第六章 图与网络理论(1)
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6-5中国邮递员问题
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第六章 图与网络
主讲教师 武小平
主要内容
1 欧拉回路与道路
2 奇偶点表上作业法
运
筹
3 中国邮递员问题求解
学
1 欧拉回路与道路
1、 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且 仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路，经过 每边一次且仅一次，则称这条回路为欧拉回路。
4
v1
9
v4
4
v7
图5
v3 5 v2
5
v1
2 v6 4
3
6
4
v5
4
9
v4 4
图6
v9 3 v8 4
v7
v3 5 v2 5
v1
2 v6 4
63
4
v5
4
v9
3 v8 4
9
v4
4
v7
图7
v3 2 v6 4
5
v2
6
5
3 4
v5 4
v9
3 v8 4
v1
9
v4
4
v7
图8
v3 2 v6 4
5
v2
6
5
3 4
v5 4
判定标准2 : 在最优邮递员路线上，图中每一个圈的重
复边总权小于或等于该圈总权的一半。
3 中国邮递员问题求解
例1 求解下图5所示网络的中国邮路问题，
图中数字为该边的长。
v3 2 v6 4 v9
5
3
v2
6 v5
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第六章 图与网络
主讲教师 武小平
主要内容
1 欧拉回路与道路
2 奇偶点表上作业法
运
筹
3 中国邮递员问题求解
学
1 欧拉回路与道路
1、 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且 仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路，经过 每边一次且仅一次，则称这条回路为欧拉回路。
4
v1
9
v4
4
v7
图5
v3 5 v2
5
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2 v6 4
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图6
v9 3 v8 4
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v3 5 v2 5
v1
2 v6 4
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v5
4
v9
3 v8 4
9
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图7
v3 2 v6 4
5
v2
6
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3 4
v5 4
v9
3 v8 4
v1
9
v4
4
v7
图8
v3 2 v6 4
5
v2
6
5
3 4
v5 4
判定标准2 : 在最优邮递员路线上，图中每一个圈的重
复边总权小于或等于该圈总权的一半。
3 中国邮递员问题求解
例1 求解下图5所示网络的中国邮路问题，
图中数字为该边的长。
v3 2 v6 4 v9
5
3
v2
6 v5
国科大中科院图论与网络流理论第6章答案
,Vk 是 G I 的一个正常 k -点染色，即 V1 ,V2 ,
V j ,
k i 1
,Vk 是 V (G I ) 的
一个划分，每个 Vi 非空， Vi
Vi V (G I ) 。从而
k i 1
Vi
I V (G ) ，且是
V1 ,V2 ,
因此构成 G 的一个 k 1 正常点染色， 故 (G) k 1 ， ,Vk , I 互不相交的独立集。
(G) (G I ) 1，即 (G) 1 (G I ) 。
结合式（1）得 (G I)
(G) 1 。
证明 2： G 是 k 色临界的，则 (G) k ，且 (G I ) k 1 。 另一方面，若 (G I ) r k 1，无妨设 G I 的一个 r 正常染色为 V1 ,V2 , 则 V1 ,V2 ,
即 (G I ) (G) 1 ，结合（2）式，得 (G I)
(G) 1 。
ห้องสมุดไป่ตู้
证明 4： 因 G 是色临界图， 故 (G I ) (G) 1 ， 另一方面， 假如 (G I ) (G) 2 ， 则 G I 是 (G) 2 色可染的，因 G I 是 G 的子图，对 G I 进行 (G) 2 色正常染色 后，再用第 (G) 1种色对 I 中的点染色，可得 G 的 (G) 1正常点染色，这与 G 的色数
证法 3：假如 (G) ，则由正则性， G 的每个点都与 种颜色的边相关联，从而去掉一 种颜色的边后所得之图 G 是 个顶点的 k 1 正则图。在 G 中看， 2
d (v )
vG
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
运筹学-第六章 图论1
6、图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
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v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
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v5 v4
6 1 2 4
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7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
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v5 v4
6 1 2 4 6 3
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v5 v4
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2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
运筹学课程常见疑难问题及解答
由于写对偶问题是本章其他内容的基础，因此需要通过大量
的练习熟练掌握原问题与对偶问题的对应关系。
返回
利用松弛性质求解对偶问题最优解时应注 意什么？
注意给出的线性规划问题是否具备原问题或者对偶问题的标
准形式。对于具备标准形式的线性规划问题，可以直接利用
松弛性质中的描述进行计算。
对于不具备标准形式的线性规划问题，不可以直接利用松弛
以单位矩阵对应的变量作为基变量时，求出的基本解一 定是基本可行解。
迭代时以单位矩阵对应的变量作为基变量，还可以从单
纯形表中直接读出各变量的值。
返回
应用大M法时应注意什么问题？
应用大M法时应注意：
在约束方程中加入人工变量以后，一定要在目标函数中
增加罚函数项；
在求极大的目标函数中，人工变量系数应为-M，相反在
第八章—目标规划
第九章—排队论 第十章—存贮论 第十一章—决策论 第十二章—多目标决策方法 第十三章—在民航应用案例
一般性问题的解答
运筹学在民航运输中的应用情况
参见第十三章内容及平台上的学术文献
如何学好运筹学课程
同一问题求解方法的选择
返回
如何学好运筹学课程？
i=1 m
n m a kj x j b k时, y k 0； a ij yi c j , j 1, , n j=1 的最优解，当且仅当 i=1 m y 0,i 1, , m a y c 时, x 0. i l l il i i=1
返回
什么是满秩矩阵？
如果方阵的行列式非零，则该方阵是满秩矩阵。 某方阵是满秩矩阵时，以该方阵各列作为系数的各变量作为
基变量，其他变量取为常数（计算基本解时取为0）时，则
的练习熟练掌握原问题与对偶问题的对应关系。
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利用松弛性质求解对偶问题最优解时应注 意什么？
注意给出的线性规划问题是否具备原问题或者对偶问题的标
准形式。对于具备标准形式的线性规划问题，可以直接利用
松弛性质中的描述进行计算。
对于不具备标准形式的线性规划问题，不可以直接利用松弛
以单位矩阵对应的变量作为基变量时，求出的基本解一 定是基本可行解。
迭代时以单位矩阵对应的变量作为基变量，还可以从单
纯形表中直接读出各变量的值。
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应用大M法时应注意什么问题？
应用大M法时应注意：
在约束方程中加入人工变量以后，一定要在目标函数中
增加罚函数项；
在求极大的目标函数中，人工变量系数应为-M，相反在
第八章—目标规划
第九章—排队论 第十章—存贮论 第十一章—决策论 第十二章—多目标决策方法 第十三章—在民航应用案例
一般性问题的解答
运筹学在民航运输中的应用情况
参见第十三章内容及平台上的学术文献
如何学好运筹学课程
同一问题求解方法的选择
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i=1 m
n m a kj x j b k时, y k 0； a ij yi c j , j 1, , n j=1 的最优解，当且仅当 i=1 m y 0,i 1, , m a y c 时, x 0. i l l il i i=1
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什么是满秩矩阵？
如果方阵的行列式非零，则该方阵是满秩矩阵。 某方阵是满秩矩阵时，以该方阵各列作为系数的各变量作为
基变量，其他变量取为常数（计算基本解时取为0）时，则
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图的概念 图的次
次 点v作为边的端点的次数，记 作d(v)，如图中， d(v1)=5, v1 d(v4)=6等 端点次为奇数的点称作 奇点；次 e1 e2 e3 e4 e5 为偶数的点称作 偶点。 v3 次为 1 的点称为 悬挂点 ，与悬挂 v2 点连接的边称作 悬挂边； e6 e7 e9 v5 次为 0的点称为孤立点。 v4 图中的点 v 5 即为悬挂点，边 e 9 即 v6 为悬挂边，而点 v6则是弧立点。 e
v5 v6v1 v4 v5 v6 v4
v3 v1
v3 v1 v2 v3 v1 v2
v3
v5
v2 v5 v6
网络概念
图只能用来研究事物之间有没有某种关系，而不能研 究这种关系的强弱程度。 网络 赋权的图 权 程度的度量，数量描述。 v2 2 v1 6 v3 3 9 5 3 v5 1 8 v4 3 v6
1 , e1 , 2 , e6 , 4 , e7 , 3 , e 4 , 1
图的概念 连通的意义
连通是一个很重要的概念， v1 如果一个问题所对应的图 是一个不连通图，则该问 e e e e e 1 2 3 4 5 题一定可以分解成互不相 v3 关的子问题来加以研究， v2 即可以把不连通图分解成 e6 e7 e9 v5 连通的子图来研究。 v4 v6 e8
若 网络中边 ( i , j )的权为 dij ,则网络的支撑树的 权为支撑树的各边的权的和 . 如果支撑树 T*的权 w（T*）是G的所有支撑树的权 中最小的，则称 T*是G的最小支撑树（简称最小树）。 即
w (T *) min w (T )
T
最小支撑 树问题的一般提法是：选取网络中的支撑子 图，使得网络连通，且使总权数最短。
图的概念 点边关系 若点 u 和 v 与同一条边相关 v1 联，则 u 和 v 为相邻点 ； 若两条边 e i 和 e j 有同一个 端点，则称 e i 与 e j 为相邻 e1 e2 e3 e4 e5 边。 v2 v3 例如在图中 v1和v2为相邻点， e6 e7 e9 v5 v1和v5不相邻； e1与e5为 v4 相邻边， e1和e7不相邻。 v6 e8
8
e8
v6
图的概念 定理 1
若图 G中所有点都是孤立点， 则称图 G为空图。 定理 1 所有顶点的次的和，等 于所有边数的 2倍。即
图的概念 定理 2 v1
定理 2 在任一图中，奇点的个 数必为偶数。 设V1和V2分别是图 G中次数为 奇数和偶数的顶点集合。由 定理 1有
v1 e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
图的概念 有向图的链路
有向图中，在不考虑边的方向时， 也可以相同地定义 链，若有向图 D＝（ V，A）中， P是一个从 u到 v的链，且对 P中每一条弧而言， e1 在序列中位于该弧前面的点恰好 是其起点，而位于该弧后面的点 v2 恰好是其终点，这个链 P就称为 是D中从 u到v的一条路。 当路的起点与终点相同，即 u=v时， 称作一条回路。 顶点全不相同的路称为 初等路。 除起点和终点外点均不相同的回路 称为初等回路。
4 B
如何架设管道，既保证四个 浴室都有蒸汽管道供应，又 使管道的的总长度为最短。
C 8 D 6 4 5 O 13 10 4 B 9 A D C 6 5 O 10 4 B
v2 2 6 v3 3 9 5
8
v4 3 v6
4 5 O 10
v1
A
3
v5
1
v3
6
5 7
v5
3
v3
4 6
5 7
v5
3
4
v3 v6
6
v1 v3
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 v1
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
v 图的概念 特殊子图
1
图的概念 有向图
在有些图中，边是没有方向的，即 [u,v]=[v,u] ，这种图 称为无向图。 而有些关系是不对称的，例如父子关系、上下级关系、 加工工序的先后顺序等都具有单向性，用图来表示 这些关系时，得到的边是具有方向的，用带箭头的 线来表示，称为 弧。 从顶点 u指向υ的弧 a，记作＝ a=(u,v),(u,v)≠(v,u) ，其中 u称为 a的起点， v称为 a的终点，这样的图称为 有向 图。仍以 V表示点的集合，以 A表示弧的集合，则有 向图表示为 D＝（ V，A）
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
V
d ( ) 2q
d ( ) d ( ) 2q
V1 V2
图的概念 链
0 , e1 ,1 , e2 , 2 , n 1 , en , n
v1 由两两相邻的点及其相关 联的边构成的点边序列称 e1 e 2 e3 e 4 e5 为链。 v3 v0称为链的起点， vn称为链 v2 的终点。 e6 e7 e9 v5 若v0 ≠vn则称该链为开链， v 4 反之称为闭链或回路。 v6 e8
5 7
v5
3
v3
4 6
5 7
v5
3
v1
1 5
v6
4
v1
1 5
4
4
v1
1 5
v6
4
v1
1 5
v6
4
v2 v3
6
2 5 7
v4 v5
3 4 4
v2 v3
6
2 5 7
v4 v5
3 4
v2
4
2
v4 v3
6 5 7
v2 v5
3 4 4
2
v4
Hale Waihona Puke v11 5v6
v1
1 5
v6
v1
1 5
v6
v2
2
v4
v2
2
v4
v2
2
v4
v1 若一个图 G的任意两点之间 均至少有一条链连接起来， v1 则称这个图 G是一个连通 图，否则称作不连通图。 e1 e2 e3 e4 e5 例如图中， v1和v6之间没有 v2 v3 链，因此它不是连通图， e6 e7 e9 v5 而如果去掉 v6，则构成一 v4 个连通图。 v6 e8
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
v1 e 2 e3 e 4 e5 v3 e6 v4 e8 e7 e9 v5 v6
图的概念 树
一个没有圈的图称为一个 无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为 树，一个林的每个连通子图 都是一个树。 定理 以下关于树的六种不同描述是等价的： ①无圈连通图。 ②无圈， q=p-1 。 ③连通， q=p-1 。 ④无圈，但若任意增加一条边，则可得到一个且仅一 个圈。 ⑤连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 ⑥每一对顶点之间有一条且仅有一条链。
e1 e 2 e3 e 4 e5 v v3 v1 支撑子图 若V1=V2， 2 E1E2 ，则称 G1 e1 e 2 e3 e 4 e5 为G2的一个支撑 v2 v3 子图。 e6 e7 e9 v5 v4 v6 e8
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图的概念 有向图例
v1 e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
图的概念 图的表示
(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ), E (e1 , e 2 , e3 , e 4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 )
e1 [1 , 2 ]
e3 [1 , 4 ] e5 [1 , 3 ]
e7 [ 3 , 4 ]
图的概念 子图
子图的定义 设， G1=(V1,E1), G2=(V2,E2)， 如果 V1V2 ，又 E1E2 ， 则称 G1是G2的子图。 必须指出，并不是从图 G2中任选一些顶点和边 在一起就组成 G2的子图 G1，而只有在 G2中的一 条边以及连接该边的两 个端点均选入 G1时， G1 才是 G2的子图。
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2016-9-20
例 降低管道网络成本的最小树方法
O: 锅炉房 ; 8 D
C 6 A D 4 5 O
求最小支撑树的方法 : （一）避圈法 （Kruskal ） 思想：在图中取一条最小权的边，以后每一步中，总
B 9 A
C
4 5 O 6 10 13
B 9 A D C 6
A,B,C,D: 浴室。
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从未被选取的边中选一条权最小的边，并使 之与已选取的边不构成圈（每一步中，如果有 两条或两条以上的边都是最小权的边，则从中 任选一条）。
v3
v5 v6
充分性： 设G是连通的，如果 G不含圈，则 G本身是 一个树，从而是它自身的一个支撑树。 现设 G含圈，从圈中任意去掉一条边，得 G的一 个支撑子图 G1，如G1不含圈，则 G1是G的一个生成树； 如G1含圈，则从 G1中任取一圈，从圈中再任意去掉一 条边，得 G的一个支撑子图 G2，如此重复，终可得 G 的一个不含圈的支撑子图 Gk，于是 Gk是G的一个支撑 树。
图的概念 简单链
若链中所含的边均不相 同，则称为简单链； v1 若点均不相同，则称 为初等链或通路。 e1 e 2 e3 e 4 e5 除起点和终点外点均不 相同的闭链，称为 初 v2 v3 等回路或称为圈。 e e 6 7 例如图中 e9 v5 1 , e1 , 2 , e2 ,1 , e3 , 4
e8
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图的概念 简单图
若一条边的两个端点是同一个 顶点，则称该边为 环 ；又若 v1 两上端点之间有多于一条边， 则称为多重边或平行边。 e1 e 2 e3 e 4 e5 例如图的 e 8 为环， e 1 ， e 2 为两重 v2 v3 边， e4，e5也是两重边。 含有多重边的图称作 多重图。 e6 e7 e9 v5 无环也无多重边的图称作 简单 v 4 图。