专题学习--不等式与方程的综合应用

专题学习：不等式与方程的综合应用
北京十二中王明文
【写在前面】
不等式（组）和方程（组）是探求不等和相等关系的基本工具，不等式（组）与方程（组）在相关概念，解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在等式与不等式的基本性质等方面；另外，解方程组，可以“统一思想”，即对几个方程通过代入或加减消元，解不等式时，只能“分而治之”，即分别求解，再确定公共部分.但在很多问题中，不等式与方程总是同时出现，借助于构造方程模型来解决不等式问题或者借助于构造不等式模型来解决方程问题，以及两者之间的灵活转换是常用的思想方法，而两个模型转换的关键是获取两者之间恰当的关联.
【知识铺垫】
1.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法；
2.方程组的概念，二元一次方程组的解法；
3.含参数方程（组），不等式（组）的解法.
【思想方法】
方程模型与不等式模型的构建、互相转换.
【例题精讲】
一、构建方程或不等式模型解决求值或求范围问题
例题1：关于x的方程4x-m+1=3x-1的根为负数，求m的取值范围.
变式练习1：已知关于x的方程4x-m+1=3x-1，且2<m<4，求x的取值范围.
变式练习2：当x为何值时，相应的关于x,y的二元一次方程4x-y+1=3x-1中y的值为正数.
思路点拨：正确求解方程模型(一元一次方程)是前提，建立不等式模型并求解是落脚点，而联系二者的纽带是诸如“根是负数”、“2<m<4”、“y的值为正数”等从方程出发到不等式的关键词.
注意：求解含参数方程的关键是将无关参数视为常数.
例题2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩
，m 为何值时，x >y ？ 变式练习1：已知关于x,y 的方程组32121
x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x >y >0？
变式练习2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解⎩⎨⎧<>0
0y x ，求m 的取值范围. 变式练习3：已知关于x,y 的方程组32121
x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足条件 0<x+y <1,求m 的取值范围.
变式练习4：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩
，且2<m <4，求x-y 的取值范围. 变式练习5：已知关于x,y 的方程组：
有非负整数解，求正整数m 的值.
思路点拨：首先正确求解含参数方程组模型，由此建立不等式或不等式组模型，并求解，二者联系的纽带围绕前后模型的解或参数展开.
注意：含参数方程组的求解要注意两种情况：一是，参数不是未知数的系数，视参数为常数求解即可；二是，参数是未知数的系数，要注意其取值范围，然后视其为常数求解.
例题3：如果⎩⎨⎧==2
1y x 是关于y x 、的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-3
31413x ax b x a x 的解集． 变式练习1：已知x 、y 满足()2
2210x y a x y a -++--+=且31x y -<-，求a 的取值范围．
变式练习2：若单项式133m x y --与52n m n x y +能合并成一项，求关于x 的不等式n n x m 220<-<的整数解.
思路点拨：首先构建方程模型，并正确求解，根据前后之间的联系，构建不等式模型，并求解. 注意：方程组的构造基于前面所学的知识，例如：几个非负数的和为零，同类项的定义等.
例题4：若关于x 的不等式组220
x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为-1<x <1，求a •b 的值．
变式练习1：若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩和⎩⎨⎧<-<-a
x b b a x 536732解集相同，求(a+1)(b -1)的值.
变式练习2：若关于x 的不等式组有两个整数解，求b 的取值范围.
相关练习3：若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-13
2)3(21＜x x x ＞的整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，求a 的值. 思路点拨：从正确求解不等式入手，落脚点还是构造不等式，中间联系的纽带是方程或方程组. 注意：含参数不等式的求解和含参数方程的求解类似，并且在不等式组中参数的位置一般不在系数位置.
例题5：已知2mx+3>0的解集是x <3,求m 的值.
变式练习1：已知a,b 为常数，若ax+b >0的解集是13
x <,求不等式bx-a <0的解集. 变式练习2：关于x 的不等式()22a b x a b ->-的解是52
x <，求关于x 的不等式0ax b +<的解集.
思路点拨：从系数中含参数的不等式出发，结合所给解集确定参数的值或范围，并利用之进一步求解两一个不等式.
注意：在求解系数中含参数的不等式时，一定结合所给解集进行恰当的讨论，建立有关参数的方程，并同时确定某个或某些参数的取值范围.
二、构建方程与不等式模型解决实际问题
例题6：星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．
（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？
（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？
分析：先建立二元一次方程，再建立一元一次不等式组解决.
例题7：某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．
分析：先建立二元一次方程组，再建立一元一次不等式组解决.
例题8：为迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：
当比赛进行到第12轮结束（每队均需比赛12场）时，A 队共积19分.请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场？
分析：先建立不定方程组：设A 队胜x 场、平y 场、负z 场，
则有x y z x y ++=+=⎧⎨⎩12319，把x 当成已知数，可解得y x z x =-=-⎧⎨⎩
19327. 再建立一元一次不等式组：
由题意，x y z x y z ≥≥≥000、、，且、、均为整数，
所以x x x ≥-≥-≥⎧⎨⎪⎩
⎪01930270，解得312613≤≤x ， 最后，获得满足题意的整数解：于是x 可取4、5、6，由此可得三组解（略）.
思路点拨：解答这类题时，可先把题设中的方程（组）的解求出来，再根据题目中的限制条件列不等式（组）进行解答；或先求出题设不等式（组）的解集，再与已知解集进行比较，从而列方程（组）施行解答.
注意：实际问题中通过一些关键词暗示该问题应建立不等式模型解决：诸如此类的关键词有： 大于，小于，至少，至多，不少于，不多于，超过，不到等.
【巩固练习】
1、x 取什么值时，4)1(2++-=x y 的值是正数？负数？非负数？
2、当m 在什么范围内取值时,关于x 的方程()()x m x m --=-+4122有：
（1）正数解；
（2）不大于2的解.
3、若方程组3133
x y k x y +=++=⎧⎨⎩的解为x y 、，且24<<-k x y ，则的取值范围是（） A. 012
<-<x y B. 01<-<x y C. -<-<-31x y D. -<-<11x y 4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x y x 212.
（1）求这个方程组的解；
（2）当m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于1，y 不小于－1.
5、已知：()12
1,23121-=+=x y x y ，如果1321-≤y y ，且1y 不小于2y ,求正整数x 的值． 6、已知方程组⎩⎨⎧+=---=+m
y x m y x 317的解满足x 为非正数，y 为负数.
（1）求m 的取值范围；
（2）化简：∣m －3∣－∣m ＋2∣；
（3）
在m 的取值范围内，当ｍ为何整数时，不等式2mx ＋x ＜2m ＋1的解为x ＞1.
7、把若干个苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；每只猴分5个，则最后的一只猴分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？
8、某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件.
（1） 求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？
（2） 若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商
店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？
【思维拓展】
1、 如果关于x 的不等式（2a －b ）x +a －5b ＞0的解为x ＜107 ，求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．
2、求方程组⎩⎨⎧=++=++3675352975z y x z y x 的正整数解.
3、已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最
小值.。