高中数学 向量法搞定立体几何论文
高中数学-向量法搞定立体几何论文
向量法搞定立体几何一、基础知识111222222111121212121212(,,),(,,),(1)(2)(0)cos a x y z b x y z x y z a b a b x y z a b a b x x y y z z a b a b x x y y z z λθ⇒==⊥⇒⋅⇒++=⋅==++1.设：或（=）(3)一般情况：2..法向量的求法法向量指的是垂直于面的向量。
在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。
求法向量的步骤：（1） 设此面的法向量为n （x ，y ，z ）（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：AB （x 1，y 1，z 1）, BC （x 2，y 2，z 2）） 则有：11122200n AB x x y y z z n BC x x y y z z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。
特殊情况：在此情况下（如图1所示），法向量可以直接设出来，而不用上述的方法求解。
（1）面OAC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于x法向量为（x ，0，0），其中x 可以随便赋值。
（2）面OAB 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y 法向量为（0，y ，0），其中y 可以随便赋值。
（3）面OBC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y 轴，所以可以直接设法向量为（0，0，z ），其中z 可以随便赋值 （图1）例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC ，OB 垂直OC ，且OA=OB=OC=1，如图1所示，求面ABC 的法向量？解：设ABC 的法向量为(,,)n x y z ， A （0，0，1），B （1，0，0），C （0，1，0） 则：(1,0,1)AB - ，(1,1,0)BC -x1112220n AB x x y y z z x z n BC x x y y z z x y ⎧⋅=++=-=⎪⎨⋅=++=-+=⎪⎩ 解得：x=z ；y=x ； 令x=1，则有y=z=1；则（1，1，1）为面ABC 得法向量。
例谈用向量法解立体几何问题
2010年第1期利用平面的法向量几乎可以解决所有的立体几何计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，本文对其进行归纳、分析.一、利用向量求二面角的大小1.原理：如下图，设n ，m 分别是平面β，α的法向量，则向量n 和m 的夹角与二面角α-l -β的平面角相等或互补.2.结论：构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角.注意：（1）用向量法处理二面角的问题时，将传统二面角问题时的三步曲：“找———证———求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的，更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神.（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如例（2）中若令a 1=-1，则n 2=（-1，-1，-2），∴cos ＜n 1，n 2＞=-6姨6，cos ＜n 1，n 2＞=-6姨6，∴二面角A —A 1D ———Q 的大小是＜n 1，n 2＞=π-arccos 6姨6的补角arccos 6姨6.所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时，通过判断法向量的方向来求解二面角.只要我们判断两个法向量的方向是“一进一出”，那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲.二、利用向量求线面角的大小1.原理，如图，在斜线上取一方向向量a ，并求出平面α的一个法向量n ，则由sin θ=a ·na ·n确定的角θ即是斜线和平面所成的角（θ∈（0，π））.2.结论：斜线和平面所成的角与斜线的方向向量和已∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈例谈用向量法解立体几何问题张洋生（武威第十五中学甘肃武威733000）间存在__________关系.③P 、Q 、R 为正六边形时，△ABC 的三边的长度之间存在____________关系.④P 、Q 、R 为以其边长为直径的半圆时.△ABC 的三边的长度之间存在____________关系.让学生能够大胆地猜测，当P 、Q 、R 为________形时，以上结论仍然成立.同时，让他们讨论P 、Q 、R 是否是相似图形.同学经过讨论得出是任意正多边形，后来还是细心的同学用实际操作提出自己的观点：高和底边相等的任意三角形，不必是正三角形……，后来到相似形的教学时我又提到此题，同学们又告诉我新的答案是P 、Q 、R 是相似形.子云：不愤不启，不悱不发.针对不同的群体开展几何图形设计大赛、数学笑话晚会、逻辑推理演说等等，展开想象的翅膀，发挥它们不同的特长，在活动中充分展示自我，找到生活与数学的结合点，感受自己胜利的心情，体会数学给他们带来的成功和快乐，培养创新的兴趣.5.合情推理也是“启发式”（heuristic ）教学中的一个推理模式.数学研究表明，合情推理不仅可用来为猜想提供依据，很多时候他对问题解决活动能起到一定的指导和启发作用.例如，在△ABC 中，AC =b ，BC =a ，则△ABC 的外接圆半径r =a 2+b 2姨；那么我们可以想象在三维空间里，四面体S -ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA =a 、SB =b 、SC =c ，四面体S -ABC 的外接球半径可能是a 2+b 2+c 2姨2或a 2+b 2+c 2姨3（当然，我们知道前者是正确的）.总之，合情推理提供了一条科学地探索未来世界的方法.在数学的发展史中，没有猜想，就没有数学的发展.而合情推理给予数学猜想以方法论的指导，“猜想是大胆的，但必须通人性.在猜想、发现中，结论是第一位的，只有这样就有东西可证明”.（责任编辑：科言）学科探究·中学教学52--2010年第1期知平面的法向量夹角互余或与夹角的补角互余.注意：用向量法处理线面角的问题时应考虑斜线的方向向量和已知平面的法向量的夹角的方向.三、利用向量求异面直线所成的角的大小1.原理：在异面直线a 、b 上分别取AQ Q B ，C Q Q D ；用一组基向量表示A Q Q B ，C Q Q D ；或者建立空间直角坐标系用坐标表示A Q QB ，C Q QD ；由公式cos θ=A Q QB ·C Q Q DA Q QB ·C Q Q D确定异面直线a 与b 所成角θ的大小（θ∈（0，π］）.2.结论：异面直线所成的角与夹角θ相等或互补.注意：当夹角的余弦值为正时异面直线所成的角等于向量的夹角；当夹角的余弦值为负时异面直线所成的角等于夹角的补角.四、利用向量求点到平面的距离的大小原理：如下图所示，B 是平面α内任一点，n 是平面α的任一法向量，则点A 到平面α的距离d =A Q Q B ·nn.注意：计算时应注意公式中绝对值的意义.五、应用举例例1.如图，正方体ABCD -A'B'C'D '的棱长等于2，E ，F 分别是棱B'D'，AC 的中点.求：（1）异面直线AE 和B'F 所成角的大小；（2）直线AB'和平面ACD'所成角的大小；（3）二面角B'-CD'-A 的大小；（4）点B 到平面ACD'的距离.解：如图建立空间直角坐标O -xyz ，∵正方体的棱长等于2，E ，F 分别是棱B'D'，AC 的中点，∴A （2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），D'（0，0，2），B'（2，2，2），E （1，1，2），F （1，1，0）.（1）A Q Q E =（-1，1，2），B'Q Q F =（-1，-1，-2）.设异面直线AE 和B'F 所成角的大小为θ，则cos θ=A Q Q E ·B'Q Q F A Q Q E ·B'Q Q F=（-1，1，2）·（-1，-1，-2）6姨6姨=23，∴异面直线AE 和B'F 所成角θ=arccos 23；（2）AD Q Q '=（-2，0，2），A Q Q C =（-2，2，0），AB Q Q '=（0，2，2），设n =（x'，y'，z '）是平面ACD'的一个法向量，则由n·AD Q Q '=0n ·A Q Q C =，圯（x'，y'，z '）·（-2，0，2）=0（x'，y'，z '）·（-2，2，0）=，0圯z '=x'y '=x ，'，取x '=1，得平面ACD'的一个法向量n =（1，1，1），设直线AB'和平面ACD'所成角的大小为θ，则sin θ=n·AB Q Q 'n ·AB Q Q '=（1，1，1）·（0，2，2）3姨·8姨=6姨3，∴直线AB '和平面ACD '所成角θ=arcsin 6姨3；（3）D'B Q Q '=（2，2，0），D'Q Q C =（0，2，-2），设m =（x 0，y 0，z 0）平面B'CD'的一个法向量，则由m·D'B Q Q '=0m·D'Q Q C =，0得x 0=-y 0z 0=y 0，，取y 0=1得平面B'CD'的一个法向量m =（-1，1，1）.由cos θ=n ·m n ·m =（1，1，1）·（-1，1，1）3姨·3姨=13，故二面角B '-CD'-A 的大小为arccos 1；（4）∵BD Q Q '=（-2，-2，2），平面ACD '的一个法向量n =（1，1，1），∴点B 到平面ACD'的距离d =BD Q Q ’·n'n=2.例2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC =4，AA 1=2，点Q 是BC 的中点，求此时二面角A-A 1D-Q 的大小.解：如图2，建立空间直角坐标系.依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）.∴Q （2，2，0），D （0，4，0），∴A1Q Q Q =（2，2，-2），Q Q Q D =（-2，2，0）.面AA 1D 的法向量n 1=（1，0，0）.设面A 1DQ 的法向量n 2=（a 1，a 2，a 3），则n 2·A 1Q Q Q =2a 1+2a 2-2a 3=0，n 2·Q Q QD =-2a 1+2a 2=0，，圯a 2=a1，a 3=2a1，，∴n 2=（a 1，a 2，2a 1）.令a 1=1，则n 2=（1，1，2），∴cos ＜n 1，n 2＞=n 1·n 2n 1n 2=11·6姨=6姨6.∵二面角的平面角为锐角.∴二面角A-A 1D-Q 的大小为arccos 6姨6.总之，向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.所以，掌握了向量方法解决立体几何问题，不仅会降低学习的难度，而且增强了可操作性，为学生提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理.（责任编辑：科言）学科探究·中学教学A 1D 1C 1B 1O Q （A ）BCD 53--。
向量法两难选择论文
向量法的两难选择中图分类号：g623.5向量法在解决立体几何问题解决中起关键作用，如解决线线角、线面角、面面角的计算问题，但是向量法不一定比传统推理方法优越，有时会变得更复杂、难以运算与证明。
本文详细分析“该用不用，不该用却用”向量法的形成原因，并探究有效的教学策略去克服向量法解题的思维定势。
1. 问题的提出（l）如右图，在长方体abcd—中，己知ab=4，ad=3， =2，e、f分别是线段ab、bc上的点，且eb= fb = l（i）求二面角c—ed一的正切值.（ii）求直线直线e 与f（2）如图所示，在四面体p—abc中，已知pa=bc=6，pc=ab=，10，ac=8，pb=2 ，f是线段pb上一点， cf= ，点e在线ab上，且ef pb.（i）证明：；（i1）求二面角b - ce - f的大小，从上面两道高考题的解题难度来分析，前题难后题易，但考生得分却是前题高后题低。
为什么会出现这种反差现象呢？笔者认为：是否用向量法在解题中起关键性作用。
（1）题可从建立空间直角坐标系入手，采用向量法容易解决；（2）题的第一问不宜用向量法，可用传统立几推理方法，第二问却需要用法向量的概念解题。
许多学生纷纷提出疑问：在立几运算与证明申，如何选择传统方法和向量法？如何避免和克服”该用不用，不该用却用”的困难呢？2. 原因分折上述两道高考题不仅考察了考生关于立体几何问题的解决能力，同时也体现了考生在运用向量法解决立几问题的困境。
为什么会出现“向量法的两难选择”问题呢？究其原因，主要有以下两个：2.1 教师教学的急功近利无可否认，向量法的引入给师生们带来了许多解题惊喜。
特别对于一些较复杂的立几计算与证明题，过去采用传统几何方法都显得很吃力，而现在运用向量法则简捷利便，这就促成了教师的教学失策——“立体几何题，首先要考虑向量法，即要建立直角坐标系，这样解题才容易。
”事实上，向量法是一种很好的解题工具，但有时并不是唯一最简化的立几解题方法，并且有时会变得更复杂、难以运算，大大地降低了解题效率。
浅谈向量法求解立体几何
浅谈向量法求解立体几何摘要 空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。
合理的运用向量解决立体几何问题，很大程度上避开了思维的高度转换，避免了添加辅助线，代之以向量计算，是立体几何问题变的思路顺畅、运算简单。
关键词 垂直 角 距离引言 向量作为工具性知识已列入中学数学教材中，其价值意义已为我们所认同，事实上,向量的引入揭示了数学知识之间的纵横联系,进一步发展和完善了中学数学知识结构体系,拓宽了研究和解决数学问题的思维和通道。
求空间距离、角及证明空间平行、垂直关系是立体几何题盛行不衰的主题。
利用空间向量的模及向量在单位向量上的射影,可以解决有关距离问题。
利用向量法处理这些问题，具有很强的操作性与稳定性。
下面我们就利用向量法来求解立体几何中的有关问题。
一 利用空间坐标求法向量在求平面的法向量问题时，我们应先设出法向量的坐标，然后在平面内找两相交的向量，根据法向量同这两向量的乘积都为零这一性质，从而把法向量求出来。
例1 已知三点()3,3,2-A ,()2,5,4-B ,()0,8,6C 求与平面ABC 垂直的一个法向量的法单位向量。
解 假设是与平面ABC 垂直的某一个向量,设此向量为=()1,,y x ,则⊥且⊥，因为221=（，，），453=（，，），由⊥AB 及⊥，得0122=++y x及0354=++y x ,解得 21=x 1-=y , 故n =1,1,12-（）即为平面ABC 的一个法向量，=23，故所求一个法单位向量为0n =321,1,12-（）=122(,,)333-说明 为了求n 这个未知向量，按理应当设n =()z y x ''',,，但是因为相差一个常数因子并不影响其与平面ABC 的垂直性。
由=()z y x ''',,=z '(z x '',z y '',1) ,令 z x ''=x ,z y ''=y 于是可设=()1,,y x ，同理也可设=()z y ,,1或()z x ,1, ，这样做可以减少一个待定的未知数。
向量方法在高中数学教学中的应用(原创论文)
向量方法在高中数学教学中的应用摘 要：向量作为一种既有大小又有方向的量，它既具有数的特性，又有形的特性,因而它成为连结数和形的有力纽带。
根据向量的数形特性,作者尝试将几何图形数量化,并通过运算来解决立体几何中的平行、垂直、求距离、求角度等问题；尝试利用向量方法来解决代数中的不等式证明、等式证明、求函数最值、求变量取值范围等问题,这种尝试为作者的高中数学教学活动注入了新活力。
关键词：向量方法、几何、数形结合一、向量方法在几何中的应用在目前的中学数学立体几何教学中，传统的综合方法仍占主导地位，绝大多数学生仍用着这种方法处理立体几何问题，实际上利用向量的方法处理立体几何的空间问题比传统的综合方法有着明显的优势，特别是垂直的证明，角度与长度的计算问题，可以避免构图和推理的复杂过程，减少了解题琐碎的技巧，降低了题目的难度。
（一）利用向量证明平行问题1.设 a 、b 为两条不重合的直线，a 、b 分别为直线a 、b 的一个方向向量，那么 a ∥ b ⇔ a ∥b 根据实数与向量的积的定义a ∥b ⇔a =k b （k ∈R ，k ≠ 0）例1 已知直线 L 1: 0153=+-y x ， L 2: 05106=+-y x , L 1 与 L 2 不重合证明：L 1∥L 2 。
证明：∵L 1:0153=+-y x ， L 2: 05106=+-y x ∴ L 1 的方向向量1V =（5，3） L 2 的方向向量2V =（10，6） ∴ 1V =22V∴ L 1∥L 2 。
2.平面与平面平行可转化为两个平面法向量的平行例2 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明:面 ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1。
证明：如图1所示： ∵ 长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1∴ 1AA 为面 A 1B 1C 1D 1的一个法向量D∵ 1BB ⊥面 ABCD∴ 1BB 是面 ABCD 的一个法向量，又因为1AA ∥1BB ∴ 面 ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1。
浅谈向量法在立体几何中的应用
浅谈向量法在立体几何中的应用摘要：关键词：向量 空间角 空间距离 平行与垂直纵观近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。
在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,有着它独有的优势 −− 不用作图而直接计算。
下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题和平行与垂直的问题谈谈自己的看法。
一、用向量法处理空间角问题一）用向量求两条异面直线所成的角求异面直线n m ,所成的角，我们只需要分别在直线n m ,上取定方向向量,,b a则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a,所成的角或其补角（如图1所示），即=><=,cos cos θ。
【例题】如图2，底面ABCD 为直角梯形，90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点。
求异面直线BD 与PA 所成角的大小解：如图3建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0A P D B得()()2,2,0,0,1,2-==，设异面直线BD 与PA 所成角的大小为θ，则BCD PA图2，1010852,cos cos =⨯==><=θ1010arccos =∴θ，即异面直线BD 与PA 所成角的大小为1010arccos。
利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。
题中通过><,cos 值，求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π，故加绝对值，便可直接求得所要求的角。
二）用向量求直线与平面所成的角如图4，求直线L 和平面α所成的角，只需在L上取定，是平面α的法向量，再求|||CP |cos n ⋅=θ，则2πβθ=-为所求的角.【例题】如图5，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点，求直线CP 与面ADP 所成角的大小； 解：如图6，建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()2,0,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0P D C A ， 故()2,0,2-=()()2,1,2,2,2,0--=-= 设面ADP 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则有⎩⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02202200z y x z y 令1=y 得1=z ，21=x ，即⎪⎭⎫⎝⎛=1,1,211n ， 设直线CP 与B CD PA图5面ADP 所成角的大小为θ，故622381,cos sin 1=⨯==><=n CP θ，62arcsin=∴θ 即直线CP 与面ADP 所成角的大小为62arcsin。
数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。
高中数学教学论文空间向量解立体几何
“桥”飞架，天堑变通途向量的引入为数形结合思想注入了新鲜血液，为其开辟了更为广阔的天地。
特别是将空间向量知识应用在立体几何题目中，更是一改立体几何题目以前单一的传统几何法,给我们以耳目一新的感觉.下面通过一个题的不同问题，领会空间向量中”直线的方向向量”和”平面的法向量”在解立体几何题目中的独到应用。
例题 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，AD=6，AA 1=4，M 是 A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且CP=2，Q 是DD 1的中点。
y x一 求点线距离问题1：求点M 到直线PQ 的距离。
分析：本题属于立体几何中求点与线距离类型，若用传统几何法需过点M 引直线PQ 的垂线，在图中寻找垂线不是件容易事情，而用向量法就可使问题得以解决。
解：如图，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系。
得P （0，4，0），Q （4，6，2），M （2，3，4）∴=（-2，-3，2） =（-4，-2，-2）又点M 到直线PQ 的距离d=|QM |sin<QM ,Qp >而cos<,||||QP QM 241710=1021025 ∴sin<,>=10277, ∴d=1710277=6462 小结：本例充分体现了利用直线QP 的一个方向向量、M 到直线QP 的距离及斜线段QM 所构成的直角三角形，借助于向量与的夹角公式使问题得以解决，而不必将点线之间的距离作出,请读者加以体会。
二 求点面距离问题2 ：求点M 到平面AB 1P 的距离。
分析：采用几何法做出点面距，然后来求距离的传统法，很难求解，但若借助于平面的法向量即易解决。
解：建系同上。
A(4,0,0) =(-2,3,4) =(-4,4,0) 1AB =(-4,0,4) 设n =(x,y,z)是平面AB 1P 的一个法向量,则n ⊥1AB ,n ⊥∴⎩⎨⎧=+-=+-044044y x z x , ∴可取=(1,1,1)∴点M 到平面AB 1P 的距离n 35=335. 小结:点面距离的向量求法为:设n 是平面的一个法向量,AB 是平面的一条斜线, 则点B 到平面的距离为n 三 求线面夹角问题3:求直线AM 与平面AB 1P 所成的角.解: 建系同上。
向量解法在立体几何问题中的运用范文
立体几何问题的向量解法一、空间直角坐标系相关知识1．空间直角坐标系设i ，j ，k 是共起点O 的三个两两垂直的单位向量，分别以i ，j ，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系xyz O -，点O 叫做原点，x 轴叫做横轴，y 轴叫做纵轴， z 轴叫做竖轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称 为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面．对于空间任一点A ， 对应一个向量OA ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使k z j y i x OA++=．把实数组),,(z y x 叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作),,(z y x A ，其中x 叫做点A 的横坐标,y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．2．向量的坐标运算（1）设),,(321a a a a =，),,(321b b b b = ，则),,(332211b a b a b a b a +++=+ ；),,(332211b a b a b a b a ---=-； ),,(321a a a a λλλλ= （R ∈λ）；332211b a b a b a b a ++=⋅； 332211,,//b a b a b a b a b a λλλλ===⇔=⇔（R ∈λ）； 00332211=++⇔=⋅⇔⊥b a b a b a b a b a．（2）设点),,(111z y x A ，),,(222z y x B ，则),,(121212z z y y x x ---=，即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．（3）设点),,(111z y x A ，),,(222z y x B ，点M 为线段AB 的中点，则点M 的坐标为)2,2,2(212121z z y y x x M +++．3．平面的法向量及法向量的求法（1）平面法向量的定义如果向量a 与平面α垂直，则向量a 叫做平面α的法向量．向量a 垂直于平面α，记作α⊥a． （2）平面法向量的求法法1：如图，设),,(z y x n =是平面α的一个法向量，),,(321a a a a =，),,(321b b b b = 是平面α内不共线的两个向量，则由⎩⎨⎧=++=++⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅⇒⎩⎨⎧⊥⊥⇒⊥0000321321z b y b x b z a y a x a b n a n b n a n nα ①,z)在方程组①中可取a x =（也可取a y =，或a z =），即可把y 和z 解出，从而求得平面α的一个法向量),,(z y a n =．二、空间向量在立体几何中运用1、平行与垂直【结论1】设A 、B 是直线m 上的点，C 、D 是直线n 上的点，则有：① m ∥n ⇔∥（AB 、CD 不重合）； ② m ⊥n ⇔•=0.利用这一结论还可以进一步解决直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面平行以及平面与平面垂直等问题。
向量法在高中数学中的应用_毕业设计(论文)
向量法在高中数学中的应用the application of vector method in high school mathematics摘要向量是高中数学的一个重要的知识点，运用于方方面面，主要运用在圆锥曲线与立体几何两方面。
由于联系到许多其他知识点，向量掌握的好与坏，直接影响学生的高中数学学习质量。
近几年的高考趋势表明，向量在高中扮演的角色越来越重要。
Vector Method is a significant and widely-used knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students’mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of College Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics.关键词：向量；平面几何；立体几何；代数Keyword：Vector；planimetry；stereometry；algebra目录引言 (4)1、平面几何 (6)1.1、利用向量解决基础平面图形问题 (6)1.2、利用向量求解圆锥曲线问题 (7)2、立体几何 (9)2.1、利用向量解决平行问题 (9)2.2、利用向量解决垂直问题 (10)2.3、利用向量来求空间角问题 (11)2.4、空间距离 (13)2.4.1、两点距离 (13)2.4.2、点到直线距离 (13)2.4.3、点到平面距离 (14)2.4.4、异面直线距离 (14)3、代数 (15)3.1、不等式问题 (15)3.2、求最值问题 (16)3.3、三角函数中的应用 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (18)引 言向量是高中数学的重要内容，也是数学的重要概念之一，由于它既有几何的表示方法又有代数表示方法，与中学数学的许多主干知识交汇。
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向量法搞定立体几何一、基础知识111222222111121212121212(,,),(,,),(1)(2)(0)cos a x y z b x y z x y z a b a b x y z a b a b x x y y z z a b a b x x y y z z λθ⇒==⊥⇒⋅⇒++=⋅==++1.设：或（=）(3)一般情况：2..法向量的求法法向量指的是垂直于面的向量。
在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。
求法向量的步骤：（1） 设此面的法向量为n （x ，y ，z ）（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：AB （x 1，y 1，z 1）, BC （x 2，y 2，z 2））则有：11122200n AB x x y y z z n BC x x y y z z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。
特殊情况：在此情况下（如图1所示），法向量可以直接设出来，而不用上述的方法求解。
（1）面OAC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于x法向量为（x ，0，0），其中x 可以随便赋值。
（2）面OAB 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y 法向量为（0，y ，0），其中y 可以随便赋值。
（3）面OBC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y 轴，所以可以直接设法向量为（0，0，z ），其中z 可以随便赋值 （图1）例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC ，OB 垂直OC ，且OA=OB=OC=1，如图1所示，求面ABC 的法向量？解：设ABC 的法向量为(,,)n x y z ， A （0，0，1），B （1，0，0），C （0，1，0） 则：(1,0,1)AB - ，(1,1,0)BC -x1112220n AB x x y y z z x z n BC x x y y z z x y ⎧⋅=++=-=⎪⎨⋅=++=-+=⎪⎩ 解得：x=z ；y=x ； 令x=1，则有y=z=1；则（1，1，1）为面ABC 得法向量。
二、学会建立坐标系1. 对于立方体、长方体、正四棱柱可以直接建立（在此不再强调）。
2. 对于不可以直接建立的立体图，要尽量建立较好求的坐标系常用方法：找中点（一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形，往往找到底边的中点，顶点与中点相连，此线便垂直于底边了，把此线作为其中的一轴） 比如例二：2006年全国二卷第（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点. （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1=AC =,2AB 求二面角A 1－AD －C 1的大小.（此图为建立完坐标系的图形） 一般的步骤：1.找到垂直于底面的一条线，作为Z 轴2.在底面上找两条相互垂直的直线，分别作为X 轴和Y 轴三、用向量法求解 1.点与点的距离111222(,,),(,,),A x y zB x y z AB =2.点到直线的距离（1）已知直线的方程 y=kx+b,那么点（x 0，y 0）到此直线的距离为：d =（2）用面积法求解（原理：面积相等） 图解：求A 到BC 的距离1122AC BE BC AD ⨯⨯=⨯⨯ABCDEAC BEAD BC⨯=3.点到面的距离（1）用体积法求解（原理：体积相等。
适用于体积和面积比较好求的立体）如前面的例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC ，OB 垂直OC ，且 OA=OB=OC=1，如图所示，求点O 到面ABC 的距离？解：根据体积相等，设点O 到面ABC 的距离为d ，AD 为BC 边的高： 则有11331122ABC ABC OA OB OC S d S BC AD d ⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯====得：（2）用向量法求解如图：求P 到面ABCD 的距离，设面ABCD 的法向量为，O 为P 在面上的投影点，OP 即为P 到面ABCD 的距离。
A.n 的方向向上时O 为点P 在面ABCD 上的投影点，故OP 便是点P 到面ABCD 的距离，则cos cos AP n AP n AP OP AP n OP nθθ⋅==⋅=通过图我们可以看出则 B. n 的方向向下时O 为点P 在面ABCD 上的投影点，故OP 便 是点P 到面ABCD 的距离，则cos cos AP n AP n AP OP AP n AP n OP nnθθθ⋅==⋅⋅=-=通过图我们可以明显看出，为钝角所以-则nnθx综上述两种情况，我们可以得出：在求点到面的距离时，先在面内任意找到一点与此点构成向量（如上面A 与P 构成向量），则不论n 的方向如何，其点到面的距离为：AP n d n⋅=4.线与线的夹角因为线与线的夹角在[0°，90°]，所以其余弦值必为正值cos cos AB BC AB BC AB BC AB BCθθ⋅=⋅=则：可通过调整其中的一个向量的方向来使的其算的值为负值。
AB BC AB BC⋅）5.线与面的夹角因为线与面的夹角在（0°，90°]，所以其的正余弦值必为正值 A.n 法向量向上时cos cos AP n AP n AP n AP nθθ⋅=⋅=则：∵α(所求的角)+θ=90° ∴sin α=cos θ B.n 法向量向下时cos cos AP n AP n AP n AP nθθ⋅=⋅=则：∵θ=α(所求的角)+ 90°∴sin α=sin （θ-90°）=-cos θ>06.面与面的夹角这种题是唯一需要确定法向量发现的，老师们可能让大家用观察法来判断此二面角的角度范围（即为锐角还是钝角），但往往有时是判断不对的，现通过定法向量方向来确定二面角。
请观察下面两个图：nθn为了计算时不繁琐，在规定法向量方向的时候，比较想让两个法向量的夹角直接等于所求的二面角，由上面四个图我们可以看到当两个法向量都从面上射出（或射入）时，其两向量所成的角与二面角互补，所以欲使两向量的夹角恰好为二面角，则应一进一出，关于是进还是出，由Z 的正负来确定（如果你设出的向量方向指向斜上方，那么Z 为正值；反之，如果设出的方向为斜下方，那么Z 为负值）。
需要注意面的正反面（所有的进出都是指的从正面进出），这是个难点，先通过下面图说明如何判断正反面。
反面就像海蚌一样，两个壳夹得角为二面角，其外壳为上述提到的反面，壳内部为正面（如上图所示）。
四.补充1．如果证明两面平行 那么证其法向量平行即可 2. 如果证明两面垂直 那么证其法向量垂直即可3. 如果证明线与面平行 那么证线与面得法向量垂直即可4. 如果证明线与面垂直 那么证线与面法向量平行即可 五.应用实例：现已2008年全国卷为例：如图，正四棱柱1111D C B A -ABCD 中，421==AB AA ,点E 在上且EC E C 31=. (Ⅰ)证明：⊥C A 1平面BED ; (Ⅱ)求二面角B -DE -A 1的大小.mnm n(Ⅰ)以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······················ 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DBDE D =，所以1AC ⊥平面DBE ． ··························· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．（解释：第一问已经证明⊥C A 1平面BED ，所以可以把1AC 作为平面DBE 的法向量，1AC 的Z 值是负值，可以看出1AC 是射入的，则面1A DE 的法向量应该是射出的，可以明显看出射出的法向量n 是向下延伸的，所以取Z 为负值）令2z =-，则1y =，4x =，(412)=-，，n ． ················· 9分1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42AC AC AC ==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为arccos42． ··············· 12分 希望对大家有所帮助，可以在别的题上试试！。