中考数学复习专项强化练习：旋转(人教版)
人教版九年级上册数学第23章：旋转 复习练习
第23章《旋转》复习练习班级：姓名：座号：一、选择题：1、下列图形中，中心对称图形的是（）BA B C D2、下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）3、把下列每个字母都看成一个图形，那么中心对称图形有（）O L Y M P I CA 1个B 2个C 3个D 4个4、已知点A的坐标为()a b，，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转︒180得1OA，则点1A的坐标为（）A．()a b-，B．()a b-，C．()ba--,D．()b a-，5、如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）A．向右平移7格B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格6、如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB’Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．的长为（ ）A ．4B ．33C ．332D ．334 7、如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ；②△ABE ≌△ACD ；③BE DC DE +=；④222BE DC DE += 其中正确的是（ ）A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．8、如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按顺时针转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A 、B 、C 1在同一条直线上，那么这个旋转的角度等于（ ）A.120°B.90°C. 60°D. 30°9．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是 （ ）A ．）（），，（1,-3-3-1N MB ．）（），，（1,3-3-1-N M C ．）（），，（1,-33-1-N M D ．）（），，（3-1.31-N M二、填空题10．点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着坐标原点顺时针旋转180º到点B ，那么点B 的坐标是_________ ．11、下面图形：①四边形，②等边三角形，③正方形，④等腰梯形，⑤平行四边形，⑥圆，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ．（填序号）12、如图P 是等边△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=13、如图△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP ´重合，如果AP=3，那么线段PP ´的长等于____________。
2025届人教版数学九年级上册专项训练 第三期(含答案)
2025届人教版数学九年级上册专项训练第三期考点1 旋转的相关概念1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点.旋转方向有顺时针和逆时针两种.【注意】初中阶段研究的平移、轴对称和旋转都是针对平面内的图形变换，它们是平面图形的全等变换.描述旋转时不能忽略“平面内”.旋转的角度一般小于360°.3.对应元素：一个图形绕旋转中心旋转一定角度后得到旋转后的图形.如图，绕点逆时针旋转90°得到，在这一旋转中，点是旋转中心，都是旋转角，点分别与点是对应点，分别与是对应角，线段分别与线段是对应边.考点2 旋转的性质1.旋转的性质性质示意图对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前、后的图形全等【注意】（1）旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；O O P P 'ABC △O A B C '''△O ,,AOA BOB COC '''∠∠∠,,A B C ,,A B C ''',ABC ∠,ACB BAC ∠∠,,A B C A C B B A C '''''''''∠∠∠,,AB BC CA ,,A B B C C A ''''''OA OA '=OB OB '=OC OC '=OP OP '=AOA BOB ''∠=∠=COC POP ''∠=∠ABC A B C '''≌△△（2）旋转时，图形上的每一点都绕旋转中心旋转相同的角度；（3）旋转的性质中所说的“对应点”是指“任意一对对应点”，并且对应点到旋转中心的距离相等.2.旋转中心的确定根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.3.【辨析】旋转、平移和轴对称的对比变换异同旋转平移轴对称旋转前、后两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角平移前、后两个图形的对应线段平行（或共线），对应角的两边分别平行（或共线）且方向一致.成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分；如果成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上不同点旋转、平移不改变图形中（顶）点的顺（逆）时针排列顺序轴对称改变图形中（顶）点的顺（逆）时针排列顺序相同点（1）都是在平面内进行的图形变换；（2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后的两个图形全等；（3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形考点3 旋转作图利用旋转的性质，可以画出一个图形绕某一点旋转一定角度之后的图形.旋转作图的基本步骤如下：（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角（2）找出图形的关键点，一般是图形中的转折点.例如，多边形的关键点是它的顶点（3）作旋转后的对应点，方法如下：①连：连接图形的每个关键点与旋转中心；②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）；③截：在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点（4）按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形（5）写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形【注意】为了避免作图混乱，应先对一个关键点连、转、截，找到其对应点后在进行下一个关键点的旋转.考点4 中心对称及其相关概念1.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.【注意】（1）中心对称是指两个图形间的位置关系，必须涉及两个图形.（2）中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°.（3）成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合.2.【辨析】中心对称和轴对称的对比中心对称轴对称图形绕对称中心旋转180°图形沿对称轴折叠不同点图形旋转后与另一图形重合图形折叠后与另一个图形重合对称中心只有一个至少有一条对称轴相同点都是两个图形之间的关系，并且变换前、后的两个图形全等考点5 中心对称的性质1.中心对称的性质（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.（2）中心对称的两个图形是全等图形.【注意】（1）因为中心对称是一种特殊的旋转变换，所以具备旋转的一切性质.（2）成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等.2.确定对称中心的方法方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心.方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.【重点】（1）中心对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成中心对称.（2）用中心对称的性质可以推得线段相等、角相等和图形全等，给几何证明提供了依据.（3）如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点中心对称，利用这一性质可以识别中心对称.考点6 作已知图形关于某一点对称的图形作图步骤（1）找出原图形的关键点（如多边形的顶点），连接关键点和对称中心.（2）延长所连线段，在延长线上找出各关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等.（3）将所得的对称点按照原图形的形状顺次连接，即可得到关于对称中心对称的图形.考点7 中心对称图形1.中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.例如，线段、平行四边形、矩形、圆都是中心对称图形.2.中心对称图形的性质（1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分.即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两个对应交点是对称点.（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）3.【辨析】中心对称与中心对称图形的区别和联系中心对称中心对称图形区别（1）是针对两个图形而言的（2）是指两个图形的（位置）关系（3）对称点在两个图形上（4）对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形上（1）是针对一个图形而言的（2）是指具有某种性质的一个图形（3）对称点在一个图形上（4）对称中心在图形内部联系（1）都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.（2）两者可以互相转化，若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称4.中心对称图形与轴对称图形的对比中心对称图形轴对称图形关于某一点对称关于某一条直线对称区别绕某一点旋转180°后与原来的图形重合沿一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合举例线段、平行四边形、矩形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形等都是轴对称图形考点8 关于原点对称的点的坐标两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为.【注意】第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上.【辨析】关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的对比名称区别举例关于轴对称横坐标相同，纵坐标互为相反数关于轴的对称点为关于坐标轴对称关于轴对称横坐标互为相反数，纵坐标相同关于轴的对称点为关于原点对称横、纵坐标分别互为相反数关于原点的对称点为【拓展】若点关于点对称，则，.(,)P x y (,)P x y '--x (,)P x y x 1(,)P x y -y (,)P x y y 2(,)P x y -(,)P x y 3(,)P x y --111222(,),(,)P x y P x y (,)P x y 122x x x +=122y y y +=1.下列电视台图标,属于中心对称图形的是( )A.B.C.D.2.如图，可由旋转而成，点B 的对应点是E ，点A 的对应点是D ，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心P 的坐标为( )A. B. C. D.3.正五边形绕它的对称中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为( )A. B. C. D.4.若点关于原点对称的点在第四象限，则m 满足( )A. B. C. D.或5.如图,在中,,将绕点c 逆时针旋转30°得到,连接,则的度数为( )A.20°B.25°C.30°D.45°6.如图，与关于点O 成中心对称，则下列结论不成立的是( )ADE △CAB △()1,0A ()3,0B ()1,4C ()3,2()2,3()3,4()4,336︒50︒72︒108︒(),3P m m --3m >0m <03m <<0m <3m >ABC △50BAC ∠=︒ABC △DEC △AD BAD ∠ABC △DEF △A. B.C. D.点B 与点E 是对应点7.如图,将绕点旋转得到.设点的坐标为,则点A 的坐标为( )A. B. C. D.8.如图，O 是等边内一点，，，，将线段以点B 为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为( )A. B. C. D.9.若点与点关于原点对称,则______.10.如图，将绕点C 顺时针旋转得到.若点A ，D ，E 在同一条直线上，，的度数为_____.11.如图，和关于点C 成中心对称，若，，，则的长是________.CO FO =OBC OEF ∠=∠//AB EFABC △()0,1C -180︒A B C '''△A '(),a b (,)a b --(,1)a b ---(,1)a b --+(,2)a b ---ABC △3OA =4OB =5OC =BO 60︒BO 'AOB ∠100︒120︒130︒150︒(),3A m -()4,B n -mn =ABC △100︒EDC △35ACB ∠=︒ADC ∠ABC △DEC △2AC =4AB =90BAC ∠=︒AE12.如图，的顶点在抛物线上，将绕点O 顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为______.13.平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.（1）若和关于原点O 成中心对称，画出；（2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；（3）直接写出点的坐标______.14.如图，和关于点O 成中心对称.Rt OAB △()4,8A -2y ax =Rt OAB △90︒OCD △CD ABC △111A B C △ABC △111A B C △111A B C △1A 90︒122A B C △2B ABC △DEF △（1）找出它们的对称中心O ；（2）若，，，求的周长.15.如图,在中,,.将绕点A 逆时针旋转得到,点B 的对应点为点D ,连接,与相交于点O .(1)若,求的长；(2)求的度数.16.如图（1），在和中，，，，固定，将绕点A 按顺时针方向旋转.（1）如图（2），当时，求的值.（2）如图（3），当时，求的值.（3）当时，如图（4），连接BD ，BC 与DE 相交于点F ，试探究在旋转过程中的大小是否发生改变.若不发生改变，请求出此定值；若发生改变，请说明理由.ADE △CECE α//DE BC α090α<<123∠+∠+∠7AB =5AC =6BC =DEF △ABC △50B ∠=︒90BCA ∠=︒ABC △60︒AD 6AC =CE COD ∠Rt ABC △Rt ADE △90BAC DAE ∠=∠=︒45D ∠=︒30C ∠=︒Rt ABC △Rt ADE △(0180)αα︒<<DE AC ⊥2025届人教版数学九年级上册专项训练第三期答案以及解析1.答案：B解析：观察图形可知,B 中图形绕着该图形中心旋转仍与本身重合,故属于中心对称图形的是B.故选：B.由图可知P 点坐标为，即旋转中心的坐标为故选：A.3.答案：C解析：正五边形绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为解析：点关于原点对称的点为，点关于原点对称的点在第四象限，，解得，故选：C.5.答案：B解析：由,将绕点C 逆时针旋转得到,得,,得,30ACD ∠=︒CA CD =180︒()3,23605︒=(),3P m m --(),3m m -+ (),3P m m --030m m >⎧∴⎨-+<⎩03m <<50BAC ∠=︒ABC △30︒DEC △(18030)275CAD CDA ∠=∠=-÷=︒得.故选：B.6.答案：C解析：A.，与关于点O 成中心对称，，此选项正确，不符合题意；B.，，，此选项正确，不符合题意；C.，，此选项不正确，符合题意；D.点B 与点E 是对应点，点B 与点E 是对应点，此选项正确，不符合题意.故选：C.7.答案：D 解析：设由于、关于点对称,,解得：,,,故选：D.8.答案：D解析：如图，连接，∵线段以点B 为旋转中心逆时针旋转得到线段，，，，∴，，∴为等边三角形，∴，∵为等边三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴，(),A m n (),A m n (),A a b '755025BAD ∠=-=︒CO FO = ABC △DEF △∴CO FO =∴OBC OEF ∠=∠ //BC EF ∴OBC OEF ∠=∠∴//AB EF //AB DE ∴ ∴()0,1C -=1=-m a =-2n b =--(),2A a b ---OO 'BO 60︒BO '3OA =4OB =5OC =4BO BO '==60O BO ∠'=︒BOO '△60BOO ∠'=︒ABC △BA BC =60ABC ∠=︒O BO ABO ABC ABO ∠'-∠=∠-∠O BA OBC ∠'=∠O BA '△OBC △O B OBO BA OBC BA BC'=⎧⎪∠'=∠⎨⎪=⎩()SAS O BA OBC '≌△△∴，在中，，，，∴，∴，∴.故选：D.9.答案：12解析：∵点与点关于原点对称,∴,∴.故答案为：12.10.答案：/75度解析：∵将绕点C 顺时针旋转得到，∴，，，∴，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴.故答案为：.11.答案：解析：与关于点C 成中心对称，，，，由勾股定理得：故答案为：12.答案：解析：的顶点在抛物线上，，解得：5O A OC '==AOO '△5O A '=4OO '=3OA =222223425OA OO O A +'=+=='90AOO ∠'=︒6090150AOB BOO AOO ∠=∠'+∠'=︒+︒=︒(),3A m -()4,B n -4m =3n =4312mn =⨯=75︒ABC △100︒EDC △35DCE ACB ∠=∠=︒AC CE =100ACE ∠=︒40E ∠=︒354075ADC DCE E ∠=∠+∠=︒+︒=︒75︒ DEC △ABC △∴ABC DEC ≌△△∴4AB DE ==2,90AC DC D BAC ==∠=∠=︒∴4AD AC DC =+=AE ===4)Rt OAB △()4,8A -2y ax =28(4)a ∴=⨯-a =解析式为，的顶点为，，绕点O 顺时针旋转，得到，轴，点D 和点P 的纵坐标均为4，令，得，解得：点P 在第一象限，点P 的坐标为：故答案为.13.答案：（1）图形见解析；（2）图形见解析；（3）.解析：（1）如图，即为所作；（2）如图，即为所作；（3）由图可知点的坐标为，故答案为：.14.答案：（1）见解析（2）18解析：（1）如图所示，点O 即为所求.（作法不唯一）∴212y x =Rt OAB △()4,8A -4OB OD ∴==Rt OAB △90︒OCD △//CD x ∴∴∴4y =2142x =x =± ∴4)4)(4,2)-111A B C △122A B C △2B (4,2)-(4,2)-（2）和关于点O 成中心对称，，，的周长.答：的周长为18.15.答案：(1)6(2)解析：(1)∵将绕点A 逆时针旋转得到,,,是等边三角形,.,.(2)∵将绕点A 逆时针旋转得到,,.,,,.是等边三角形,,.是的外角,.16.答案：（1）（2）（3）的大小不变，解析：（1），，.，，.（2）设题图（3）中，AD 与BC 相交于点M .，.又，，，45α=123∠+∠+∠90DAE ∠= 45AED ∴∠=︒45α=45D AMB ∴∠=∠=︒30C ∠=︒ ABC △DEF △7AB DE ∴==5AC DF ==6BC EF ==DEF ∴△75618DE DF EF =++=++=DEF △80︒ABC △60︒ADE △AE AC ∴=60CAE ∠=︒∴ACE △CE AC ∴=6 AC =6CE ∴=ABC △60︒ADE △D B ∴∠=∠DEA BCA ∠=∠50 B ∠=︒90BCA ∠=︒50D ∴∠=︒90DEA ∠=︒ ACE △60AEC ∴∠=︒30DEO ∴∠=︒ COD ∠ODE ∠80COD D DEO ∴∠=∠+∠=︒105α=123105∠+∠+∠=︒45D ∠=︒ DE AC ⊥904545CAE ∴∠=︒-︒=︒// DE CB AMB C CAM ∠=∠+∠15CAM ∴∠=︒，即.（3）的大小不变.，，，.又，，.105CAE CAM DAE ∴∠=∠+∠=︒604515BFE EAB CBA E ∴∠-∠=∠-∠=︒-︒=︒290EAB ∠=︒-∠105α=123∠+∠+∠ EAB CBA E BFE ∠+∠=∠+∠45E ∠=︒903060CBA ∠=︒-︒=︒13BFE ∠+∠=∠123909015105BFE EAB ∴∠+∠+∠=∠+︒-∠=︒+︒=︒。
人教版初三数学：《旋转》全章复习与巩固--巩固练习(提高)
《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，6.（2015•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30° B．45° C．60° D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. （2015•扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=．10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________ cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证： BE + CF＞EF19.（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C. 2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】 因为以M 或O 或N 为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D. 【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B. 【解析】根据题意画出△AOB 绕着O 点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP ，OQ ，过Q 作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ 中，OQ=OP=2， ∴MQ=1，OM=，则P 的对应点Q 的坐标为（1，﹣），故选B7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°， ∵点F 是DE 的中点， ∴FG ∥CD ∴GF=CD=AC=3 EG=EC=BC=2 ∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4根据勾股定理，AF=5．10.【答案】32；【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC ﹣AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC ﹣AF ＜CF ＜AC+AF ，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=32cm ．故答案为：32.11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF ⊥BC,EG ⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG ≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5. 14．【答案】32.【解析】由旋转可知△APP ′是等腰直角三角形，所以PP ′=32.15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB 绕点B 沿顺时针方向旋转90°至△CP′B 位置(如图)，则有△APB ≌△CP′B．∴BP′= BP，CP′＝AP ， ∠PBP′＝ 90°，∠APB=∠CP′B． 设CP′= AP= k，则BP′= BP=2k，CP= 3k ，在Rt △BP′P 中，BP′= BP= 2k ，∴∠BP′P=45°．=(3k)2= CP2， ∴∠CP′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即 DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴ DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时， DE=EF.附录资料：《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2015•乐山）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．2. （2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（）A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( )A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13. （2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________. 15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。
人教 中考数学(旋转提高练习题)压轴题训练附详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝16x（x＞0）的图象交边AB于点D．（1）用m的代数式表示BD的长；（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5【解析】【分析】（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣12（m﹣8）2+24，即可得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴AB⊥x轴上，∵点B（4，m），∴点D的横坐标为4，∵点D在反比例函数y＝16x上，∴D（4，4），∴BD＝m﹣4；（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），∴S矩形OABC＝4m，由（1）知，D（4，4），∴S△PBD＝12（m﹣4）（m﹣4）＝12（m﹣4）2，∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣12（m﹣4）2＝﹣12（m﹣8）2+24，∴抛物线的对称轴为m＝8，∵a＜0，5≤m≤7，∴m＝7时，S取到最大值；②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，∴∠DGP＝∠PFE＝90°，∴∠DPG+∠PDG＝90°，由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠DPG+∠EPF＝90°，∴∠PDG＝∠EPF，∴△PDG≌△EPF（AAS），∴DG＝PF，∵DG＝AF＝m﹣4，∴P（m，m﹣4），∵点P在反比例函数y＝16x，∴m（m﹣4）＝16，∴m＝2+25或m＝2﹣25（舍）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．2．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD 中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）61；（3）△FGH的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=12BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=12EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．易知AF ⊥DE ，在Rt △AEF 中，AE =2，EF =DF =1，∴AF =2221-=3，在Rt △ABF 中，BF =22AB AF - =6，∴BD =CE =BF ﹣DF =61-，∴FH =12EC =612-． （3）存在．理由如下． 由（1）可知，△GFH 是等边三角形，GF =12BD ，∴△GFH 的周长=3GF =32BD ，在△ABD 中，AB =a ，AD =b ，∴BD 的最小值为a ﹣b ，最大值为a +b ，∴△FGH 的周长最大值为32（a +b ），最小值为32（a ﹣b ）． 点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．3．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA ，PB ，PC ．将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P'CB 的位置.(1)设AB 的长为a ，PB 的长为b(b<a)，求△PAB 旋转到△P'CB 的过程中边PA 所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.【答案】(1) S 阴影=(a 2-b 2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB 逆时针旋转90°可与△PAB 重合，此时阴影部分面积=扇形BAC 的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C 是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．4．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．（1）求证：图1中的PBC是正三角形：（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求证：IH=IJ②请求出NJ的长；（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1233）3＜a＜3，a＞43【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC ，PB=CB ，得出PB=PC=CB 即可；（2）①利用“HL”证Rt △IHM ≌Rt △IJN 即可得；②IJ 上取一点Q ，使QI=QN ，由Rt △IHM ≌Rt △IJN 知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x 、QJ=3x ，根据IJ=IQ+QJ 求出x 即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可． （1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB 与DC 重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG 折叠纸片，使点C 落在EF 上的点P 处∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC 是正三角形：（2）证明：①如图∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90°∵△MNJ 是等边三角形∴MI=NI在Rt △MHI 和Rt △JNI 中MI NI MH NJ=⎧⎨=⎩ ∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ）∴HI=IJ②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ，∴∠HIM=∠JIN ，∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，∴∠HIM=∠JIN=15°，由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15°，∴∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=22=3QN NJ-x，∵IJ=6cm，∴2x+3x=6，∴x=12-63，即NJ=12-63（cm）．（3）分三种情况：①如图：设等边三角形的边长为b，则0＜b≤6，则tan60°=3=2ab，∴a=3b，∴0＜b≤63=33；②如图当DF与DC重合时，DF=DE=6，∴a=sin60°6333当DE与DA重合时，a=63sin6032==︒∴33a＜3③如图∵△DEF是等边三角形∴∠FDC=30°∴DF=643cos303==︒∴a＞43点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．5．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED 拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．【答案】1【解析】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．（3）分两种情况讨论即可．详解：（1）D’A=1．理由如下：过D′作D′N⊥CD于N．∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= 12CD′=1．由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，∴四边形ACED’为平行四边形．又∵∠DCE=90°，∴四边形ACED’为矩形；（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．∵∠DCE=∠D’CE’=90°，∴∠DCE’=∠D’CG．又∵D’C= DC，CG=CE’，∴△DCE’≌△D’CG，∴GD’=E’D．（3）分两种情况讨论：①如图1．∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．6．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．7．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN∥AC，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为. (3)不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则，，∴.又∵.∴．∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.8．正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：．【答案】（1）证明见解析（2）BF+EQ=BP （3）BF+BP=EQ 【解析】试题分析：（1）EF 与FG 关系为垂直且相等（EF=FG 且EF ⊥FG ）．证明如下： ∵点E 、F 、G 分别是正方形边AD 、AB 、BC 的中点， ∴△AEF 和△BGD 是两个全等的等腰直角三角形． ∴EF=FG ，∠AFE=∠BFG=45°．∴∠EFG=90°，即EF ⊥FG ．（2）取BC 的中点G ，连接FG ，则由SAS 易证△FQE ≌△FPG ，从而EQ=GP ，因此()EF 2BP EQ =-．（3）同（2）可证△FQE ≌△FPG （SAS ），得EQ=GP ，因此，()()EF GF 2BG 2GP BP 2EQ BP ===-=-．9．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标； （Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H . ①求证ADB AOB △△≌； ②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见解析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）303343033444S -+≤≤. 【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO ∠=∠，再根据矩形的性质得CBA OAB ∠=∠.从而BAD CBA ∠=∠，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（Ⅲ）3033430334S -+≤≤. 详解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ， ∴5OA =，3OB =. ∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C ∠=∠=︒. ∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的， ∴5AD AO ==.在Rt ADC 中，有222AD AC DC =+， ∴22DC AD AC =- 22534=-=.∴1BD BC DC =-=. ∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE ∠=︒. 又点D 在线段BE 上，得90ADB ∠=︒.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒， ∴Rt ADB Rt AOB ≌.②由ADB AOB ≌，得BAD BAO ∠=∠. 又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB ∠=∠.∴BAD CBA ∠=∠.∴BH AH =. 设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-. 在Rt AHC 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t=+-.解得175t=.∴175BH=.∴点H的坐标为17,3 5⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）3033430334S-+≤≤.点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.10．如图，在边长为1的正方形网格中，A（1，7）、B（5，5）、C（7，5）、D（5，1）．（1）将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE．当BE与CD第一次平行时，画出点A运动的路径，并直接写出点A运动的路径长；（2）线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．【答案】（15；（2）旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．【解析】【分析】（1）依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A运动的路径为弧线，再运用弧长计算公式即可解答；（2）连接两对对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，其交点即为所求.【详解】解：（1）点A运动的路径如图所示，出点A运动的路径长为229024180π⨯+5；（2）如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换及其作图，掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方法是解答本题的关键.。
人教中考数学复习旋转专项综合练及详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(222)或(222)，AM的最大值为2+4．【解析】【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标．【详解】(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答案为CB的延长线上，a+b；(2)①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，AD ABCAD EAB AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5；(3)如图1，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，∴OA＝2，OB＝6，∴AB＝4，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝2AP＝22，∴最大值为22+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE2，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣42＝22，∴P(2﹣2，2)．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P(2﹣2，﹣2)时，也满足条件．综上所述，满足条件的点P坐标(2﹣2，2)或(2﹣2，﹣2)，AM的最大值为22+4．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．如图所示，(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF 形成的锐角β．【答案】（1）DF=BE且DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α【解析】【分析】（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF＝AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BAE＝∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF＝90°，所以DF⊥BE；（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD ∽△EAB ，所以DF ＝kBE ，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF ＝90°，所以DF ⊥BE ；（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF ＝180°，所以DF 与BE 的夹角β＝180°﹣α．【详解】（1）DF 与BE 互相垂直且相等．证明：延长DF 分别交AB 、BE 于点P 、G在正方形ABCD 和等腰直角△AEF 中AD ＝AB ，AF ＝AE ，∠BAD ＝∠EAF ＝90°∴∠FAD ＝∠EAB∴△FAD ≌△EAB∴∠AFD ＝∠AEB ，DF ＝BE∵∠AFD+∠AFG ＝180°，∴∠AEG+∠AFG ＝180°，∵∠EAF ＝90°，∴∠EGF ＝180°﹣90°＝90°，∴DF ⊥BE（2）数量关系改变，位置关系不变．DF ＝kBE ，DF ⊥BE ．延长DF 交EB 于点H ，∵AD ＝kAB ，AF ＝kAE ∴AD k AB =，AF k AE = ∴AD AF AB AE= ∵∠BAD ＝∠EAF ＝a∴∠FAD ＝∠EAB∴△FAD ∽△EAB ∴DF AF k BE AE==∴DF ＝kBE∵△FAD ∽△EAB ，∴∠AFD ＝∠AEB ，∵∠AFD+∠AFH ＝180°，∴∠AEH+∠AFH ＝180°，∵∠EAF ＝90°，∴∠EHF ＝180°﹣90°＝90°，∴DF ⊥BE（3）不改变．DF ＝kBE ，β＝180°﹣a ．延长DF 交EB 的延长线于点H ，∵AD ＝kAB ，AF ＝kAE ∴AD k AB =，AF k AE = ∴AD AF AB AE= ∵∠BAD ＝∠EAF ＝a∴∠FAD ＝∠EAB∴△FAD ∽△EAB ∴DF AF k BE AE== ∴DF ＝kBE 由△FAD ∽△EAB 得∠AFD ＝∠AEB∵∠AFD+∠AFH ＝180°∴∠AEB+∠AFH ＝180°∵四边形AEHF 的内角和为360°，∴∠EAF+∠EHF ＝180°∵∠EAF ＝α，∠EHF ＝β∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a【点睛】本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在．3．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （3，0），点B （0，4），把△ABO 绕点A 顺时针旋转，得△AB ′O ′，点B ，O 旋转后的对应点为B ′，O ．（1）如图1，当旋转角为90°时，求BB ′的长；（2）如图2，当旋转角为120°时，求点O ′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OB 上的一点P 旋转后的对应点为P ′，当O ′P +AP ′取得最小值时，求点P ′的坐标．（直接写出结果即可）【答案】（1）22）O'（92333）P'（27563）. 【解析】【分析】 （1）先求出AB ．利用旋转判断出△ABB '是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）先判断出∠HAO '=60°，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH ，OH ，即可得出结论；（3）先确定出直线O 'C 的解析式，进而确定出点P 的坐标，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）∵A （3，0），B （0，4），∴OA =3，OB =4，∴AB =5，由旋转知，BA =B 'A ，∠BAB '=90°，∴△ABB '是等腰直角三角形，∴BB 2AB 2；（2）如图2，过点O '作O 'H ⊥x 轴于H ，由旋转知，O 'A =OA =3，∠OAO '=120°，∴∠HAO '=60°，∴∠HO 'A =30°，∴AH =12AO '=32，OH 333，∴OH =OA +AH =92，∴O '（9332， （3）由旋转知，AP =AP '，∴O 'P +AP '=O 'P +AP ．如图3，作A 关于y 轴的对称点C ，连接O 'C 交y 轴于P ，∴O 'P +AP =O 'P +CP =O 'C ，此时，O 'P +AP 的值最小．∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴C （﹣3，0）．∵O '（93322，），∴直线O 'C 的解析式为y =35x +335，令x =0，∴y =335，∴P （0，33），∴O 'P '=OP 33，作P 'D ⊥O 'H 于D ．∵∠B'O'A=∠BOA=90°，∠AO'H=30°，∴∠DP'O'=30°，∴O'D=12O'P'=3310，P'D=3O'D=910，∴DH=O'H﹣O'D=63，O'H+P'D=275，∴P'（27635，）．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键．4．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG bDC CE a==，又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．5．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y 轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．【答案】（1）（1，2）；（2）S=32t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值【解析】试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可；（II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=12t，AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；（III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小．试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=12OA=1，MG是△AOB的中位线，∴MG=12OB=12×4=2，∴M（1，2）；（II）如图1，同理得：OG=AG=12t．∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，MA=AC，∴△AMG≌△CAF，∴AG=CF=12t，AF=MG=2，∴EC=4﹣12t，BE=OF=t+2，∴S △BCE =12EC •BE =12（4﹣12t ）（t +2）=﹣14t 2+32t +4； S △ABC =12•AB •AC =12•216t +•21162t +=14t 2+4，∴S =S △BEC +S △ABC =32t +8． 当A 与O 重合，C 与F 重合，如图2，此时t =0，当C 与E 重合时，如图3，AG =EF ，即 12t =4，t =8，∴S 与t 之间的函数关系式为：S =32t +8（0≤t ≤8）； （III ）如图1，易得△ABO ∽△CAF ，∴AB AC =OB AF =OA FC =2，∴AF =2，CF =12t ，由勾股定理得：AC =22AF CF +=22122t +（）=2144t +，BC =22BE EC +=221242t t ++-（）（）=21544t +（），∴BC +AC =（ 5+1）2144t +，∴当t =0时，BC +AC 有最小值．点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．6．已知Rt △DAB 中，∠ADB=90°，扇形DEF 中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE ，将Rt △ADB 的边与扇形DEF 的半径DE 重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF 绕点D 按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．【答案】（1）15°；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°；（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，，∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．7．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．（1）①依题意补全图形；②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP 的距离．【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；（3）．【解析】试题分析：（1）①作CE⊥CD，并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到的，再连接DE即可；②根据∠ADC和∠CDE是邻补角，所以∠ADC+∠CDE=180°．（2）由（1）的条件可得A、D、E三点在同一条直线上，再通过证明△ACD≌△BCE，易得AE=BE+2CM．（3）运用勾股定理，可得出点A到BP的距离．试题解析：解：（1）①依题意补全图形（如图）；②∠ADC+∠CDE=180°．（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°．∴∠CDE=∠CED=45°．又∵∠ADC=135°，∴∠ADC+∠CDE=180°，∴A、D、E三点在同一条直线上．∴AE=AD+DE．又∵∠ACB=90°，∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE．∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴DE=2CM．∴AE=BE+2CM．（3）点A到BP的距离为．考点：作图—旋转变换．8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．9．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1.【解析】试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．试题解析：(1)特例发现，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，∴FQ=AG，∴PE=FQ；(2)延伸拓展，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(3)深入探究,如图2，在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA，∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得，△AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(4)应用推广,如图3，在前面条件及结论，得到，点H 是EF 中点，∴AE=AF ，∵∠EAB=∠AGB ，∠FAC=∠AGC ∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC ）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H 为EF 中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，∴∠EHM=∠FHN ．∵∠AEF=∠AFE ，∴△HEM ∽△HFN ，∴，∵EH=FH ，∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN ∽△HFN ，∴△MHN ∽△HFN ∽△MEH ，在△HMN 中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN 最小，只有△HMN 是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN ∴MN ∥EF ，∵△AEF 为等边三角形，∴MN 为△AEF 的中位线，∴MN min =EF=×2=1．考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.10．已知O 为直线MN 上一点，OP ⊥MN ，在等腰Rt △ABO 中，90BAO ∠=︒，AC ∥OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE ⊥DC 交MN 于E ．(1) 如图1，若点B 在OP 上，则①AC OE (填“＜”，“＝”或“＞”)；②线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是 ；(2) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α(045α︒<<︒)，如图2，那么(1)中的结论②是否成立？请说明理由；(3) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α()，请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式 ；【答案】（1）①=；②AC 2+CO 2=CD 2；（2）（1）中的结论②不成立，理由见解析；（3）画图见解析；2CD. 【解析】试题分析：（1）①如图1，证明AC=OC 和OC=OE 可得结论；②根据勾股定理可得：AC 2+CO 2=CD 2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC=CD．试题解析：（1）①AC=OE，理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，∴∠ABO=∠AOB=45°，∵OP⊥MN，∴∠COP=90°，∴∠AOC=45°，∵AC∥OP，∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，∴AC=OC，连接AD，∵BD=OD，∴AD=OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四边形ADOC是正方形，∴∠DCO=45°，∴AC=OD，∴∠DEO=45°，∴CD=DE，∴OC=OE，∴AC=OE；②在Rt△CDO中，∵CD2=OC2+OD2，∴CD2=AC2+OC2；故答案为AC2+CO2=CD2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，∵AB=AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°，∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO，∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四点共圆，∴∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC，∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，∴OC=OF，∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，所以（1）中的结论②不成立；（3）如图3，结论：OC﹣CA=CD，理由是：连接AD，则AD=OD，同理：∠ADC=∠EDO，∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，∴∠CAB=∠AOC，∵∠DAB=∠AOD=45°，∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，即∠DAC=∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC=OE，CD=DE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE2=2CD2，∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，∴OC﹣AC=CD，故答案为OC﹣AC=CD．考点：几何变换的综合题。
中考数学总复习《旋转》专项测试题-附参考答案
中考数学总复习《旋转》专项测试题-附参考答案（考试时间：60分钟总分：100分）一、选择题（共8题，共40分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A．菱形B．等边三角形C．平行四边形D．直角三角形2.如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60∘后，得到△ABʹCʹ，且Cʹ为BC的中点，则CʹD:DBʹ=( )A．1:2B．1:2√2C．1:√3D．1:33.如图所示，将一个含30∘角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点Bʹ，若点Bʹ，A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是( )A．60∘B．90∘C．120∘D．150∘4.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AʹBʹC，使得点Aʹ恰好落在AB上，则旋转角度为( )A．30∘B．60∘C．90∘D．150∘5.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△AʹBʹC，连接AAʹ，若∠1=25∘，则∠BAAʹ的度数是( )A．55∘B．60∘C．65∘D．70∘6.如图，O是正△ABC内一点OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60∘得到线段BOʹ，下列结论：①△BOʹA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60∘得到；②点O与Oʹ的距离为4；③∠AOB=150∘；=6+3√3；④S四边形AOBOʹ√3．⑤S△AOC+S△AOB=6+94其中正确的结论是( )A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤7.如图，边长为8a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60∘得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是( )a A．4a B．2a C．a D．138.如图，在Rt△ABC中AC=BC=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60∘，连接BD，则图中阴影部分的面积是( )A．2√3−2B．2√3C．√3−1D．4√3二、填空题（共5题，共15分）9.如图所示，△ABC中∠BAC=33∘，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50∘，对应得到△ABʹCʹ，则∠BʹAC的度数为．10.如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30∘后，得到正方形EFCG，EF交AD于点H．则DH=．11.如图，将边长为2的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形ABʹCʹDʹ，连接BBʹ，BCʹ，在旋转角从0∘到180∘的整个旋转过程中，当BBʹ=BCʹ时，△BBʹCʹ的面积为．12.如图，在等腰△ABC中AB=AC，∠B=30∘．以点B为旋转中心，旋转30∘，点A，C分别落在点Aʹ，Cʹ处，直线AC，AʹCʹ交于点D，那么AD的值为．AC13.如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180∘得到△AʹOBʹ，则点Bʹ的坐标是．三、解答题（共3题，共45分）14．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°，将△ABC绕点C按照顺时针方向旋转m度后得到△DEC，点D刚好落在AB边上，求m的值.15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形的面积；（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．16．如图是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B、C三点在小正方形的顶点上，请在图①、②中各画一个凸四边形，使其满足以下要求：（1）请在图①中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）请在图形②中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．参考答案1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】C6. 【答案】C7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】17°10. 【答案】√311. 【答案】2+√3或2−√312. 【答案】√3−1或2−√313. 【答案】(−2,−2√3)14．【答案】解：∵∠ACB=90°,∠B=30°∴AB=2AC;∠A=60°；由题意得：AC=DC∴△DAC 为等边三角形∴∠ACD=60°∴m=60°.15．【答案】解；（1）如图所示：△A ′BC ′即为所求 ∵AB=√32+22=√13∴BA 边旋转到BA ″位置时所扫过图形的面积为：90π×(√13)2360=13π4（2）如图所示：△A ″B ″C ″∽△ABC ，且相似比为2．16．【答案】解：（1）如图所示：四边形ABCD 即为所求；（2）如图所示：四边形ABCD 即为所求．。
中考数学复习《旋转》专题训练--附带参考答案
中考数学复习《旋转》专题训练--附带参考答案一、选择题1．下列四个图形中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）A． B． C． D．2．点(3，−2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(3，−2)B．(−3，2)C．(−3，−2)D．(2，−3)3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'，使CC'∥AB，若∠CAB＝70°，则旋转角的度数是（）A．35°B．40°C．50°D．70°5．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．如图，在△ABC中∠BAC=138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC 边上，且AB′=CB′，则∠C的度数为（）A．14°B．15°C．16°D．17°7．如图所示，在长方形ABCD中，AC是对角线.将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°到长方形GBEF位置，H是EG的中点.若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（）A．2√5B．√41C．2√10D．√218．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上AB⊥x轴AB=CB= 2，OA=OC，∠AOC=60°将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（）A．(−3，√3)B．(3，−√3)C．(−√3，1)D．(1，−√3)二、填空题9．已知M（a，3）和N（-4，b）关于原点对称，则a+b＝．10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE=．11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，E在同一条直线上AB=1，BC=2则AD=.12．如图所示，将四边形ABCD绕顶点A按顺时针方向旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB=16cm，则图中阴影部分的面积为cm.13．如图，△AOB与△OOD关于点O成中心对称，已知∠BAO=90°，AB=4，AO=3，则AD的长为三、解答题14．在△ABC中∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．（1）旋转中心是．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．15．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状．并说明理由．16．如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标依次为(−2，3)，(−5，2)，(−1，1)根据题意，解答下列问题．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点M(1，0)顺时针旋转90°得到△A2B2C2；（3）连接CC1，CC2和C1C2，直接写出△CC1C2的面积．17．△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE.（1）如图1，若AB=4，CE=2求BE的长；（2）如图2，若AB>DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α(0°<α<120°)，连接BD、AE交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想. 18．如图①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′，旋转角为α．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；（2）如图②，G为BC中点，且0°<α<90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．参考答案1．B2．B3．B4．B5．B6．A7．B8．B9．110．75°11．√712．32π13．2√1314．（1）A（2）解：∵在△ABC中∠B+∠ACB=30°∴∠BAC=180°−（∠B+∠BAC）=150°∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合∴△ABC≅△ADE∴∠BAC=∠DAE=150°，AB=AD=4∴∠BAE=360°−∠BAC−∠DAE=60°∵C是AD的中点∴AC=CD=2∵△ABC≅△ADE∴AE=AC=2∴∠BAE=60°，AE=2．15．（1）证明：∵由旋转可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°∵AB⊥BC∴∠ABC＝90°∴∠ABD＝90°-60°＝30°，∠DBE＝60°-30°＝30°∴∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°在△BDE和△BCE中{BD=BC∠DBE=∠CBEBE=BE∴△BDE≌△BCE．（SAS）．（2）解：结论：四边形ABDE是菱形．理由：∵△BDE≌△BCE∴DE＝CE∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC∴AB＝EB＝DE＝AD∴四边形ABED是菱形．16．（1）解：∵△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称A，B，C三点的坐标依次为(−2，3)，(−5，2)，(−1，1)∴A1、B1、C1三点的坐标依次为(2，−3)，(5，−2)△A1B1C1即为所求作；（2）解：∵△ABC绕点M(1，0)顺时针旋转90°得到△A2B2C2 A，B，C三点的坐标依次为(−2，3)，(−5，2)，(−1，1)∴A2、B2、C2三点的坐标依次为(4，3)，(3，6)，(2，2)△A2B2C2即为所求作；（3）解：417．（1）解：如图，过点E作EH⊥BC交BC的延长线于H∵△ABC与△DCE均为等边三角形∴AB=BC=4，∠ACB=∠DCE=60°∴∠ECH=180°−∠ACB−∠DCE=60°∴∠CEH=30°∴CH=12CE=1∴EH=√CE2−CH2=√3∵BH=BC+CH=5在Rt△BEH中BE=√BH2+EH2=√25+3=2√7；（2）解：BO=AO+CO，理由如下：如图，过点C作CP⊥AE于P，CF⊥BD于F，在BO上截取OH=OC，连接CH∵△ABC与△DCE均为等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=∠ACE在△BCD和△ACE中{BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE∴△BCD≌△ACE(SAS)∴∠CBD=∠CAE，AE=BD，S△ACE=S△BCD∴12×AE⋅CP=12×BD⋅CF∴CP=CF又∵CP⊥AE，CF⊥BD∴OC平分∠BOE∵∠ABC+∠BAC=120°∴∠ABO+∠CBO+∠BAC=120°∴∠ABO+∠CAO+∠BAC=120°∴∠AOB=60°∴∠BOE=120°∵OC平分∠BOE∴∠BOC=∠EOC=60°∵HO=CO∴△CHO是等边三角形∴CH=HO=CO，∠HCO=60°=∠ACB∴∠BCH=∠ACO在△BCH和△ACO中{∠CBD=∠CAE BC=AC∠BCH=∠ACO∴△BCH≌△ACO(ASA)∴BH=AO∴BO=BH+OH=AO+CO.18．（1）解：根据题意得：CE=1，CD′=2∴在Rt△CED′中∠CD′E=30°∵矩形CDEF，CD∥EF∴∠α=∠CD′E=30°；（2）证明：∵G为BC中点∴CG=1∴CG=CE∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α在△GCD′和△E′CD中∵{CD′=CD∠GCD=∠DCE′CG=CE′∴△GCD′≌△E′CD(SAS)∴GD′=E′D；（3）135°或315°。
人教版数学九年级上学期课时练习- 《旋转》全章复习与巩固(巩固篇)(人教版)
专题23.9 《旋转》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，将AOB 绕着点O 顺时针旋转，得到COD △（点C 落在AOB 外），若30AOB ∠=︒，10BOC ∠=︒，则最小旋转角度是（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°3．如图，在正方形网格中，△ABC 绕某点旋转一定的角度得到A B C '''，则旋转中心是点（ ）A ．OB ．PC ．QD ．M4．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，将△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到B O C ''，若AC ＝2，5AB '=，则菱形 ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4CD 5．如图，在钝角ABC 中，35BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转70︒得到ADE ，点B ，C 的对应点分别为D ，E ，连接BE ．则下列结论一定正确的是（ ）A ．ABC AED ∠=∠B ．AC DE = C ．AD BE AC += D ．AE 平分BED ∠6．如图，矩形ABCD 的顶点1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C 的坐标为（ ）A ．()4,2-B ．(-C ．()2-D ．(-7．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC ==ABC 绕点A 逆时针转60°得到AB C ''△，则BC '的长是（ ）A 1B ．2C ．D ．8．如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点()2,5A -，则点C 的坐标为（ ）A ．()5,2-B ．()2,5-C ．()2,5D ．()2,5--9．已知点()2,4P a a --关于原点对称的点在第三象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在如图所示的单位正方形网格中，ABC 经过平移后得到111A B C △，已知在AC 上一点()2.4,2P 平移后的对应点为1P ，点1P 绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点2P ，则2P 点的坐标为（ ）A ．()1.6,1--B ．()1, 1.6--C ．()1.6,1D ．()1, 1.6-二、填空题11．若点P （a －1，5）与点Q （5，1－b ）关于原点成中心对称，则a ＋b ＝___． 12．如图，在ABC 中，△C ＝90°，点D 、E 分别在AC 、BC 上，△CDE ＝45°，ECD 绕点D 顺时针旋转x 度（45<x <180）到11E C D △，则1BEE ∠等于______度．（用含x 的代数式表示）13．如图，AB =BC =CD ，AB △BC ，△BCD =30°，则△BAD =________°．14．如图，ABC 中，AB =2AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到ADE ，连接BE ，则BE =______．15．如图，BD 为ABCD 的对角线，点P 为ABD △内一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，若ABP △和BCP 的面积分别为3和13，则BDP △的面积为_________．16．如图，在直角坐标平面内，△ABC 的顶点()1,0A -，点B 与点A 关于原点对称，AB ＝BC ，△CAB ＝30°，将△ABC 绕点C 旋转，使点A 落在x 轴上的点D 处，点B 落在点E 处，那么BE 所在直线的解析式为______．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =6BC =，点E 是直线BC 上的一个动点，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转120︒得到线段DG ，连接AG ，则线段AG 的最小值为_________．18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()1,0，(，将OAB 绕原点O 顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得12OA OA =，12OB OB =，得到11OA B ．将11OA B 绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得212OA OA =，212OB OB =，得到22OA B △，…，如此继续下去，得到20222022OA B △，则点2022A 的坐标是______．三、解答题19．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－5，0）、B （－2，3）、C （－1，0）．(1)画出△ABC 关于坐标原点O 成中心对称的△A ′B ′C ′；(2)将△ABC 绕坐标原点O 顺时针旋转90°，画出对应的△A ′′B ′′C ′′；(3)若以A ′、B ′、C ′、D ′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D ′坐标为 ．20．如图，点D 在等边三角形ABC 的边BC 上，将△ABD 绕点A 旋转，使得旋转后点B 的对应点为点C ．小明是这样做的：如图，过点C 画BA 的平行线l ，在l 上取CE BD =，连接AE ，则△ACE 即为旋转后的图形．你能说明小明这样做的道理吗？21．已知：如图，在△ABC中，△BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，且A、C、E三点共线，若AB=3，AC=2，求△BAD的度数与AD的长．22．如图，ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE(1) 求证：BD＝CE(2) 延长ED交BC于点F，△ 求△CED的度数；△ 求证：F为BC的中点23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别相交于A（6，0）、B（0，2）两点．(1) 直接写出直线AB 的关系式为 ．(2) 点C 为y 轴上的一点，当BC ＝AC 时，求△ABC 的周长；(3) 点D 为x 轴上的一点，将线段DB 绕着点D 旋转90°得到DE ，若点E 恰好落在直线AB 上，求满足条件的其中一个点E 的坐标，并直接写出满足条件的其余点E 的坐标，24．【性质探究】（1）如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB ＝AC ，点D 在斜边BC 上，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE ．△直线BD 与CE 的位置关系为______；△若点F 为BE 的中点，连接AF ，请探究线段AF 与CD 的数量关系，并给予证明．【拓展应用】（2）如图2，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点H为BG的中点，连接AH．若AB＝4，BE＝3，求AH的长．参考答案1．D【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D.是中心对称图形，故选：D【点拨】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2．C【分析】直接利用已知得出△AOC的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．解：△△AOB= 30°，△BOC = 10°，△△AOC=△AOB+△COB = 30°+ 10°= 40°△将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，△最小旋转角为△AOC = 40°．故选：C．【点拨】此题主要考查了旋转的性质，正确得出△AOC的度数是解题关键．3．B【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．解：如图，连接BB'，AA'，可得其垂直平分线相交于点P，∴旋转中心是点P．故选：B ．【点拨】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．4．D【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到1OA OC O C '===、OB OC ⊥、O B O C '''⊥、BC B C '=，根据5AB '=，利用勾股定理计算O B ''，再次利用勾股定理计算B C '即可．解：△四边形ABCD 是菱形，且△BOC 绕着点C 旋转180°得到B O C ''，2AC =，△1OA OC O C '===，OB OC ⊥，BC B C '=，△O B O C '''⊥，213O A AC O C ''=+=+=，△5AB '=，△4O B ''==，△B C '==△BC B C '== ABCD故选：D ．【点拨】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．5．D【分析】根据旋转可知△CAB △△EAD ，△CAE =70°，结合△BAC =35°，可知△BAE =35°，则可证得△CAB △△EAB ，即可作答．解：根据旋转的性质可知△CAB △△EAD ，△CAE =70°，△△BAE =△CAE -△CAB =70°-35°=35°，AC =AE ，AB =AD ，BC =DE ，△ABC =△ADE ，故A 、B 错误，△△CAB =△EAB ，△AC =AE ，AB =AB ，△△CAB △△EAB ，△△EAB △△EAD△△BEA =△DEA ，△AE 平分△BED ，故D 正确，△AD +BE =AB +BE ＞AE =AC ，故C 错误，故选：D ．【点拨】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，求出△BAE =35°是解答本题的关键．6．D【分析】过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，根据矩形的性质得到点C 的坐标，求出△COE =45°，OC C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，求出△C 1OF =30°，利用勾股定理求出OF ，即可得到答案．解：过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，△四边形ABCD 是矩形，△AD =BC ，AB =CD ，AD ∥BC ，△CDA =△DAB =90°，△△HCD =△ADO =△BAG ，△△CHD =△BGA =90°，△△CHD △△AGB （AAS ），△1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，△CH =AG =5-1=4，DH =BG =2，△OH =2+2=4，△C （4，4），△OE =CE =4，△△COE =45°，OC如图，过点C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，△△C 1OF =30°，△C 1F =12OC 1=12OC ，△OF =△点C 1的坐标为(-，故选：D ．【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．7．A【分析】设AC 与BC '的交点为点O ，连接CC '，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AC AC CAC ''==∠=︒，再根据等边三角形的判定与性质可得AC CC ''=，然后根据垂直平分线的判定与性质可得12,2OA AC OA BC '==⊥，最后利用勾股定理分别可得2,OB OC '==解：如图，设AC 与BC '的交点为点O ，连接CC '，90,ABC AB BC ∠=︒==2AC ∴，由旋转的性质得：2,60AC AC CAC ''==∠=︒，ACC '∴是等边三角形，AC CC ''∴=，BC '∴是线段AC 的垂直平分线，11,2OA AC OA BC '∴==⊥，在Rt AOB 中，1OB ==，在Rt AOC '△中，OC '，则1BC OB OC ''=+=故选：A ．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．8．B【分析】根据菱形的中心对称性，A 、C 坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可． 解：△菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，△A 、C 坐标关于原点对称，△C 的坐标为()2,5-，故选C ． 【点拨】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．9．D【分析】根据点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，可得点P在第一象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围．解：△点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，△点P在第一象限，△20 40aa-⎧⎨-⎩＞＞，△24＜＜a，则a的取值范围在数轴上表示正确的是：故选：D．【点拨】本题主要考查不等式组的解法，根据不等式组的解集，在数轴上表示即可，关键在于点P的坐标所在的象限．10．C【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．解：△A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），△点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），△点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，△P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．11．2【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．解：△点P （a －1，5）与点Q （5，1－b ）关于原点成中心对称，△a -1+5=0，5+1-b =0，△a =-4，b =6，△a +b =2．故答案为：2【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．12．452x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【分析】根据旋转的性质可得1DE DE =，1EDE x ∠=，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出1E ED ∠和△CED 即可解决问题．解：如图，由旋转的性质可得：1DE DE =，1EDE x ∠=， △11809022x x E ED ︒-∠==︒-， △△C ＝90°，△CDE ＝45°，△△CED ＝45°， △1118018090454522x x BEE E ED CED ⎛⎫⎛⎫∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒=+︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：452x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键．13．15【分析】把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，可得△CDE 是等边三角形，从而得到DE =CD =CE ，△DEC =60°，再由△BCD =30°，可得BC △DE ，然后根据AB =BC =CD ，可得BC =CE ，AB =DE ，从而得到()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到△BED =15°，再证得四边形ABED 是平行四边形，即可求解．解：如图，把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，△△DCE =60°，CD =CE ，△△CDE 是等边三角形，△DE =CD =CE ，△DEC =60°，△△BCD =30°，△△BCE =30°，△△BCD =△BCE ，△BC △DE ，△AB =BC =CD ，△BC =CE ，AB =DE ， △()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒， △△BED =△BEC -△DEC =15°，△AB △BC ，△AB △DE ，△四边形ABED 是平行四边形，△△BAD =△BED =15°．故答案为：15【点拨】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．14．3【分析】根据旋转的性质得出△CAE =60°，AC =AE =2，求出△BAE =90°，根据勾股定理求出即可．解：△将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，AB =2AC = ，△60,CAE AC =AE =2，△△BAC =30°，△△BAE =30°+60°=90°，在Rt △BAE 中， 由勾股定理得：2222523,BEAB AE 故答案为：3．【点拨】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出AE 的长度和求出△BAE 的度数是解此题的关键．15．10 【分析】由平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的性质可以得到BDP BCP ABP S S S =-,把已知ABP △和BCP 的面积分别为3和13代入计算即可得到答案． 解：由平行四边形和三角形的面积公式易得12ADP BCP ABCD SS S +=， 由平行四边形的性质可得12ABD ABCD SS =， △12ADP ABP BDP ABCD SS S S ++=， △BCP ABP BDP SS S =+， △13310BDP BCP ABP S S S =-=-=,故答案为10．【点拨】本题考查平行四边形的应用,熟练掌握平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的中心对称性是解题关键．16．y =【分析】如图，过点C 作CF △x 轴于点F ，根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B 坐标，根据等腰三角形的性质可得AB ＝BC =2，利用外角性质可得△CBF =60°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得CF 、BF 的长，利用旋转的性质可得AB ＝CE ＝2，AC =CD ，△ECD =△ACB =30°，根据等腰三角形的性质可得△CDA =△CAD=30°，可得CE //AD ，可得点E 坐标，利用待定系数法即可得答案．解：如图，过点C 作CF △x 轴于点F ，△△ABC 的顶点()1,0A -，点B 与点A 关于原点对称，△()10B ,， △AB ＝BC =2．△△CAB ＝30°，△△ACB =△CAB =30°，△△CBF =△CAB +△ACB =60°，△BCF =30°，△BF =12BC =1，CF=△(C ．△将△ABC 绕点C 旋转，使点A 落在x 轴上的点D 处，点B 落在点E 处，△AB ＝CE ＝2，AC =CD ，△CDA =△CAD=30°，△ECD =△ACB =30°，△CE //AD ，△(E ．设直线BE 的解析式为()0y kx b k =+≠，△04k b k b +=⎧⎪⎨+⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△BE所在直线的解析式为：y ．故答案为：y =【点拨】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形旋转前后的对应边相等、对应角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．17【分析】将线段DC 绕点D 顺时针旋转120︒得到线段DC '，作直线GC '交AD 于K ，过点A 作AH GC '⊥于点H ．当点E 在直线BC 上运动时，G 在直线GC '上运动，即点G 的运动轨迹是直线GC '．当点G 运动到H 时，AG 最小，最小值即为AH 的长度，利用旋转的性质，根据“边角边”的判定方法可证明DCE DC G '≌△△，进而利用全等三角形的性质以及旋转性质可求出AG 的最小值．解：如图所示，将线段DC 绕点D 顺时针旋转120︒得到线段DC '，作直线GC '交AD 于K ，过点A 作AH GC '⊥于点H ．120,,,EDC EDC GDC CD C D DE DG '''∠=︒-∠=∠==DCE DC G '∴≌△△（SAS ）90,GC D C KC D ''∴∠=∠=︒=∠如图所示，当点E 在直线BC 上运动时，G 在直线GC '上运动，即点G 的运动轨迹是直线GC '．∴当点G 运动到H 时，AG 最小，最小值即为AH 的长度．120,90,CDC CDA '∠=︒∠=︒30,KDC '∴∠=︒1,602C K DK C KD AKH ''∴=∠=︒=∠C D CD AB '===2,4C K DK '∴==6AD BC ==2AK AD DK ∴=-=在Rt AKH 中，60AKH ∠=︒11,2KH AK AH ∴===则线段AG【点拨】本题主要考查了矩形中的旋转变换，能够掌握旋转的性质以及正确作出辅助线找到点G 的轨迹是解决本题的关键．18．（22022，0）【分析】根据图形可知：首先△OAB 绕原点O 顺时针方向旋转60°，旋转6次后，正好旋转一周，规律是6次一循环，其次根据将其各边都扩大为原来的2倍，依此类推，得到OAn ＝2n ，进而得出答案．解：如图，1,0，(，△点A，B的坐标分别为()△OAB=90°，△OA=1，AB△△OBA=30°，△△AOB＝60°，△每一次旋转角是60°，△旋转6次后，正好旋转一周，点A6在x轴的正半轴上，△2022÷6＝337，△点A2022在x轴的正半轴上；△每次旋转后OA1＝2OA，OB1＝2OB，OA2＝2OA1，OB2＝2OB1，…△OA1＝2＝2，OA2＝2OA1＝2×2＝22，OA3＝2OA2＝2×22＝23，…依此类推，OAn＝2n，当n＝2022时，OA2022＝22022，△点A2022在x轴的正半轴上，△点A2022的坐标是（22022，0）．故答案为：（22022，0）．【点拨】本题主要考查了旋转的性质、含30°锐角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．19．(1)见分析(2)见分析(3)（6，－2）【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．(1)如图所示，△A′B′C′就是求作的图形；(2)如图所示，△A′′B′′C′′就是求作的三角形；(3)如图所示，点D′坐标为（6，－2）；【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．能，见分析【分析】直接利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法进而得出答案．解：能．理由：△△ABC 为等边三角形，△60B BAC ∠=∠=，AC AB =．△//CE AB ，△60ACE BAC ∠=∠=，在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ABD ACE SAS ∆≅∆△AD AE =，BAD CAE ∠=∠，△60DAE BAC ∠=∠=，△△ACE 即为旋转后的图形．【点拨】本题主要考查了旋转变换以及全等三角形的判定，正确应用等边三角形的性质是解题关键．21．△BAD =60°，AD 的长为5．【分析】由旋转的性质可得出△ADE =60°、DA =DE ，进而可得出△ADE 为等边三角形以及△DAE =60°，由点A 、C 、E 在一条直线上可得出△BAD =△BAC -△DAE =60°；由点A 、C 、E 在一条直线上可得出AE =AC +CE ，根据旋转的性质可得出CE =AB ，结合AB =3、AC =2可得出AE 的长度，再根据等边三角形的性质即可得出AD 的长度．解：△△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，△△ADE =60°，DA =DE ，△△ADE 为等边三角形，△△DAE =60°．△点A 、C 、E 在一条直线上，△△BAD =△BAC -△DAE =120°-60°=60°．△点A 、C 、E 在一条直线上，△AE =AC +CE ．△△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，△CE =AB ，△AE =AC +AB =2+3=5．△△ADE 为等边三角形，△AD =AE =5．【点拨】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出△ADE 为等边三角形是解题的关键．22．(1)见详解(2)△△DEC =30°；△见详解【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得△BAD =△CAE ，AB =AC ，AD =AE ，再利用SAS 可证△BAD △△CAE ，可得BD =CE ；（2）△根据AD △BD ，得出△ADB =90°，根据△BAD △△CAE ，得出△ADB =△AEC =90°，根据△AED =60°，利用图中角度计算即可；△过点C 作CG △BP ，交EF 的延长线于点G ，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG =BD ，△BDG =△G ，△BFD =△GFC ，可证△BFD △△CFG ，可得结论；(1)证明：△线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，△AD =AE ，△DAE =60°，△△ADE 是等边三角形，在等边△ABC 和等边△ADE 中，△ AB =AC ，AD =AE ，△BAD +△DAC =△CAE +△DAC =60°，△△BAD =△CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△BAD △△CAE （SAS ），△BD =CE ；(2)解：△△AD △BD ，△△ADB =90°，△△BAD △△CAE△△ADB =△AEC =90°，△△AED =60°，△△DEC =△AEC -△AED =90°-60°=30°，△如图，过点C 作CG △BP 交DF 的延长线于点G ，△△G =△BDF ，由（1）可知，BD =CE ，△CEA =△BDA ，△AD △BP ，△△BDA =90°，△△CEA =90°，△△AED =60°，△△BDG =180°-△ADB -△ADE =30°，△△CED =△G =△BDG =30°，△CE =CG ，△BD =CG ，在△BDF 和△CGF 中，BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDF △△CGF （AAS ），△BF =FC ，即F 为BC 的中点．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．23．(1)123y x =-+(2)20(3)点E 的坐标为(6,4)-或(3,1)【分析】（1）用待定系数法即可得直线AB 解析式，（2）由(6,0)A 、(0,2)B ，得AB =，设(0,)C m ，由BC AC =，可得22(2)36m m -=+，解得8m =-，即可得10BC =，10AC =，从而可得ABC ∆的周长为20AB BC AC ++=；（3）当D 在B 左侧时，过E 作EH x ⊥轴于H ，设OD n =，根据将线段DB 绕着点D 旋转90︒得到DE ，可得()EDH DBO AAS ∆≅∆，从而可得(2,)E n n --，把(2,)E n n --代入123y x =-+即可得(6,4)E -，当D 在B 右侧时，同理可得(3,1)E '，即可得答案．(1)解：设直线AB 解析式为y kx b =+，把(6,0)A 、(0,2)B 代入得：602k b b +=⎧⎨=⎩， 解得132k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 解析式为123y x =-+， 故答案为：123y x =-+； (2)解：(6,0)A 、(0,2)B ，AB ∴=设(0,)C m ，则22(2)BC m =-，2236AC m =+，BC AC =，22(2)36m m ∴-=+，解得8m =-，22(82)100BC ∴=--=，2236(8)100AC =+-=，10BC ∴=，10AC =，ABC ∴∆的周长为101020AB BC AC ++=+=；(3)解：当D 在B 左侧时，过E 作EH x ⊥轴于H ，如图：设OD n =，将线段DB 绕着点D 旋转90︒得到DE ，90EDB ∴∠=︒，ED BD =，90EDH BDO DBO ∴∠=︒-∠=∠，90EHD DOB ∠=︒=∠，EDH DBO ∴∆∆≌（AAS ），2HD OB ∴==，HE OD n ==，2OH n ∴=+，(2,)E n n ∴--，把(2,)E n n --代入123y x =-+得： 1(2)23n n =---+， 解得4n =，(6,4)E ∴-，当D 在B 右侧时，同理可得(3,1)E '，综上所述，E 的坐标为(6,4)-或(3,1)．【点拨】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．24．（1）△BD BC ⊥；△12AF CD =，证明见分析；（2 【分析】（1）△先证明△BAD =△CAE ，△ABC =△ACB =45°， 再证明△BAD △△CAE ，利用全等三角形的性质可得结论；△ 延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连接GE ，证明△ADC △△AEG ，可得CD ＝GE ．延长F A 至点Q ，使AQ ＝AF ，连接GQ ，证明△ABF △△AGQ ，可得△BF A ＝△GQA ，BF ＝GQ ，证明四边形EFQG 是平行四边形，可得QF ＝GE ．从而可得结论；（2）如图，连接DE ､DG ，证明△BAE △△DAG ，△DAG 可以由△BAE 绕点A 逆时针旋转90°得到．可得CE ＝1，CD ＝4．17,DE 延长AB 至N ，使AN =AB ，连接NG ，延长HA 至Q ，使AQ =AH ，连接NQ ，同理：由（1）中△可知12AH DE =，从而可得答案． 解：（1）△△将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE ，△△DAE ＝△BAC ＝90°，AE ＝AD ，AC ＝AB△△BAD =△CAE ，△ABC =△ACB =45°，在△BAD 和△CAE 中，BA CABADCAE AD AE ，△△BAD △△CAE ，△△ABC =△ACE =45°，△△BCE =45°+45°=90°， 即BD CE ⊥ △12AF CD =，理由如下： 延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连接GE ，△将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE ，△△DAE ＝△BAC ＝90°，AE ＝AD ，AC ＝AB ＝AG ，又△DAC =90°－△CAE =△GAE ，△△ADC △△AEG ，△CD ＝GE ．延长F A 至点Q ，使AQ ＝AF ，连接GQ ，△AG ＝AB ，△BAF ＝△GAQ ，△△ABF △△AGQ ，△△BF A ＝△GQA ，BF ＝GQ ，△BE GQ ∥，即EF GQ ∥．△点F 为BE 的中点，△EF ＝BF ＝GQ ，△四边形EFQG 是平行四边形，△QF ＝GE ．△12AF QF =，CD ＝GE ， △12AF CD =． （2）如图，连接DE ､DG ，△四边形ABCD 和四边形AEFG 为正方形，△AB ＝AD=BC=CD ，AE ＝AG ，△BAD ＝△EAG ＝90°，又△BAE ＝90°－△EAD ＝△DAG ，△△BAE △△DAG ，△△DAG 可以由△BAE 绕点A 逆时针旋转90°得到．△AB ＝4，BE ＝3，△CE ＝1，CD ＝4． 221417,DE延长AB 至N ，使AN =AB ，连接NG ，延长HA 至Q ，使AQ =AH ，连接NQ ，同理：由（1）中△可知12AH DE =，△12AH DE ==． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，作出合适的辅助线，构建全等三角形与平行四边形是解本题的关键．。
人教版九年级数学上册：第二十三章 旋转 复习题(含答案)
人教版九年级数学上册：第二十三章 旋转 复习题（含答案）班级：_____________姓名：__________________组号：_________ 一、知识梳理 （一）旋转图形绕着某一定点转动一定的角度。
旋转的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向。
旋转改变图形位置不改变大小、形状。
旋转的基本性质：答：1）旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的性质。
也就是旋转前后图形全等 2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角。
练习：1．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADE 经顺时针旋转后与△ABF 重合。
（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）连结EF ，△AEF 是怎样的三角形？2．右图至少旋转 后能与自身重合？（二）中心对称图形中心对称图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合。
中心叫做对称中心。
把一个图形绕着某一点旋转180°，能够和另一个图形重合，就说这两个图形成中心对称。
成中心对称两图形具有的性质： ①中心对称的两个图形是全等图形；②中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心，而且被对称中心平分。
（三）关于原点对称的点：点P （x ，y ）关于原点对称点P′的坐标为（-x,-y ）。
练习：3．如图，与点A 关于原点对称的点的坐标是 。
4．下列哪个函数的图象关于原点对称？（ ）A ．y=x2B ．y= x 1C ．y=2xD ．y=x+15．若点M （x+1，y-1）关于原点对称的点为P′(3，-6)，则x-y= 。
（四）相关作图练习：6．画出三角形ABC绕顶点C逆时针旋转90°后的三角形。
7．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称。
二、综合运用1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值。
人教版中考数学一轮复习《旋转》同步练习（含答案）
中考数学一轮复习旋转一、选择题1.下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )3.将正六边形绕其对称中心旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 ( )A．120°B．60°C．45°D．30°4.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）5.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，它绕着圆心O旋转多少度后和自身重合？甲、乙、丙、丁四位同学的回答分别是45°，60°90°，135°，以上四位同学的回答错误的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6.已知点A（m,1）与点B（5,n）关于原点对称,则m和n的值为（）A．m=5，n=﹣1 B．m=﹣5，n=1 C．m=﹣1，n=﹣5 D．m=﹣5，n=﹣17.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,将△ABC绕点 A逆时针旋转75°,得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D,若AC=6,则AD的长为（）A．2 B．3 C．2D．38.如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为（）A．(-，-1) B．(-2，0)C.(-1，-)或(﹣2，0) D．(-，-1)或(-2，0)9.如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连结AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，点E落在DC上的点F处，AF的延长线交BC延长线于点G．若AB=3，AE=，则CG的长是（）A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．210.如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．110°D．120°11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C．D．π如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．πC．πD．π﹣2二、填空题13.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△MN1P1．则其旋转中心一定是1__________．14.已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则a= ，b= ．15.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 .16.先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如图1)，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图2)，若AB＝4，BC＝3，则图1和图2中点B点的坐标为点C的坐标为 .将七个边长都为1的正方形如图所示摆放，点A1、A2、A3、A4、A5、A6分别是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是．18.如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为．三、解答题19.如图，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐标平面上三点．（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．20.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M，D在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．21.如图,点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是；（2）若把点Q向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′恰好落在第三象限，求m的取值范围．22.如图，已知A．B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．23.直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？24.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, ÐAOB=ÐCOD =90°．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE的面积等于．请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于．参考答案1.D.2.B.3.B.4.B5.B6.D.7.D8.C．9.A10.C11.B12.C13.答案为：点B14.答案为；﹣2，﹣1．15.答案为：②16.答案为：B（4，0）、（2，2）、C（4，3）、（，）17.答案为：1.5；18.答案为：（36，0）．19.解：（1）△AB1C1如图所示；1（2）点B2的坐标为（2，﹣1），由图可知，点B2到B1与A1C1的中点的距离分别为2，3.5，所以h的取值范围为2＜h＜3.5．20.解：BK与DM的关系是互相垂直且相等．∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形，∴AB=AD，AK=AM，∠BAK=90°﹣∠DAK，∠DAM=90°﹣∠DAK，∴∠BAK=∠DAM，∴△ABK≌△ADM（SAS）．把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合，∴BK=DM且BK⊥DM．21.解：（1）点Q的坐标为（﹣3，4）；故答案为（﹣3，4）；（2）把点Q（﹣3，4）向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后,得到的点Q′的坐标为(﹣3+m，4﹣2m),而Q′在第三象限,所以-3+m<0,4-2m<0,解得2＜m＜3,即m范围为2＜m＜3．22.解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3﹣x．∴，解得1＜x＜2．（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，无解．②若AB为斜边，则x2=（3﹣x）2+1，解得，满足1＜x＜2．③若BC为斜边，则（3﹣x）2=1+x2，解得，满足1＜x＜2．∴或．23.解：24.解：△BCE的面积等于 2 .（1）如图：以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是△EGM .（2）以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 3 ．。
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中考数学复习专项强化练习：旋转（人教版）一、选择题（本大题共10道小题）1. (2022·湖北黄石)如图,△OAB中,∠AOB=60°,OA=4,点B的坐标为(6,0),将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD,当点O的对应点C落在OB上时,点D的坐标为( )。
A. (7,33)B. (7,5)C. (53,5)D. (53,33)2. (2022·湖北黄石)如图,Rt△OAB的斜边OA在y轴上,∠AOB＝30°,OB将Rt△AOB绕原点顺时针旋转90°,则A的对应点A1的坐标为( )。
A. (1,3)B. (﹣1,3)C. (2,0)D. (﹣2,0)3. (2022·湖北黄石)如图,正方形OABC将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为( )。
D. (0,2)4. (2022•青岛)如图,将△ABC先向上平移1个单位,再绕点P按逆时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点A的对应点A′的坐标是()。
A. (0,4)B. (2,﹣2)C. (3,﹣2)D. (﹣1,4)5. (2022•天津)如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是()。
A. AC＝DEB. BC＝EFC. ∠AEF＝∠DD. AB⊥DF6. (2021·湖北黄石)如图,△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,其中A点的坐标是(-1,0),现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90o,则旋转后点C的坐标是( )。
A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,2)D. (-3,2)7. (2022•菏泽)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转角α,得到△ADE,若点E恰好在CB的延长线上,则∠BED等于()。
A. B. α C. α D. 180°﹣α8. (2022年浙江嘉兴)如图,正三角形ABC的边长为3,将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C',则它们重叠部分的面积是()。
A. 2B.C.D.9. (2021•福建模拟)已知△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形.将AB绕点A逆时针旋转90°,点B的对应点为B',连接BB'、CB'、AB与CB'交于点D.则经过C、A、B'三点的圆的圆心在以下哪个区域()。
A. ①B. ②C. ③D. 以上都错10. (2022•枣庄)如图,平面直角坐标系中,点B在第一象限,点A在x轴的正半轴上,∠AOB ＝∠B＝30°,OA＝2.将△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点B'的坐标是()。
A. (,3)B. (﹣3,)C. (,2)D. (﹣1,2)二、填空题（本大题共8道小题）11. (2021·湖北鄂州)如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(-1,0),点A的坐标为(-3,3),将点A绕点C顺时针旋转90o得到点B,则点B的坐标为_____________。
12. (2022•泰安)如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中,每个小正方形的边长均为1，点A、B、C的坐标分别为A(0,3)、B(﹣1,1)、C(3,1)。
△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M,则点M的坐标为。
13. (2021·河北唐山)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转ɑ(0°＜ɑ＜360°),得到矩形AEFG.当GC=GB时,下列针对ɑ值的说法正确的是( )。
A. 60°或300°B. 60°或330°C. 30°D. 60°14. (2021·河北唐山)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为( )。
A. 130°B. 150°C. 160°D. 170°15. (2022年浙江丽水)图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为AC,BD(点A与点B重合),点O是夹子转轴位置,OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点F,OE＝OF ＝1cm,AC＝BD＝6cm,CE＝DF,CE:AE＝2:3.按图示方式用手指按夹子,夹子两边绕点O转动。
(1) 当E,F两点的距离最大时,以点A,B,C,D为顶点的四边形的周长是cm；(2) 当夹子的开口最大(即点C与点D重合)时,A,B两点的距离为cm。
16. (2021•沙坪坝区校级开学)如图1,一副直角三角板△ABC和△DEF,∠BAC＝∠EDF ＝90°,∠B＝45°,∠F＝30°,点B、D、C、F在同一直线上,点A在DE上.如图2,△ABC固定不动,将△EDF绕点D逆时针旋转α(0°＜α＜135°)得△E′DF',当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时,α的大小为。
17. (2022·河北廊坊)如图,将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转得到△AB’C’,连接并延长BB’、C’C相交于点P,其中∠ABC=30o,BC=6 。
(1) 若记B’C’中点为点D,连接PD,则PD=_________;(2) 若记点P到直线AC’的距离为d,则d的最大值为_________。
18. (2021•芜湖模拟)如图1,含30°和45°角的两块直角三角板ABC和DEF叠合在一起,边BC与EF重合,BC＝EF＝12cm。
(1) 阴影部分的周长为cm(结果保留根号);(2) 如图2,点P为边EF(BC)的中点,现将直角三角板ABC绕点P按逆时针方向旋转角度α,设边AB与EF相交于点Q,则在0°≤α≤90°的变化过程中,点Q移动的路径长度为cm(结果保留根号)。
三、解答题（本大题共5道小题）19. (2022•绥化)如图,在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,点B,点O 均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)。
(1) 作点A关于点O的对称点A1;(2) 连接A1B,将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1,画出旋转后的线段A1B1;(3) 连接AB1,求出四边形ABA1B1的面积。
20. (2021•碑林区)在菱形ABCD中,∠BAD＝120°,E是对角线BD上的一点,连接AE。
(1) 当E在AB的中垂线上时,把射线EA绕点E顺时针旋转9090°后交CD于F,连接BF.如图①,若AB＝4,求EF的长;(2) 在(1)的条件下,连接BF,把△BEF绕点B顺时针旋转得到△BHK,如图②,连接CH,点N为CH的中点,连接AN,求AN的最大值。
21. (2022·河北唐山)问题情境:在数学课上,老师给出了这样一道题：如图1,在△ABC中,AB＝AC＝6,∠BAC＝30°,求BC的长。
探究发现:(1) 如图2,勤奋小组经过思考后发现:把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,连接BD,BE,利用直角三角形的性质可求BC的长,其解法如下:过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H,则BC=DE=DH-HE.△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,AB＝AC＝6,∠BAC＝30°,∴……请你根据勤奋小组的思路,完成求解过程。
拓展延伸:(2) 如图3,缜密小组的同学在勤奋小组的启发下,把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE,连接BD,CE交于点F,交AB于点G,请你判断四边形ADFC的形状并证明;(3) 奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转,在旋转过程中,连接AF,发现AF的长度不断变化,直接写出AF的最大值和最小值。
22. (2022·湖北宜昌)(1)如图1,O是等边△ABC内一点,连接OA、OB、OC,且OA＝3,BO ＝4,OC＝5,将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD,连接OD。
①求旋转角的度数;②求线段OD的长;③求∠BDC的度数。
(2) 如图2,点O是正方形ABCD内一点,连接OA、OB、OC,将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCP,连接OP.当OA、OB、OC满足什么条件时,△OCP为直角三角形？23. (2022·湖北十堰)如图1，在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90o。
点E、F分别为AB、AC的中点，H为线段EF上一动点(不与点E,F重合)，将线段AH绕点A逆时针方向旋转90o得到AG，连接GC、HB。
(1) 证明：△AHB≌△AGC;(2) 如图2，连接GF，HC，AF交AF于点Q 。
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG=90o;②若AB=AC=4，当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？。