T ] 改为红色, 计算结束.图中红线为S到T的最短路, T点旁的数值 13为最短路的长度 .
第六章图与网络分析习题及参考答案案
第六章图与网络分析习题及参考答案案习题六图与网络分析习题及参考答案.1 十名学生参加六门课程的考试。
由于选修内容不同，考试门数也不一样。
下表给出了每个学生应参加考试的课程（打⊙的）：学生考试课程 A B C D E F1 ⊙⊙⊙2 ⊙⊙3 ⊙⊙4⊙⊙⊙5⊙⊙⊙6 ⊙⊙7⊙⊙⊙8 ⊙⊙9 ⊙⊙⊙10⊙⊙⊙规定考试在三天内结束，每天上下午各安排一门。
学生希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在第一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在下午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。
参考答案把同一个研究生参加的考试课程用边连接，得图如下。
由图看出，课程A只能同E排在一天，B同C排在一天，D同F在一天。
再据题意，考试日程表只能是下表：B E 上午下午第一天 A EA F 第二天 C B第三天 D FD C2 求下图的最小生成树和最大生成树：V6 3需参考答案将每小块稻田及水源地各用一个点表示，连接这些点的树图的边数即为至少要挖开的堤埂数。
（至少挖开11条）4. 请用标号法求下图所示的最短路问题，弧上数字为距离：参考答案路线为1－2－4－6，距离为9个单位5 用Dijkstra标号法求下图中始点到各顶点的最短路，弧上数字为距离：v3 3 v51 5 4v1 24v2 2 v4参考答案1－2，3，4，5最短路：3*,1*,5*,4*6最短路问题：某公司使用一种设备，此设备在一定年限内随着时间的推移逐渐损坏。
每年购买价格和不同年限的维修使用费如下表所示。
假定公司在第一年开始时必须购买一台此设备，请建立此问题的网络图，确定设备更新方案，使维修费和新设备购置费的总数最小。
说明解决思路和方法，不必求解。
年份 1 2 3 4 5价格20 21 23 24 26使用年限0－1 1－2 2－3 3－4 4－5费用8 13 19 23 30参考答案弧（i，j）的费用或“长度”等于j－i年里的设备维修费加上第i 年购买的新设备的价格。
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图论与网络流第六章答案蒋长浩
图论与网络流第六章——蒋长浩
在第五章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。
对于连通图，其连通的程度也有高有低。
例如，下列三个图都是连通图。
对于图G1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G6，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
第六章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。
通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的6连通和k连通性。
§6.1割点和割边定义6.1.1设)(GVv∈，如果)()(GwvGw>？，则称v为G的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。
例如，下图中u，v两点是其割点。
定理6.1.1如果点v是简单图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集1E和6E，使得][1EG和][6EG恰好有一个公共顶点v。
证明留作习题。
推论6.1.1对连通图G，顶点v是G的割点当且仅当vG？不连通。
定理6.1.6设v是树T的顶点，则v是T的割点当且仅当1)(>vd。
证明：必要性：设v是T的割点，下面用反证法证明1)(>vd。
若0)(=vd，则1KT？，显然v不是割点。
若1)(=vd，则vT？是有1)(？vTν条边的无圈图，故是树。
从而)(1)(TwvTw=？。
因此v不是割点。
以上均与条件矛盾。
充分性：设1)(>vd，则v至少有两个邻点u，w。
路uvw是T中一条)，(wu路。
因T是树，uvw是T中唯一的)，(wu路，从而)(1)(TwvTw=>？。
故v是割点。
证毕。