浅谈杨辉三角的奥秘及应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用杨辉三角，又称帕斯卡三角形，是一个以数学的方式表示的二阶等腰三角形，它是具有多种特殊性质的几何图形，也是概率论、组合数学、代数和初等数论中的重要工具，在日常生活中也有很多有趣的应用。
首先，杨辉三角在日常生活中最常见的应用就是数学中计算阶乘的快速方法，有一句俗话“一个数的阶乘等于它上面一行所有数之和”，这句俗话正是杨辉三角的一个重要性质，即每一行的数都等于前面一行的相邻两个数之和，因此可以用杨辉三角来计算阶乘，大大减少了计算量。
其次，杨辉三角也可以用来计算组合数，组合数是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，而不考虑元素的先后次序，有多少种可能的组合情况，组合数的计算公式为Cmn=n!/(m!*(n-m)!)，其中阶乘之间的关系正是杨辉三角的一个重要性质，因此可以用杨辉三角来计算组合数，大大减少了计算量。
此外，杨辉三角也可以用来计算二项式系数，二项式系数是指在二项式中，两个未知数x和y的幂次之和为n，它有多少种可能的组合情况，二项式系数的计算公式为Cmn = n!/[m!*(n-m)!]，其中阶乘之间的关系正是杨辉三角的一个重要性质，因此可以用杨辉三角来计算二项式系数，大大减少了计算量。
再者，杨辉三角也可以用来解决一些经典游戏，例如“兔子赛跑”游戏，它是一个典型的动态规划问题，它要求求解最佳解，这就要求分析多种解法并做出最优决策，而杨辉三角可以帮助解决这类问题，因为它的性质有助于计算多种可能的解决方案，从而帮助玩家做出最优的决策。
最后，杨辉三角也可以用来计算几何图形的面积，例如梯形、菱形、梯形等几何图形，这些几何图形都可以用杨辉三角来计算它们的面积，因为这些几何图形都可以分解成多个三角形，而杨辉三角的性质有助于计算每个三角形的面积，从而计算出这些几何图形的面积。
总之，杨辉三角在日常生活中有着很多有趣的应用，它不仅可以用来计算阶乘、组合数、二项式系数等数学问题，还可以用来解决一些经典游戏，这些都使得杨辉三角在日常生活中变得格外有趣。
杨辉三角的规律总结
杨辉三角的规律总结一、规律总结： 1、《杨辉三角》定理：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
应用定理：将三角形的一个角用内部的点和一条直线段分别与另外两个角的两边分别相连，这三条线段交于一点，则该点就是这个三角形的重心。
2、《杨辉三角》性质：等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
二、注意事项： 1、在解决具体问题时，需要结合图形中已知的一些关键信息或特征来推导出杨辉三角定理。
基本思路：利用重心计算两底边上的高。
一般地，由于一个角的顶点在另一个角的底边上，所以可以采用内心法来确定其重心。
也可以利用其他方法来确定重心。
比较常用的方法有：（ 1）利用内部的两条线段或内部的三条线段构造三角形。
（ 2）将重心分别向顶点延长，做出所要求的三角形。
2、做题时要灵活运用杨辉三角定理及性质，不要拘泥于杨辉三角定理。
3、在解题过程中，只要遇到角，总可以联想到三角形，但是，这时候我们应先找出其重心再判断出是不是在三角形内部，否则会把角放错位置。
例如：等腰三角形的性质与杨辉三角有什么关系呢？答案：因为任何等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
《杨辉三角》公式：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
1、例如：△abc是等腰直角三角形，∠a=∠b=90°， ad=dc=1，bc=ca=3，∠c=90°，则△abc的重心在（ a） b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a） b例如：△abc是等腰直角三角形，∠abc=180°，∠ab=90°，∠ad=∠dc=1，∠bc=ca=3，∠a=∠b=90°，则△abc的重心在（ a）b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a）b（ d） c的解析：第1步：由∠acb=180°可得∠abc=180°，即△abc的三边长均为整厘米数。
20-21版：数学探究 杨辉三角的性质与应用（创新设计）
数学探究杨辉三角的性质与应用相关知识阅读杨辉三角的历史沿革北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶(约公元1050年)贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”．意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚．在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”．布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形．21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：贾宪中国北宋11世纪《释锁算术》杨辉中国南宋1261《详解九章算法》记载之功朱世杰中国元代1299《四元玉鉴》级数求和公式阿尔·卡西阿拉伯1427《算术的钥匙》阿皮亚纳斯德国1527米歇尔．斯蒂费尔德国1544《综合算术》二项式展开式系数薛贝尔法国1545B·帕斯卡法国1654《论算术三角形》其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.数学之美：杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质杨辉三角(也称帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．在欧洲，帕斯卡(1623—1662)在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形．帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文将一一为您揭晓．1．最外层的数字始终是12．第二层是自然数列3．第三层是三角数列什么是三角数列，看一下图就明白了，这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．4．三角数列相邻数字相加可得方数数列什么又是方数数列呢？雷同与三角数列，就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形．5．每一层的数字之和是一个2倍增长的数列6.斐波那契数列没错，如果按照一定角度将直线上的数字相加，我们也可以从杨辉三角中找到斐波那契数列．斐波那契数列是指从0，1 两个数开始，每一位数始终是前两位的和．这个数列有个神秘的特性，即越往后，相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数0.618(或1.618，两数互为倒数)．斐波那契数列和黄金分割数不但在大自然中处处可见，在人类的艺术设计中也是应用非常广泛．7．素数素数是指只能被1和它本身整除的数字．然而在杨辉三角里，除了第二层自然数列包含了素数以外，其他部分的数字都完美避开了素数．8．可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构如果我们把杨辉三角再放大，就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常有规律，它们会形成类似分形的图案．。
计算杨辉三角形的规律与应用
计算杨辉三角形的规律与应用杨辉三角形是一种数学图形，它的形状像一个等边三角形，由数字构成。
它以中国古代数学家杨辉的名字命名，他在13世纪时首次提出了这个概念。
杨辉三角形具有许多有趣的规律和应用，本文将对这些内容进行探讨。
一、杨辉三角形的构造方法杨辉三角形可以通过以下规律来构造：1. 第一行只有一个数字1。
2. 第二行有两个数字，均为1。
3. 从第三行开始，每行的首尾元素都是1。
4. 从第三行开始，中间的元素等于上一行中相邻两个元素的和。
例如，下面是一个由6行组成的杨辉三角形：```11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1```二、杨辉三角形的规律杨辉三角形具有一些有趣的规律，可以通过观察和计算得出：1. 每一行的数字之和等于2的n次方，其中n为行数。
例如，第三行的数字之和为2^3=8。
2. 每一行的首尾数字都是1。
3. 从第三行开始，除了首尾数字外，每个数字等于上一行对应位置的左上方和右上方两个数字之和。
三、杨辉三角形的应用杨辉三角形在数学和其他领域中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用：1. 组合数学：杨辉三角形中的数字可以表示组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
每一行的数字依次对应组合数的值，例如第三行的数字1 2 1对应组合数C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)。
2. 概率论：杨辉三角形可以用于计算二项式分布的概率。
每一行的数字可以表示在n次独立重复试验中，获得k次成功的概率。
3. 数列与数学函数：杨辉三角形中的数字可以形成一些有趣的数列，如斐波那契数列、素数数列等。
此外，杨辉三角形中的数字还与二项式定理、多项式展开等数学函数有关。
四、杨辉三角形的扩展除了基本的杨辉三角形构造方法外，还可以通过一些扩展规则来生成更多的图形和规律：1. 帕斯卡三角形：将杨辉三角形的每个数字乘以2再减去1，可以得到帕斯卡三角形。
帕斯卡三角形在概率论、组合数学和数学函数等领域有广泛的应用。
要杨辉三角的原理与应用
要杨辉三角的原理与应用一、原理介绍杨辉三角是一种数学图形，它由数字排列而成，具有以下特点：1.每一行的端点数字均为1。
2.每一行的第二个数字到倒数第二个数字均等于上一行相邻两个数字之和。
3.每个数字等于它上方两数字之和。
以下是杨辉三角的前几行：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1二、应用场景杨辉三角在数学和计算机科学领域具有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用场景。
1. 组合数计算杨辉三角可以被用来计算组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数量。
通过观察杨辉三角中的数字规律，我们可以发现组合数可以通过杨辉三角中的数字来表示。
例如，要计算组合数C(5, 3)，我们可以直接在第5行中找到第3个数字，即为组合数的值。
2. 概率计算杨辉三角也可以用于概率计算。
在概率领域，二项式定理表示了一个二项式的展开，其中杨辉三角中的数字被用来计算二项式系数。
通过利用杨辉三角中的数字规律，可以轻松计算不同概率事件的发生概率。
3. 递归算法实现杨辉三角还可以作为递归算法的一个经典案例。
通过递归的方式生成杨辉三角，可以简洁地实现该图形的生成过程。
递归算法可以通过将大问题划分为更小的子问题来解决，而杨辉三角的生成过程正是通过不断计算上一行数字来生成下一行的。
4. 动态规划动态规划也是杨辉三角的一个重要应用。
在动态规划中，前一状态的信息被用来计算当前状态的值。
杨辉三角的生成规律与动态规划中的状态转移函数相似，因此可以将杨辉三角的原理应用于动态规划的问题求解中。
三、总结杨辉三角作为一种数学图形，在计算与编程领域有着重要的应用。
它不仅可以用于计算组合数和概率，还可以被用作递归算法和动态规划的示例。
通过深入理解杨辉三角的原理，我们可以掌握更多有用的数学和计算机科学技巧，为问题求解提供更多可能性。
通过灵活运用杨辉三角的原理，我们能够解决更加复杂的问题，提高算法效率和编程能力。
希望本文对读者有所启发，并能够在实际应用中发挥积极作用。
杨辉三角在日常生活中的有趣应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用杨辉三角，也被称为帕斯卡三角，是一个在数学中非常重要的结构。
它不仅仅在数学中有广泛的应用，而且在日常生活中也有很多有趣的应用。
下面我们就来看看杨辉三角在日常生活中的一些有趣应用。
1.组合数学：杨辉三角的一个重要应用是在组合数学中。
二项式系数是组合数学中的一个重要概念，表示在n个不同元素中选取k个元素的组合数。
杨辉三角的第n行第k个数字就是二项式系数，也就是C(n, k)。
这使得杨辉三角成为了一个非常方便的工具，可以快速地查找二项式系数。
2.概率论：在概率论中，杨辉三角也被广泛应用。
比如，在赌博游戏中，我们可以用杨辉三角来计算各种可能的结果的概率。
假设有一个游戏，玩家可以猜一个骰子的点数，如果猜对了就得奖。
我们可以用杨辉三角来计算玩家猜对点数的概率。
3.编码理论：在编码理论中，杨辉三角也被用来构造一些特殊的编码。
比如，有一种叫做"里德-所罗门码"的编码，就是用杨辉三角来生成的。
这种编码具有很强的纠错能力，被广泛应用在各种数字设备和通信系统中。
4.图形学：在图形学中，杨辉三角也被用来生成一些特殊的图形。
比如，有一种叫做"杨辉三角图"的图形，就是用杨辉三角来生成的。
这种图形具有很强的对称性和美感，被广泛应用在各种设计和艺术作品中。
5.生物学：在生物学中，杨辉三角也被用来描述一些生物学的现象。
比如，在遗传学中，有一种叫做"孟德尔遗传"的现象，就是用杨辉三角来描述的。
这种现象描述了基因在遗传过程中的规律，对于理解生物的遗传和进化具有重要意义。
6.投资理财：在投资理财中，杨辉三角也可以被用来计算投资收益。
假设有一个投资计划，每年投资一定的金额，并且每年的收益率为一定的百分比。
我们可以用杨辉三角来计算在一定年限后，投资的总金额和总收益。
7.教育教学：在教学活动中，杨辉三角也是一个非常好的教学工具。
它可以帮助学生更好地理解数学概念，比如组合数学、概率论等。
杨辉三角与路径问题探究内容
杨辉三角与路径问题探究内容标题建议：《杨辉三角与路径问题：从数学到生活的探究》一、引言在中国的数学史上，杨辉三角是一个不可或缺的篇章。
这一三角形的规律性和特性，不仅在数学领域有着广泛的应用，还与现实生活中的路径问题有着密切的联系。
本文旨在深入探究杨辉三角的奥秘，并探讨其与路径问题的关联。
二、杨辉三角的特性与规律杨辉三角是一个二项式系数表，它以其独特的排列方式展示了二项式系数之间的内在联系。
杨辉三角的每一行数字都与上一行相邻两个数字有关，具体规律如下：1. 每行的第一个数字和最后一个数字都是1。
2. 每行的中间数字等于上一行相邻两个数字之和。
3. 每行的数字都是上一行的两个相邻数字的差值的一半的绝对值依次加1。
这些规律不仅使得杨辉三角的每一行数字都具有高度的逻辑性和规律性，还为解决一系列复杂的数学问题提供了有力工具。
三、杨辉三角与路径问题的联系当我们从数学角度深入研究杨辉三角时，不难发现其与路径问题的紧密联系。
例如，我们可以使用杨辉三角来解决图论中的最短路径问题、网络流问题等。
这主要归功于杨辉三角中的数字规律，这些规律在解决路径问题时能够提供有效的算法和优化策略。
以最短路径问题为例，我们可以通过杨辉三角中的数字规律，找到从起点到终点的最短路径。
具体来说，我们可以利用杨辉三角中的数字来构建一个权重矩阵，然后使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法等路径算法求解最短路径。
这种方法在解决现实生活中的交通规划、物流配送等问题时具有很高的实用价值。
四、结论通过以上探究，我们可以看到杨辉三角不仅在数学领域有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
从路径问题到网络流问题，杨辉三角的规律性和算法都为我们的生活和工作带来了极大的便利。
未来，随着科学技术的不断进步，相信杨辉三角将会在更多领域发挥出更大的作用。
同时，也希望通过本文的探究，能够激发更多人对杨辉三角和路径问题的兴趣，进一步推动数学与实际应用的结合。
杨辉三角
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
（a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
6
（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行
斐波那契数列
换一角度“斜”向看：
斜线的和依次为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 有：an=an-1+an-2 (n≥3)
1 11 12
1112358
1 3 31
14 641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花 5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 8………………………翠雀花 13………………………金盏和玫瑰
问：纵横各有五条路呢？
A
B
图1
结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案( 6)． 一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法 数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
A
1
A
1
1
A
1
2
1
D
3
3
C
6
B
B
B
在弹球游戏中的应用
弹球游戏，小球向容器内 跌落，碰到第一层挡物后 向两侧跌落碰到第二层阻 挡物，再向两侧跌落第三 层阻挡物，如此一直下跌 最终小球落入底层。根据 具体地区获的相应的奖品 （AG区奖品最好，BF区 奖品次之，CE区奖品第三， D 区奖品最差）。
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浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。
关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。
随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。
1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。
后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。
假设y=11n当n=0时： y=1；当n=1时： y=11；当n=2时：y=121；当n=3时：y=1331；当n=4时：y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下：当n=5时： 1 4 6 4 1⨯ 1 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 1⨯ 1 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。
如下图：1 (110) 1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116) ……其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。
我们知道初中时老师教我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。
其实是错位相加，而扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。
2 杨辉三角与2的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。
刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下：1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列}{R N C 。
2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即r n n r n c C -=。
3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即r n r n n r n C c C 11---+=。
利用以上的性质我们可以预测杨辉三角中任意一行的数字的情况。
3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系为了讲解方便我们先讨论杨辉三角中n 为前7行时的情况。
分别为每一斜行标号，如图所示：(1) 1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1由上面可猜想得到：杨辉三角中n 行中的第i 个数是斜行i-1中前n-1个数之和，即第n 行的数分别为1、斜行(1)中第n 行之前的数字之和、斜行(2)中第n 行之前的数字之和、斜行(3)中第n 行之前的数字之和、斜行(4)中第n 行之前的数字之和、…、斜行(n-3)中第n 行之前的数字之和、1。
证明结论：假设当n=k 时成立，即第k 行的数分别为1、斜行(1)中第k 行之前的数字之和、斜行(2)中第k 行之前的数字之和、斜行(3)中第k 行之前的数字之和、斜行(4)中第k 行之前的数字之和、…、斜行(k-3)中第k 行之前的数字之和、1。
则n=k+1时因为杨辉三角中的每一个数是它肩上的两数之和所以第k+1行的第一个数为：1第k+1行的第二个数为：第k 行的第一个数1与第二个数之和因为第k 行的二个数等于斜行(1)中第k 行之前的数字之和所以第k 行的第一个数1与二个数之和就等于斜行(1)中第k+1行之前的数字之和。
同理可得到第k+1行的第三个数为：斜行(2)中第k+1行之前的数字之和。
第四个数为：斜行(3)第k+1行之前的数字之和、…综上所述结论成立。
假如我们将杨辉三角由等腰三角形改变为等腰直角三角形，划斜率为 1 的直线，再来考虑，斜率为1的直线上的字数之和又有什么规律？……可以发现这些数字为1，1，2，3，5，8，13，21…，从第3项起每一项都是前两项之和。
这就是著名的菲波那契数列。
菲波那契在1902年提出了一个有趣的问题：“假定每对大兔每月生产一对小兔，而每对小兔过一个月能完全长成大兔，问一年里面由一对大兔能繁殖出多少对大兔来。
”我们感兴趣的是大兔的对数组成的数列，原来有大兔一对，设为 0U =1，一个月后一对小兔出生，但是大兔还是一对，1U =1 ， 2个月后小兔长大，而大兔又生了一对小兔， 2U =2 这样下去，3U =3 ，4U =5 … 而假设第n 个月后大兔n U 对，n+1个后大兔为1+n U 对，那么第n+1个月时，原来的n U 对大兔又生出了n U 对小兔，所以第n+2个月大兔有2+n U =n U +1+n U ，所以具有这样的规律。
4 以杨辉三角为背景的问题分析由上可知，在古老的杨辉三角中存在着很多奥秘，如果把他的这种性质合理的应用到现实生活中或者是教学中，将会让我们更进一步的认识到杨辉三角的美妙及杨辉三角这一伟大的发现的现实意义。
4.1杨辉三角在弹球游戏中的应用如图1的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。
根据具体地区获的相应的奖品（。
图1我们来分析一下为什么小球落到不同区域奖品会有如此大的差别？A 区的奖品价值高于D 区，说明小球落入A 区的可能性要比落入D 区的可能性小，转化为数学问题就是小球落入A 区和D 区的概率。
小球要落入D 区的情况有两种，有概率知识得：D 1 D 2就是说，小球落入D 区的概率是等于它肩上两区域概率之和的21，据此小球落入各区的概率为可以按以上方法类推，如下： 2121183813213253210321032532164646641564206415646641 A B C D E F G图2观察上图，小球落到AD 两区的概率要比其它区域小的多，当然奖品就要多一些。
从该图中不难发现各区域的概率分子与杨辉三角形完全一致，我们可以利用杨辉三角的性质直接得出小球落到AD 两区的概率要比其它区域小的多。
该题是一道将杨辉三角的性质与概率的性质结合在一起而设置的一种游戏。
可想而知，技术人员在设置这个游戏时利用杨辉三角和概率的某些性质而制成的。
这是个令人惊喜的游戏，它为课堂教学提供了一个生动的实例。
4.2路径中的杨辉三角小红家到学校之间有很多的交叉路口，每一个交叉路口都有两条路可以走如图3，一天小红有事需要尽快回家，可是小红却不知该走那条路好，请帮小红找出一条最近的路。
解：如图4（为了讨论方便我们把家看成甲地，学校看成乙地。
）从甲地到乙1地有2种走的方法。
甲1如图5，从甲地到乙2地有3种走的方法，等于到乙1的走法加上1。
图5 乙2如图6，从甲地到乙3地有3种走的方法，刚好是到乙2的走法加上1。
2图6 乙3如图7，从甲地到乙4地有6种走的方法，刚好是到乙2的走法加上到乙3的走法。
甲图7乙4随着甲乙两地之间距离的增大，从甲地到每一个交叉点的走法如图8所示：甲 0 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 91 3 6 10 15 21 28 361 4 10 20 35 56 84151****01261 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91图8上图所示从甲到每一个交叉点的走法与杨辉三角很相似，由此当我们遇到如上所示的路径的问题我们可以根据杨辉三角来确定它到另一端的走法。
其实这个图形在西方数学史上已有记载，它就是法国数学家帕斯卡发现的被世人称为“帕斯卡三角形”。
从该图中我们很容易得到二项式任意正整次幂的系数展开。
记得华东师大的霍益萍教授讲过：“时间的开放，形式的开放，都是次要的，重要的是思维的开放，思想的开放。
”夸美纽斯也有一句名言：“教一个活动的最好办法是演示。
”演示是直观教学的一种，而直观的东西一般容易被人接受。
我们常说，发现一个问题往往比解决问题更重要，而“发现”靠的并不都是逻辑思维，直观性的思维有时能出奇制胜。
在数学教学中强化直观教学，也许可以使沉闷的课堂教学活泼起来。
而杨辉三角中的内在规律是课堂教学中培养学生直观思维的一个非常完美的实例。
总上所述，古老的杨辉三角的某些优美的性质在现代生活中得到了充分的体现，令人不由为灿烂的古代文明心生自豪之情。
参考文献[ 1 ] 宋碎让.对于“巨形格中的最短路径与杨辉三角”的思考[J].数学教学.2004(5) [ 2 ] 曹亮.杨辉三角在弹球游戏中的应用[J].数学教学.2004(10)[ 3 ] 唐永.以“杨辉三角”为背景的试题例析[J].数学教学.2005（4）。