第6章图与网络分析

邻接矩阵可以表示成如下形式：
A1
0
0
Ap
第20页
§6.2 图的连通性
有向图G中的一条有向路：个点和弧的交错序列
(ni,aij,nj,…,nk,akl,nl)， 记为(ni,nl)有向路
简单有向路：弧不重的有向路 初级有向路：点不重的有向路
有向回路：至少包含一条弧且ni=nj的(ni,nj)有向路
2
4
1
6
3
5
第22页
§6.2 有向图的连通性
点i和点j是强连通的：G中存在一条(i,j)有向路,也
存在一条(j,i)有向路 G是强连通的：G中任意两点都是强连通的 G的强连通分支：G的极大连通子图 图6.2.4中，（a）是一个强连通分支，（b）是一个 具有三个强连通分支的非强连通图。
(a)
(b)
图6.2.4
12345
1 0 1 1 1 0
2
1
0
1
0
1
3 1 1 0 1 1
4
1
0
1
0
1
5 0 1 1 1 0
图（6.1.8）的邻接矩阵是
1234
1 0 1 1 0
2
0
0
1
1
3 0 0 0 0
4
0
0
1
0
续9
1
2
3
4
5
图6.1.7
2
1
4
3
图6.1.8
续10
几个基本结论
定理 6.1.1 G 是二分图当且仅当 G 的邻接矩阵可
第16页
续11
子图
*图 G=(N,E)的子图G (N, E)： N N 和 E E ，对 E’中任意的一条 边 eij {ni , n j } ，都有 ni N 和 n j N *图 G 的支撑子图G ： G 是 G 的子图，且 N N *点导出子图 G[N ]：以 N 的一个非空子集 N’作为点集、以两端点均在 N 中的所有边为边集的子图 *边导出子图G[E]：以 E 的一个非空子集 E’作为边集、以 E’中边的所 有端点作为点集的子图 *图 G 的不相交子图 G1 和 G2：G1 和 G2 没有公共点 *图 G 的边不重子图 G1 和 G2：G1 和 G2 没有公共边 *子图 G1 和 G2 的并 G1 G2 ：以 G1 和 G2 的点集的并为点集，以 G1 和 G2 的边集的并为边集的子图 *子图 G1 和 G2 的交 G1 G2 ：以 G1 和 G2 的点集的交为点集，以 G1 和 G2 的边集的交为边集的子图
图6.2.5中{2，4}和{6，7}都是割边 图6.2.6中，边集{{2，1}，{2，4}，{2，3}}和边 集{{2，3}，{2，4}，{1，4}，{1，5}}均为割集
2
5
1
4
7
Baidu Nhomakorabea
3
6
图6.2.5
2
1
4
3
5
图6.2.6
第26页
§6.2 图的连通性
割 定理 6.2.3 任何边割都是不相交割集的并.
集 定理 6.2.4 任给图 G，设 C 是 G 的一条简单回路
表成如下形式
A
0 AT
A 0
握手定理
定理 6.1.2 di 2 | E | ,其中 d i 表示简单图 G 中点
i
i 的次是指 G 中与点 i 关联的边数.
定理 6.1.3
d
i
|
A |
d
i
,其中
d
i
表示简单有向
i
i
图
G
中点
i
的入次是指
G
中以点
i
为头的弧数；
d
i
表示点 i 的出次是指 G 中以点 i 为尾的弧数.
3
图6.4.1
第10页
续5
无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间存 在边。
有向完全图：在有向图中，如果任意两顶点之间都 有存在方向互为相反的两条弧。
0
1
2
含有n个顶点的无向完全图有多少条边？ n(n-1)/2
含有n个顶点的有向完全图有多少条弧？ n(n-1)
关联矩阵
续6
简单图G (N , E)的关联矩阵：一个| N | | E |阶矩阵
的 {S,T} 是 G 的一个割集，并用 E(C), E() 分别
性 表示 C, 所包含的边集合。若 E(C) E() ，则
质
| E(C) E() | 2
第27页
§6.3 树与支撑树
1、树及其性质
树：一个连通且无回路（除非特别声明，以后所说的回路皆指初级回路）
的图 森林：一个无回路的图
有一个公共端点，则称这两条边是邻接的 有限图：任何图G=(N,E),若N和E都是有限集合,则称G为… 空图：没有任何边的图 平凡图：只有一个点的图 简单图：一个图,既没有环,也没有重边,则称为… 例如:(a)是 一
简单图,但(b)就不是简单图.
(a)
(b)
完全图：每一对点之间均有一条边相连的图
续2
基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
n1
n2
n4
n3
网络
续4
设G是一个图（有向图），若对G的每条边 （弧）都赋予一个实数，并称为这条边（弧） 的权，则G连同它边（弧）上的权称为一个 （有向）网络或赋权（有向）图，记为 G=(N,E,W).
A8B 5 3
2
C7D
2
1
3
4
1
2
42
5
4
2
4
集合
割集：G 的极小边割 有向图 G 的割边：如果从 G 中删去它就使图的连通分支数严格增加的
边
(S,T)割：有向图 G=(N,A)中尾在 S 中，头在 T 中的弧集合 有向图 G 的弧割 (S, S ) ：从 G 中删去它就使图的强连通分支数严格增
加的弧集合
有向割集：G 的极小弧割
第25页
§6.2 图的连通性
B (bik ) ，其中
1, 当点i与边k关联 bik 0, 否则
简单有向图G (N, A) 的关联矩阵：一个| N | | A |阶矩
阵 B (bik ) ，其中
1, bik 1,
0,
当
弧a
以
ik
点i为
尾
当
弧a
以
ik
点i为
头
否则
右图的关联矩阵是
1 1 1 1 0 0 0 0 0
记为 eij {ni , n j} 。
e 如右图 G (N, E) , 其中 N {n1, n2 , n3, n4 , n5}
E {e11, e11, e12 , e23 , e24 , e34 , e34}
12
n2
e eij 的端点：若 eij {ni , nj} ，则称 eij 连接 ni 和 n j ， 2 3
运
筹
帷
图与网络分析
幄
之
中
Graphs and Network Analysis
决 胜 千 里 之 外
第1页
欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔城，13岁就进巴 塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰. 伯努利的精心指导。他从19岁开始发表论文，直 到76岁。几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的 名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理， 立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉 解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程， 级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函 数的欧拉公式等等。据统计他那不倦的一生，共 写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数 论占40%，几何占18%，物理和力学占28%， 天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占 3%。 1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科 学院数学教授。1741年到柏林担任科学院物理数 学所所长，直到1766年，重回彼得堡，没有多久， Leonhard Euler 完全失明．欧拉在数学上的建树很多，对著名的 (公元1707-1783年) 哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。
简单有向回路：弧不重的有向回路 初级有向回路：点不重的有向回路
第21页
§6.2 有向图的连通性
如下图：
(1,2,4,3,2,4,6)是一条(1,6)有向路;
(1,2,4,5,3,4,6)是一条(1，6)简单有向路; (1,2,3,4,6)是一条（1，6）初级有向路； (1,2,4,3,2,4,5,3,1)是一条有向回路； (1,2,3,4,5,3,1)是一条简单有向回路； (1,2,4,5,3,1)是一条初级有向回路。
初级回路：点不重的回路
图6.2.1:
2
4
(1,2,3,4,2,3,5,6)是一条{1,6}路；
(1,2,4,5,3,4,6)是一条{1,6}简单路； 1
6
(1,2,3,5,6）一条{1,6}初级路；
(1,2,4,3,2,4,5,3,1)是一条回路；
3
5
(1,2,3,4,5,3,1）是一条简单回路； (1,2,4,5,3,1)是一条初级回路。
第17页
§6.2 图的连通性
1.图的连通
图 G 中路：一个点和边交替序列 (ni , eij , nj , , nk , ekl , nl ) ，记为{ni , nl} 路 简单路：边不重的路
初级路：点不重的路
回路：在 G 中，一条至少包含一个边并且 ni nl 的{ni , nl} 路
简单回路：边不重的回路
二分图 G=(N,E)：存在的一个二分划(S,T)，使得G的 每条边有一个端点在S中，另一个端点在T中
完全二分图 G=(S,T,E)：S中的每个点与T中的每个点 都相连的简单二分图
简单图G的补图 :与G有相同顶点集合的简单图，且补 图中的两个点相邻当且仅当它们在G中不相邻
图6.1.3
(a)
(b)
第8页
第23页
§6.2 有向图的连通性
定理 6.2.2 设 G 有 p 个强连通分支，则 G 的邻接矩阵可以表示成如下形式：
A1
0
Ap
如何编写判断一个图（有向图）是否（强 ）连通的算法呢？
第24页
§6.2 图的连通性
2. 割集
图 G 的割边：如果从 G 中删去它就使图的连通分支数严格增加的边 {S,T}割：一个端点在 S 中，另一个端点在 T 中的边集合，其中 S 和 T 是 N 的两个不相交子集 图 G 的边割{S, S } ：从 G 中删去它就使图的连通分支数严格增加的边
第4页
§6.1 图 与 子 图
图与网络
无向图的基本概念 有向图和网络
关联矩阵和邻接矩阵
关联矩阵 邻接矩阵 主要结论
子图
第5页
无向图的基本概念
无向图 G ：一个有序二元组 (N, E) ，记为G (N, E)
G 的点集合： N {n1, n2 , , nn}
e G 的边集合： E {eij}且 eij 是一个无序二元组{ni , n j}， 1 1
图6.2.1
第18页
§6.2 图的连通性
点i和j点是连通的：G中存在一条{i，j}路 G是连通的：G中任意两点都是连通的 连通分支：G的极大连通子图 图6.2.1中（a）是连通图；（b）是一个具有
三个连通分支的非连通图。
（a）
图6.2.2
（b）
第19页
§6.2 图的连通性
定理 6.2.1 设 G 有 p 个连通分支，则 G 的
简单图G (N , E) 的邻接矩阵：一个| N | | N | 阶矩阵
A (aij ) ，其中
1, aij 0,
当点i与点j邻接 否则
简单有向图G (N, A) 的邻接矩阵：一个| N | | N | 阶矩
阵 A (aij ) ，其中
1, 当有弧从i连向j aij 0, 否则
图（6.1.7）的邻接矩阵是
n n 11
e 24
n3
e14
e 34 n 4 e 34
n5
点 ni 和 n j 称为 eij 的端点。
环：两个端点重合为一点的边 （例如右图中的 e11） 图6.1.1
孤立点：不与任何边关联的点 （例如右图中的 n5 ）
第6页
续1 关联：一条边的端点称为与这条边的关联 邻接：与同一条边关联的端点称为是邻接的，同时如果两条边
1
2
1
0
0
1
1
0
0
0
3 0 1 0 1 0 1 1 0
4
0
0
1
0
0
1
0
1
4
5 0 0 0 0 1 0 1 1
右图的关联矩阵是
1 1 1 1 0 0 0 0
21 0
1
1
1
1
0
3 0 1 0 1 0 1 1 1
4 0
0
0
0 1 0
1
续7
2 3
5
图6.1.7
2 4
3
图6.1.8
邻接矩阵
续8
H1 H 2 ：子图 H1 和子图 H2 的边的并集 H1 H 2 ：子图 H1 和子图 H2 的边的交集 H1 \ H2 ：在子图 H1 中但不在子图 H2 中的边的集合
有向图 G ：一个有序二元组 (N, A) ，记为 G (N, A) 续3
G 的点集合： N {n1, n2 , , nn} G 的弧集合： A {aij} 且 aij 是一个有序二元组 (ni , n j ) ，记 为 aij (ni , n j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 aij (ni , n j ) ，则称 aij 从 ni 连向 n j ，点 ni 称为 aij 的尾，n j 称为 aij 的头。 ni 称为 n j 的前继， n j 称为 ni 的后继。
第2页
七桥问题
A
B
C
D
能否从某个地方出发，穿过所有的桥各一次 后再回到出发点。
第3页
第6章 网 络 分 析
§6.1 图与子图 §6.2 图的连通性 §6.3 树与支撑树 §6.4 最小树问题 §6.5 最短有向路问题 §6.6 最大流问题 §6.7 最小费用流问题 §6.8 最大对集问题