运筹学第6章 图与网络 (1)
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运筹学基础-网络计划1
答案
作业名称 A 紧前作业 无
B 无
C 无
D A
E B
F B、C
A
1
5
D F E
11
C
B
7 3
答案
作业名称 A 紧前作业 无
B 无
C A、B
D B
E C
F D
A
1
5
C
7
E
11
B
3
D
9
F
第二节 网络时间的计算
网络时间的计算有三种计算方法：图上计算法、表格计 算法和EXCEL计算法。
一、图上计算法
网络图中只能有一个始点和一个终点，使得自网络图的始点 经由任何路径都可以到达终点。
编号的规定
编号应从始事件开始，按照时序依次从小到大对事件编号，直到终 事件。 编号时不允许箭头编号小于箭尾编号。 事件的编号原则 箭尾事件(i)小于箭头事件(j)；一般采用非连续编号，即可空留 出几个号，跳着编，将来有变化时，不致打乱全局。
2. 画网络图(以前图为例)
作业 A B C D E F G H I J 紧接的前项作业 作业时间(周) 2 无 3 无 A，B 4 B 1 A 5 C 3 E，F 2 D，F 7 G，H 6 I 5
第一步：先画出无紧前作业的A、B，给网络始点编号为① 第二步：用一条斜线“\”消去已画入网络图的作业A、B，
尽量避免箭线之间的交叉
为了方便计算和美观清晰，PERT网络图中通过调整布 局，尽量避免箭线之间的交叉。
2 8 2 4 6
7 10
1
9
11
1
5
6
9
11
3
5
7 10 3 4 8
管理运筹学讲义 第6章 网络计划(6学时)
4
H,4
22
第二节 绘制网络图
三、网络图的绘制举例
【例】
工序 紧前工序 工序时间
A G、M
3 ②
B H
4
C
— 7
D L
3
E，5
M，3
E C
5
F A、E
5
G B、C
2
H
— 5 ⑦
I A、L
2
F，5
K F、I
1
L B、C
7
M C
3
C，7
⑩
I，2
K，1 11
①
H，5
⑤
G，2
A，3
⑥
⑨
D，3
③
23
B，4
④
7
I
8
C
H
21
OM:SM
第二节 绘制网络图
三、网络图的绘制举例 【例】
工 序 A — 2 B A 4 C B 4
2 A，2
D — 4.7
B,4
E — 7.2
5 G,6.2
F E 2
G D、 F 6.2
H D、 F 4
I H 4.3
紧前工序 工序时间
C,4
7 I,4.3 6
OM:SM
1
D，4.7 E,7.2 F,2 3
13
OM:SM
第二节 绘制网络图
一、网络图中工序间的表达方式
1、当工序a完工后b和c可以开工
○
2、当工序a和b完工后c才能开工
○
a
b
○
○
a
○
c
c
○
○ ○
b
3、工序c在工序a完工后就可以开工， 但工序d必须在a和b都完工后才能开工
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
《运筹学》第六章网络计划方法
关键路径分析
什么是关键路径?
是需要在规定时限内完成的，不 能被延误的最长任务序列。
为什么重要?
因为这条路径上的任何延误都会 导致整个项目的延误。
如何确定?
通过计算出每个任务的最早开始 时间和最晚结束时间，从而找出 关键路径。
项目进度管理
1
制订进度计划
确定任务的完成时间，为项目进度的管
进度监控
2
理提供基础。
风险管理的好处?
有助于降低项目失败风险，增强 规划的稳健性，避免额外成本损 失和延迟。
关键路径法和PERT/CPM方法的比较
相似点
都是用来解决项目延误问题、进行进度计划、任务分析等。
不同点-PERT/CPM
适合单一的大规模计划，对时间的估计更加准确，适合波动较大的工作。
不同点-关键路径法
更适合复杂的工作计划，可以快速有效地过滤重要的任务，以使项目进度良好地推进。
运筹学网络计划方法
运筹学网络计划是一个强大的项目管理工具，能够帮助团队更好地理解项目， 并更好地规划工作。
定义
1 网络计划
是指通过图形化的方式，展现了项目中各项 任务的工作量、执行时间以及任务间的依赖 关系。
2 网络计划方法
是利用网络图形的结构，为项目管理提供项 目的计划、实施、控制和组织，以确保项目 的顺利开展。
网络计划在实际项目中的应用
1
建筑
对建筑贸易来说，它是一种标准的工具，用于确定工作任务，减少延误、提早完 成。
2
IT 项目
在软件和硬件开发过程中，它被广泛使用，以便跟踪任务、减少重叠和缺陷，并 计划偏差管理方法。
3
制造业
网络计划可帮助管理、确定生产期、调度工作、支持制造商的计划和进度控制。
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
CLICK HERE TO ADD A TITLE
1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
运筹学6(图与网络分析)
定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
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交通与汽车工程学院
C
包含两个要素： 对象（陆地）; 及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
A B
D
运筹学 图论中讨 论的“图”
交通与汽车工程学院
日常生产生活 中，还有什么 可以用图来表 示？
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6.1 基本概念
一、图的定义 点：表示研究对象 边：表示表示研究对象之间的特定关系
图由点和边组成的集合，记作G=(V，E)， 其中： V=(v1，v2，……，vn)为点的集合， E=(e1，e2，……，em) 为边的集合。
项目1 项目2 项目3 项目4 项目5 项目6
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1 1
1
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项目A 项目B 项目C 项目D 项目E
项目F
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
B A C
D F E
交通与汽车工程学院
1 4
偶图:
2
5
6 3 7
V1
V2
图的顶点可分为 2个不相交的非 空集合V1和V2， 同一集合中任意 两点不相邻，即 任意一边的2个 端点属于2个不 同集合。
交通与汽车工程学院
6、子图与部分图
子图
V V ，E E
' '
v1
v2
v4
v3
v6
v5
交通与汽车工程学院
6、子图与部分图
子图 部分图
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。
e8 v6
v5
交通与汽车工程学院
二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
v2 v3
无向图
v4 v1 v2 v5 v3 v4
有向图
v4 v5
混合图
v5
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8、基础图
去掉有向 图中的方 向
v2 v1 v3 v1 v2 v3
v4
有向图
v5
v4
基础图
v5
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9、连通、强连通、弱连通
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例：
5
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12、邻接矩阵
v2
v1 v2 v3 v4 v5
v1
v3 v1 0
1 0
1 1
1 0
1 0
无向图
v4 v5
v2 1
v3 1
v4 1
1
0 0
0
0 1
0
0 1
1
1 0
1, 顶点vi 与v j关联 v5 1 aij 0， 顶点vi 与v j不关联
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12、邻接矩阵
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
回路 起点=终点的路 e1 v1 e5 v4 e8
v6 e2 e6 e4 e7 v2
e3 v3
e8
v5
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5、完全图、偶图
1 7 2
完全图:
3
6
简单图中，任 意两点之间均 有边相连
5
4
交通与汽车工程学院
5、完全图、偶图
v1
e5 v4
e2 e6 e4
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。对
e3 v3
e7
e8 v6
无环、有多重边的图称
v5 作多重图。
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计算图中各点的次，
二、图的相关定义
e1
并说明是奇点、偶点、
3、次、奇点、偶点、 还是孤立点？ 孤立点 与某一个点vi相关 联的边的数目称为点 vi的次(也叫做度或线 度),记作d(vi)。次为奇 数的点称为奇点,次为 偶数的点称作偶点,次 为0的点称作孤立点。
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
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e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
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e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列 路 无重合点的链
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二、图的相关定义
e1
1、端点、关联边、相邻
如果边e可表示为e =
v2 （vi, vj）,称vi和vj是边e
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
的端点,反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、 vj与同一条边关联，称点 vi和vj相邻;若边ei和ej有 公共的端点,称边ei和ej相
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理2：在任意一个 图中，奇顶点的个 数必为偶数。
设V1和V2分别为G中奇 点和偶点的集合，有：
e8 v6
vV1
d (v) d (v) d (v) 2q
vV2 vV
v5
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4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
有向图
4
8
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课堂练习：
1、如下序列是否有可能是某简单图的 次的序列?
7，6，5，4，4，2
6，6，5，4，3，2，1
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课堂练习：
v1 e2 e1 2 3 e5 e4 e7 4 v2
v3
1
2、如图所示有向网 络图，求：
1)、各点的次、奇点、偶 点
第6章 图与网络
本章主要内容
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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第6章 图与网络
本章主要内容、重点及难点
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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e3 4
6
e6 4
2)、基础图
3)、链（v1,e5,v5,e8,v4,
v4
e8
5
v5
e4,v2,e2,v3）中的前向弧 与后向弧？ 4)、求该图的邻接矩阵？
5)、求该图的赋权矩阵？
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例1:6位运动员参加6个比赛，图中“1”表示个 运动员参加的比赛项目，怎么安排比赛顺序 可以使每位运动员都不连续参加2项比赛。
v1 v2 v3 v4 v5 v1 2 7 5 3 4 v2 2
3 v4 8
4
4
v3 7
v5
5
4
8
v4 3
无向图
v5 4
4
8
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13、赋权矩阵
v2 v1 2 7 5 v3
v1 v 2 v1 v2 2 v3
v3 v4 v5 7 5 3 4
3
8 v4
4
4
v5
v4 v5
第6章 图与网络
哥尼斯堡（现名加 里宁格勒）是欧洲一个 城市，Pregel河把该城 分成两部分，河中有两 个小岛，十八世纪时， 河两边及小岛之间共有 七座桥，当时人们提出 这样的游戏：有没有办 法从某处（如A）出发， 经过各桥一次且仅一次 最后回到原地呢？
交通与汽车工程学院
数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的解决方法：
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
e8 v6
v5
交通与汽车工程学院
二、图的相关定义
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理1：在一个图 中，所有顶点次 的和等于边的两 倍 。
e8 v6
d (v) 2q
vV
v5
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二、图的相关定义
忽略问题的具体细节，将问题的 关键性质或关系抽象为图的形式。 把A、B、C、D四块陆地分别收 缩成四个顶点，把桥表示成连接对 应顶点之间的边。
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C A
陆地为 “点 D
B
桥为“边”
问题：是否能从四块陆 地中的任一块开始，通 过每座桥恰好一次再回 到起点？
问题：是否能从任 意一个顶点开始， 通过每条边恰好一 次再回到起点？
e8 v6
v5
邻。
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二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。
e8 v6
v5
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C
包含两个要素： 对象（陆地）; 及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
A B
D
运筹学 图论中讨 论的“图”
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日常生产生活 中，还有什么 可以用图来表 示？
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6.1 基本概念
一、图的定义 点：表示研究对象 边：表示表示研究对象之间的特定关系
图由点和边组成的集合，记作G=(V，E)， 其中： V=(v1，v2，……，vn)为点的集合， E=(e1，e2，……，em) 为边的集合。
项目1 项目2 项目3 项目4 项目5 项目6
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1 1
1
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项目A 项目B 项目C 项目D 项目E
项目F
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
B A C
D F E
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1 4
偶图:
2
5
6 3 7
V1
V2
图的顶点可分为 2个不相交的非 空集合V1和V2， 同一集合中任意 两点不相邻，即 任意一边的2个 端点属于2个不 同集合。
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6、子图与部分图
子图
V V ，E E
' '
v1
v2
v4
v3
v6
v5
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6、子图与部分图
子图 部分图
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。
e8 v6
v5
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二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
v2 v3
无向图
v4 v1 v2 v5 v3 v4
有向图
v4 v5
混合图
v5
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8、基础图
去掉有向 图中的方 向
v2 v1 v3 v1 v2 v3
v4
有向图
v5
v4
基础图
v5
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9、连通、强连通、弱连通
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例：
5
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12、邻接矩阵
v2
v1 v2 v3 v4 v5
v1
v3 v1 0
1 0
1 1
1 0
1 0
无向图
v4 v5
v2 1
v3 1
v4 1
1
0 0
0
0 1
0
0 1
1
1 0
1, 顶点vi 与v j关联 v5 1 aij 0， 顶点vi 与v j不关联
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12、邻接矩阵
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
回路 起点=终点的路 e1 v1 e5 v4 e8
v6 e2 e6 e4 e7 v2
e3 v3
e8
v5
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5、完全图、偶图
1 7 2
完全图:
3
6
简单图中，任 意两点之间均 有边相连
5
4
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5、完全图、偶图
v1
e5 v4
e2 e6 e4
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。对
e3 v3
e7
e8 v6
无环、有多重边的图称
v5 作多重图。
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计算图中各点的次，
二、图的相关定义
e1
并说明是奇点、偶点、
3、次、奇点、偶点、 还是孤立点？ 孤立点 与某一个点vi相关 联的边的数目称为点 vi的次(也叫做度或线 度),记作d(vi)。次为奇 数的点称为奇点,次为 偶数的点称作偶点,次 为0的点称作孤立点。
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
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e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
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e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列 路 无重合点的链
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二、图的相关定义
e1
1、端点、关联边、相邻
如果边e可表示为e =
v2 （vi, vj）,称vi和vj是边e
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
的端点,反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、 vj与同一条边关联，称点 vi和vj相邻;若边ei和ej有 公共的端点,称边ei和ej相
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理2：在任意一个 图中，奇顶点的个 数必为偶数。
设V1和V2分别为G中奇 点和偶点的集合，有：
e8 v6
vV1
d (v) d (v) d (v) 2q
vV2 vV
v5
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4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
有向图
4
8
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课堂练习：
1、如下序列是否有可能是某简单图的 次的序列?
7，6，5，4，4，2
6，6，5，4，3，2，1
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课堂练习：
v1 e2 e1 2 3 e5 e4 e7 4 v2
v3
1
2、如图所示有向网 络图，求：
1)、各点的次、奇点、偶 点
第6章 图与网络
本章主要内容
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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第6章 图与网络
本章主要内容、重点及难点
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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e3 4
6
e6 4
2)、基础图
3)、链（v1,e5,v5,e8,v4,
v4
e8
5
v5
e4,v2,e2,v3）中的前向弧 与后向弧？ 4)、求该图的邻接矩阵？
5)、求该图的赋权矩阵？
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例1:6位运动员参加6个比赛，图中“1”表示个 运动员参加的比赛项目，怎么安排比赛顺序 可以使每位运动员都不连续参加2项比赛。
v1 v2 v3 v4 v5 v1 2 7 5 3 4 v2 2
3 v4 8
4
4
v3 7
v5
5
4
8
v4 3
无向图
v5 4
4
8
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13、赋权矩阵
v2 v1 2 7 5 v3
v1 v 2 v1 v2 2 v3
v3 v4 v5 7 5 3 4
3
8 v4
4
4
v5
v4 v5
第6章 图与网络
哥尼斯堡（现名加 里宁格勒）是欧洲一个 城市，Pregel河把该城 分成两部分，河中有两 个小岛，十八世纪时， 河两边及小岛之间共有 七座桥，当时人们提出 这样的游戏：有没有办 法从某处（如A）出发， 经过各桥一次且仅一次 最后回到原地呢？
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数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的解决方法：
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
e8 v6
v5
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二、图的相关定义
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理1：在一个图 中，所有顶点次 的和等于边的两 倍 。
e8 v6
d (v) 2q
vV
v5
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二、图的相关定义
忽略问题的具体细节，将问题的 关键性质或关系抽象为图的形式。 把A、B、C、D四块陆地分别收 缩成四个顶点，把桥表示成连接对 应顶点之间的边。
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C A
陆地为 “点 D
B
桥为“边”
问题：是否能从四块陆 地中的任一块开始，通 过每座桥恰好一次再回 到起点？
问题：是否能从任 意一个顶点开始， 通过每条边恰好一 次再回到起点？
e8 v6
v5
邻。
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二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。
e8 v6
v5
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