探索杨辉三角的秘密
数学课堂探究杨辉三角
课堂探究探究一与杨辉三角有关的问题解决与杨辉三角有关的问题一般方法是观察法，观察时可以横看、竖看、斜看等多角度观察，找出数据之间的关系．由特殊到一般推出对应规律，用数学式子表达出来，并进行简单说明所得规律的正确性．【典型例题1】如图所示,在杨辉三角中，第n条和第(n＋1）条细斜线上各数之和与第（n＋2）条细斜线上各数之和的关系如何?证明结论．思路分析:此题可先从特殊行得出结论，然后再证明其一般性，如令n＝2,去探究第2条和第3条细斜线上各数之和与第4条细斜线上各数之和的关系．解：第n条和第(n＋1）条细斜线上各数之和等于第(n＋2）条细斜线上各数之和．证明如下：第n条细斜线上各数之和为C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…，第(n＋1）条细斜线上各数之和为C0n＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…，故这两条细斜线上各数之和为(C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…)＋(C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…）＝C错误!＋（C错误!＋C错误!)＋（C错误!＋C错误!）＋(C错误!＋C错误!）＋(C错误!＋C错误!）＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋….等式右边正好是第（n＋2)条细斜线上各数之和,所以第n条和第（n＋1)条细斜线上各数之和与第（n＋2）条细斜线上各数之和相等．探究二求展开式的各项系数之和赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值,解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f(x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，各项系数和为f(1)．奇次项系数和为错误
均为 n，（2）表中的递推关系类似杨辉
三角，则第
n
行（n≥2）第
2
个数
n2
n 2
2
.
第1行 第2行 第3行 第4行
1
an1 an n(n 2)
2 2 an1 an n
34 3
47 7 4
第5行 5 11 14 11 5
第6行 6 16 25 25 16 6
…… …… ……
(n 1)(n 2)
关系吗？
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行 第4行
1 3 31 1 4 6 41
第5行 第6行
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
… ……C…nr … …
• • 本节课的学习难点是：根据具体横行、斜
行的数字规律，猜想出一般的结论。
五、学习方法
• 本节课采用的是教师引导探究的探究课类型。使用自主探究 与合作交流相结合的探究方式。
• 探究时采用先思考后小组合作互动的方式，重点在于发现规 律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成 建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生 体会再发现再创造的过程，发展学生的创造性思维。
C2 n1
Cn3
当r
3时，C33
C43
C53
C3 n1
Cn4
探究4 （斜看2） ：按照图示的方法写出斜线上的各行数字的和， 仔细观察这些和，你有什么发现？
高中数学_杨辉三角中的一些秘密教学课件设计
Cnm CCnm1011C11Cnm1
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C44
C50
C51
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C55
C60 61
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C66
(a+b)0 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
(a+b)6
……
Cnm Cnm1111Cnm1
1 21 1 3 31 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
((aa++bb))C10 0n
C1n
C
2 n
1
11
C
n n
2n1
2
(a+b)2
1 21
4
(a+b)3
1 3 31 8
(a+b)4
1 4 6 4 1 16
1 6 15 20 15 6 1
例1:在(a+b)n展开式中，
(a
b)n
C
0 n
a
n
Cn1a n1b Cn2a n2b2
Cnk a nk bk Cnnbn
（1）若第3项与第13项的二项式系数相等,求n；
（2）若只有第10项二项式系数最大,求n； （3）若第10项二项式系数最大,求n。
_杨辉三角中的一些秘密_教学设计_陈碧文
……
1 2 r n-1 C0 Cn n Cn Cn … Cn … C n n
r n-2 n-1 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Cn0 - 1 Cn1 - 1 Cn2 - 1 … Crn - 1 Cn - 1 … C n - 1 Cn - 1
（2 ）
】 导学案中已经为学生准备了两个杨辉 【 设计意图 三角，一个用数字表示，一个用组合数表示 . 笔者要 求学生从数字表示的杨辉三角中寻找规律，从组合数 表示的杨辉三角中总结规律，并加以证明 . 这体现了 “观察—归纳—猜想—证明”的数学研究理念，并且通 过小组合作的方式，既能降低探究的难度，也能培养 学生的合作意识，提高学生的学习兴趣. 4. 小组展示，分享所得 杨辉三角的性质. 角度 1： （1 ）杨辉三角中每一行数的平方和都是杨 辉三角中的数.
取其中的 xn 项，
2 2 2 （C0 （C1 （Cn ） ］ ·xn， 等式左边 =［ n） + n） + … + n
等式右边 = C2nn xn. 由于等式2 （C1 （Cn 即 （C0 n） + n） + … + n） = C2n .
（2 ）杨辉三角每一行数字错一位叠加就得到 11 的
图1 图2
而二项式系数都可以写成组合数 . 从而我们就可以把 杨辉三角写成以下的形式，其中第 n 行第 r 个数可以
1 写成 an，r = Crn 如图 4 ） . -1 （
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形 就是数阵. 今天这节课，我们就一起来研究一下数阵 . 当然， 对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体. 所以， 我们从一个特殊的三角数阵开始. 大家认识这个数阵 （ 如图 3 ） 吗？在古代，我们 称它为“开方作法本源图” . 而在现代，它还有另外一 个名字— ——杨辉三角.
高中数学探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密课件
原型——路径问题
甲
不同路径 相同步数 殊途同归
C150 252 C63 20
乙
【数学的灵动美】——做中思玩中学
路径问题
甲 1 1 1 111
1 2 3 456
1 3 6 10 15 21
14 15
10 20 35 56 15 35 70 126
1 6 21 56 126 252乙
理论
实践
【数学的灵动美】——做中思玩中学
............
C C C 0
1
2
n1 n-1 n-1
...
Cr 1 n-1
Cr n-1
...
Cn2 n-1
C0 n1
Cn0 Cn1 Cn2
... Cnr ...
Cn1 n
C n0
杨辉三角中,第n行第r+1个数为
an,r1 Cnr
【数学的规律美】——回顾旧知
对称
Cnr
C nr n
正难则反
斜
121 13 31
C11 1C21 2 C331 C4415C516C7612C871 C82
向 求 和
146 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
《杨辉三角》之初探
《杨辉三角》之初探在学习生活中，我们常常会遇到这个三角形，它的名字叫做杨辉三角。
它和赵爽弦图、割圆术一样，是我国古代数学的骄傲。
那么，杨辉三角有什么奥秘呢？让我们来一探究竟吧！图1一、探究规律探究1如图1：看横排杨辉三角中各行数字有怎样的数字规律？发现1：每一横行的首尾两项都是1，且两头对称分布；发现2：每一行的数字个数为与行数相同；发现3：杨辉三角中第n行数字的和为2n-1;探究2看竖排上下两行数字有什么关系？发现1：除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和；发现2：我们发现，从第二行开始，每一行的第二个数分别为1，2，3，……，是一个公差为1的等差数列，思考：每一行的第三个数组成的数列1,3,6，10，15又有什么规律呢？=1a1=1+2a2a3=1+2+3……由此我们不难发现，an =1+2+3+……+n，所以an=，也就是说，第三项其实是一个二阶等差数列；第四项有什么性质呢？……二、拓展延伸延伸1：仔细观察，杨辉三角其实是也呈现二项式系数规律。
如：思考：按照前面的规律，则（a+b）5展开后结果如何？．（由图3可知，二项式展开后的项数比指数多1，当a的次数在增加时，b的次数反而减小，但每一项的次数都为5）延伸2：如图4：斜线上各行数字的和，有什么规律？（从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，这就是著名的斐波那契数列，也称为兔子数列）延伸3：如图5：（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为多少？（不难得出第四项的系数可以转化为前一行之前所有的第三个数之和）延伸4：以此类推（a+b）n的展开式中中间第系数又为多少？……杨辉三角中远远不只这些规律，需要我们不断的探索。
通过对杨辉三角的探究，我更进一步认识到杨辉三角的美妙，也发现了杨辉三角中隐藏的一些数字规律，同时也深刻理解了中国古代数学的智慧。
更重要的是，我学会了探索数学的奥秘。
这将对我的教学能力会有很大的帮助和提升，我将在今后的教学中，用我的好奇心和勇于探索的品质对待每一个数学问题。
《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》PPT课件(部级优课)
3 数学文化，拓展视野 谢 尔 宾 斯 基
谢 尔 宾 斯 基 三 角 形
埃 菲 尔 铁 塔
分形几何 奇异、美丽、 超乎想象！
4 课堂小结，升华“点睛”
斜看 三角形数 四面体数 高阶等差数列 斐波那契数列
贾宪
本
课
小
C
m n
C nm n
组合数对称性
结
杨横看 辉
2的幂、11的幂
杨辉三角
朱世杰
Cnm
成林处处云,抽笋年年玉。
调清金石怨,吟苦鬼神悲。
天风乍起争韵,池一水相涵更五绿。 十
十 天下只五应我爱一,世间惟有君知。
却寻庚信小员中一,闲对数六竿心自足十五。
二
十
自从十五都尉别六苏句,便一到司空送白辞。
3 数学文化，拓展视野
（动手操作）：如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数 分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？
对称性：Cnm
C nm n
递推性： Cnm
C m1 n 1
Cm n 1
1
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
C32
C33
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C52 C53
C
4 5
C
5 5
C 60
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
2 善于观察，发现“秘密”
2022年高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》
探究数学秘密，发现数学之美——“杨辉三角〞中的一些秘密一、教材背景分析1．教材的地位和作用“杨辉三角〞是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，鼓励学生的民族自豪感。
2．学情分析本节课面对的是高二年级的学生,这个年龄段的学生思维活泼,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导。
通过之前的学习学生已经掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,理解了排列、组合的概念,掌握了二项式定理和二项展开式的性质。
同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。
对于本节探究与发现的研究性学习,可以激发学生学习热情,提高课堂效率,使知识得到螺旋式的稳固与提高。
而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面,还有待于教师的指导帮助。
学生根据教师提供的情境,采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识,归纳知识。
通过创设情境疑问,引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流,探求解决问题的方法。
鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。
3．教学重点与难点重点:掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。
难点:通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。
二、教学目标新课标指出教学目标应表达学生学会知识与技能的过程,也要同时表达学生学会学习形成正确价值观的过程。
结合本节课的教学内容,制定如下教学目标:1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律〞的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。
2．掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。
3．通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。
4．采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。
杨辉三角原理
杨辉三角原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超有意思的杨辉三角原理！你知道不，这杨辉三角就像是一个神奇的魔法阵。
咱就说，你看那杨辉三角，一层一层的，多像我们小时候叠的纸金字塔呀！每一行的数字都有它独特的规律，就好像它们在悄悄告诉我们什么秘密一样。
比如说，从最上面开始，每层的数字两边都是 1，这就好像一个守护宝物的卫士，坚定地站在那里！然后呢，中间的数字可就有趣啦，它们是上一行相邻两个数字之和。
哎呀呀，这可不是一般的厉害呀！
有一次，我和小伙伴一起研究杨辉三角，我们就像是探险的小伙伴，试图解开这个神秘三角的谜团。
我们一个数一个数地看，一个规律一个规律地找，那种投入的感觉，简直太棒啦！我当时就在想，这杨辉三角背后到底隐藏着多少奇妙的东西呢？
它可不只是一堆数字的排列哦！它在数学、科学甚至艺术领域都有广泛的应用呢！这不就和我们生活中的很多小事物一样吗？看似普通，实则蕴含着巨大的能量。
杨辉三角就像是一个智慧的宝库，等待我们去不断挖掘。
你难道不想去探索一下吗？你不想知道它还能给我们带来哪些惊喜和启示吗？我觉得呀，我们应该好好去研究它，去发现它更多的美妙之处。
相信我，一旦你深入了解了杨辉三角原理，你一定会被它深深地吸引，就像我一样，对它充满着好奇和喜爱！
总之，杨辉三角原理真的太神奇、太有趣啦！大家可别错过这个探索的好机会哦！。
杨辉三角中的一些秘密——数学课本“探索与发现”的进一步探索
周刊
杨辉三角中的一些秘密
数学课本 探索与发现 的进一步探索 杨海跃
杨辉三角出发 , 探索它的精妙绝伦的性质 . 用研究与总结来揭开它神秘的面纱 . 关键词 : 三角的秘密 ; 杨辉三角 ; 数学探索 摘㊀要: 作为中国数学史上重要的发现 , 杨辉三角带我们领略数字的奥秘 , 为我 们 打 开 二 项 式 系 数 的 大 门 . 现 在 , 让我们从
１ n－ １ n－ １ n－ １ n － 则 Cn ＋Cn＋１ ＋ ������ ＋Cn＋m－２ ＝ Cn＋m－１ n－ １ ＋C n
所以 k ＝ m ＋１ 时成立 . ＋Cn＋m－１ ＝ Cn＋m ＝ Cn＋mห้องสมุดไป่ตู้１＋１ ,
n－ １ n n
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������
) 边的一列就是它的一阶差数 列 . 并 且 从 右 向 左 第 n( n ȡ０
Cn ＋ ������ ＋Cn＋ Cn ＋ ������ ＋Cn＋ Cn＋１ ＋ ������ k－ ２ ＝C n＋ k－ ２ ＝C n＋ １＋
１
０ １ ０ ㊁n ㊁ ������Ck , 列, 可表示为Cn １ C n－ １ k 所以它们的前k 项和C n－ １＋ － ＋
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3.加强对学生的爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而发奋读书。
教学重点
探索杨辉三角形的数字规律
教学难点
探索杨辉三角形与其他数学对象之间的联系，培养学生应用数学知识方法的能力。
教具ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ备
课件。
教学过程
1、学生先独立观察，再小组合作讨论。
2、全班交流汇报。
生1：每排左、右两边的数都是1，只有中间的数在发生变化。
生2：每排都比它前一排多一个数。
生3：从第一排的1斜起看，依次是1、2、3、4……
生4：每排中间的数都等于前一排左、右两个数的和。
巩固提高
独立完成练习三第1、2、4、7、8题。
生独立完成。
课堂小结
探索杨辉三角的秘密
潼南区东风小学校 肖信
教学内容
杨辉三角
教学目标
一、知识目标
了解有关杨辉三角形的简史，掌握杨辉三角形中蕴含的基本规律。
二、能力目标
1、通过探求杨辉三角形的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。
三、德育目标
1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦。
2、学生观察讨论，教师巡视。
3、全班交流汇报。
4、师：同学们观察得真仔细，有了这么多新发现，每排的第一个数都是1，中间的数都是它前一排左、右两个数的和等等，找到了这些规律，你们能知道第5排该填哪些数吗？试一试。再填出第6、7排各数。按这样的规律再往下面填，还会填吗？各数是按一定规律排列的，只要我们找到了事物内部隐藏的规律，就能正确地天出未知的各数。
教师活动
学生活动
故事引入
教师：我国南宋末年出现了一位著名的数学家，他就是杨辉。他在数学方面取得了许多成就，其中计算技术方面的成就最突出，著名的“杨辉三角”对人类数学研究作出了贡献。今天我们要发现的规律就与“杨辉三角”有关。
1、学生认真倾听。
合作探讨
探索新知
1、出示杨辉三角，请学生观察这些数的排列，找找其中的规律，再和同桌的同学交流自己的想法。
师生共同完成课堂小结
探索规律的方法：
1、一看：看清题目里的信息。
2、二想：对信息进行分析、比较或运用计算等方法去寻找规律。
3、三说：用简洁的数学语言去归纳、总结、描述规律。
二○一七年七月十九日