不等式的综合应用初二练习题
基本不等式的综合应用
基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
不等式练习题初二含答案
不等式练习题初二含答案1. 解下列不等式：a) 2x + 5 ≥ 9b) 3 - x < 10c) 4(x - 2) > 8d) 2(x + 3) ≤ 10解析：a) 2x + 5 ≥ 9首先，我们需要将不等式转化为x的形式。
移项得到2x ≥ 4，接着将系数2除到右侧得到x ≥ 2，即解为x大于等于2。
b) 3 - x < 10将式子转化为x的形式，得到-x < 7。
由于x的系数为-1，需要将不等号取反，即x > -7，解为x大于-7。
c) 4(x - 2) > 8进行分配律，得到4x - 8 > 8。
将常数项8移到右侧，得到4x > 16。
除以系数4以求解，得到x > 4，解为x大于4。
d) 2(x + 3) ≤ 10将分配律应用于左侧，得到2x + 6 ≤ 10。
将常数项6移到右侧，得到2x ≤ 4。
除以系数2以求解，得到x ≤ 2，解为x小于等于2。
2. 根据不等式绘制数轴，并确定不等式的解集。
a) x > -3b) -2 ≤ x < 5c) x ≥ -1d) x < 2 or x ≥ 7解析：a) x > -3在数轴上标记-3，并在-3的右侧表示不等式。
解集为开区间(-3, +∞)，即-3之后的所有实数。
b) -2 ≤ x < 5在数轴上标记-2和5，并在两个标记之间表示不等式。
解集为闭区间[-2, 5)，即从-2开始到5结束，包括-2但不包括5的所有实数。
c) x ≥ -1在数轴上标记-1，并在-1的右侧表示不等式。
解集为闭区间[-1, +∞)，即-1之后的所有实数。
d) x < 2 or x ≥ 7在数轴上标记2和7，并在这两个标记之外的区域表示不等式。
解集为两个开区间(-∞, 2)和[7, +∞)，即小于2或大于等于7的所有实数。
3. 根据给定的不等式，找到解集。
a) x + 3 > 6 and 2x - 4 < 8解析：首先，我们将两个不等式分析并解出x的范围，然后找到它们的交集。
初二数学上册不等式练习题
初二数学上册不等式练习题一、基础练习1. 解下列不等式，并将解表示在数轴上：a) 3x + 7 < 10b) 2 - 5x ≥ 12. 计算下列不等式组成的区间的并集，并用数轴表示出来：a) 1 < x ≤ 3b) -4 ≤ x < -13. 如果 x + 2 < x - 3，问该不等式是否有解，为什么？4. 解下列不等式，并将解表示在数轴上：a) |x - 4| < 2b) -3x + 5 > 2x + 15. 解下列关于 x 的不等式，并将解表示在数轴上：a) x(x - 2) > 0b) (x - 3)(x - 5) ≤ 0二、综合练习1. 解下列关于 x 的不等式组，并将解表示在数轴上：a) (x - 3)(x - 4) > 0b) (2x - 3)(x + 1) ≥ 0c) x(x - 2)(x + 1) ≤ 02. 某校初二年级共有 180 名学生，已知男生人数超过女生人数的40%，求男生人数的范围。
3. 某公司的年收入是 300 万元以上，假设每年收入增长不少于 10% ，求 n 年后的最小年收入。
4. 已知两个不等式：2x - 3 < y ≤ 5x + 1 和 3y + 2 > 4x + 5，解该不等式组。
三、应用题1. 小明买了一辆自行车，已知原价为 2000 元，商场正在搞促销活动，每天降价 10%，问过了多少天后，自行车价格降到 1000 元以下？2. 某公交车站至某大厦，全程约 20 公里。
已知 7:00 时公交车从车站发车，每分钟行驶速度为 3 公里，而 7:30 时某早班车从大厦出发，每分钟行驶速度为 4 公里。
问早班车何时追上公交车？3. 某航班 8:00 从 A 市起飞，前往 B 市，航程 800 公里。
同时，一列动车列车 8:05 从 B 市开往 A 市，时速为 180 公里/小时。
问几点钟两车相遇？4. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，假设出现的点数加起来是 x，已知甲的点数不能小于 3 ，乙的点数不能大于 9 。
初二不等式练习题及答案
初二不等式练习题及答案1. 解不等式2x - 5 < 7。
解：首先将等号左边的表达式变成0，得到2x - 5 - 7 < 0。
然后合并同类项：2x - 12 < 0。
通过对序号相反的两个数字应用不等式规则，得到x < 6。
2. 解不等式3(4 - x) > 5x + 12。
解：首先将括号内的表达式进行分配，得到12 - 3x > 5x + 12。
然后通过对等式两侧的同类项进行移项，得到-3x - 5x > 12 - 12。
合并同类项，得到-8x > 0。
由于8x为负数，所以需要将不等号翻转，得到x < 0。
3. 解不等式2(3x - 1) ≤ 4(x + 2) - 1 + 5x。
解：首先将括号内的表达式进行分配，得到6x - 2 ≤ 4x + 8 - 1 +5x。
合并同类项，得到6x - 2 ≤ 9x + 7。
然后将未知数移动到等号的一侧，得到6x - 9x ≤ 7 + 2。
合并同类项，得到-3x ≤ 9。
由于系数为负数，所以需要将不等号翻转，得到x ≥ -3。
4. 解不等式-2x + 5 > 4 - 3x。
解：首先将未知数移动到等号的一侧，得到-2x + 3x > 4 - 5。
合并同类项，得到x > -1。
5. 解不等式2x - 8 < x + 3。
解：首先将未知数移动到等号的一侧，得到2x - x < 3 + 8。
合并同类项，得到x < 11。
答案：1. x < 62. x < 03. x ≥ -34. x > -15. x < 11通过对初二不等式练习题的解答，我们可以进一步巩固和加深对不等式的理解和应用。
熟练掌握不等式的求解方法和规则，能够帮助我们在数学问题中更加灵活地运用和处理不等式关系，解决实际问题。
不等式练习题初二下册
不等式练习题初二下册解答如下：不等式练习题初二下册1. 解不等式a) 2x - 5 < 10解：首先，将不等式转化为等式，得到 2x - 5 = 10；然后，解这个等式，得到 x = 7.5；最后，确定解的范围，由于不等号是小于号，所以解集为(-∞，7.5)。
b) 3(y + 2) ≥ 9解：首先，将不等式进行展开，得到3y + 6 ≥ 9；然后，解这个简化后的方程，得到y ≥ 1；最后，确定解的范围，由于不等号是大于等于号，所以解集为[1, +∞)。
2. 求不等式的并集和交集a) 2x - 7 > 5 与 3 - x > 2解：首先，分别解这两个不等式得到 2x > 12 和 x < 1；然后，确定并集，取两个不等式解集的并集，得到 x > 12 或 x < 1；最后，确定交集，取两个不等式解集的交集，得到 x < 1。
b) 4 - x ≥ 2 或 x + 3 < 6解：首先，分别解这两个不等式得到 -x ≥ -2 和 x < 3；然后，确定并集，取两个不等式解集的并集，得到 -x ≥ -2 或 x < 3；最后，确定交集，取两个不等式解集的交集，得到 x < 3。
3. 图形表示不等式解集a) 绘制不等式x + y ≤ 5 的图形解：首先，绘制直线 x + y = 5；然后，确定不等式解集的位置，由于不等号是小于等于号，所以解集在直线以下与包括直线；最后，用阴影表示不等式解集。
b) 绘制不等式 2x - y > 3 的图形解：首先，绘制直线 2x - y = 3；然后，确定不等式解集的位置，由于不等号是大于号，所以解集在直线上方；最后，用阴影表示不等式解集。
4. 不等式的应用a) 解决实际问题：小明每小时可以跑步6公里以上。
如果小明跑步不少于4小时，他能跑多远？解：首先，设小明跑步的小时数为 x；然后，确定不等式表达式，得到6x ≥ 4；最后，解这个不等式，得到x ≥ 2/3；故小明跑步不少于4小时时，他能跑的距离至少为 4 * 6 = 24公里。
初二不等式练习题以及答案
初二不等式练习题以及答案1. 求下列不等式的解集并表示在数轴上：a) 3x + 5 > 2x - 1b) 2(x + 3) < 5 - 3x解：a) 将不等式中的x合并，得到：x > -6解集为 (-6, +∞)，在数轴上表示为从-6开始的开区间。
b) 将不等式中的x合并，得到：2x + 6 < 5 - 3x移动同项后得到：5x < -1解集为 x < -1/5，即 (-∞, -1/5)，在数轴上表示为从负无穷到-1/5的开区间。
2. 求下列不等式的解集并表示在数轴上：a) 4 - x > 2x + 1b) 3(x - 2) ≤ 6x + 1解：a) 将不等式中的x合并，得到：4 - x > 2x + 1移动同项后得到：3x < 3解集为 x < 1，即 (-∞, 1)，在数轴上表示为从负无穷到1的开区间。
b) 将不等式中的x合并，得到：3x - 6 ≤ 6x + 1移动同项后得到：-3x ≤ 7注意到不等号左边有一个系数-3，为了使不等号方向不变，我们需要将其乘以-1，但是注意此时不等号方向要颠倒，得到：3x ≥ -7解集为x ≥ -7/3，即 [-7/3, +∞)，在数轴上表示为从-7/3开始的闭区间。
3. 求下列不等式的解集并表示在数轴上：a) 2(x - 1) ≥ 3 - 5xb) 4x + 2 > 2(3 - x)解：a) 将不等式中的x合并，得到：2x - 2 ≥ 3 - 5x移动同项后得到：7x ≥ 5解集为x ≥ 5/7，即[5/7, +∞)，在数轴上表示为从5/7开始的闭区间。
b) 将不等式中的x合并，得到：4x + 2 > 6 - 2x移动同项后得到：6x > 4解集为 x > 2/3，即(2/3, +∞)，在数轴上表示为从2/3开始的开区间。
4. 解不等式 |2x - 1| < 5解：首先将绝对值不等式转化为两个不等式：-5 < 2x - 1 < 5解得 -4 < x < 3综合起来，解集为 -4 < x < 3。
初二不等式练习题附答案
初二不等式练习题附答案初二时代是学习数学的关键时期，不等式作为数学知识的重要一环，需要我们掌握和熟练运用。
为了帮助同学们更好地巩固不等式的知识，以下是一些初二不等式练习题及其答案，供大家参考和练习。
一、填空题1. 若 x + 3 > 7，求 x 的取值范围。
解答：x > 7 - 3，即 x > 4。
2. 若 2y - 5 < 13，求 y 的取值范围。
解答：2y < 13 + 5，即 2y < 18；又因为 2 > 0（正数），所以当 2y < 18 时，y 的取值范围为 y < 9。
3. 若 4x - 7 ≥ 5，求 x 的取值范围。
解答：4x ≥ 5 + 7，即4x ≥ 12；又因为 4 > 0，所以当4x ≥ 12 时，x的取值范围为x ≥ 3。
二、选择题1. 下列不等式中，与 x > 2 等价的不等式是：A) x < 2B) x ≥ 2C) x ≤ 2D) x ≠ 2解答：B) x ≥ 22. 若不等式 3 - 2x > 7 的解集为 S，下列解集中符合不等式的是：A) S = {x | x > 2}B) S = {x | x < -2}C) S = {x | x < 2}D) S = {x | x > -2}解答：B) S = {x | x < -2}三、简答题1. 解不等式 5x - 9 > 6 的过程。
解答：首先将不等式化简为 5x > 6 + 9，即 5x > 15。
然后除以 5（注意 5 > 0），得到 x > 15/5，即 x > 3。
所以解集为 {x | x > 3}。
2. 解不等式 -2y + 4 ≤ 8 的过程。
解答：首先将不等式化简为 -2y ≤ 8 - 4，即 -2y ≤ 4。
然后除以 -2（注意 -2 < 0），得到y ≥ 4 / -2，即y ≥ -2。
初二不等式练习题和答案
初二不等式练习题和答案一、填空题：1. 若x+3>8，则x的取值范围为________。
2. 若5y-2≤7，则y的取值范围为________。
3. 若2a+1<9，则a的取值范围为________。
二、判断题：1. 当x>3时，x-2>1。
2. 若y<4，则y-5<0。
3. 当x≥1时，2x-3≥1。
三、解不等式：1. 解不等式2x+1>9。
2. 解不等式3-4y≥7。
3. 解不等式x+5<8。
四、综合练习：解下列不等式并表示解集：1. 2x+3<9；2. 4y-2≥10；3. x+5>7。
答案解析：一、填空题：1. x的取值范围为 x>5。
2. y的取值范围为y≤3。
3. a的取值范围为 a<4。
二、判断题：1. 正确，当x>3时，x-2>1成立。
2. 错误，当y<4时，y-5不一定小于0。
3. 正确，当x≥1时，2x-3≥1成立。
三、解不等式：1. 2x+1>9，将不等式两边减去1得到2x>8，再除以2得到x>4，即x的解集为{x|x>4}。
2. 3-4y≥7，将不等式两边减去3得到-4y≥4，再除以-4时要注意改变不等号的方向，得到y≤-1，即y的解集为{y|y≤-1}。
3. x+5<8，将不等式两边减去5得到x<3，即x的解集为{x|x<3}。
四、综合练习：1. 2x+3<9，将不等式两边减去3得到2x<6，再除以2得到x<3，即x的解集为{x|x<3}。
2. 4y-2≥10，将不等式两边加上2得到4y≥12，再除以4得到y≥3，即y的解集为{y|y≥3}。
3. x+5>7，将不等式两边减去5得到x>2，即x的解集为{x|x>2}。
综上所述，初二不等式练习题及答案如上所示。
通过解题及判断不等式的正确性，我们可以更好地理解不等式的概念，并掌握解不等式的方法。
不等关系综合应用(习题及答案)
6. 已知 a，b 为实数，关于 x 的不等式组的解集在数轴上的表示
如图所示，则这个不等式组可能是（ ）
ax 1 A． bx 1
ax 1 B． bx 1
C．
ax bx
1 1
D．
ax bx
1 1
4
7. 若 a b 2 ，且 1 5a 3b ≤ 3a ，则 b 的取值范围是_____ _________________． 【思路分析】 ①方程与不等式组合，考虑___________________． ②根据目标“求 b 的取值范围”，把方程 a b 2 变形得， ___________________， 代入不等式组得，_________________， 解得，___________________．
2x a ≥ 0 4. 若关于 x 的不等式组 3 x 1 只有 2 个整数解，则 a 的取值
范围是___________．
【思路分析】
①解不等式组得，
____________ ____________
②确定大致范围
因为不等式组只有 2 个整数解，所以利用数轴确定大致范围．
画数轴：
由数轴可得__________________， ∴a 的大致范围是__________． ③验证端点值 当_____________，即 a ____ 时，________________； 当_____________，即 a ____ 时，________________． 综上，a 的取值范围是____________________．
3
3
1
巩固练习
x 1< m
1.
若关于
x
的不等式组
x
≥
2m
初二不等式经典练习题
初二不等式经典练习题不等式是数学中常见的一种关系表示方式，用于描述数值的大小关系。
在初二阶段，不等式的学习对于建立数学思维和解决实际问题具有重要作用。
下面，我们将介绍几个初二不等式的经典练习题，帮助大家巩固不等式的基本概念和解题技巧。
{{注意：文章仅为示范，题目内容可能不准确，敬请谅解。
}}问题1：解不等式解下列不等式，并将解集用数轴表示出来。
a) 2x - 3 > 7b) 4x + 5 ≤ 9c) 3 - 2x ≥ 1d) -5x + 2 ≤ 7x - 3解析：a) 首先，将不等式中的变量单独放在一边：2x > 7 + 32x > 10x > 5因此，解集为x > 5。
在数轴上，从5开始画一个开口向右的箭头，表示解集。
b) 同理，将不等式变形为：4x ≤ 9 - 54x ≤ 4x ≤ 1因此，解集为x ≤ 1。
在数轴上，从1开始画一个闭口向左的箭头，表示解集。
c) 将不等式变形为：-2x ≥ 1 - 3-2x ≥ -2x ≤ 1因此，解集为x ≤ 1。
在数轴上，从1开始画一个闭口向左的箭头，表示解集。
d) 解不等式得到：-5x ≤ 7x - 3 - 2-5x ≤ 7x - 5-12x ≤ -5x ≥ 5/12因此，解集为x ≥ 5/12。
在数轴上，从5/12开始画一个闭口向右的箭头，表示解集。
问题2：综合解不等式解下列不等式组，并将解集用数轴表示出来。
a) 2x - 3 < 5x + 13x > -4b) 2(x + 1) ≤ 3(x - 2)2x + 2 ≤ 3x - 6解析：a) 首先，将不等式组中的变量单独放在一边：3x > -4x > -4/3因此，解集为x > -4/3。
在数轴上，从-4/3开始画一个开口向右的箭头，表示解集。
b) 将不等式组变形为：2x + 2 ≤ 3x - 6x ≥ 8因此，解集为x ≥ 8。
在数轴上，从8开始画一个闭口向右的箭头，表示解集。
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不等式的综合应用初二练习题不等式是代数学中的重要内容，它在实际问题中的应用十分广泛。
本文将通过一些初二级别的练习题来展示不等式在实际问题中的综合
应用。
练习题一：
小明想要购买一台电视，他手上有500元。
已知电视的价格大于等
于200元，小明至少还需要多少钱才能买到电视？
解析：
设电视的价格为x元，根据题意可得不等式：x ≥ 200
小明还需要的钱为x - 500。
因此，不等式综合应用初二练习题的解为 x - 500 ≥ 0，即x ≥ 500。
练习题二：
根据老师的要求，小红的英语成绩至少要超过班级平均成绩的10%。
已知小红的班级平均成绩为80分，求小红的英语成绩的最低限制。
解析：
小红的英语成绩必须超过班级平均成绩的10%，即小红的英语成绩
至少为80 + 0.1 × 80 = 88分。
练习题三：
一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，已知它从A地到B地共耗时3小时。
如果车速提高到每小时80公里，那么这段路程将需要多长时间？
解析：
设从A地到B地的距离为x公里。
根据题意可得不等式：60 × 3 ≥ x，即180 ≥ x
当车速提高到每小时80公里时，它在x公里的距离上所需的时间为x / 80小时。
根据上述不等式的结果，可以得到x ≤ 180。
因此，不等式综合应用初二练习题的解为x / 80 ≤ 180 / 80，即 x / 80 ≤ 9/4。
练习题四：
一个数减去3的两倍再加上5大于等于13，求这个数。
解析：
设这个数为x，根据题意可得不等式：x - 3 × 2 + 5 ≥ 13，即 x - 6 + 5 ≥ 13
化简得 x - 1 ≥ 13
因此，不等式综合应用初二练习题的解为x ≥ 14。
通过以上的练习题，我们可以看到不等式在实际问题中的应用非常
灵活。
通过设定未知量，并根据题意建立不等式，我们可以解出问题
的答案或得到问题的限制条件。
在初二阶段，通过这些简单的练习题，我们可以培养学生们运用不等式解决实际问题的思维能力。
总结：
不等式的综合应用可以帮助我们将数学概念与实际问题相结合，培
养学生们解决实际问题的能力。
在处理这些练习题时，我们要注意题
目中给出的限制条件，建立合适的不等式，并运用代数运算解答问题。
通过反复练习，我们能够逐渐掌握不等式的应用技巧，为日后更复杂
的数学问题做好准备。
通过对不等式的综合应用初二练习题的解析，我们希望能够帮助学
生们更好地理解不等式的应用，并在日常生活中灵活运用这一概念。